زجاجة كلاين

في الرياضيات ، تُعدّ زجاجة كلاين ( تُلفظ / ˈklaɪn / ) مثالًا على سطح ليس له داخل أو خارج واضحين. بعبارة أخرى، هو سطح ذو وجه واحد، إذا سار عليه المرء، يمكن تتبعه إلى نقطة البداية مع قلبه رأسًا على عقب. بتعبير أدق، هو مثال على سطح غير قابل للتوجيه ، وهو سطح ثنائي الأبعاد لا يمكن تحديد اتجاه ثابت عمودي عليه ( متجه عمودي ) يتغير باستمرار على كامل شكله.

ترتبط زجاجة كلاين بأسطح أخرى غير قابلة للتوجيه، مثل شريط موبيوس ، الذي له جانب واحد فقط ولكنه ذو حدود . في المقابل، زجاجة كلاين بلا حدود، مثل الكرة أو الحلقة، مع أنها لا يمكن تضمينها في الفضاء ثلاثي الأبعاد العادي دون أن تتقاطع مع نفسها.

تم وصف زجاجة كلاين لأول مرة في عام 1882 من قبل عالم الرياضيات فيليكس كلاين . ^{[ 1 ]}

بناء

المربع التالي هو أحد المضلعات الأساسية لزجاجة كلاين. الفكرة هي "لصق" الحواف الحمراء والزرقاء المتناظرة معًا مع تطابق الأسهم، كما هو موضح في الرسوم البيانية أدناه. لاحظ أن هذا لصق "مجرد"، بمعنى أن محاولة تحقيقه في ثلاثة أبعاد ينتج عنها زجاجة كلاين متقاطعة ذاتيًا. ^{[ 2 ]}

لصنع زجاجة كلاين، الصق الأسهم الحمراء للمربع معًا (الجانبين الأيمن والأيسر)، ما ينتج عنه أسطوانة. وللصق طرفي الأسطوانة معًا بحيث تتطابق الأسهم الموجودة على الدوائر، مرر أحد الطرفين عبر جانب الأسطوانة. هذا يُنشئ منحنى تقاطع ذاتي؛ وبالتالي، فإن زجاجة كلاين تُغمر في الفضاء ثلاثي الأبعاد .

يُعدّ هذا الغمر مفيدًا لتصوّر العديد من خصائص زجاجة كلاين. فعلى سبيل المثال، لا تحتوي زجاجة كلاين على حدود ، حيث يتوقف السطح فجأة، وهي غير قابلة للتوجيه ، كما يتضح من كون الغمر أحادي الجانب.

يُعدّ النموذج المادي الشائع لزجاجة كلاين ذا بنية مماثلة. ويعرض متحف العلوم في لندن مجموعة من زجاجات كلاين المصنوعة يدويًا من الزجاج المنفوخ، والتي تُظهر العديد من الاختلافات في هذا التصميم الطوبولوجي. وقد صُنعت هذه الزجاجات للمتحف على يد آلان بينيت عام 1995. ^{[ 3 ]}

إن زجاجة كلاين، في الواقع، لا تتقاطع مع نفسها. ومع ذلك، توجد طريقة لتصور زجاجة كلاين على أنها موجودة في أربعة أبعاد. بإضافة بُعد رابع إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن التخلص من التقاطع الذاتي. ادفع برفق جزءًا من الأنبوب الذي يحتوي على التقاطع على طول البُعد الرابع، خارج الفضاء ثلاثي الأبعاد الأصلي. تشبيه مفيد هو اعتبار منحنى متقاطع ذاتيًا على مستوى؛ يمكن التخلص من التقاطعات الذاتية برفع أحد خيوطه عن المستوى. ^{[ 4 ]}

لنفترض، للتوضيح، أننا نعتبر الزمن هو البُعد الرابع. لننظر كيف يمكن بناء الشكل في فضاء xyzt . يوضح الرسم التوضيحي المرفق ("التطور الزمني...") تطورًا مفيدًا للشكل. عند t = 0 ، ينبت الجدار من برعم ما بالقرب من نقطة "التقاطع". بعد أن ينمو الشكل لفترة، يبدأ الجزء الأول من الجدار بالانحسار، مختفيًا كقط شيشاير ، تاركًا وراءه ابتسامته المتوسعة باستمرار. عندما تصل جبهة النمو إلى مكان البرعم، لا يوجد شيء للتقاطع معه، ويكتمل النمو دون اختراق البنية القائمة. لا يمكن للشكل الرباعي، كما هو مُعرَّف، أن يوجد في فضاء ثلاثي الأبعاد، ولكنه يُفهم بسهولة في فضاء رباعي الأبعاد. ^{[ 4 ]}

بصورة أكثر رسمية، فإن زجاجة كلاين هي فضاء القسمة الموصوف بأنه المربع [0,1] × [0,1] مع تحديد الأضلاع من خلال العلاقات (0, y ) ~ (1, y ) لـ 0 ≤ y ≤ 1 و ( x , 0) ~ (1 − x , 1) لـ 0 ≤ x ≤ 1 .

