تصنيف المشعبات

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديداً الهندسة والطوبولوجيا ، يعد تصنيف المتشعبات سؤالاً أساسياً، ومع ذلك لا تزال هناك العديد من الأسئلة المفتوحة حول المتشعبات .

المواضيع الرئيسية

ملخص

  • يتم تصنيف المشعبات منخفضة الأبعاد حسب البنية الهندسية؛ أما المشعبات عالية الأبعاد فتصنف جبرياً، حسب نظرية الجراحة .
يشير مصطلح "الأبعاد المنخفضة" إلى الأبعاد التي تصل إلى 4؛ بينما يشير مصطلح "الأبعاد العالية" إلى الأبعاد التي تبلغ 5 أو أكثر. وتُعدّ حالة البُعد 4 حالةً استثنائية، إذ تُظهر سلوك "الأبعاد المنخفضة" بسلاسة (ولكن ليس من الناحية الطوبولوجية)؛ انظر مناقشة "الأبعاد المنخفضة" مقابل "الأبعاد العالية" .
  • تؤدي الفئات المختلفة من المتشعبات إلى تصنيفات مختلفة؛ وترتبط هذه التصنيفات بمفهوم "البنية"، كما أن الفئات الأكثر عمومية لها نظريات أكثر دقة.
  • الانحناء الموجب مقيد، أما الانحناء السالب فهو عام.
  • إن التصنيف المجرد للمشعبات عالية الأبعاد غير فعال : بالنظر إلى مشعبين (مقدمين على شكل مجمعات CW ، على سبيل المثال)، لا توجد خوارزمية لتحديد ما إذا كانا متماثلين.

فئات مختلفة وهيكل إضافي

بصورة رسمية، يُعرَّف تصنيف المتشعبات بأنه تصنيف الكائنات حتى التماثل . توجد مفاهيم عديدة ومختلفة لمفهوم "المتشعب"، ومفاهيم مقابلة لمفهوم "الخريطة بين المتشعبات"، ينتج عن كل منها فئة مختلفة وسؤال تصنيفي مختلف.

ترتبط هذه الفئات بواسطة الدوال النسيانية : على سبيل المثال، المشعب التفاضلي هو أيضًا مشعب طوبولوجي، والخريطة التفاضلية متصلة أيضًا، لذا توجد دالةالفرق→قمة{\displaystyle {\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}}.

لا تُعتبر هذه الدوال، بشكل عام، دوالًا أحادية أو شاملة على الكائنات؛ ويُشار إلى هذه العيوب عمومًا بمصطلح "البنية"، كما يلي: مشعب طوبولوجي على صورةالفرق→قمة{\displaystyle {\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}}يقال إنها "تسمح ببنية قابلة للتفاضل"، والألياف فوق مشعب طوبولوجي معين هي "البنى المختلفة القابلة للتفاضل على المشعب الطوبولوجي المعطى".

وبالتالي، عند وجود فئتين، فإن السؤالين الطبيعيين هما:

  • أي من المتشعبات من نوع معين تسمح بوجود بنية إضافية؟
  • إذا كان يسمح بوجود بنية إضافية، فكم عدد البنى التي يسمح بها؟
وبشكل أدق، ما هو هيكل مجموعة الهياكل الإضافية؟

في فئات أكثر عمومية، تحتوي مجموعة البنية هذه على بنية أكثر: في Diff هي ببساطة مجموعة، ولكن في Top هي مجموعة، ووظيفيًا كذلك.

العديد من هذه البنى هي بنى G ، والسؤال هو اختزال مجموعة البنية . المثال الأكثر شيوعًا هو قابلية التوجيه: بعض المشعبات قابلة للتوجيه، وبعضها الآخر ليس كذلك، والمشعبات القابلة للتوجيه تقبل 2 توجيهات.

التعداد مقابل الثوابت

هناك طريقتان شائعتان لإعطاء تصنيف: بشكل صريح، عن طريق التعداد، أو بشكل ضمني، من حيث الثوابت.

فعلى سبيل المثال، بالنسبة للأسطح القابلة للتوجيه، يصنف تصنيف الأسطح هذه الأسطح على أنها مجموع متصل منن≥0{\displaystyle n\geq 0}التوريات، والثابت الذي يصنفها هو الجنس أو خاصية أويلر .

تتمتع المتشعبات بمجموعة غنية من الثوابت، بما في ذلك:

الطوبولوجيا الجبرية الحديثة (ما وراء نظرية التماثل المشترك )، مثل التماثل (المشترك) غير العادي ، نادراً ما تستخدم في تصنيف المشعبات، لأن هذه الثوابت ثابتة تحت التماثل، وبالتالي لا تساعد في التصنيفات الدقيقة فوق نوع التماثل.

