جون واليس

• كامبريدج، ماجستير، أكسفورد، دكتوراه
• المدرسة النحوية في تنتردين، كينت، 1625–31.
• مدرسة مارتن هولبيتش في فيلستيد، إسيكس، 1631-1632.
• جامعة كامبريدج، كلية إيمانويل، 1632-1640؛ بكالوريوس الآداب، 1637؛ ماجستير الآداب، 1640.
• حصل على درجة الدكتوراه في اللاهوت من جامعة أكسفورد عام 1654.

في 14 مارس 1645، تزوج من سوزانا غليند ( حوالي 1600 - 16 مارس 1687). أنجبا ثلاثة أطفال:

1. آن، ليدي بلينكو (4 يونيو 1656 - 5 أبريل 1718)، تزوجت السير جون بلينكو (30 نوفمبر 1642 - 6 مايو 1726) في عام 1675، وأنجبت ذرية ^{[ 7 ].}
2. جون واليس (26 ديسمبر 1650 - 14 مارس 1717)، ^{[ 8 ]} عضو البرلمان عن والينغفورد 1690-1695، تزوج من إليزابيث هاريس (توفيت عام 1693) في 1 فبراير 1682، وأنجبا: ابنًا واحدًا وابنتين.
3. تزوجت إليزابيث واليس (1658-1703 ^{[ 9 ]} )، من ويليام بنسون (1649-1691) من تاوستر، وتوفيت دون أن تنجب أطفالاً.

أدت الزيارة البرلمانية لأكسفورد ، التي بدأت عام 1647، إلى إقالة العديد من كبار الأكاديميين من مناصبهم، بما في ذلك في نوفمبر 1648، أساتذة سافيليان للهندسة وعلم الفلك. وفي عام 1649، عُيّن واليس أستاذاً لسافيليان في الهندسة. ويبدو أن اختيار واليس كان لأسباب سياسية في المقام الأول (كما كان الحال ربما مع سلفه الملكي بيتر تيرنر ، الذي لم ينشر أي أعمال رياضية رغم تعيينه في منصبين للأستاذية)؛ فبينما كان واليس ربما أبرز علماء التشفير في البلاد، وكان جزءاً من مجموعة غير رسمية من العلماء الذين أصبحوا فيما بعد الجمعية الملكية ، إلا أنه لم يكن يتمتع بسمعة خاصة كرياضي. ومع ذلك، فقد أثبت تعيين واليس جدارته من خلال أعماله اللاحقة خلال السنوات الأربع والخمسين التي قضاها أستاذاً لسافيليان. ^{[ 17 ]}

في عام 1655، نشر واليس رسالةً حول القطوع المخروطية، عرّف فيها القطوع المخروطية تعريفًا تحليليًا. وكان هذا أول كتاب يتناول هذه المنحنيات ويعرّفها كمنحنيات من الدرجة الثانية . وقد ساهم ذلك في تبديد بعض الصعوبة والغموض اللذين كانا يكتنفان أعمال رينيه ديكارت في الهندسة التحليلية .

في كتابه "رسالة في القطوع المخروطية "، شاع استخدام الرمز ∞ للدلالة على اللانهاية. كتب: "أفترض أن أي مستوى (وفقًا لكتاب " هندسة الأشكال غير القابلة للتجزئة " لكافالييري) يتكون من عدد لا نهائي من الخطوط المتوازية، أو كما أفضّل، من عدد لا نهائي من متوازيات الأضلاع ذات الارتفاع نفسه؛ (ليكن ارتفاع كل واحد منها جزءًا صغيرًا جدًا 1/∞ من الارتفاع الكلي، وليكن الرمز ∞ دلالة على اللانهاية) ويكون ارتفاع جميعها هو ارتفاع الشكل." ^{[ 18 ]}

نُشر كتاب "الحساب اللانهائي" (Arithmetica Infinitorum) ، وهو أهم أعمال واليس، عام 1656. في هذه الرسالة، تم تنظيم وتوسيع أساليب التحليل التي وضعها ديكارت وكافالييري ، لكن بعض الأفكار كانت عرضة للنقد. بدأ واليس، بعد رسالة قصيرة عن القطوع المخروطية، بتطوير الترميز القياسي للقوى، وتوسيعها من الأعداد الصحيحة الموجبة إلى الأعداد النسبية .