ملكيات

مثل شريط موبيوس ، تُعدّ زجاجة كلاين فضاءً ثنائي الأبعاد غير قابل للتوجيه . وعلى عكس شريط موبيوس، فهي فضاء مغلق ، أي فضاء مضغوط بلا حدود. بينما يمكن تضمين شريط موبيوس في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد R³ ^{، لا يمكن تضمين زجاجة كلاين}^فيه . مع ذلك، يمكن تضمينها في R⁴ . ^[⁴^]

إن مواصلة هذا التسلسل، على سبيل المثال إنشاء متعدد الشعب ثلاثي الأبعاد لا يمكن تضمينه في R ⁴ ولكنه يمكن تضمينه في R ⁵ ، أمر ممكن؛ في هذه الحالة، يؤدي توصيل طرفي كرة دائرية ببعضهما البعض بنفس طريقة توصيل طرفي أسطوانة لزجاجة كلاين، إلى إنشاء شكل يُشار إليه باسم "زجاجة كلاين كروية"، لا يمكن تضمينه بالكامل في R ^4.^{[ 5 ]}

يمكن اعتبار زجاجة كلاين حزمة ليفية فوق الدائرة S1 ^، مع الليف S1 ^، كما يلي: يُؤخذ المربع (بتردد علاقة التكافؤ التي تحدد الحافة) من الأعلى ليكون E ، وهو الفضاء الكلي، بينما يُعطى الفضاء الأساسي B بواسطة الفترة 1 في y ، بتردد 1~0 . ويُعطى الإسقاط π: E → B بالعلاقة π([ x , y ]) = [ y ] .

يمكن بناء زجاجة كلاين (في فضاء رباعي الأبعاد، لأنه في الفضاء ثلاثي الأبعاد لا يمكن القيام بذلك دون السماح للسطح بتقاطع نفسه) عن طريق ضم حواف شريطين من شريط موبيوس، كما هو موضح في قصيدة الليمريك التالية لليو موزر : ^{[ 6 ]}

اعتقد عالم رياضيات يُدعى كلاين أن شريط موبيوس إلهي. قال: "إذا قمت بلصق حواف شريطين، فستحصل على زجاجة غريبة مثل زجاجتي".

يُظهر البناء الأولي لزجاجة كلاين، بتحديد الحواف المتقابلة لمربع، أنه يمكن إعطاء زجاجة كلاين بنية معقدة من نوع CW تحتوي على خلية واحدة من الرتبة 0 ( P) ، وخليتين من الرتبة 1 (_C1و C2 ) _، وخلية واحدة من الرتبة 2 ₍ D) . وبالتالي، فإن خاصية أويلر لها هي 1 - 2 + 1 = 0. يُعطى تشاكل الحدود بالعلاقة ∂D = 2C1 _و∂C1 = _∂C2 = 0 _، مما ينتج عنه مجموعات التماثل لزجاجة كلاين K، وهي : H0 ( K , Z ) = Z ، و H1 ( K , Z ) = Z × ( Z /2Z ) ، و Hn ( K _, Z ) = 0، _حيث n > 1 .

توجد خريطة تغطية بنسبة 2:1 من الطارة إلى زجاجة كلاين، لأن نسختين من المنطقة الأساسية لزجاجة كلاين، إحداهما موضوعة بجوار صورتها المرآوية، تُنتجان منطقة أساسية للطارة. الغطاء الشامل لكل من الطارة وزجاجة كلاين هو المستوى R² ^.

يمكن تحديد المجموعة الأساسية لزجاجة كلاين على أنها مجموعة تحويلات سطح الغطاء الشامل، ولها التمثيل ⟨ a , b | ab = b ^{− 1}a ⟩ . ويترتب على ذلك أنها متماثلة مع $\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z}$ ، وهو الناتج شبه المباشر الوحيد غير التافه للمجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة $\mathbb {Z}$ مع نفسه.

ستة ألوان تكفي لتلوين أي خريطة على سطح زجاجة كلاين؛ وهذا هو الاستثناء الوحيد لتخمين هيوود ، وهو تعميم لنظرية الألوان الأربعة ، والتي تتطلب سبعة ألوان.

