حول الأحجام والمسافات (أريستارخوس)

حول الأحجام والمسافات (للشمس والقمر) ( اليونانية القديمة : Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡlectίου καὶ σεκήνης] ، بالحروف اللاتينية :  Perì megethôn kaì apostēmátōn [hēlíou kaì selḗnēs] ) مقبول على نطاق واسع باعتباره العمل الوحيد الموجود الذي كتبه أريستارخوس الساموسي ، وهو عالم فلك يوناني قديم عاش حوالي 310-230 قبل الميلاد. يحسب هذا العمل حجم الشمس والقمر ، وكذلك المسافة بينهما من الأرض من حيث نصف قطر الأرض.

ربما حُفظ الكتاب على يد طلاب بابوس الإسكندري في دورة الرياضيات، مع أن الأدلة على ذلك قليلة. نُشرت الطبعة الأولى (editio princeps) بواسطة جون واليس عام ١٦٨٨، باستخدام عدة مخطوطات من العصور الوسطى جمعها السير هنري سافيل . ^{[ ١ ]} أُنجزت أقدم ترجمة لاتينية بواسطة جورجيو فالا عام ١٤٨٨. وهناك أيضًا ترجمة لاتينية وتعليق عليها من فريدريكو كوماندينو عام ١٥٧٢. ^{[ ٢ ] [ ٣ ]}

اعتمدت منهجية العمل على عدة ملاحظات:

• الحجم الظاهري للشمس والقمر في السماء.
• حجم ظل الأرض بالنسبة للقمر أثناء خسوف القمر
• تكون الزاوية بين الشمس والقمر أثناء طور الهلال 90 درجة.

يتناول الجزء المتبقي من المقال بالتفصيل إعادة بناء منهج أريستارخوس ونتائجه. ^{[ 4 ]} وتستخدم عملية إعادة البناء المتغيرات التالية:

بدأ أريستارخوس بفرضية مفادها أنه خلال طور التربيع الأول ، يشكل القمر مثلثًا قائم الزاوية مع الشمس والأرض. ومن خلال رصد الزاوية بين الشمس والقمر، φ ، يمكن استنتاج نسبة المسافات إلى الشمس والقمر باستخدام شكل من أشكال حساب المثلثات .

من خلال الرسم البياني وعلم المثلثات، يمكننا حساب ذلك.

${\displaystyle {\frac {S}{L}}={\frac {1}{\cos \varphi }}=\sec \varphi .}$

الرسم البياني مُبالغ فيه للغاية، لأنه في الواقع، S = 390 L ، و φ قريبة جدًا من 90°. حدد أريستارخوس أن φ تساوي جزءًا من ثلاثين من ربع دائرة (أي 3° بالمصطلحات الحديثة) أقل من الزاوية القائمة: أي 87° بالمصطلحات الحالية. لم تكن الدوال المثلثية قد اختُرعت بعد، ولكن باستخدام التحليل الهندسي على طريقة إقليدس ، حدد أريستارخوس أن

${\displaystyle 18<{\frac {S}{L}<20.}$

بمعنى آخر، كانت المسافة إلى الشمس أكبر بما يتراوح بين 18 و20 ضعف المسافة إلى القمر. وقد اعتمد علماء الفلك هذه القيمة (أو قيماً قريبة منها) على مدى الألفي عام التالية، إلى أن أتاح اختراع التلسكوب تقديراً أدقّ لاختلاف المنظر الشمسي .

كما استنتج أريستارخوس أنه بما أن الحجم الزاوي للشمس والقمر متساويان، ولكن المسافة إلى الشمس كانت أبعد من القمر بما يتراوح بين 18 و 20 مرة، فإن الشمس يجب أن تكون أكبر بما يتراوح بين 18 و 20 مرة.

ثم استخدم أريستارخوس بناءً آخر يعتمد على خسوف القمر:

بسبب تشابه المثلثات،${\displaystyle {\frac {D}{L}}={\frac {t}{td}}\quad }$ و ${\displaystyle \quad {\frac {D}{S}}={\frac {t}{st}}.}$

بقسمة هاتين المعادلتين، وباستخدام الملاحظة بأن الشمس والقمر يبدوان بنفس الحجم للناس على الأرض،${\displaystyle s/S=\ell /L}$، ينتج

${\displaystyle {\frac {\ell }{s}}={\frac {td}{st}}\ \ \implies \ \ {\frac {st}{s}}={\frac {td}{\ell }}\ \ \implies \ \ {\frac {t}{\ell }}+{\frac {t}{s}}=1+{\frac {d}{\ell }}.}$