يتم حساب مجموعات التماثل (مجموعات التماثل لنقطة)، ولكن يتم حساب مجموعات التماثل للفضاء (مثلميا*(م){\displaystyle MO_{*}(M)}) ليست كذلك عموماً.

مجموعة النقاط

يُعدّ تصنيف المجموعات النقطية أساسيًا، حيث يتم تحديد افتراضات المجموعات النقطية ثم دراسة تلك الفئة من المتشعبات. وتُعتبر المتشعبات المغلقة والمتصلة الفئة الأكثر شيوعًا في التصنيف.

نظرًا لتجانسها (بعيدًا عن أي حدود)، لا تمتلك المتشعبات ثوابت محلية لمجموعات النقاط، باستثناء بُعدها وحدودها مقابل داخلها، وأكثر خصائص مجموعات النقاط العالمية استخدامًا هي التراص والاتصال. ومن الأسماء الشائعة لمجموعات هذه الخصائص:

  • المتشعب المضغوط هو متشعب مضغوط، ربما له حدود، وليس بالضرورة متصلاً (ولكن بالضرورة له عدد محدود من المكونات).
  • المتشعب المغلق هو متشعب مضغوط بدون حدود، وليس بالضرورة متصلاً.
  • المتشعب المفتوح هو متشعب بدون حدود (ليس بالضرورة متصلاً)، بدون مكون مضغوط.

على سبيل المثال،[0،1]{\displaystyle [0,1]}عبارة عن مشعب صغير الحجم،S1{\displaystyle S^{1}}هو مشعب مغلق، و(0،1){\displaystyle (0,1)}هو مشعب مفتوح، بينما[0،1){\displaystyle [0,1)}ليس أيًا من هذه.

قابلية الحوسبة

خاصية أويلر هي ثابت متماثل، وبالتالي يمكن حسابها بشكل فعال بالنظر إلى بنية CW ، لذلك يتم تصنيف المشعبات ثنائية الأبعاد بشكل متماثل.

تُعدّ الفئات المميزة والأعداد المميزة بمثابة الثوابت الهومولوجية المعممة المقابلة، لكنها لا تُصنّف المتشعبات في الأبعاد الأعلى (فهي ليست مجموعة كاملة من الثوابت ): على سبيل المثال، المتشعبات ثلاثية الأبعاد القابلة للتوجيه قابلة للتوازي (نظرية ستينرود في الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد )، لذا فإن جميع الفئات المميزة تتلاشى. في الأبعاد الأعلى، لا تتلاشى الفئات المميزة بشكل عام، وتُقدّم بيانات مفيدة ولكنها غير كاملة.

لا يمكن تصنيف المتشعبات في البعد 4 وما فوق بشكل فعال : بالنظر إلى متشعبين من البعد n (ن≥4{\displaystyle n\geq 4}عند تمثيلها كمجمعات CW أو أجسام مقبضية ، لا توجد خوارزمية لتحديد ما إذا كانت متماثلة (متماثلة شكليًا، متماثلة تباينيًا). ويعود ذلك إلى استحالة حل مسألة الكلمات للمجموعات ، أو بتعبير أدق، مسألة التافهة (هل المجموعة المُعطاة بتمثيل منتهٍ لمجموعة ما هي المجموعة التافهة؟). يمكن تمثيل أي تمثيل منتهٍ لمجموعة ما كمركب ثنائي، ويمكن تمثيله كهيكل ثنائي لمتشعب رباعي الأبعاد (أو أعلى). وبالتالي، لا يمكن حتى حساب المجموعة الأساسية لمتشعب عالي الأبعاد مُعطى، ناهيك عن تصنيفه.

يُعدّ هذا القصور سببًا جوهريًا لعدم قدرة نظرية الجراحة على تصنيف المتشعبات حتى التشاكل الموضعي. فبدلاً من ذلك، تُصنّف ، لأي متشعب ثابت M، أزواجًا من(شمال،و){\displaystyle (N,f)}مع N متعدد الشعب وو:شمال→م{\displaystyle f\colon N\to M}تكافؤ التماثل ، زوجان من هذا القبيل،(شمال،و){\displaystyle (N,f)}و(شمال′،و′){\displaystyle (N',f')}، ويعتبران متكافئين إذا وُجد تماثل شكليح:شمال→شمال′{\displaystyle h\colon N\to N'}والتماثلو′ح∼و:شمال→م{\displaystyle f'h\sim f\colon N\to M}.

