الأفق

لحساب أكبر مسافة D _BL التي يمكن للمراقب B عندها رؤية قمة جسم L فوق الأفق، ما عليك سوى جمع المسافات إلى الأفق من كل من النقطتين:

D _BL = D _B + D _L

على سبيل المثال، بالنسبة لمراقب (ب) يقف على الأرض على ارتفاع (ح _ب = 1.70 م)، فإن الأفق يبعد عنه مسافة ( _ب = 4.65 كم). أما بالنسبة لبرج ارتفاعه (ح _ل = 100 م)، فإن الأفق يبعد عنه مسافة ( _ل = 35.7 كم). وبالتالي، يمكن لمراقب على الشاطئ رؤية قمة البرج طالما أنها لا تبعد عنه أكثر من مسافة (ب _ل = 40.35 كم). في المقابل، إذا كان بإمكان مراقب على متن قارب ( ح _ب = 1.7 م) رؤية قمم الأشجار على شاطئ قريب ( ح _ل = 10 م)، فمن المرجح أن تكون الأشجار على بعد حوالي (ب _ل = 16 كم).        

بالرجوع إلى الشكل الموجود على اليمين، وباستخدام التقريب أعلاه ، سيكون الجزء العلوي من المنارة مرئيًا للمراقب الموجود في عش الغراب أعلى صاري القارب إذا

${\displaystyle D_{\mathrm {BL} <3.57\,({\sqrt {h_{\mathrm {B} }}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L} }}})\,,}$

حيث D _BL بالكيلومترات و h _B و h _L بالأمتار.

كمثال آخر، لنفترض أن مراقبًا، تقع عيناه على ارتفاع مترين فوق سطح الأرض، يستخدم منظارًا لرؤية مبنى بعيد يعلم أنه يتكون من ثلاثين طابقًا، ارتفاع كل منها 3.5 متر. يحسب الطوابق التي يراها فيجد أنها عشرة طوابق فقط. إذن، عشرون طابقًا، أو 70 مترًا من المبنى، محجوبة عنه بسبب انحناء الأرض. ومن هذا، يستطيع حساب المسافة بينه وبين المبنى.

${\displaystyle D\approx 3.57({\sqrt {2}}+{\sqrt {70}})}$

وهو ما يعادل حوالي 35 كيلومترًا.

وبالمثل، يمكن حساب مقدار ما هو مرئي من جسم بعيد فوق الأفق. لنفترض أن عين مراقب تقع على ارتفاع 10 أمتار فوق مستوى سطح البحر، وهو يشاهد سفينة تبعد عنه 20  كيلومترًا. أفق رؤيته هو:

${\displaystyle 3.57{\sqrt {10}}}$

يبلغ ارتفاع نقطة على السفينة، يمكن للمراقب رؤيتها، حوالي 11.3 كيلومترًا. وتبعد السفينة مسافة 8.7  كيلومترًا أخرى. ويُعطى ارتفاع النقطة على السفينة التي يمكن للمراقب رؤيتها بالمعادلة التالية:

${\displaystyle h\approx \left({\frac {8.7}{3.57}}\right)^{2}}$

وهذا يُعادل تقريبًا ستة أمتار. وبالتالي، يستطيع الراصد رؤية الجزء من السفينة الذي يرتفع أكثر من ستة أمتار فوق مستوى سطح الماء. أما الجزء الذي يقع أسفل هذا الارتفاع، فيُحجب عنه بفعل انحناء الأرض. في هذه الحالة، يُقال إن السفينة في وضعية " الهيكل لأسفل" .

بسبب انكسار الضوء في الغلاف الجوي، تكون المسافة إلى الأفق المرئي أبعد من المسافة المحسوبة بحساب هندسي بسيط. فإذا كان سطح الأرض (أو الماء) أبرد من الهواء فوقه، تتشكل طبقة باردة كثيفة من الهواء بالقرب من السطح، مما يؤدي إلى انكسار الضوء نحو الأسفل أثناء انتقاله، وبالتالي، إلى حد ما، يلتف حول انحناء الأرض. ويحدث العكس إذا كانت الأرض أسخن من الهواء فوقها، كما هو الحال غالبًا في الصحاري، مما يُنتج السراب . وللتعويض التقريبي عن الانكسار، يقوم المساحون الذين يقيسون مسافات أطول من 100 متر بطرح 14% من خطأ الانحناء المحسوب، ويتأكدون من أن خطوط الرؤية لا تقل عن 1.5 متر من سطح الأرض، وذلك لتقليل الأخطاء العشوائية الناتجة عن الانكسار.