يمكن حل المعادلة الموجودة في أقصى اليمين إما لـ${\displaystyle \ell /t}$أو${\displaystyle s/t}$

$$$

يمكن تبسيط هذه المعادلات عن طريق التعبير عن الأطوال${\displaystyle d}$و${\displaystyle s}$من حيث نصف قطر القمر${\displaystyle \ell }$كوحدة واحدة، تحدد${\displaystyle {\hat {d}}=d/\ell }$و${\displaystyle {\hat {s}}=s/\ell .}$ثم

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{{\hat {s}}(1+{\hat {d}})}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{1+{\hat {d}}}}}$

تعطي المعادلات المذكورة أعلاه أنصاف أقطار القمر والشمس بالكامل بدلالة الكميات القابلة للملاحظة.

تُعطي الصيغ التالية المسافات إلى الشمس والقمر بالوحدات الأرضية:

${\displaystyle {\frac {L}{t}}=\left({\frac {\ell }{t}}\right)\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S}{t}}={\biggl (}{\frac {s}{t}}{\biggr )}\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

حيث θ هو نصف القطر الظاهري للقمر والشمس مقاسًا بالدرجات.

لم يستخدم أريستارخوس هذه الصيغ بالضبط، ومع ذلك فمن المحتمل أن تكون هذه الصيغ تقريبًا جيدًا لتلك التي استخدمها أريستارخوس.

يمكن استخدام الصيغ المذكورة أعلاه لإعادة بناء نتائج أريستارخوس. يوضح الجدول التالي نتائج إعادة بناء قديمة (لكنها مشكوك فيها) باستخدام n = 2، x = 19.1 ( φ = 87°) و θ = 1°، إلى جانب القيم المقبولة حاليًا.

ينشأ الخطأ في هذه الحسابات أساسًا من القيم غير الدقيقة لـ x و θ . وتُعدّ القيمة غير الدقيقة لـ θ مُثيرة للدهشة، إذ يذكر أرخميدس أن أريستارخوس كان أول من حدد أن للشمس والقمر قطرًا ظاهريًا يبلغ نصف درجة. وهذا من شأنه أن يُعطي قيمة θ = 0.25، ومسافة مُقابلة للقمر تُعادل 80 ضعف نصف قطر الأرض، وهو تقدير أدق بكثير. ويبدو أن اختلاف هذا العمل مع أرخميدس يعود إلى تفسيره لتصريح أريستارخوس بأن القطر القمري الشمسي يُساوي 1/15 من "ميروس" البروج، على أنه يُساوي 1/15 من أحد الأبراج (30 درجة)، دون إدراك أن الكلمة اليونانية "ميروس" تعني إما "جزءًا" أو 7.5 درجة؛ و1/15 من هذه القيمة الأخيرة تُساوي 1.5 درجة، وهو ما يتوافق مع شهادة أرخميدس.

وقد استخدم هيبارخوس إجراءً مماثلاً في وقت لاحق ، حيث قدر متوسط ​​المسافة إلى القمر بـ 67 نصف قطر أرضي، وبطليموس ، الذي أخذ 59 نصف قطر أرضي لهذه القيمة.

يمكنكم الاطلاع هنا على بعض الرسوم التوضيحية التفاعلية للمقترحات الواردة في كتاب " حول الأحجام" :

