مجموعة أبيلية مولدة نهائياً

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر المجرد ، الزمرة الأبيلية(جي،+){\displaystyle (G,+)}يُطلق على المجموعة اسم المجموعة المولدة نهائياً إذا كان عدد عناصرها محدوداً.x1،...،xs{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}فيجي{\displaystyle G}بحيث يكون كلx{\displaystyle x}فيجي{\displaystyle G}يمكن كتابتها بالشكل التاليx=ن1x1+ن2x2+⋯+نsxs{\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots +n_{s}x_{s}}بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحةن1،...،نs{\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}في هذه الحالة، نقول إن المجموعة{x1،...،xs}{\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}}هي مجموعة مولدة لـجي{\displaystyle G}أو ذلكx1،...،xs{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}يولدجي{\displaystyle G}لذا، يمكن اعتبار المجموعات الأبيلية المولدة بشكل نهائي بمثابة تعميم للمجموعات الدورية.

كل زمرة أبيلية منتهية مولدة منتهية. ويمكن تصنيف الزمر الأبيلية المولدة منتهية تصنيفاً كاملاً.

أمثلة

  • الأعداد الصحيحة ،(Z،+){\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}، هي مجموعة أبيلية مولدة بشكل نهائي.
  • الأعداد الصحيحة moduloن{\displaystyle n}،(Z/نZ،+){\displaystyle \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+\right)}، هي مجموعة أبيلية منتهية (وبالتالي مولدة بشكل منتهٍ).
  • أي مجموع مباشر لعدد محدود من المجموعات الأبيلية المولدة بشكل محدود هو مرة أخرى مجموعة أبيلية مولدة بشكل محدود.
  • تشكل كل شبكة مجموعة أبيلية حرة مولدة بشكل نهائي .

لا توجد أمثلة أخرى (حتى التشاكل). على وجه الخصوص، المجموعة(سؤال،+){\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+\right)}مجموعة الأعداد النسبية غير مولدة توليداً منتهياً: [ 1 ] إذاx1،...،xن{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}إذا كانت أعدادًا نسبية، فاختر عددًا طبيعيًاك{\displaystyle k}أولي فيما بينه وبين جميع المقامات؛ إذن1/ك{\displaystyle 1/k}لا يمكن توليدها بواسطةx1،...،xن{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}المجموعة(سؤال*،⋅){\displaystyle \left(\mathbb {Q} ^{*},\cdot \right)}كما أن مجموعة الأعداد النسبية غير الصفرية ليست مولدة بشكل نهائي. مجموعات الأعداد الحقيقية تحت عملية الجمع(R،+){\displaystyle \left(\mathbb {R} ,+\right)}والأعداد الحقيقية غير الصفرية تحت عملية الضرب(R*،⋅){\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{*},\cdot \right)}كما أنها ليست مولدة بشكل نهائي. [ 1 ] [ 2 ]

تصنيف

يمكن صياغة النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المولدة نهائيًا بطريقتين، مما يعمم الشكلين الأساسيين للنظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المنتهية . وتعمم النظرية، في كلا الشكلين، بدورها إلى نظرية البنية للوحدات المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي ، والتي بدورها تقبل تعميمات أخرى.

التحلل الأولي

تنص صيغة التفكيك الأولي على أن كل زمرة أبيلية مولدة نهائيًا G متماثلة مع مجموع مباشر لزمر دورية أولية وزمر دورية لانهائية . الزمرة الدورية الأولية هي زمرة رتبتها قوة لعدد أولي . أي أن كل زمرة أبيلية مولدة نهائيًا متماثلة مع زمرة من الشكل

Zن⊕Z/q1Z⊕⋯⊕Z/qتZ،{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /q_{t}\mathbb {Z} ,}

حيث n ≥ 0 هي الرتبة ، والأعداد q₁ ، ...، qᵗ هي قوى لأعداد أولية (ليست بالضرورة مختلفة). على وجه الخصوص، تكون G منتهية إذا وفقط إذا كان n = 0. تُحدد قيم n ، q₁ ، ...، qᵗ ( باستثناء إعادة ترتيب المؤشرات) بشكل فريد بواسطة G ، أي أن هناك طريقة واحدة فقط لتمثيل G على هذا النحو.