لو كانت الأرض عالمًا خاليًا من الهواء كالقمر، لكانت الحسابات المذكورة أعلاه دقيقة. إلا أن للأرض غلافًا جويًا ، تتفاوت كثافته ومعامل انكساره بشكل كبير تبعًا لدرجة الحرارة والضغط. هذا يجعل الهواء يكسر الضوء بدرجات متفاوتة، مما يؤثر على مظهر الأفق. عادةً، تكون كثافة الهواء فوق سطح الأرض مباشرةً أكبر من كثافته على ارتفاعات أعلى. وهذا يجعل معامل انكساره أكبر قرب السطح منه على ارتفاعات أعلى، مما يتسبب في انكسار الضوء المنتقل أفقيًا تقريبًا نحو الأسفل. ^{[ 8 ]} هذا يجعل المسافة الفعلية إلى الأفق أكبر من المسافة المحسوبة باستخدام الصيغ الهندسية. في ظل الظروف الجوية القياسية، يبلغ الفرق حوالي 8%. وهذا يغير العامل 3.57، في الصيغ المترية المستخدمة أعلاه، إلى حوالي 3.86. ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، إذا كان مراقب يقف على شاطئ البحر، وعيناه على ارتفاع 1.70 متر فوق مستوى سطح البحر، فوفقًا للصيغ الهندسية البسيطة المذكورة أعلاه، يجب أن يكون الأفق على  بُعد 4.7 كيلومتر. في الواقع، يسمح الانكسار الجوي للمراقب برؤية مسافة أبعد بمقدار 300 متر، مما يؤدي إلى تحريك الأفق الحقيقي مسافة 5  كيلومترات بعيدًا عن المراقب.

يمكن تطبيق هذا التصحيح، وكثيراً ما يُطبّق، كتقريب جيد إلى حد ما عندما تكون الظروف الجوية قريبة من الظروف القياسية . أما في الظروف غير الاعتيادية، فيفشل هذا التقريب. يتأثر الانكسار بشدة بتدرجات درجة الحرارة، التي قد تختلف اختلافاً كبيراً من يوم لآخر، خاصة فوق الماء. في الحالات القصوى، عادةً في فصل الربيع، عندما يعلو الهواء الدافئ الماء البارد، قد يسمح الانكسار للضوء بمتابعة سطح الأرض لمئات الكيلومترات. تحدث ظروف معاكسة، على سبيل المثال، في الصحاري، حيث يكون السطح شديد الحرارة، وبالتالي يكون الهواء الساخن منخفض الكثافة أسفل الهواء البارد. يتسبب هذا في انكسار الضوء إلى أعلى، مما يؤدي إلى ظهور تأثيرات السراب التي تجعل مفهوم الأفق غير ذي معنى إلى حد ما. لذلك، فإن القيم المحسوبة لتأثيرات الانكسار في ظل الظروف غير الاعتيادية هي قيم تقريبية فقط. ^{[ 6 ]} ومع ذلك، بُذلت محاولات لحسابها بدقة أكبر من التقريب البسيط المذكور أعلاه.

خارج نطاق الطول الموجي المرئي، يختلف الانكسار. ففي الرادار (على سبيل المثال، للأطوال الموجية من 300 إلى 3  مم، أي الترددات بين 1 و100  جيجاهرتز)، يمكن ضرب نصف قطر الأرض في 4/3 للحصول على نصف قطر فعّال، ما يعطي عاملًا قدره 4.12 في الصيغة المترية، أي أن أفق الرادار سيكون أبعد بنسبة 15% من الأفق الهندسي أو أبعد بنسبة 7% من الأفق المرئي. العامل 4/3 ليس دقيقًا تمامًا، ففي حالة الرؤية المرئية، يعتمد الانكسار على الظروف الجوية.

طريقة التكامل - سوير

إذا كان ملف تعريف كثافة الغلاف الجوي معروفًا، فإن المسافة d إلى الأفق تُعطى بواسطة ^{[ 9 ]}

${\displaystyle d={{R}_{\text{E}}}\left(\psi +\delta \right)\,,}$

حيث R_{_E} هو نصف قطر الأرض، وψ هو ميل الأفق، و δ هو انكسار الأفق. ويتم تحديد الميل ببساطة من

${\displaystyle \cos \psi ={\frac {{R}_{\text{E}}{\mu }_{0}}{\left({{R}_{\text{E}}}+h\right)\mu }}\,,}$

حيث h هو ارتفاع الراصد فوق الأرض، وμ هو معامل انكسار الهواء عند ارتفاع الراصد، و μ ₀ هو معامل انكسار الهواء عند سطح الأرض.

