استقرار ليابونوف

يمكن مناقشة أنواع مختلفة من الاستقرار لحلول المعادلات التفاضلية أو معادلات الفرق التي تصف الأنظمة الديناميكية . أهم هذه الأنواع هو ذلك المتعلق باستقرار الحلول بالقرب من نقطة التوازن. ويمكن مناقشة هذا النوع من خلال نظرية ألكسندر ليابونوف . ببساطة، إذا كانت الحلول التي تبدأ بالقرب من نقطة التوازن مستقرة، فإن الحلول تكون مستقرة.${\displaystyle x_{e}}$ابقَ قريباً${\displaystyle x_{e}}$إلى الأبد، إذن${\displaystyle x_{e}}$هل هو مستقر وفقًا لمعيار ليابونوف ؟ وبشكل أقوى، إذا${\displaystyle x_{e}}$هل دالة ليابونوف مستقرة؟ وجميع الحلول التي تبدأ بالقرب من${\displaystyle x_{e}}$تتقارب إلى${\displaystyle x_{e}}$، ثم${\displaystyle x_{e}}$يُقال إنها مستقرة تقاربياً (انظر التحليل التقاربي ). يضمن مفهوم الاستقرار الأسي معدل اضمحلال أدنى، أي تقديرًا لسرعة تقارب الحلول. يمكن توسيع فكرة استقرار ليابونوف لتشمل متعددات الأبعاد اللانهائية، حيث تُعرف بالاستقرار البنيوي ، والذي يهتم بسلوك الحلول المختلفة ولكن "المتقاربة" للمعادلات التفاضلية. يطبق استقرار المدخلات إلى الحالة (ISS) مفاهيم ليابونوف على الأنظمة ذات المدخلات.

سُميت نظرية استقرار ليابونوف نسبةً إلى ألكسندر ميخائيلوفيتش ليابونوف ، عالم الرياضيات الروسي الذي دافع عن أطروحته بعنوان "المسألة العامة لاستقرار الحركة" في جامعة خاركوف ( جامعة خاركوف الوطنية الحالية، في. إن. كارازين ) عام 1892. ^{[ 1 ]} كان ليابونوف رائدًا في المساعي الناجحة لتطوير منهج شامل لتحليل استقرار الأنظمة الديناميكية غير الخطية، وذلك بالمقارنة مع الطريقة المحلية الشائعة لتخطيطها حول نقاط التوازن. لم يحظَ عمله، الذي نُشر في البداية باللغة الروسية ثم تُرجم إلى الفرنسية، باهتمام يُذكر لسنوات عديدة. وقد سبقت النظرية الرياضية لاستقرار الحركة، التي وضعها ليابونوف، وقت تطبيقها في العلوم والتكنولوجيا. علاوة على ذلك، لم يُطبّق ليابونوف نفسه نظريته في هذا المجال، إذ انصبّ اهتمامه على استقرار كتل الموائع الدوارة وتطبيقاتها الفلكية. لم يكن لديه طلاب دكتوراه يتابعون أبحاثه في مجال الاستقرار، وكان مصيره مأساويًا للغاية بسبب انتحاره عام ١٩١٨. ^{[ ٢ ]} لعدة عقود، غابت نظرية الاستقرار عن الأنظار تمامًا. كان عالم الرياضيات والميكانيكا الروسي السوفيتي نيكولاي غوريفيتش تشيتايف، الذي كان يعمل في معهد قازان للطيران في ثلاثينيات القرن العشرين، أول من أدرك عظمة اكتشاف أ.م. ليابونوف. كانت مساهمة تشيتايف في النظرية ^{[ ٣ ]} بالغة الأهمية لدرجة أن العديد من علماء الرياضيات والفيزياء والمهندسين يعتبرونه الوريث المباشر لليابونوف والخليفة العلمي التالي له في ابتكار وتطوير النظرية الرياضية للاستقرار.

ازداد الاهتمام بهذا الموضوع بشكلٍ كبير خلال فترة الحرب الباردة ، عندما تبيّن أن ما يُسمى "طريقة ليابونوف الثانية" (انظر أدناه) قابلة للتطبيق على استقرار أنظمة التوجيه الجوي ، والتي عادةً ما تحتوي على خصائص غير خطية قوية لا يمكن معالجتها بطرق أخرى. وقد نُشر عدد كبير من الأبحاث في ذلك الوقت، وما زال يُنشر لاحقًا، في أدبيات التحكم والأنظمة. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} ومؤخرًا، حظي مفهوم مُعامل ليابونوف (المرتبط بطريقة ليابونوف الأولى في مناقشة الاستقرار) باهتمام واسع في سياق نظرية الفوضى . كما طُبقت طرق استقرار ليابونوف لإيجاد حلول التوازن في مسائل تخصيص حركة المرور. ^{[ 9 ]}

لنفترض نظامًا ديناميكيًا غير خطي مستقلًا

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}}$،

أين${\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$يرمز إلى متجه حالة النظام ،${\displaystyle {\mathcal {D}}}$مجموعة مفتوحة تحتوي على نقطة الأصل، و${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$هو حقل متجهي متصل على${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. يفترض${\displaystyle f}$يوجد توازن عند${\displaystyle x_{e}}$، لهذا السبب${\displaystyle f(x_{e})=0}$. ثم:

1. يُقال إن هذا التوازن مستقر وفقًا لمعيار ليابونوف إذا كان لكل${\displaystyle \epsilon >0}$يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث إذا${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ثم لكل${\displaystyle t\geq 0}$لدينا${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon }$.
2. يُقال إن توازن النظام المذكور أعلاه مستقر تقاربياً إذا كان مستقراً وفقاً لمعيار ليابونوف، وكان هناك${\displaystyle \delta >0}$بحيث إذا${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ثم${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0}$.
3. يُقال إن توازن النظام المذكور أعلاه مستقر أُسّيًا إذا كان مستقرًا تقاربيًا، وُجدت${\displaystyle \alpha >0,~\beta >0,~\delta >0}$بحيث إذا${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ثم${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$للجميع${\displaystyle t\geq 0}$.