زجاجة كلاين متماثلة شكليًا مع المجموع المتصل لمستويين إسقاطيين . ^{[ 7 ]} وهي أيضًا متماثلة شكليًا مع كرة بالإضافة إلى غطاءين متقاطعين .

عند تضمينها في الفضاء الإقليدي، تكون زجاجة كلاين أحادية الجانب. ومع ذلك، توجد فضاءات طوبولوجية ثلاثية الأبعاد أخرى، وفي بعض الأمثلة غير القابلة للتوجيه، يمكن تضمين زجاجة كلاين بحيث تكون ثنائية الجانب، على الرغم من أنها تظل غير قابلة للتوجيه بسبب طبيعة الفضاء. ^{[ 2 ]}

تشريح

يؤدي تقسيم زجاجة كلاين إلى نصفين على طول مستوى التناظر إلى شريطين موبيوس متطابقين، أحدهما بنصف لفة يسارية والآخر بنصف لفة يمينية (أحدهما موضح في الصورة على اليمين). تذكر أن التقاطع الموضح في الصورة غير موجود في الواقع. ^{[ 8 ]}

منحنيات بسيطة مغلقة

يُمكن وصف أنواع المنحنيات المغلقة البسيطة التي قد تظهر على سطح زجاجة كلاين باستخدام المجموعة التماثلية الأولى لزجاجة كلاين، المحسوبة بمعاملات صحيحة. هذه المجموعة متماثلة مع Z × Z² _. باستثناء عكس الاتجاه، فإن فئات التماثل الوحيدة التي تحتوي على منحنيات مغلقة بسيطة هي: (0,0)، (1,0)، (1,1)، (2,0)، (0,1). باستثناء عكس اتجاه المنحنى المغلق البسيط، إذا كان يقع داخل أحد غطاءي زجاجة كلاين المتقاطعين، فإنه ينتمي إلى فئة التماثل (1,0) أو (1,1)؛ وإذا كان يقسم زجاجة كلاين إلى شريطين موبيوس، فإنه ينتمي إلى فئة التماثل (2,0)؛ وإذا كان يقسم زجاجة كلاين إلى حلقة، فإنه ينتمي إلى فئة التماثل (0,1)؛ وإذا كان يُحيط بقرص، فإنه ينتمي إلى فئة التماثل (0,0). ^{[ 4 ]}

تحديد المعلمات

غمر على شكل الرقم 8

لعمل غمر زجاجة كلاين على شكل "رقم 8" أو "حلقة دائرية"، يمكن البدء بشريط موبيوس ولفه حتى تصل حافته إلى خط المنتصف؛ ولأن هناك حافة واحدة فقط، فإنها ستلتقي بنفسها هناك، عابرةً خط المنتصف. ويمكن تمثيلها ببساطة على شكل حلقة دائرية "رقم 8" مع نصف لفة: ^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}x&=\left(r+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\cos \theta \\y&=\left(r+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\sin \theta \\z&=\sin {\frac {\theta }{2}}\sin v+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\end{aligned}}

لـ 0 ≥ θ < 2π، 0 ≥ v < 2π و r > 2.

في هذا النموذج، تُمثل دائرة التقاطع الذاتي (حيث sin( v ) يساوي صفرًا) دائرة هندسية في المستوى xy . الثابت الموجب r هو نصف قطر هذه الدائرة. يُحدد المعامل θ الزاوية في المستوى xy بالإضافة إلى دوران الشكل 8، بينما يُحدد v الموضع حول المقطع العرضي على شكل الرقم 8. باستخدام هذه المعلمات، يكون المقطع العرضي منحنى ليساجو بنسبة 2:1 .

رباعي الأبعاد غير متقاطع

يمكن نمذجة معلمات رباعية الأبعاد غير متقاطعة على غرار معلمات الطارة المسطحة :

{\begin{aligned}x&=R\left(\cos {\frac {\theta }{2}}\cos v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\\y&=R\left(\sin {\frac {\theta }{2}}\cos v+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\\z&=P\cos \theta \left(1+\varepsilon \sin v\right)\\w&=P\sin \theta \left(1+{\varepsilon }\sin v\right)\end{aligned}}