يجب إيجاد الانكسار عن طريق تكامل

${\displaystyle \delta =-\int _{0}^{h}{\tan \phi {\frac {{\text{d}}\mu }{\mu }}}\,,}$

أين${\displaystyle \phi \,\!}$هي الزاوية بين الشعاع وخط يمر بمركز الأرض. الزاويتان ψ و${\displaystyle \phi \,\!}$ترتبط ببعضها البعض من خلال

${\displaystyle \phi =90{}^{\circ }-\psi \,.}$

طريقة بسيطة - يونغ

هناك نهج أبسط بكثير، ينتج عنه نفس النتائج تقريبًا التي ينتجها التقريب من الدرجة الأولى الموصوف أعلاه، ويستخدم النموذج الهندسي ولكن بنصف قطر R′ = 7/6 R _E. وتكون المسافة إلى الأفق عندئذٍ ^{[ 6 ] .}

${\displaystyle d={\sqrt {2R^{\prime }h}}\,.}$

باعتبار نصف قطر الأرض 6371  كم، حيث d بالكيلومتر و h بالمتر،

${\displaystyle d\approx 3.86{\sqrt {h}}\,;}$

حيث d بالميل و h بالقدم،

${\displaystyle d\approx 1.32{\sqrt {h}}\,.}$

في حالة الرادار، يكون لدينا عادةً R′ = 4/3 R _E، مما ينتج عنه (مع d بالكيلومتر و h بالمتر)

${\displaystyle d\approx 4.12{\sqrt {h}}\,;}$

نتائج طريقة يونغ قريبة جداً من نتائج طريقة سوير، وهي دقيقة بما يكفي للعديد من الأغراض.

يُعدّ الأفق سمةً أساسيةً لمستوى الصورة في علم المنظور الرسومي . بافتراض أن مستوى الصورة عمودي على الأرض، وأن النقطة P هي الإسقاط العمودي لنقطة العين O على مستوى الصورة، يُعرَّف الأفق بأنه الخط الأفقي المار بالنقطة P. النقطة P هي نقطة تلاشي الخطوط العمودية على الصورة. إذا كانت S نقطةً أخرى على الأفق، فإنها تُصبح نقطة تلاشي جميع الخطوط الموازية للنقطة O. لكن بروك تايلور أشار إلى أن مستوى الأفق المحدد بالنقطة O والأفق يُشبه أي مستوى آخر .

إن مصطلح "الخط الأفقي"، على سبيل المثال، قد يحصر مفاهيم المتعلم في مستوى الأفق، ويجعله يتصور أن هذا المستوى يتمتع بامتيازات خاصة تجعل وصف الأشكال فيه أسهل وأكثر ملاءمة، باستخدام هذا الخط الأفقي، من وصف الأشكال في أي مستوى آخر؛... ولكن في هذا الكتاب، لا أفرق بين مستوى الأفق وأي مستوى آخر على الإطلاق... ^{[ 10 ] [ 11 ]}

حفّزت الهندسة المنظورية الفريدة، حيث تتقارب الخطوط المتوازية في المسافة، تطور الهندسة الإسقاطية التي تفترض وجود نقطة في اللانهاية عند التقاء الخطوط المتوازية. في كتابها "هندسة الفن " (2007)، وصفت كيرستي أندرسن تطور الرسم المنظوري والعلوم حتى عام 1800، مشيرةً إلى أن نقاط التلاشي لا يشترط أن تكون على الأفق. في فصل بعنوان "الأفق"، استعرض جون ستيلويل كيف أدت الهندسة الإسقاطية إلى هندسة التقاطع ، وهي الدراسة التجريدية الحديثة لتقاطع الخطوط. كما تطرق ستيلويل إلى أسس الرياضيات في قسم بعنوان "ما هي قوانين الجبر  ؟". تم تفكيك "جبر النقاط"، الذي وضعه كارل فون شتاودت في الأصل لاستخلاص بديهيات الحقل، في القرن العشرين، مما أدى إلى ظهور مجموعة واسعة من الاحتمالات الرياضية. ويذكر ستيلويل

يبدو أن هذا الاكتشاف، الذي يعود إلى مئة عام مضت، قادر على قلب الرياضيات رأسًا على عقب، مع أنه لم يُستوعب بالكامل بعد من قِبل المجتمع الرياضي. فهو لا يتحدى فقط الاتجاه السائد بتحويل الهندسة إلى جبر، بل يشير أيضًا إلى أن لكل من الهندسة والجبر أساسًا أبسط مما كان يُعتقد سابقًا. ^{[ 12 ]}