• تنص الفرضية الرابعة على أنه عندما يظهر القمر لنا منقوصًا، فإن المسافة بينه وبين الشمس تكون أقل من ربع دائرة بمقدار واحد من ثلاثين من ربع دائرة [أي أنها أقل من 90 درجة بمقدار 1/30 من 90 درجة أو 3 درجات، وبالتالي تساوي 87 درجة] (هيث 1913:353).
• تنص القضية 1 على أن كرتين متساويتين محاطتان بأسطوانة واحدة، وكرتين غير متساويتين محاطتان بمخروط واحد رأسه في اتجاه الكرة الأصغر؛ والخط المستقيم المرسوم عبر مراكز الكرات يكون عموديًا على كل دائرة من الدوائر التي يلامس فيها سطح الأسطوانة أو المخروط الكرات (هيث 1913:354).
• تنص القضية 2 على أنه إذا تم إضاءة كرة بواسطة كرة أكبر منها، فإن الجزء المضاء من الكرة السابقة سيكون أكبر من نصف الكرة (هيث 1913:358).
• تنص القضية 3 على أن الدائرة الموجودة في القمر والتي تقسم الأجزاء المظلمة والمضيئة تكون في أصغر حجم لها عندما يكون رأس المخروط الذي يشمل كل من الشمس والقمر عند أعيننا (هيث 1913:362).
• تنص القضية الرابعة على أن الدائرة التي تقسم الأجزاء المظلمة والمضيئة في القمر لا تختلف بشكل ملحوظ عن الدائرة العظمى في القمر (هيث 1913:365).
• تنص الفرضية 6 على أن القمر يتحرك [في مدار] أقل من [مدار] الشمس، وعندما يتم تقسيمه إلى نصفين، يكون على مسافة أقل من ربع دائرة من الشمس (هيث 1913:372).
• تنص الفرضية السابعة على أن المسافة بين الشمس والأرض أكبر من 18 ضعفًا، ولكنها أقل من 20 ضعفًا، من المسافة بين القمر والأرض (هيث 1913: 377). بعبارة أخرى، الشمس أبعد وأوسع من القمر بما يتراوح بين 18 و20 ضعفًا.
• تنص القضية 13 على أن الخط المستقيم الذي يحيط بالجزء الواقع داخل ظل الأرض من محيط الدائرة التي تتحرك فيها أطراف قطر الدائرة التي تقسم الأجزاء المظلمة والمضيئة في القمر، هو أقل من ضعف قطر القمر، لكن نسبته إليه أكبر من نسبة 88 إلى 45؛ وهو أقل من 1/9 من قطر الشمس، لكن نسبته إليها أكبر من نسبة 21 إلى 225. لكن نسبته إلى الخط المستقيم المرسوم من مركز الشمس بزاوية قائمة على المحور ويلتقي بجوانب المخروط أكبر من نسبة 979 إلى 10125 (هيث 1913: 394).
• تنص القضية 14 على أن الخط المستقيم المتصل من مركز الأرض إلى مركز القمر له نسبة أكبر من تلك التي بين 675 و 1 (هيث 1913:400) إلى الخط المستقيم المقطوع من المحور باتجاه مركز القمر بواسطة الخط المستقيم الذي يحيط بـ [المحيط] داخل ظل الأرض.
• تنصّ الفرضية 15 على أن نسبة قطر الشمس إلى قطر الأرض أكبر من 19/3 وأقل من 43/6 (هيث 1913: 403). وهذا يعني أن قطر الشمس (بمعدل) 6 ¾ أضعاف قطر الأرض، أو أن عرضها يساوي 13 ½ نصف قطر أرضي . وبالتالي ، يجب أن يكون كل من القمر والشمس على بُعد 20 ¼ و 387 نصف قطر أرضي على التوالي لكي يُشكّلا زاوية مقدارها درجتان.
• تنص الفرضية 17أ في النسخة العربية القديمة من كتاب " في المقاسات " للطوسي على أن نسبة المسافة بين رأس مخروط الظل ومركز القمر (عندما يكون القمر على محور المخروط الذي يضم الأرض والشمس، أي في منتصف الكسوف) إلى المسافة بين مركز القمر ومركز الأرض أكبر من النسبة 71 إلى 37 وأقل من النسبة 3 إلى 1 (بيرغرين وسيدولي 2007: 218). ^{[ 5 ]} بعبارة أخرى، أن رأس مخروط ظل الأرض يقع على مسافة تتراوح بين 108/37 وأربعة أضعاف المسافة بينه وبين القمر.

• معرض مكتبة الكونغرس في الفاتيكان.

• أريستارخوس الساموسي
• إراتوستينس ( حوالي 276 - حوالي 194/195 قبل الميلاد )، عالم رياضيات يوناني قام بحساب محيط الأرض وكذلك المسافة من الأرض إلى الشمس.  
• هيبارخوس ( حوالي 190 - حوالي 120 قبل الميلاد )، عالم رياضيات يوناني قام بقياس أنصاف أقطار الشمس والقمر بالإضافة إلى مسافاتهما من الأرض.  
• حول الأحجام والمسافات (Hipparchus)
• بوسيدونيوس ( حوالي 135 - حوالي 51 قبل الميلاد )، عالم فلك ورياضيات يوناني قام بحساب محيط الأرض.  

• جوميز، ألبرتو (2023). فك رموز أرسطرخوس . برلين : دار بيتر لانج . رقم ISBN 9783631892619.
• هيث، توماس (1913). أريستارخوس الساموسي، كوبرنيكوس القديم . أكسفورد: كلارندون. أُعيد طبع هذا لاحقًا، انظر ( ISBN) 0-486-43886-4).
• فان هيلدن، أ. قياس الكون: الأبعاد الكونية من أرسطرخوس إلى هالي . شيكاغو: جامعة. شيكاغو العلاقات العامة، 1985. ISBN 0-226-84882-5.