حيث R و P ثابتان يحددان نسبة العرض إلى الارتفاع، و θ و v مماثلان لما تم تعريفه أعلاه. يحدد v الموضع حول الشكل 8 وكذلك الموضع في المستوى xy. يحدد θ زاوية دوران الشكل 8 وكذلك الموضع حول المستوى zw. ε ثابت صغير، و ε sin v نتوء صغير يعتمد على v في فضاء zw لتجنب التقاطع الذاتي. يتسبب نتوء v في انتشار الشكل 8 ثنائي الأبعاد/المستوي المتقاطع ذاتيًا إلى شكل ثلاثي الأبعاد يشبه "رقاقة البطاطس" أو شكل سرج في فضاء xyw و xyz عند النظر إليه من الحافة. عندما ε=0 يكون التقاطع الذاتي دائرة في المستوى zw <0, 0, cos θ , sin θ >. ^{[ 4 ]}

طارة مقروصة ثلاثية الأبعاد / أنبوب موبيوس رباعي الأبعاد

ربما يكون الطارة المضغوطة أبسط تمثيل لزجاجة كلاين في كل من الأبعاد الثلاثة والأربعة. يمكن اعتبارها شكلاً مختلفاً من الطارة التي، في ثلاثة أبعاد، تتسطح وتمر عبر نفسها من جانب واحد. لسوء الحظ، في ثلاثة أبعاد، يحتوي هذا التمثيل على نقطتي ضغط ، مما يجعله غير مرغوب فيه لبعض التطبيقات. في أربعة أبعاد، يدور اتساع المحور z إلى اتساع المحور w ، ولا توجد تقاطعات ذاتية أو نقاط ضغط. ^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \cos \left({\frac {\varphi}}}\right)\\w(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \sin \left({\frac {\varphi}}}\right)\end{محاذاة}}

يمكن النظر إلى هذا الشكل كأنبوب أو أسطوانة تلتف حول نفسها، كما في الطارة، لكن مقطعها العرضي الدائري ينقلب في أربعة أبعاد، كاشفًا عن "جانبها الخلفي" عند إعادة اتصالها، تمامًا كما يدور المقطع العرضي لشريط موبيوس قبل إعادة اتصاله. الإسقاط المتعامد ثلاثي الأبعاد لهذا الشكل هو الطارة المضغوطة الموضحة أعلاه. وكما أن شريط موبيوس هو جزء من الطارة الصلبة، فإن أنبوب موبيوس هو جزء من كرة مغلقة حلقيًا ( كرة صلبة ).

شكل زجاجة

إن عملية تحديد المعلمات التالية للغمر ثلاثي الأبعاد المعتاد للزجاجة نفسها أكثر تعقيدًا بكثير.

{\begin{aligned}x(u,v)=-&{\frac {2}{15}}\cos u\left(3\cos {v}-30\sin {u}+90\cos ^{4}{u}\sin {u}\right.-\\&\left.60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]y(u,v)=-&{\frac {1}{15}}\sin u\left(3\cos {v}-3\cos ^{2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\cos {v}\right.-\\&60\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}-5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-\\&\left.80\cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]z(u,v)=&{\frac {2}{15}}\left(3+5\cos {u}\sin {u}\right)\sin {v}\end{aligned}}

لـ 0 ≤ u < 2π و 0 ≤ v < 2π. ^{[ 4 ]}

فئات التماثل

تندرج عمليات الغمر ثلاثية الأبعاد المنتظمة لزجاجة كلاين ضمن ثلاث فئات تماثل منتظمة . ^{[ 9 ]} ويتم تمثيل هذه الفئات الثلاث بما يلي:

زجاجة كلاين "التقليدية"؛
زجاجة كلاين ذات الشكل 8 المصممة للاستخدام باليد اليسرى؛
زجاجة كلاين ذات الشكل 8 المصممة للاستخدام باليد اليمنى.

إن غمر زجاجة كلاين التقليدية غير كيرالي . أما غمرها على شكل الرقم 8 فهو كيرالي. (إن غمر الطارة المضغوطة المذكور أعلاه غير منتظم، إذ يحتوي على نقاط ضغط، لذا فهو غير ذي صلة بهذا القسم).

