المنطق الموجه المعرفي

يمكن قراءة عامل المودال الأساسي للمنطق المعرفي، والذي يُكتب عادةً K ، على أنه "من المعروف أن"، أو "من الضروري معرفيًا أن"، أو "يتعارض مع ما هو معروف أنه ليس كذلك". إذا كان هناك أكثر من فاعل واحد يُراد تمثيل معرفته، فيمكن إرفاق رموز سفلية بالعامل (${\displaystyle {\mathit {K}}_{1}}$،${\displaystyle {\mathit {K}}_{2}}$إلخ.) للإشارة إلى الفاعل المقصود. لذا${\displaystyle {\mathit {K}}_{a}\varphi }$يمكن قراءتها على النحو التالي: "العميل"${\displaystyle a}$يعلم ذلك${\displaystyle \varphi }$وبالتالي، يمكن اعتبار المنطق المعرفي مثالاً على المنطق متعدد الوسائط المُطبق لتمثيل المعرفة . ^{[ 1 ]} ويُعدّ ثنائي K ، الذي سيكون على نفس العلاقة مع K كما يلي:${\displaystyle \Diamond }$هو أن${\displaystyle \Box }$ليس له رمز محدد، ولكن يمكن تمثيله بواسطة${\displaystyle \neg K_{a}\neg \varphi }$والتي يمكن قراءتها على النحو التالي:${\displaystyle a}$لا يعلم ذلك${\displaystyle \varphi }$أو "يتوافق مع${\displaystyle a}$معرفة أن${\displaystyle \varphi }$من الممكن". العبارة "${\displaystyle a}$لم يكن يعلم ما إذا كان ذلك أم لا${\displaystyle \varphi }$يمكن التعبير عن " على النحو التالي${\displaystyle \neg K_{a}\varphi \land \neg K_{a}\neg \varphi }$.

من أجل استيعاب مفاهيم المعرفة المشتركة (كما في لغز الأطفال الموحلين ) والمعرفة الموزعة ، يمكن إضافة ثلاثة عوامل نمطية أخرى إلى اللغة. وهي:${\displaystyle {\mathit {E}}_{\mathit {G}}}$، والتي تنص على "كل عنصر في المجموعة G يعرف" ( المعرفة المتبادلة )؛${\displaystyle {\mathit {C}}_{\mathit {G}}}$والتي تنص على "أنها معلومة عامة لكل عنصر في المجموعة G"؛ و${\displaystyle {\mathit {D}}_{\mathit {G}}}$والتي تنص على أنها "معرفة موزعة على المجموعة G بأكملها". إذا${\displaystyle \varphi }$إذا كانت صيغة من صيغ لغتنا، فكذلك${\displaystyle {\mathit {E}}_{G}\varphi }$،${\displaystyle {\mathit {C}}_{G}\varphi }$، و${\displaystyle {\mathit {D}}_{G}\varphi }$تمامًا كما هو الحال مع الرمز السفلي بعد${\displaystyle {\mathit {K}}}$يمكن حذفها عندما يكون هناك عامل واحد فقط، والرمز السفلي بعد عوامل الوضع${\displaystyle {\mathit {E}}}$،${\displaystyle {\mathit {C}}}$، و${\displaystyle {\mathit {D}}}$يمكن حذفها عندما تكون المجموعة هي مجموعة جميع العناصر.

كما ذُكر أعلاه، يعتمد النهج المنطقي على نموذج العوالم الممكنة، والذي غالبًا ما تُعطى دلالاته شكلًا محددًا في هياكل كريپكي، والمعروفة أيضًا بنماذج كريپكي. هيكل كريپكي${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle S,\pi ,{\mathcal {K}}_{1},\dots ,{\mathcal {K}}_{n}\rangle }$لـ n من الوكلاء${\displaystyle \Phi }$، وهي مجموعة جميع القضايا الأولية، هي${\displaystyle (n+2)}$-tuple، حيث${\displaystyle S}$هي مجموعة غير فارغة من الحالات أو العوالم الممكنة ،${\displaystyle \pi }$هو تفسير يرتبط بكل حالة${\displaystyle s\in S}$إسناد قيمة الصدق إلى القضايا الأولية في${\displaystyle \Phi }$، و${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n}}$العلاقات الثنائية على${\displaystyle S}$لعدد n من العملاء. من المهم هنا عدم الخلط${\displaystyle K_{i}}$، وعامل التشغيل النمطي لدينا، و${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$علاقتنا بإمكانية الوصول.

