الكتلة الهوائية (علم الفلك)

إذا تم تجاهل الانكسار الجوي ، فيمكن إثبات ذلك من خلال اعتبارات هندسية بسيطة ( شونبيرغ 1929 ، 173) أن المسار${\displaystyle s}$شعاع ضوئي عند زاوية سمت الرأس ${\displaystyle z}$من خلال جو متناظر شعاعيًا على ارتفاع${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$يُعطى فوق الأرض بواسطة $$//$$ أو بدلاً من ذلك، $${\displaystyle s={\sqrt {\left(R_{\mathrm {E} }+y_{\mathrm {atm} }\right)^{2}-R_{\mathrm {E} }^{2}\sin ^{2}z}}-R_{\mathrm {E} }\cos \,z\,}$$ أين${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$هو نصف قطر الأرض.

إذن، تكون الكتلة الهوائية النسبية كما يلي: $$$$ }}}+\left({\frac {y_{\mathrm {atm} }}{R_{\mathrm {E} }}}\right)^{2}}}-{\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}\cos \,z\,.}$$

إذا كان الغلاف الجوي متجانسًا (أي أن الكثافة ثابتة)، فإن ارتفاع الغلاف الجوي${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$ويترتب على ذلك اعتبارات هيدروستاتيكية كما يلي:$${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }={\frac {kT_{0}}{mg}}\,,}$$ أين${\displaystyle k}$هو ثابت بولتزمان ،${\displaystyle T_{0}}$هي درجة حرارة مستوى سطح البحر،${\displaystyle m}$هي الكتلة الجزيئية للهواء، و${\displaystyle g}$يمثل تسارع الجاذبية الأرضية. ورغم أن هذا التسارع هو نفسه ارتفاع مقياس الضغط في الغلاف الجوي متساوي الحرارة ، إلا أن دلالته تختلف قليلاً. ففي الغلاف الجوي متساوي الحرارة، يقع 37% (1/ e ) من الغلاف الجوي فوق ارتفاع مقياس الضغط؛ أما في الغلاف الجوي المتجانس، فلا يوجد غلاف جوي فوق هذا الارتفاع.

أخذ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {288.15~K} }$،${\displaystyle m=\mathrm {28.9644\times 1.6605\times 10^{-27}~kg} }$، و${\displaystyle g=\mathrm {9.80665~m/s^{2}} }$أعطِ${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }\approx \mathrm {8435~m} }$باستخدام متوسط ​​نصف قطر الأرض البالغ 6371  كم، تكون كتلة الهواء عند مستوى سطح البحر عند الأفق هي $${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }={\sqrt {1+2{\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}}}\حوالي 38.87\,.}$$

يُقلل النموذج الكروي المتجانس قليلاً من معدل زيادة كتلة الهواء قرب الأفق؛ ويمكن الحصول على تطابق معقول مع القيم المُحددة من نماذج أكثر دقة عن طريق ضبط كتلة الهواء لتتوافق مع قيمة عند زاوية سمت أقل من 90 درجة. ويمكن إعادة ترتيب معادلة كتلة الهواء للحصول على $${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}={\frac {X^{2}-1}{2\left(1-X\cos z\right)}}\,;}$$ مطابقة لقيمة بيمبوراد البالغة 19.787 عند${\displaystyle z}$ =  88° يعطي${\displaystyle R_{\mathrm {E} }/y_{\mathrm {atm} }}$ ≈  631.01 و ${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }}$ ≈  35.54. مع نفس القيمة لـ${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$كما سبق،${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$ ≈  10,096  م.

على الرغم من أن نموذج الغلاف الجوي المتجانس ليس نموذجًا واقعيًا من الناحية الفيزيائية، إلا أن التقريب معقول طالما أن ارتفاع مقياس الغلاف الجوي صغير مقارنةً بنصف قطر الكوكب. النموذج قابل للاستخدام (أي أنه لا يتباعد أو يؤول إلى الصفر) عند جميع زوايا السمت، بما في ذلك الزوايا الأكبر من 90 درجة (انظر §  الغلاف الجوي الكروي المتجانس مع مراقب مرتفع ). يتطلب النموذج موارد حاسوبية قليلة نسبيًا، وإذا لم تكن الدقة العالية مطلوبة، فإنه يعطي نتائج معقولة. ^{[ 5 ]} مع ذلك، بالنسبة لزوايا السمت الأقل من 90 درجة، يمكن الحصول على تطابق أفضل مع القيم المقبولة لكتلة الهواء باستخدام العديد من الصيغ الاستيفائية.