يعتمد برهان هذه العبارة على نظرية الأساس للمجموعات الأبيلية المنتهية : كل مجموعة أبيلية منتهية هي مجموع مباشر لمجموعات دورية أولية . لنرمز إلى مجموعة الالتواء الجزئية للمجموعة G بالرمز tG . إذن، G/tG هي مجموعة أبيلية خالية من الالتواء ، وبالتالي فهي أبيلية حرة. tG هي مجموع مباشر للمجموعة G ، مما يعني وجود مجموعة جزئية F من G.جي=تجي⊕F{\displaystyle G=tG\oplus F}، أينF≅جي/تجي{\displaystyle F\cong G/tG}إذن، F هي أيضًا مجموعة تبديلية حرة. بما أن tG مولدة توليدًا منتهيًا، ولكل عنصر من عناصرها رتبة منتهية، فإن tG مجموعة منتهية. وبحسب نظرية الأساس للمجموعة التبديلية المنتهية، يمكن كتابة tG كمجموع مباشر لمجموعات دورية أولية.

تحليل العوامل الثابتة

يمكننا أيضًا كتابة أي زمرة أبيلية مولدة نهائيًا G كمجموع مباشر على الشكل التالي

Zن⊕Z/ك1Z⊕⋯⊕Z/كuZ،{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /{k_{1}}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /{k_{u}}\mathbb {Z} ,}

حيث يقسم k1 العدد k2 ، الذي يقسم بدوره العدد k3 ، وهكذا حتى ku . مرة أخرى، يتم تحديد الرتبة n والعوامل الثابتة k1 ، ...، ku بشكل فريد بواسطة G (هنا بترتيب فريد). تحدد الرتبة وتسلسل العوامل الثابتة المجموعة حتى التشاكل.

التكافؤ

تُعتبر هذه العبارات متكافئة نتيجة لنظرية الباقي الصينية ، مما يعني أنZجك≅Zج⊕Zك{\displaystyle \mathbb {Z} _{jk}\cong \mathbb {Z} _{j}\oplus \mathbb {Z} _{k}}إذا وفقط إذا كان j و k عددين أوليين فيما بينهما .

تاريخ

إن تاريخ النظرية الأساسية ونسبتها إلى مؤلفيها أمر معقد، إذ تم إثباتها في وقت لم تكن فيه نظرية الزمر راسخة، ولذا فإن الصيغ المبكرة، مع أنها تمثل جوهر النتيجة والبرهان الحديثين، غالبًا ما تُصاغ لحالة محددة. باختصار، أثبت غاوس صيغة مبكرة للحالة المنتهية عام 1801، وأثبت كرونكر الحالة المنتهية عام 1870، وصاغها فروبينيوس وستيكلبرغر بمصطلحات نظرية الزمر عام 1878. تُحل الحالة المعروضة نهائيًا باستخدام الصيغة المعيارية لسميث ، ولذا تُنسب غالبًا إلى سميث ( 1861 ) ، [ 3 ] مع أن الحالة المولدة نهائيًا تُنسب أحيانًا إلى بوانكاريه عام 1900؛ التفاصيل لاحقًا.

يقول منظّر المجموعة لازلو فوكس : [ 3 ]

فيما يتعلق بالنظرية الأساسية حول الزمر الأبيلية المنتهية، فليس من الواضح إلى أي مدى زمني يجب الرجوع لتتبع أصلها. ... لقد استغرق الأمر وقتًا طويلاً لصياغة النظرية الأساسية وإثباتها في شكلها الحالي ...

أثبت ليوبولد كرونكر النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المنتهية عام 1870، مستخدمًا برهانًا قائمًا على نظرية المجموعات، [ 4 ] وإن لم يصغها بمصطلحات نظرية المجموعات؛ [ 5 ] ويُقدَّم عرض حديث لبرهان كرونكر في ( ستيلويل 2012 ) ، القسم 5.2.2، نظرية كرونكر، الصفحات 176-177 . وقد عمّم هذا البرهان نتيجة سابقة لكارل فريدريش غاوس من كتابه "Disquisitiones Arithmeticae" (1801)، والتي صنّفت الأشكال التربيعية؛ وقد استشهد كرونكر بهذه النتيجة لغاوس. تم صياغة النظرية وإثباتها بلغة المجموعات بواسطة فرديناند جورج فروبينيوس ولودفيج ستيكلبرجر في عام 1878. [ 6 ] [ 7 ] وقدم طالب كرونكر، يوجين نيتو، صياغة أخرى لنظرية المجموعات في عام 1882. [ 8 ] [ 9 ]