تحدد عملية تحديد الصدق ما إذا كانت القضية صحيحة أم لا${\displaystyle p}$صحيح أو خاطئ في حالة معينة.${\displaystyle \pi (s)(p)}$يخبرنا ما إذا${\displaystyle p}$هذا صحيح في الولاية${\displaystyle s}$في النموذج${\displaystyle {\mathcal {M}}}$الحقيقة لا تعتمد على البنية فحسب، بل على العالم الحالي أيضًا. فمجرد كون شيء ما صحيحًا في عالم ما لا يعني بالضرورة أنه صحيح في عالم آخر. ويمكن القول إن الصيغة${\displaystyle \varphi }$يكتب أحدهم: هذا صحيح في عالم معين.${\displaystyle ({\mathcal {M}},s)\models \varphi }$تُقرأ عادةً على النحو التالي:${\displaystyle \varphi }$صحيح في${\displaystyle ({\mathcal {M}},s)}$،" أو "${\displaystyle ({\mathcal {M}},s)}$يرضي${\displaystyle \varphi }$".

من المفيد التفكير في علاقتنا الثنائية${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$باعتبارها علاقة احتمالية ، لأنها تهدف إلى تحديد العوالم أو الحالات التي يعتبرها الفاعل i ممكنة؛ بعبارة أخرى،${\displaystyle w{\mathcal {K}}_{i}v}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \forall \varphi [(w\models K_{i}\varphi )\implies (v\models \varphi )]}$وما شابه ذلك${\displaystyle v}$تُسمى هذه البدائل المعرفية بالبدائل المعرفية للفاعل i . في التصورات المثالية للمعرفة (مثل وصف الحالة المعرفية للمفكرين المثاليين ذوي سعة الذاكرة اللانهائية)، يكون ذلك منطقيًا بالنسبة لـ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$أن تكون علاقة تكافؤ ، لأنها أقوى أشكالها وأكثرها ملاءمةً لأكبر عدد من التطبيقات. علاقة التكافؤ هي علاقة ثنائية انعكاسية ، متناظرة ، ومتعدية . أما علاقة الوصول فلا يشترط أن تتسم بهذه الصفات؛ فهناك خيارات أخرى ممكنة، كتلك المستخدمة عند نمذجة الاعتقاد بدلاً من المعرفة.

تُعرف هذه البديهية تقليديًا باسم K. من الناحية المعرفية، تنص على أنه إذا كان الفاعل يعرف${\displaystyle \varphi }$ويعلم ذلك${\displaystyle \varphi \implies \psi }$إذن، يجب على الوكيل أن يعرف أيضاً${\displaystyle \,\psi }$. لذا،

${\displaystyle (K_{i}\varphi \land K_{i}(\varphi \implies \psi ))\implies K_{i}\psi }$

هذه البديهية صالحة في أي إطار في الدلالات العلائقية . وتثبت هذه البديهية منطقياً قاعدة الاستدلال (modus ponens) لكل عالم ممكن معرفياً.

ومن الخصائص الأخرى التي يمكننا استنتاجها أنه إذا${\displaystyle \phi }$إذا كانت صحيحة (أي أنها تحصيل حاصل )، فإن${\displaystyle K_{i}\phi }$هذا لا يعني أنه إذا${\displaystyle \phi }$إذا كان هذا صحيحًا، فإن العميل الذي أعرفه يعرف${\displaystyle \phi }$ما يعنيه ذلك هو أنه إذا${\displaystyle \phi }$إذا كان هذا صحيحًا في كل عالم يعتبره الفاعل عالمًا ممكنًا، فيجب على الفاعل أن يعلم${\displaystyle \phi }$في كل عالم ممكن. يُطلق على هذا المبدأ تقليديًا اسم قاعدة الضرورة ( N ).