الانحناء الموجب مقيد، أما الانحناء السالب فهو عام.

تُظهر العديد من النظريات الكلاسيكية في الهندسة الريمانية أن المتشعبات ذات الانحناء الموجب مقيدة، وأبرزها نظرية الكرة المضغوطة ربعياً . وعلى العكس من ذلك، فإن الانحناء السالب عام: على سبيل المثال، أي متشعب ذي بُعدن≥3{\displaystyle n\geq 3}يقبل مقياسًا ذا انحناء ريتشي سلبي.

تتضح هذه الظاهرة بالفعل بالنسبة للأسطح: فهناك سطح مغلق واحد قابل للتوجيه (وسطح مغلق واحد غير قابل للتوجيه) ذو انحناء موجب (الكرة والمستوى الإسقاطي )، وكذلك بالنسبة للانحناء الصفري ( الحلقة وزجاجة كلاين )، وجميع الأسطح ذات الجنس الأعلى تقبل مقاييس الانحناء السالب فقط.

وبالمثل بالنسبة للمتشعبات ثلاثية الأبعاد: من بين الأشكال الهندسية الثمانية ، جميعها باستثناء الأشكال الزائدية مقيدة تمامًا.

نظرة عامة حسب الأبعاد

  • البُعد 0 تافه والبُعد 1 مباشر.
  • تسمح المتشعبات ذات الأبعاد المنخفضة (الأبعاد 2 و 3) بالهندسة.
  • تُظهر المتشعبات ذات الأبعاد المتوسطة (ذات الأبعاد 4 بشكل تفاضلي) ظواهر غريبة.
  • يتم تصنيف المتشعبات ذات الأبعاد العالية (الأبعاد 5 وما فوق بشكل تفاضلي، والأبعاد 4 وما فوق بشكل طوبولوجي) بواسطة نظرية الجراحة .

لذا، تُعدّ المتشعبات التفاضلية ذات البعد 4 الأكثر تعقيدًا: فهي ليست قابلة للهندسة (كما في الأبعاد الأقل)، ولا تُصنّف بالجراحة (كما في الأبعاد الأعلى أو طوبولوجيًا)، وتُظهر ظواهر غير عادية، أبرزها العدد اللانهائي غير القابل للعد من البنى التفاضلية الغريبة على R⁴ . والجدير بالذكر أن المتشعبات التفاضلية ذات البعد 4 هي الحالة المفتوحة الوحيدة المتبقية من حدسية بوانكاريه المعممة .

يمكن للمرء أن ينظر إلى المتشعبات عالية الأبعاد من منظور منخفض الأبعاد، ويتساءل: "أيّ المتشعبات عالية الأبعاد قابلة للهندسة؟"، وذلك لمفاهيم مختلفة للهندسة (كتقسيمها إلى أجزاء قابلة للهندسة كما في الأبعاد الثلاثة، أو إلى متشعبات تماثلية، وما إلى ذلك). في البعد الرابع وما فوق، لا تكون جميع المتشعبات قابلة للهندسة، لكنها تُشكّل فئةً مثيرةً للاهتمام.

على النقيض من ذلك، يمكن للمرء أن يتخذ منظورًا عالي الأبعاد تجاه المشعبات منخفضة الأبعاد ويسأل "ماذا تتنبأ الجراحة للمشعبات منخفضة الأبعاد؟"، بمعنى "إذا نجحت الجراحة في الأبعاد المنخفضة، فكيف ستبدو المشعبات منخفضة الأبعاد؟" يمكن للمرء بعد ذلك مقارنة النظرية الفعلية للمشعبات منخفضة الأبعاد بنظيرها منخفض الأبعاد للمشعبات عالية الأبعاد، ومعرفة ما إذا كانت المشعبات منخفضة الأبعاد تتصرف "كما هو متوقع": بأي طرق تتصرف مثل المشعبات عالية الأبعاد (ولكن لأسباب مختلفة، أو عبر براهين مختلفة) وبأي طرق تكون غير عادية؟

الأبعاد 0 و 1

يوجد فضاء متصل فريد ذو بُعد صفري، وهو النقطة، أما الفضاءات المنفصلة ذات البُعد الصفري فهي مجرد مجموعات منفصلة، ​​مصنفة حسب عدد عناصرها. ليس لها هندسة، ودراستها تندرج ضمن علم التوافق.