إذا قُطِعَت زجاجة كلاين التقليدية في مستوى تناظرها، فإنها تنقسم إلى شريطين من شريطي موبيوس ذوي اتجاهين متعاكسين. أما زجاجة كلاين على شكل الرقم 8، فيمكن قطعها إلى شريطين من شريطي موبيوس ذوي اتجاهين متماثلين ، ولا يمكن تشويهها بشكل منتظم إلى صورتها المرآوية. ^{[ 4 ]}

التعميمات

تم تقديم تعميم زجاجة كلاين إلى أجناس أعلى في المقالة المتعلقة بالمضلع الأساسي . ^{[ 10 ]}

في سياق آخر، عند بناء متعددات الأبعاد ثلاثية الأبعاد ، من المعروف أن زجاجة كلاين الصلبة متماثلة شكليًا مع حاصل الضرب الديكارتي لشريط موبيوس وفترة مغلقة. زجاجة كلاين الصلبة هي النسخة غير القابلة للتوجيه من الطارة الصلبة ، وهي مكافئة لـ $D^{2}\times S^{1}.$

انظر أيضاً

مراجع

الاقتباسات

↑ ستيلويل 1993 ، ص 65، 1.2.3 زجاجة كلاين.
1 2 ويكس، جيفري (2020). شكل الفضاء، الطبعة الثالثة . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1138061217.
↑ "أسطح غريبة: أفكار جديدة" . متحف العلوم بلندن. مؤرشف من الأصل بتاريخ 28-11-2006.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alling & Greenleaf 1969 .
↑ مارك تن بوش - https://marctenbosch.com/news/2021/12/4d-toys-version-1-7-klein-bottles/
↑ ديفيد دارلينج (11 أغسطس 2004). الكتاب الشامل للرياضيات: من أبراكادابرا إلى مفارقات زينون . جون وايلي وأولاده. ص 176. ISBN 978-0-471-27047-8.
↑ شيك، بول (2007). الطوبولوجيا: مجموعات النقاط والهندسة . وايلي-إنترساينس. ص 191-192 . ISBN 9780470096055.
↑ تقطيع زجاجة كلاين إلى نصفين – قناة نمبرفايل على يوتيوب
↑ سيكوين، كارلو هـ (1 يونيو 2013). "حول عدد أنواع زجاجات كلاين". مجلة الرياضيات والفنون . 7 (2): 51-63 . CiteSeerX 10.1.1.637.4811 . doi : 10.1080/17513472.2013.795883 . S2CID 16444067 .
↑ داي، آدم (17 فبراير 2014). "الجاذبية الكمومية على زجاجة كلاين" . CQG+ . مؤرشف من الأصل في 26 أكتوبر 2022. تم الاسترجاع في 26 أكتوبر 2022 .

مصادر

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Klein bottle على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .
وايسشتاين، إريك دبليو. "زجاجة كلاين" . عالم الرياضيات .
ألينغ، نورمان؛ غرينليف، نيوكومب (1969). " أسطح كلاين وحقول الدوال الجبرية الحقيقية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 75 (4): 627-888 . doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12332-3 . MR 0251213. PE euclid.bams/1183530665 . (كتاب كلاسيكي في نظرية أسطح كلاين)
ستيلويل، جون (1993). الطوبولوجيا الكلاسيكية ونظرية الزمر التوافقية ( الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-97970-0.

روابط خارجية

[FOOTNOTEStillwell1993651.2.3_The_Klein_Bottle-1] ستيلويل 1993 ، ص 65، 1.2.3 زجاجة كلاين.

[:0-2] 1 2 ويكس، جيفري (2020). شكل الفضاء، الطبعة الثالثة . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1138061217.

[3] "أسطح غريبة: أفكار جديدة" . متحف العلوم بلندن. مؤرشف من الأصل بتاريخ 28-11-2006.

[FOOTNOTEAllingGreenleaf1969-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alling & Greenleaf 1969 .

[5] مارك تن بوش - https://marctenbosch.com/news/2021/12/4d-toys-version-1-7-klein-bottles/

[Darling2004-6] ديفيد دارلينج (11 أغسطس 2004). الكتاب الشامل للرياضيات: من أبراكادابرا إلى مفارقات زينون . جون وايلي وأولاده. ص 176. ISBN 978-0-471-27047-8.

[7] شيك، بول (2007). الطوبولوجيا: مجموعات النقاط والهندسة . وايلي-إنترساينس. ص 191-192 . ISBN 9780470096055.

[8] تقطيع زجاجة كلاين إلى نصفين – قناة نمبرفايل على يوتيوب

[9] سيكوين، كارلو هـ (1 يونيو 2013). "حول عدد أنواع زجاجات كلاين". مجلة الرياضيات والفنون . 7 (2): 51-63 . CiteSeerX 10.1.1.637.4811 . doi : 10.1080/17513472.2013.795883 . S2CID 16444067 .

[10] داي، آدم (17 فبراير 2014). "الجاذبية الكمومية على زجاجة كلاين" . CQG+ . مؤرشف من الأصل في 26 أكتوبر 2022. تم الاسترجاع في 26 أكتوبر 2022 .

[ 1 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]