خاتم تقريبًا

في الرياضيات ، تُعدّ الوحدات التقريبية والحلقات التقريبية كائنات معينة تتوسط بين الحلقات وحقول الكسور الخاصة بها . وقد قدّمها جيرد فالتينغز ( 1988 ) في دراسته لنظرية هودج p -adic .

معظم الوحدات

ليكن V مجالًا تكامليًا محليًا ذو مثالي أعظمي m ، وليكن K حقلًا كسريًا من V. يمكن الحصول على فئة وحدات K ، K - Mod ، كحاصل قسمة V - Mod على الفئة الفرعية Serre لوحدات الالتواء ، أي تلك الوحدات N التي يُفنى أي عنصر n في N بواسطة عنصر غير صفري في المثالي الأعظمي. إذا استُبدلت فئة وحدات الالتواء بفئة فرعية أصغر ، نحصل على خطوة وسيطة بين وحدات V ووحدات K. اقترح فالتينغز استخدام الفئة الفرعية للوحدات شبه الصفرية ، أي N ∈ V - Mod التي يُفنى أي عنصر n في N بواسطة جميع عناصر المثالي الأعظمي.

لكي تنجح هذه الفكرة، يجب أن يستوفي كل من m و V شروطًا تقنية معينة. ليكن V حلقة (ليست بالضرورة محلية)، وليكن m ⊆ V مثاليًا متساوي القوة ، أي مثاليًا بحيث m ^⊆m . افترض أيضًا أن m ⊗ m هو وحدة نمطية مسطحة على V. تكون الوحدة النمطية N على V شبه صفرية بالنسبة إلى m إذا كان لكل ε ∈ m و n ∈ N ، يكون εn = 0. تشكل الوحدات النمطية شبه الصفرية فئة فرعية من فئة الوحدات النمطية V ، تُسمى V ^a - Mod . فئة الوحدات النمطية شبه V ، هي توطين لـ V - Mod على طول هذه الفئة الفرعية.

يُرمز إلى دالة القسمة V - Mod → V ^a - Mod بالرمز التالي: $N\mapsto N^{a}$ تضمن الافتراضات المتعلقة بـ m أن $(-)^{a}$ هو دالة دقيقة لها كل من الدالة المرافقة اليمنى $M\mapsto M_{*}$ والدالة المرافقة اليسرى $M\mapsto M_{!}$ . علاوة على ذلك، $(-)_{*}$ كاملة ودقيقة . فئة الوحدات النمطية شبه الكاملة كاملة ومتكاملة .

خواتم تقريبًا

ينحدر حاصل الضرب الموتري لوحدات V إلى بنية أحادية على V ^a - Mod . تُسمى الوحدة التقريبية R ∈ V ^a - Mod، التي تحتوي على تطبيق R ⊗ R → R يحقق شروطًا طبيعية، مشابهة لتعريف الحلقة، جبرًا تقريبيًا V أو حلقة تقريبية إذا كان السياق واضحًا. تنتقل العديد من الخصائص القياسية للجبر والتشاكلات بينها إلى عالم "التقريب".

مثال

في الورقة البحثية الأصلية لفالتينغز، كان V هو الإغلاق التكاملي لحلقة تقييم منفصلة في الإغلاق الجبري لحقل القسمة الخاص بها ، و m هو مثاليها الأقصى. على سبيل المثال، ليكن V هو $\mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{\infty }}]$ أي إكمال p -adic لـ $\operatorname {colim} \limits _{n}\mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{n}}]$ لنفترض أن m هو المثالي الأعظم لهذه الحلقة. عندئذٍ يكون حاصل القسمة V/m عبارة عن وحدة نمطية شبه صفرية، بينما V/p عبارة عن التواء، ولكنه ليس وحدة نمطية شبه صفرية لأن فئة p ^{1/ p ²} في حاصل القسمة لا تُفنى بواسطة p ^{1/ p ²} باعتباره عنصرًا من m .

مراجع

فالتينغز، جيرد (1988)، "نظرية هودج p-adic"، مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 1 (1): 255-299 ، doi : 10.2307/1990970 ، JSTOR 1990970 ، MR 0924705
جابر، عوفر ؛ راميرو، لورينزو (2003)، نظرية الحلقات التقريبية ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1800، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، doi : 10.1007/b10047 ، ISBN 3-540-40594-1، MR 2004652 ، S2CID 14400790