${\displaystyle x^{0}=1}$

${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}{\text{ إلخ.}}}$

${\displaystyle x^{1/2}={\sqrt {x}}}$

${\displaystyle x^{2/3}={\sqrt[{3}]{x^{2}}}{\text{ إلخ.}}}$

${\displaystyle x^{1/n}={\sqrt[{n}]{x}}}$

${\displaystyle x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}}$

بعد أن تخلى عن التطبيقات الجبرية العديدة لهذا الاكتشاف، شرع في إيجاد المساحة المحصورة بين المنحنى y = x² + m، ومحور السينات، وأي إحداثي x = h، وذلك باستخدام التكامل. وأثبت أن نسبة هذه المساحة ^إلى مساحة متوازي الأضلاع المبني على نفس القاعدة والارتفاع هي 1/( m + 1)، مُعممًا بذلك صيغة كافالييري للتكامل العددي . ويبدو أنه افترض أن النتيجة نفسها تنطبق أيضًا على المنحنى y = ax² + ^m ، حيث a ثابت، و m عدد موجب أو سالب، لكنه اقتصر على مناقشة حالة القطع المكافئ الذي فيه m = 2 والقطع الزائد الذي فيه m = -1. وفي الحالة الأخيرة، كان تفسيره للنتيجة خاطئًا. ثم بيّن أنه يمكن كتابة نتائج مماثلة لأي منحنى من الشكل y = ax² + m. 

${\displaystyle y=\sum _{m}^{}ax^{m}}$

وبالتالي، إذا أمكن توسيع الإحداثي y لمنحنى بدلالة قوى x ، فإنه يمكن تحديد مساحته: وهكذا يقول أنه إذا كانت معادلة المنحنى هي y = x ⁰ + x ¹ + x ² + ...، فإن مساحته ستكون x + x ² /2 + x ³ /3 + ... . ثم طبق ذلك على تربيع المنحنيات y = ( x - x² ^{) ⁰} ، y = ( x - x² ) ^{¹ ،} y = ( x - x² ^{) ²} ، وهكذا، المحصورة بين النقطتين x  =  0 و x  =  1. وأظهر أن مساحاتها هي، على التوالي، 1، 1/6، 1/30، 1/140، وهكذا. بعد ذلك، درس منحنيات على الصورة y = x¹ / m ^{، وأثبت} النظرية القائلة بأن المساحة المحصورة بين هذا المنحنى والمستقيمين x  =  0 و x  =  1 تساوي مساحة المستطيل المبني على نفس القاعدة والارتفاع m  : m  + 1. وهذا يكافئ حساب

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{1/m}\,dx.}$

وقد أوضح ذلك من خلال القطع المكافئ، وفي هذه الحالة m = 2. وذكر، لكنه لم يثبت، النتيجة المقابلة لمنحنى من الشكل y = x ^{p / q} .

أظهر واليس براعةً كبيرةً في اختزال معادلات المنحنيات إلى الصيغ المذكورة أعلاه، ولكن نظرًا لعدم إلمامه بنظرية ذات الحدين ، لم يتمكن من حساب تربيع الدائرة ، التي معادلتها هي${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$لأنه لم يتمكن من توسيع ذلك بدلالة قوى x ، إلا أنه وضع مبدأ الاستيفاء . وهكذا، كإحداثي للدائرة${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$هو المتوسط ​​الهندسي لإحداثيات المنحنيات${\displaystyle y=(1-x^{2})^{0}}$و${\displaystyle y=(1-x^{2})^{1}}$، يمكن افتراض أن مساحة نصف الدائرة، كتقريب،${\displaystyle \int _{0}^{1}\!{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx}$وهو${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$يمكن اعتبارها المتوسط ​​الهندسي لقيم

${\displaystyle \int _{0}^{1}(1-x^{2})^{0}\,dx\ {\text{ و }}\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{1}\,dx,}$

إنه،${\displaystyle 1}$و${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$وهذا يعادل أخذ${\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$أو 3.26... كقيمة π. لكن، كما جادل واليس، لدينا في الواقع متسلسلة${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{30}},{\tfrac {1}{140}},}$... وبالتالي المصطلح المُقحم بين${\displaystyle 1}$و${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$ينبغي اختيارها بحيث تخضع لقانون هذه المتسلسلة. وهذا، من خلال طريقة معقدة لم يتم وصفها هنا بالتفصيل، يؤدي إلى قيمة للحد المُستكمل تُعادل أخذ

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots }$

(والذي يُعرف الآن باسم منتج واليس ).

في هذا العمل، تتم مناقشة تكوين وخصائص الكسور المستمرة أيضًا، وقد تم تسليط الضوء على هذا الموضوع من خلال استخدام برونكر لهذه الكسور.