في الغلاف الجوي الحقيقي، لا تكون الكثافة ثابتة (فهي تتناقص مع الارتفاع فوق مستوى سطح البحر ). تصبح كتلة الهواء المطلقة لمسار الضوء الهندسي المذكور أعلاه، بالنسبة لمراقب على مستوى سطح البحر، $${\displaystyle \sigma =\int _{0}^{y_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\left(R_{\mathrm {E} }+y\right)\mathrm {d} y}{\sqrt {R_{\mathrm {E} }^{2}\cos ^{2}z+2R_{\mathrm {E} }y+y^{2}}}}\,.}$$

تُستخدم عدة نماذج أساسية لتغير الكثافة مع الارتفاع بشكل شائع. أبسطها، وهو نموذج الغلاف الجوي متساوي الحرارة ، يُعطي $${\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{-y/H}\,,}$$ أين${\displaystyle \rho _{0}}$هي كثافة مستوى سطح البحر و${\displaystyle H}$يمثل ارتفاع مقياس الكثافة . عندما تكون حدود التكامل صفرًا ولا نهائيًا، تُعرف النتيجة بدالة تشابمان . ويمكن الحصول على نتيجة تقريبية إذا تم حذف بعض الحدود ذات الرتبة العليا، مما ينتج عنه ( يونغ 1974 ، ص 147) .  $${\displaystyle X\approx {\sqrt {\frac {\pi R}{2H}}}\exp {\left({\frac {R\cos ^{2}z}{2H}}\right)}\,\mathrm {erfc} \left({\sqrt {\frac {R\cos ^{2}z}{2H}}}\right)\,.}$$

يمكن إجراء تصحيح تقريبي للانكسار عن طريق أخذ ( يونغ 1974 ، ص 147). $${\displaystyle R=7/6\,R_{\mathrm {E} }\,,}$$ أين${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$يمثل نصف قطر الأرض الفيزيائي. عند الأفق، تصبح المعادلة التقريبية $${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }\approx {\sqrt {\frac {\pi R}{2H}}}\,.}$$

باستخدام ارتفاع مقياس يبلغ 8435  مترًا، ومتوسط ​​نصف قطر الأرض البالغ 6371  كيلومترًا، مع تضمين تصحيح الانكسار، $${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }\approx 37.20\,.}$$

إن افتراض ثبات درجة الحرارة هو تبسيط مفرط؛ أما النموذج الأكثر واقعية فهو الغلاف الجوي متعدد الخواص ، والذي $${\displaystyle T=T_{0}-\alpha y\,,}$$ أين${\displaystyle T_{0}}$هي درجة حرارة مستوى سطح البحر و${\displaystyle \alpha }$معدل انخفاض درجة الحرارة . الكثافة كدالة للارتفاع هي $${\displaystyle \rho =\rho _{0}\left(1-{\frac {\alpha }{T}}_{0}y\right)^{1/(\kappa -1)}\,,}$$ أين${\displaystyle \kappa }$يمثل الأسّ البولتروبي (أو مؤشر البولتروبي). لا يمكن إيجاد حل مغلق لتكامل كتلة الهواء في النموذج البولتروبي إلا عند سمت الرأس، لذا عادةً ما يتم إجراء التكامل عدديًا.

يتكون الغلاف الجوي للأرض من طبقات متعددة ذات خصائص حرارية وكثافية مختلفة؛ ومن النماذج الجوية الشائعة نموذج الغلاف الجوي القياسي الدولي ونموذج الغلاف الجوي القياسي الأمريكي . يُعدّ نموذج التروبوسفير متعدد الطبقات بارتفاع 11  كم ومعدل انخفاض حراري قدره 6.5 كلفن  /كم تقريبًا جيدًا للعديد من الأغراض ( غارفينكل 1967 ) ، وهو ما يتوافق بشكل كبير مع الطبقتين الأوليين من نموذج الغلاف الجوي القياسي الدولي. ويمكن استخدام طبقات إضافية إذا لزم الأمر دقة أكبر. ^{[ 6 ]}

عند أخذ الانكسار الجوي في الاعتبار، يصبح تتبع الأشعة ضروريًا ( كيفالوف 2007 ) ، ويصبح التكامل المطلق لكتلة الهواء ^{[ 7 ].}$${\displaystyle \sigma =\int _{r_{\mathrm {obs} }}^{r_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{\mathrm {obs} }}{n}}{\frac {r_{\mathrm {obs} }}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}z}}}\,}$$ أين${\displaystyle n_{\mathrm {obs} }}$هو معامل انكسار الهواء عند ارتفاع الراصد${\displaystyle y_{\mathrm {obs} }}$فوق مستوى سطح البحر،${\displaystyle n}$هو معامل الانكسار عند الارتفاع${\displaystyle y}$فوق مستوى سطح البحر،${\displaystyle r_{\mathrm {obs} }=R_{\mathrm {E} }+y_{\mathrm {obs} }}$، ${\displaystyle r=R_{\mathrm {E} }+y}$هي المسافة من مركز الأرض إلى نقطة على ارتفاع معين.${\displaystyle y}$، و${\displaystyle r_{\mathrm {atm} }=R_{\mathrm {E} }+y_{\mathrm {atm} }}$هي المسافة إلى الحد الأعلى للغلاف الجوي عند ارتفاع معين.${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$يُعطى معامل الانكسار بدلالة الكثافة عادةً بدقة كافية ( غارفينكل 1967 ) بواسطة علاقة غلادستون-ديل$${\displaystyle {\frac {n-1}{n_{\mathrm {obs} }-1}}={\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {obs} }}}\,.}$$