تم إثبات النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية ذات العرض المحدود بواسطة هنري جون ستيفن سميث في ( سميث 1861 ) ، [ 3 ] حيث أن المصفوفات الصحيحة تتوافق مع العروض المحدودة للمجموعات الأبيلية (هذا يعمم على الوحدات النمطية ذات العرض المحدود على مجال مثالي رئيسي)، ويتوافق الشكل الطبيعي لسميث مع تصنيف المجموعات الأبيلية ذات العرض المحدود.

برهن هنري بوانكاريه في عام 1900 على النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المولدة نهائيًا ، باستخدام برهان المصفوفات (الذي يُعمم على مجالات المثاليات الرئيسية). وقد تم ذلك في سياق حساب تماثلية مُركب، وتحديدًا عدد بيتي ومعاملات الالتواء لبُعد من أبعاد المُركب، حيث يُقابل عدد بيتي رتبة الجزء الحر، وتُقابل معاملات الالتواء رتبة الجزء الملتوي. [ 4 ]

تم تعميم برهان كرونكر على المجموعات الأبيلية المولدة بشكل نهائي بواسطة إيمي نوثر في عام 1926. [ 4 ]

النتائج المترتبة

بصيغة أخرى، تنص النظرية الأساسية على أن الزمرة الأبيلية المولدة نهائيًا هي المجموع المباشر لزمرة أبيلية حرة ذات رتبة نهائية وزمرة أبيلية نهائية، وكل منهما فريدة حتى التشاكل. الزمرة الأبيلية النهائية هي ببساطة الزمرة الجزئية الالتوائية من G. تُعرَّف رتبة G بأنها رتبة الجزء الخالي من الالتواء في G ؛ وهي ببساطة العدد n في الصيغ المذكورة أعلاه.

من نتائج النظرية الأساسية أن كل زمرة أبيلية خالية من الالتواء ومولدة توليداً منتهياً هي زمرة أبيلية حرة. ويُعد شرط التوليد المنتهي أساسياً هنا.سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }هي خالية من الالتواء ولكنها ليست أبيلية حرة.

كل زمرة جزئية وزمرة عوامل لزمرة أبيلية مولدة نهائياً هي أيضاً زمرة أبيلية مولدة نهائياً. تشكل الزمر الأبيلية المولدة نهائياً، بالإضافة إلى تشاكلات الزمر ، فئة أبيلية تُعد فئة فرعية من فئة سير لفئة الزمر الأبيلية .

المجموعات الأبيلية غير المولدة نهائياً

لاحظ أنه ليس كل زمرة أبيلية ذات رتبة منتهية مولدة توليداً منتهياً؛ الزمرة ذات الرتبة 1سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يُعد مثالًا مضادًا، ومجموعة الرتبة 0 المعطاة بواسطة مجموع مباشر لعدد لا نهائي قابل للعد من النسخ منZ2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}وهناك مثال آخر.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 سيلفرمان وتيت (1992)، ص 102
  2. ↑ دي لا هارب (2000)، ص 46
  3. 1 2 3 فوكس، لازلو (2015) [نُشر أصلاً عام 1958]. الزمر الأبيلية . سبرينغر. ص 85. ISBN  978-3-319-19422-6.
  4. 1 2 3 ستيلويل، جون (2012). "5.2 نظرية البنية للمجموعات الأبيلية المولدة نهائياً". الطوبولوجيا الكلاسيكية ونظرية المجموعات التوافقية . ص 175 . 
  5. ^ ووسينج، هانز (2007) [1969]. Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie [ نشأة مفهوم المجموعة المجردة: مساهمة في تاريخ أصل نظرية المجموعة المجردة. ] . ص. 67 . 
  6. ^ G. Frobenius، L. Stickelberger، Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen، J. reine u. angew. الرياضيات، 86 (1878)، 217-262.
  7. ↑ ووسينغ (2007)، ص 234-235
  8. ^ Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra ، يوجين نيتو، 1882
  9. ↑ ووسينغ (2007)، ص 234-235

مراجع