يكون الفضاء المتصل أحادي البعد والمتراص، والذي لا حدود له، متماثلاً شكلياً (أو متماثلاً تباينياً إذا كان أملساً) مع الدائرة. ويكون الفضاء الثاني القابل للعد وغير المتراص أحادي البعد متماثلاً شكلياً أو متماثلاً تباينياً مع خط الأعداد الحقيقية. وبإسقاط فرضية قابلية العد الثانية، نحصل على فضاءين إضافيين: خط الأعداد الحقيقية ، وفضاء يتكون من شعاع من خط الأعداد الحقيقية وشعاع من خط الأعداد الحقيقية يلتقيان في نقطة واحدة. [ 1 ]

تُعد دراسة خرائط المشعبات أحادية البعد مجالًا غير بديهي. على سبيل المثال:

  • من الصعب فهم مجموعات التشاكلات التفاضلية للمتشعبات أحادية البعد بشكل دقيق [ 2 ].
  • تتم دراسة الخرائط من الدائرة إلى الكرة ثلاثية الأبعاد (أو بشكل عام أي متعدد الأبعاد ثلاثي الأبعاد) كجزء من نظرية العقد .

الأبعاد 2 و3: قابلة للهندسة

كل سطح ثنائي الأبعاد مغلق ومتصل يقبل مقياس انحناء ثابت، وفقًا لنظرية التوحيد . [ 3 ] توجد ثلاثة أنواع من هذه الانحناءات (موجب، صفر، وسالب). هذه نتيجة كلاسيكية، وكما ذُكر، سهلة (نظرية التوحيد الكاملة أكثر تعقيدًا). ​​يرتبط علم الأسطح ارتباطًا وثيقًا بالتحليل المركب والهندسة الجبرية ، حيث يمكن اعتبار كل سطح قابل للتوجيه سطح ريمان أو منحنى جبري مركب . في حين أن تصنيف الأسطح كلاسيكي، فإن خرائط الأسطح مجال بحثي نشط؛ انظر أدناه.

يمكن تقسيم أي فضاء ثلاثي الأبعاد مغلق إلى أجزاء قابلة للهندسة، وفقًا لفرضية الهندسة ، وهناك ثماني هندسات من هذا النوع. هذه نتيجة حديثة، ومعقدة للغاية. البرهان ( حل فرضية بوانكاريه ) تحليلي، وليس طوبولوجيًا.

البعد الرابع: غريب

تُعد المتشعبات رباعية الأبعاد هي الأكثر غرابة: فهي ليست قابلة للهندسة (كما هو الحال في الأبعاد المنخفضة)، وتعمل الجراحة من الناحية الطوبولوجية، ولكن ليس من الناحية التفاضلية.

بما أن الفضاءات الرباعية من الناحية الطوبولوجية يتم تصنيفها عن طريق الجراحة، فإن سؤال التصنيف التفاضلي يتم صياغته من حيث "الهياكل التفاضلية": "أي الفضاءات الرباعية (الطوبولوجية) تقبل بنية تفاضلية، وعلى تلك التي تقبلها، كم عدد الهياكل التفاضلية الموجودة؟"

غالباً ما تسمح الفضاءات الرباعية بالعديد من البنى التفاضلية غير العادية، وأبرزها العدد اللانهائي غير القابل للعد من البنى التفاضلية الغريبة على R 4. وبالمثل، فإن الفضاءات الرباعية التفاضلية هي الحالة المفتوحة الوحيدة المتبقية لتخمين بوانكاريه المعمم .

البُعد الخامس وما بعده: الجراحة

في البعد 5 وما فوق (و4 أبعاد من الناحية الطوبولوجية)، يتم تصنيف المتشعبات بواسطة نظرية الجراحة .

تتطلب خدعة ويتني 2 +1 أبعاد (2 مكان، 1 وقت)، وبالتالي فإن قرصي ويتني لنظرية الجراحة يتطلبان 2+2+1=5 أبعاد.

يكمن سبب استخدام البعد الخامس في أن خدعة ويتني تعمل في البعد الأوسط، وفي البعد الخامس وما فوق: لا يتقاطع قرصا ويتني عمومًا في البعد الخامس وما فوق، بحسب الوضع العام (2+2<5{\displaystyle 2+2<5}في البعد 4، يمكن للمرء حل تقاطعات قرصي ويتني عبر مقابض كاسون ، وهو ما يعمل طوبولوجيًا ولكن ليس تفاضليًا؛ انظر الطوبولوجيا الهندسية: البعد للحصول على تفاصيل حول البعد.