بعد بضع سنوات، في عام 1659، نشر واليس رسالةً تتضمن حلولًا لمسائل المنحنى الدائري التي اقترحها بليز باسكال . وشرح فيها، عرضًا، كيف يمكن استخدام المبادئ الواردة في كتابه "الحساب اللانهائي" لتصحيح المنحنيات الجبرية، وقدّم حلًا لمسألة تصحيح (أي إيجاد طول) القطع المكافئ شبه المكعب x³ = ^{ay² ،} الذي اكتشفه تلميذه ويليام نيل عام 1657. وبما أن جميع محاولات تصحيح القطع الناقص والقطع الزائد كانت (بالضرورة) غير فعّالة، فقد ساد الاعتقاد بأنه لا يمكن تصحيح أي منحنيات، كما أكد ديكارت ذلك صراحةً. وقد صحّح إيفانجيليستا توريتشيلي اللولب اللوغاريتمي ، وكان أول خط منحني (بخلاف الدائرة) يُحدد طوله، لكن امتداد نيل وواليس إلى منحنى جبري كان جديدًا. كان المنحنى الدائري هو المنحنى التالي الذي تم تقويمه؛ وقد تم ذلك بواسطة كريستوفر رين في عام 1658.

في أوائل عام 1658، توصل فان هورايت إلى اكتشاف مماثل، مستقل عن اكتشاف نيل ، ونشره فان شوتين في طبعته لكتاب ديكارت " الهندسة" عام 1659. تتلخص طريقة فان هورايت فيما يلي: يفترض أن المنحنى مُنسوب إلى محاور متعامدة؛ إذا كان الأمر كذلك، وإذا كانت ( س ، ص ) إحداثيات أي نقطة عليه، و ن طول العمودي، وإذا اخترنا نقطة أخرى إحداثياتها ( س ، η ) بحيث يكون η  : ح = ن  : ص ، حيث ح ثابت؛ فعندئذٍ، إذا كان د س هو عنصر طول المنحنى المطلوب، فإنه من خلال تشابه المثلثات يكون د س  : د س = ن  : ص . وبالتالي، ح د س = η د س . ومن ثم، إذا أمكن إيجاد مساحة المحل الهندسي للنقطة ( س ، η )، يُمكن تقويم المنحنى الأول. بهذه الطريقة ^، نجح فان هورايت في تقويم المنحنى y³ = ax² ^، لكنه أضاف أن تقويم القطع المكافئ y² = ax مستحيل لأنه يتطلب تربيع القطع الزائد. وتتشابه الحلول التي قدمها نيل وواليس إلى حد ما مع حل فان هورايت، مع أنه لم يُذكر ^أي قاعدة عامة، وكان التحليل معقدًا. واقترح فيرما طريقة ثالثة عام 1660، لكنها غير أنيقة ومُرهقة.

طرحت الجمعية الملكية نظرية تصادم الأجسام عام 1668 لعرضها على علماء الرياضيات. وقدّم كلٌّ من واليس وكريستوفر رين وكريستيان هويغنز حلولًا صحيحة ومتشابهة، تعتمد جميعها على ما يُعرف اليوم بقانون حفظ الزخم . ولكن، بينما اقتصرت نظرية رين وهويغنز على الأجسام المرنة تمامًا ( التصادم المرن )، تناول واليس أيضًا الأجسام غير المرنة تمامًا ( التصادم غير المرن ). تبع ذلك في عام 1669 عملٌ في علم السكون (مراكز الثقل)، وفي عام 1670 عملٌ في علم الحركة : تُقدّم هذه الأعمال ملخصًا وافيًا لما كان معروفًا آنذاك في هذا الموضوع.

في عام 1685، نشر واليس كتابه "الجبر" ، مسبوقًا بسرد تاريخي لتطور هذا العلم، والذي يحتوي على قدر كبير من المعلومات القيّمة. أما الطبعة الثانية، الصادرة عام 1693 والتي شكلت المجلد الثاني من أعماله ، فقد كانت موسعة بشكل ملحوظ. ويُذكر أن هذا الكتاب في الجبر يتضمن أول استخدام منهجي للصيغ. يُعبَّر عن أي مقدار هنا بالنسبة العددية التي يحملها إلى وحدة من نفس نوع المقدار: وهكذا، عندما يريد واليس مقارنة طولين، فإنه يعتبر كل طول منهما يحتوي على عدد معين من وحدات الطول. ولعل هذا سيتضح أكثر من خلال ملاحظة أن العلاقة بين الفضاء الذي يصفه جسيم يتحرك بسرعة منتظمة في أي لحظة زمنية، يُشار إليها من قِبل واليس بالصيغة التالية:

s = vt ,

حيث يمثل s العدد الذي يمثل نسبة المساحة الموصوفة إلى وحدة الطول؛ بينما كان الكتّاب السابقون سيشيرون إلى العلاقة نفسها من خلال ذكر ما يعادل القضية

s ₁  : s ₂ = v ₁ t ₁  : v ₂ t ₂ .