بإعادة الترتيب والتعويض في التكامل المطلق لكتلة الهواء، نحصل على $${\displaystyle \sigma =\int _{r_{\mathrm {obs} }}^{r_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{\mathrm {obs} }}{1+(n_{\mathrm {obs} }-1)\rho /\rho _{\mathrm {obs} }}}\right)^{2}\left({\frac {r_{\mathrm {obs} }}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}z}}}\,.}$$

الكمية${\displaystyle n_{\mathrm {obs} }-1}$صغير جدًا؛ بتوسيع الحد الأول بين قوسين، وإعادة ترتيبه عدة مرات، وتجاهل الحدود في${\displaystyle (n_{\mathrm {obs} }-1)^{2}}$بعد كل عملية إعادة ترتيب، يعطي ( كاستن ويونغ 1989 )$${\displaystyle \sigma =\int _{r_{\mathrm {obs} }}^{r_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\left[1+2(n_{\mathrm {obs} }-1)(1-{\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {obs} }}})\right]\left({\frac {r_{\mathrm {obs} }}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}z}}}\,.}$$

في الشكل الموجود على اليمين، يوجد مراقب عند النقطة O على ارتفاع معين.${\displaystyle y_{\text{obs}}}$فوق مستوى سطح البحر في جو متجانس متناظر شعاعيًا على ارتفاع${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$طول مسار شعاع ضوئي عند زاوية سمت الرأس${\displaystyle z}$يكون${\displaystyle s}$؛${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$يمثل نصف قطر الأرض. بتطبيق قانون جيب التمام على المثلث OAC، $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(R_{E}+y_{\text{atm}}\right)^{2}&=s^{2}+\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)^{2}-2\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)s\cos \left(180^{\circ }-z\right)\\&=s^{2}+\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)^{2}+2\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)s\cos z\end{aligned}}}$$ يؤدي توسيع الجانبين الأيسر والأيمن، وحذف الحدود المشتركة، وإعادة الترتيب إلى $${\displaystyle {{s}^{2}}+2\left({R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}\right)s\cos z-2{R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}-y_{\text{atm}}^{2}+2{R_{\text{E}}}{y_{\text{obs}}}+y_{\text{obs}}^{2}=0\,.}$$

بحل المعادلة التربيعية لإيجاد طول المسار s ، والتحليل إلى عوامل، وإعادة الترتيب، $${\displaystyle s=\pm {\sqrt {{{\left({R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}\right)}^{2}}{{\cos }^{2}}z+2{R_{\text{E}}}\left({y_{\text{atm }}}-{y_{\text{obs}}}\right)+y_{\text{atm}}^{2}-y_{\text{obs}}^{2}}}-({R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}})\cos z\,.}$$

تعطي الإشارة السالبة للجذر نتيجة سالبة، وهو أمر غير منطقي من الناحية الفيزيائية. باستخدام الإشارة الموجبة، والقسمة على${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$وبحذف الحدود المشتركة وإعادة الترتيب نحصل على الكتلة الهوائية النسبية: $${\displaystyle X={\sqrt {{{\left({\frac {{R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}}{y_{\text{atm}}}}\right)}^{2}}{{\cos }^{2}}z+{\frac {2{R_{\text{E}}}}{y_{\text{atm}}^{2}}}\left({y_{\text{atm}}}-{y_{\text{obs}}}\right)-{{\left({\frac {y_{\text{obs}}}{y_{\text{atm}}}}\right)}^{2}}+1}}-{\frac {{R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}}{y_{\text{atm}}}}\cos z\,.}$$

مع التغييرات${\displaystyle {\hat {r}}=R_{\mathrm {E} }/y_{\mathrm {atm} }}$و${\displaystyle {\hat {y}}=y_{\mathrm {obs} }/y_{\mathrm {atm} }}$ويمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي: $${\displaystyle X={\sqrt {{({\hat {r}}+{\hat {y}})}^{2}\cos ^{2}z+2{\hat {r}}(1-{\hat {y}})-{\hat {y}}^{2}+1}}\;-\;({\hat {r}}+{\hat {y}})\cos z\,.}$$

عندما يكون ارتفاع الراصد صفرًا، تتبسط معادلة كتلة الهواء إلى $${\displaystyle X={\sqrt {{{\left({\frac {R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}}\right)}^{2}}\cos ^{2}z+{\frac {2R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}}+1}}-{\frac {R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}}\cos z\,.}$$

في حالة زاوية السقوط المائلة، تساوي كتلة الهواء المطلقة المسافة إلى الأفق . علاوة على ذلك، إذا كان الراصد مرتفعًا، فقد تكون زاوية سمت الأفق أكبر من 90 درجة.