${\displaystyle {\text{if }}\models \varphi {\text{ then }}M\models K_{i}\varphi .\,}$

تحافظ هذه القاعدة دائمًا على الحقيقة في الدلالات العلائقية .

تُعرف هذه البديهية أيضًا باسم T. وتنص على أنه إذا كان لدى الفاعل حقائق، فلا بد أن تكون تلك الحقائق صحيحة. وغالبًا ما تُعتبر هذه البديهية السمة المميزة الرئيسية بين المعرفة والاعتقاد. فبإمكاننا أن نعتقد بصحة عبارة ما حتى وإن كانت خاطئة، ولكن يستحيل علينا معرفة عبارة خاطئة.

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies \varphi }$

ويمكن التعبير عن هذه البديهية أيضاً في نقيضها، حيث لا يمكن للفاعلين معرفة عبارة خاطئة:

${\displaystyle \varphi \implies \neg K_{i}\neg \varphi }$

هذه البديهية صالحة في أي إطار انعكاسي .

تُعرف هذه الخاصية، والحالة التالية التي تنص على أن الفاعل لديه تأمل ذاتي حول معرفته، تقليديًا بالرقمين 4 و 5 على التوالي. وتنص بديهية التأمل الذاتي الإيجابي، والمعروفة أيضًا ببديهية KK، تحديدًا على أن الفاعلين يعرفون أنهم يعرفون ما يعرفونه . قد تبدو هذه البديهية أقل وضوحًا من البديهيات المذكورة سابقًا، وقد عارض تيموثي ويليامسون بشدة إدراجها في كتابه " المعرفة وحدودها" .

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies K_{i}K_{i}\varphi }$

وبصورة مكافئة، تنص هذه البديهية المشروطة الرابعة على أن الفاعلين لا يعرفون ما لا يعرفون أنهم يعرفونه.

${\displaystyle \neg K_{i}K_{i}\varphi \implies \neg K_{i}\varphi }$

هذه البديهية صالحة في أي إطار متعدٍ .

تنص بديهية الاستبطان السلبي على أن الفاعلين يعرفون أنهم لا يعرفون ما لا يعرفونه .

${\displaystyle \neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\neg K_{i}\varphi }$

أو بعبارة أخرى، تنص هذه البديهية المشروطة الخامسة على أن الفاعلين يعرفون ما لا يعرفونه عن جهلهم.

${\displaystyle \neg K_{i}\neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\varphi }$

هذه البديهية صالحة في أي إطار إقليدي .

يمكن اشتقاق منطق موجّه مختلف من خلال اختيار مجموعات فرعية مختلفة من هذه البديهيات، وعادةً ما تُسمى هذه المنطقات نسبةً إلى البديهيات المهمة المستخدمة. مع ذلك، ليس هذا هو الحال دائمًا. يُعرف منطق KT45، وهو المنطق الموجّه الناتج عن دمج K و T و 4 و 5 وقاعدة تعميم المعرفة، بشكل أساسي باسم S5 . لهذا السبب، تُسمى خصائص المعرفة المذكورة أعلاه غالبًا بخصائص S5. مع ذلك، يمكن إثبات أن البديهية الموجّهة B هي نظرية في S5 (أي...).${\displaystyle S5\vdash \mathbf {B} }$)، وهو ما يقول إن ما لا يعرفه الفاعل بأنه لا يعرفه صحيح:${\displaystyle \neg K_{i}\neg K_{i}\varphi \implies \varphi }$إنّ البديهية المشروطة (ب) صحيحة في أي إطار متناظر، لكنها تتعارض مع الحدس في المنطق المعرفي: كيف يمكن للجهل بجهل المرء أن يستلزم الحقيقة؟ لذلك، يبقى من غير المؤكد ما إذا كانت (س4) تصف المنطق المعرفي بشكل أفضل من (س5).

لا يقتصر المنطق المعرفي على المعرفة فحسب، بل يتناول أيضاً الاعتقاد. وعادةً ما يُكتب عامل الوضع الأساسي B بدلاً من K. ولكن في هذه الحالة، لا تبدو بديهية المعرفة صحيحة - فالفاعلون لا يعتقدون الحقيقة إلا في بعض الأحيان - لذلك يتم استبدالها عادةً ببديهية الاتساق ، والتي تُسمى تقليدياً D.