يُنسب إلى واليس الفضل في ابتكار خط الأعداد "للكميات السالبة" ^{[ 19 ]} و"لأغراض تشغيلية". ^{[ 20 ]} ويستند هذا إلى فقرة في أطروحته عن الجبر عام 1685 حيث قدم خط الأعداد لتوضيح مشروعية الكميات السالبة: ^{[ 21 ]}

لكن أليس هذا الافتراض (للكميات السالبة) غير مفيد أو حتى سخيفًا عند فهمه فهمًا صحيحًا؟ ورغم أنه، وفقًا للترميز الجبري المجرد، يشير إلى كمية أقل من لا شيء، إلا أنه عند التطبيق الفيزيائي، يدل على كمية حقيقية كما لو كانت الإشارة${\displaystyle +}$ولكن يجب تفسيرها بمعنى معاكس...${\displaystyle +3}$، يدل على${\displaystyle 3}$ياردات للأمام؛ و${\displaystyle -3}$، يدل على${\displaystyle 3}$ياردات للخلف.

لوحظ أن واليس، في عمل سابق، توصل إلى استنتاج مفاده أن نسبة عدد موجب إلى عدد سالب أكبر من اللانهاية. وتتضمن الحجة خارج القسمة.${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$وبالنظر إلى ما يحدث كـ${\displaystyle x}$يقترب ثم يعبر النقطة${\displaystyle x=0}$من الجانب الإيجابي. ^{[ 22 ]} لم يكن واليس وحده من فكر بهذا الشكل: فقد توصل ليونارد أويلر إلى النتيجة نفسها من خلال دراسة المتسلسلة الهندسية${\displaystyle {\tfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+\cdots }$، تم تقييمها في${\displaystyle x=2}$ثمّ اتبع ذلك منطقاً مشابهاً لمنطق واليس (حيث حلّ المفارقة من خلال التمييز بين أنواع مختلفة من الأعداد السالبة). ^{[ 19 ]}

يُنسب إليه عادةً برهان نظرية فيثاغورس باستخدام المثلثات المتشابهة . مع ذلك، كان ثابت بن قرة (901م)، وهو عالم رياضيات عربي، قد وضع تعميمًا لنظرية فيثاغورس ينطبق على جميع المثلثات قبل ذلك بستة قرون. ومن المعقول التكهن بأن واليس كان على دراية بعمل ثابت. ^{[ 23 ]}

استلهم واليس أيضًا من أعمال عالم الرياضيات الإسلامي صدر الطوسي، نجل ناصر الدين الطوسي ، ولا سيما كتاب الطوسي الذي ألفه عام ١٢٩٨م حول مسلمة التوازي . استند الكتاب إلى أفكار والده، وقدّم أحد أقدم الحجج المؤيدة لفرضية غير إقليدية مكافئة لمسلمة التوازي. بعد قراءة هذا الكتاب، دوّن واليس أفكاره أثناء تطويره لأفكاره الخاصة حول المسلمة، محاولًا إثباتها أيضًا باستخدام المثلثات المتشابهة. ^{[ ٢٤ ]}

وجد أن مسلمة إقليدس الخامسة تُعادل ما يُعرف حاليًا باسم "مسلمة واليس" نسبةً إليه. تنص هذه المسلمة على أنه "على خط مستقيم محدود مُعطى، يُمكن دائمًا إنشاء مثلث مُشابه لمثلث مُعطى". وقد انطوت هذه النتيجة على اتجاهٍ حاول استنتاج مسلمة إقليدس الخامسة من المسلمات الأربع الأخرى، وهو ما يُعرف اليوم باستحالة تحقيقه. وخلافًا لمؤلفين آخرين، أدرك أن النمو غير المحدود للمثلث لم يكن مضمونًا بالمسلمات الأربع الأولى. ^{[ 25 ]}

من بين جوانب مهارات واليس الرياضية الأخرى قدرته على إجراء العمليات الحسابية ذهنيًا. كان يعاني من الأرق، وكثيرًا ما كان يجري عمليات حسابية ذهنية وهو مستيقظ في فراشه. في إحدى الليالي، حسب في ذهنه الجذر التربيعي لعدد مكون من 53 رقمًا. وفي الصباح، أملا الجذر التربيعي للعدد نفسه المكون من 27 رقمًا، معتمدًا كليًا على ذاكرته. كان هذا إنجازًا يُعتبر لافتًا، فأرسل هنري أولدنبورغ ، سكرتير الجمعية الملكية، زميلًا له للتحقق من كيفية قيام واليس بذلك. وقد اعتُبر هذا الأمر بالغ الأهمية لدرجة أنه استحق المناقشة في المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية عام 1685. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

قدم واليس حلاً لمكعب الأمير روبرت ، والذي يتضمن إيجاد أكبر مكعب يمكن أن يمر عبر ثقب مقطوع في مكعب وحدة دون تقسيمه إلى أجزاء منفصلة. ^{[ 28 ]}