دليل لنظرية التصنيف للأسطح المدمجة

يُعدّ كتاب "دليل نظرية التصنيف للأسطح المدمجة" مرجعًا في علم الطوبولوجيا ، ويتناول تصنيف الأسطح ثنائية الأبعاد. ألّفه جان غالييه وديانا شو ، ونُشر عام 2013 من قِبل دار نشر سبرينغر-فيرلاغ، وهو المجلد التاسع من سلسلة الهندسة والحوسبة ( doi : 10.1007/978-3-642-34364-3 ، ISBN) . 978-3-642-34363-6أوصت لجنة قائمة المكتبات الأساسية التابعة للجمعية الرياضية الأمريكية بإدراجها في مكتبات الرياضيات الجامعية. ^{[ 1 ]}

يمكن تعريف تصنيف الأسطح (أو بشكل أدق، المشعبات ثنائية الأبعاد المدمجة بدون حدود) ببساطة شديدة، إذ يعتمد فقط على خاصية أويلر وقابلية توجيه السطح. يجب أن يكون السطح القابل للتوجيه من هذا النوع مكافئًا طوبولوجيًا ( متماثلًا ) للكرة ، أو الطارة ، أو ما يُعرف بجسم المقبض ، المصنف حسب عدد مقابضه. أما السطح غير القابل للتوجيه، فيجب أن يكون مكافئًا للمستوى الإسقاطي ، أو زجاجة كلاين ، أو ما يُعرف بسطح أكثر عمومية يتميز بعدد مماثل، وهو عدد أغطية التقاطع . بالنسبة للأسطح المدمجة ذات الحدود، فإن المعلومة الإضافية الوحيدة المطلوبة هي عدد مكونات الحدود. ^{[ 1 ]} تُعرض هذه النتيجة بشكل غير رسمي في بداية الكتاب، كأول فصوله الستة. أما بقية الكتاب، فتقدم صياغة أكثر دقة للمسألة، وعرضًا للأدوات الطوبولوجية اللازمة لإثبات النتيجة، وبرهانًا رسميًا للتصنيف. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

تشمل المواضيع الأخرى في علم الطوبولوجيا التي نوقشت ضمن هذا العرض التقديمي: المجمعات التبسيطية ، والمجموعات الأساسية ، والتماثل التبسيطي والتماثل الشاذ ، وتخمين بوانكاريه . تتضمن الملاحق مواد إضافية حول التضمينات والتحويلات ذاتية التقاطع للأسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد، مثل السطح الروماني ، وبنية المجموعات الأبيلية المولدة نهائيًا ، والطوبولوجيا العامة ، وتاريخ نظرية التصنيف ، ونظرية Hauptvermutung (النظرية التي تنص على إمكانية تثليث أي سطح). ^{[ 2 ]}

هذا كتابٌ دراسيٌّ مُوجَّهٌ لطلاب المرحلة الجامعية المتقدمة أو طلاب الدراسات العليا المبتدئين في الرياضيات، ^{[ 2 ]} وربما بعد إتمامهم دورةً تمهيديةً في الطوبولوجيا. يُفترض أن يكون قارئو الكتاب على درايةٍ مسبقةٍ بالطوبولوجيا العامة ، والجبر الخطي ، ونظرية الزمر . ^{[ 1 ]} مع ذلك، وبصفته كتابًا دراسيًا، فهو يفتقر إلى التمارين، ويقترح المُراجع بيل وود استخدامه كمشروعٍ طلابيٍّ بدلًا من استخدامه في دورةٍ دراسيةٍ رسمية. ^{[ 1 ]}

تتضمن العديد من كتب الدراسات العليا الأخرى في الطوبولوجيا الجبرية تغطيةً للموضوع نفسه. ^{[ 4 ]} ومع ذلك، من خلال التركيز على موضوع واحد، وهو نظرية التصنيف، يتمكن الكتاب من إثبات النتيجة بدقة مع الحفاظ على مستوى عام أقل، ^{[ 4 ] [ 5 ]} وتقديم قدر أكبر من الحدس والتاريخ، ^{[ 4 ]} والعمل كـ "جولة تحفيزية في التقنيات الأساسية لهذا التخصص". ^{[ 1 ]}

تشكو المراجعة كلارا لوه من أن بعض أجزاء الكتاب زائدة عن الحاجة، ولا سيما أن نظرية التصنيف يمكن إثباتها إما باستخدام المجموعة الأساسية أو باستخدام علم التماثل (دون الحاجة إلى كليهما)، وأن العديد من الأدوات المهمة في علم الطوبولوجيا، بما في ذلك نظرية جوردان-شونفليس، لم تُثبت، وأن العديد من نتائج التصنيف ذات الصلة قد أُغفلت. ^{[ 3 ]} ومع ذلك، يوصي المراجع دي في فيلدمان بالكتاب بشدة، ^{[ 5 ]} ويكتب وود: "هذا كتاب كنت أتمنى لو كان لديّ في الدراسات العليا"، ^{[ 1 ]} ويصفه المراجع فيرنر كلاينرت بأنه "نص تمهيدي ذو قيمة تعليمية رائعة". ^{[ 2 ]}

• موقع المؤلف الإلكتروني الخاص بكتاب " دليل نظرية التصنيف للأسطح المدمجة"، والذي يتضمن نسخة PDF من الفصل الأول.