${\displaystyle \neg B_{i}\bot }$

وهذا يعني أن الفاعل لا يعتقد بوجود تناقض، أو بوجود شيء خاطئ. عندما يحل D محل T في S5، يُعرف النظام الناتج باسم KD45. وينتج عن ذلك خصائص مختلفة لـ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$كذلك. على سبيل المثال، في نظامٍ يعتقد فيه أحد العناصر بصحة أمرٍ ما، ولكنه ليس صحيحًا في الواقع، ستكون علاقة الوصول غير انعكاسية. يُطلق على منطق الاعتقاد اسم المنطق الدوكساتيكي .

عندما يكون هناك عدة فاعلين في مجال الخطاب حيث يتوافق كل فاعل i مع عامل معرفي منفصل${\displaystyle K_{i}}$بالإضافة إلى مخططات البديهيات لكل وكيل فردي المذكورة أعلاه لوصف عقلانية كل وكيل، يُفترض عادةً أيضًا أن عقلانية كل وكيل هي معرفة عامة .

اسم المغالطة مشتق من المثال التالي:

• الفرضية الأولى : أنا أعرف من هو بوب.
• الفرضية الثانية : لا أعرف من هو الرجل المقنع
• الخلاصة : لذلك، فإن بوب ليس الرجل المقنع.

قد تكون المقدمات صحيحة والنتيجة خاطئة إذا كان بوب هو الرجل المقنع والمتحدث لا يعلم ذلك. وبالتالي ، فإن الحجة مغلوطة.

في شكل رمزي، تكون الحجج المذكورة أعلاه

• الفرضية الأولى: أنا أعرف من هو X.
• الفرضية الثانية: أنا لا أعرف من هو Y.
• الخلاصة: لذلك، فإن X ليس Y.

لاحظ، مع ذلك، أن هذا القياس المنطقي يحدث في استدلال المتحدث "أنا"؛ لذلك، في شكل المنطق الموجه الرسمي ، سيكون

• الفرضية الأولى: يعتقد المتحدث أنه يعرف من هو X.
• الفرضية الثانية: يعتقد المتحدث أنه لا يعرف من هو Y.
• الخلاصة: لذلك، يعتقد المتحدث أن X ليس Y.

الفرضية الأولى${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}\forall t(t=X\rightarrow K_{s}(t=X))}$وهو خيار قوي للغاية، لأنه يعادل منطقياً ما يلي:${\displaystyle {\mathcal {B_{s}}}\forall t(\neg K_{s}(t=X)\rightarrow t\not =X)}$من المرجح جداً أن يكون هذا اعتقاداً خاطئاً :${\displaystyle \forall t(\neg K_{s}(t=X)\rightarrow t\not =X)}$من المرجح أن يكون هذا الافتراض خاطئًا، نظرًا للجهل بهذا الافتراض.${\displaystyle t=X}$لا يعني ذلك أن نفيها صحيح.

مثال آخر:

• الفرضية الأولى: تعتقد لويس لين أن سوبرمان يستطيع الطيران.
• الفرضية الثانية: تعتقد لويس لين أن كلارك كينت لا يستطيع الطيران.
• الخلاصة: لذلك، فإن سوبرمان وكلارك كينت ليسا نفس الشخص.

وباستخدام المنطق الدوكساتيكي، فإن القياس المنطقي أعلاه هو:

• الفرضية الأولى:${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Lois}}{\text{Fly}}_{\text{(Superman)}}}$
• الفرضية الثانية:${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Lois}}\neg {\text{Fly}}_{\text{(Clark)}}}$
• خاتمة:${\displaystyle {\text{Superman}}\neq {\text{Clark}}}$

الاستدلال المذكور أعلاه غير صحيح (لا يحافظ على الصدق). الاستنتاج الصحيح الذي يجب التوصل إليه هو${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Lois}}({\text{Superman}}\neq {\text{Clark}})}$.