وبشكل أدق، يُعدّ البُعد الخامس هو الحد الفاصل لأن البُعد الأوسط له بُعد مشترك أكبر من 2: فعندما يكون البُعد المشترك 2، نواجه نظرية العقد ، ولكن عندما يكون البُعد المشترك أكبر من 2، تصبح نظرية التضمين قابلة للتطبيق، عبر حساب الدوال . سيتم مناقشة هذا بمزيد من التفصيل لاحقًا.

الخرائط بين المتشعبات

من منظور نظرية الفئات ، يُعدّ تصنيف المتشعبات جزءًا من فهم الفئة، فهو بمثابة تصنيف الكائنات . أما المسألة الأخرى فتتعلق بتصنيف تطبيقات المتشعبات وفقًا لتكافؤات مختلفة، وهناك العديد من النتائج والأسئلة المفتوحة في هذا المجال.

بالنسبة للخرائط، فإن المفهوم المناسب لـ "البعد المنخفض" هو لبعض الأغراض "الخرائط الذاتية للمشعبات ذات الأبعاد المنخفضة"، ولأغراض أخرى " البعد المشترك المنخفض ".

الخرائط الذاتية منخفضة الأبعاد

أبعاد منخفضة

على غرار تصنيف المتشعبات، في البعد المشترك العالي (أي أكثر من 2)، يتم تصنيف التضمينات عن طريق الجراحة، بينما في البعد المشترك المنخفض أو في البعد النسبي ، تكون صلبة وهندسية، وفي المنتصف (البعد المشترك 2)، توجد نظرية غريبة صعبة ( نظرية العقدة ).

  • في الأبعاد المشتركة الأكبر من 2، يتم تصنيف التضمينات وفقًا لنظرية الجراحة.
  • في البعد المشترك 2، وخاصة تضمينات المشعبات أحادية البعد في المشعبات ثلاثية الأبعاد، توجد نظرية العقد .
  • في البعد المشترك 1، يفصل التضمين ذو البعد المشترك 1 متعدد الشعب، وهذه قابلة للمعالجة.
  • في البعد المشترك 0، يعتبر الغمر ذو البعد المشترك 0 (المناسب) مساحة تغطية ، والتي يتم تصنيفها جبريًا، ومن الطبيعي أكثر اعتبارها عمليات غمر.
  • في البعد النسبي، يكون الغمر ذو المجال المضغوط عبارة عن حزمة ألياف (تمامًا كما هو الحال في البعد المشترك 0 = البعد النسبي 0)، والتي يتم تصنيفها جبريًا.

أبعاد عالية

تشمل فئات الخرائط ذات الأهمية الطوبولوجية بشكل خاص عمليات التضمين والغمر والغمر الفرعي.

تُعدّ التماثلات والغمر المتساوي القياس ذات أهمية هندسية.

تشمل النتائج الأساسية في عمليات التضمين والغمر ما يلي:

الأدوات الرئيسية في دراسة هذه الخرائط هي:

يمكن تصنيف الخرائط إلى مستويات مكافئة مختلفة:

تم تصنيف التحولات التفاضلية حتى التماثل المشترك بواسطة ماتياس كريك [ 4 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فروليك، زدينيك (1962). "حول تصنيف المشعبات أحادية البعد" . مجلة جامعة كارولينا للرياضيات والفيزياء . 3 (1): 1-4 . hdl : 10338.dmlcz/142137 .
  2. ↑ نافاس، أندريس (2018). "تأثيرات المجموعات على متعددات الأبعاد 1: قائمة بأسئلة مفتوحة محددة للغاية". وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات 2018، ICM 2018، ريو دي جانيرو، البرازيل، 1-9 أغسطس 2018. المجلد الثالث. محاضرات مدعوة . وورلد ساينتيفيك؛ ريو دي جانيرو: الجمعية البرازيلية للرياضيات (SBM). الصفحات 2035-2062 . 
  3. ↑ أباناسوف، ب.  المجموعات المنفصلة في الفضاء ومسائل التوحيد . هولندا، سبرينغر هولندا، 1991. 333.
  4. ↑ م. كريك، حدودية التشاكلات التفاضلية ، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات، المجلد 82، العدد 5 (1976)، 759-761؛ م. كريك، حدودية التشاكلات التفاضلية والمواضيع ذات الصلة، محاضرات سبرينغر 1069 (1984)

للمزيد من القراءة

  • كريك، ماتياس (2000). "دليل لتصنيف المتشعبات". حزمة الكتب الإلكترونية لجامعة برينستون 2014. دراسات في نظرية الجراحة (AM-145). المجلد  1. مطبعة جامعة برينستون. الصفحات 121-134 . doi : 10.1515/9781400865192-009 . ISBN  978-1-4008-6519-2.