من الناحية المفاهيمية، فإن معاني المصطلحات المذكورة أعلاه هي كالتالي:

1. يعني استقرار ليابونوف للتوازن أن الحلول التي تبدأ "قريبة بما فيه الكفاية" من التوازن (ضمن مسافة معينة)${\displaystyle \delta }$(في نطاق مسافة معينة) البقاء "قريبًا بما فيه الكفاية" إلى الأبد (ضمن مسافة معينة)${\displaystyle \epsilon }$منه). لاحظ أن هذا يجب أن يكون صحيحًا لأي${\displaystyle \epsilon }$قد يرغب المرء في الاختيار.
2. يعني الاستقرار التقاربي أن الحلول التي تبدأ قريبة بما فيه الكفاية لا تبقى قريبة بما فيه الكفاية فحسب، بل تتقارب في النهاية إلى حالة التوازن.
3. يعني الاستقرار الأسي أن الحلول لا تتقارب فحسب، بل تتقارب في الواقع أسرع من أو على الأقل بنفس سرعة معدل معين معروف.${\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$.

المسار${\displaystyle \phi (t)}$جذاب (محلياً) إذا

${\displaystyle \|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0}$ مثل ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

لجميع المسارات${\displaystyle x(t)}$التي تبدأ قريبة بما فيه الكفاية من${\displaystyle \phi (t)}$وستكون جذابة عالميًا إذا تحققت هذه الخاصية لجميع المسارات.

أي أنه إذا كان x ينتمي إلى داخل مشعبه المستقر ، فإنه يكون مستقرًا تقاربيًا إذا كان جاذبًا ومستقرًا في آنٍ واحد. (توجد أمثلة توضح أن الجاذبية لا تستلزم الاستقرار التقاربي. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} ومن السهل إنشاء مثل هذه الأمثلة باستخدام الاتصالات المتجانسة .)

إذا كانت مصفوفة جاكوبي للنظام الديناميكي عند نقطة التوازن عبارة عن مصفوفة استقرار (أي إذا كان الجزء الحقيقي من كل قيمة ذاتية سالبًا تمامًا)، فإن نقطة التوازن تكون مستقرة تقاربياً.

يكاد تعريف أنظمة الزمن المتقطع أن يكون مطابقاً لتعريف أنظمة الزمن المستمر. ويُقدّم التعريف أدناه ذلك باستخدام لغة بديلة شائعة الاستخدام في النصوص الرياضية.

ليكن ( X , d ) فضاءً متريًا ، و f  : X → X دالة متصلة . يُقال إن النقطة x في X مستقرة وفقًا لمعيار ليابونوف ، إذا،

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].}$

نقول إن x مستقر تقاربياً إذا كان ينتمي إلى داخل مجموعته المستقرة ، أي إذا،

${\displaystyle \exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].}$

نموذج فضاء الحالة الخطي

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$،

أين${\displaystyle A}$تكون المصفوفة منتهية، وتكون مستقرة تقاربياً (في الواقع، مستقرة أُسّياً ) إذا كانت جميع الأجزاء الحقيقية للقيم الذاتية لـ${\displaystyle A}$سالبة. هذا الشرط يعادل الشرط التالي: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle A^{\textsf {T}}M+MA}$

تكون سالبة التحديد لبعض المصفوفات موجبة التحديد${\displaystyle M=M^{\textsf {T}}}$(دالة ليابونوف ذات الصلة هي${\displaystyle V(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$.)

وبناءً على ذلك، نموذج فضاء الحالة الخطي المتقطع زمنيًا

${\displaystyle {\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}}$

تكون مستقرة تقاربياً (في الواقع، مستقرة أُسّياً) إذا كانت جميع القيم الذاتية لـ${\displaystyle A}$لها معامل أصغر من واحد.

تم تعميم هذا الشرط الأخير ليشمل الأنظمة المبدلة: نظام زمني منفصل مبدل خطي (يحكمه مجموعة من المصفوفات)${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$)

${\displaystyle {{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

تكون مستقرة تقاربياً (في الواقع، مستقرة أُسّياً) إذا كان نصف القطر الطيفي المشترك للمجموعة${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$أصغر من واحد.

النظام الذي يحتوي على مدخلات (أو عناصر تحكم) يكون على الشكل التالي:

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})}$

حيث يمكن اعتبار المدخل u(t) (الذي يعتمد عادةً على الزمن) بمثابة دالة تحكم ، أو مدخل خارجي ، أو محفز ، أو اضطراب ، أو إجبار . وقد ثبت ^{[ 14 ]} أنه بالقرب من نقطة التوازن التي تكون مستقرة وفقًا لمعيار ليابونوف، يظل النظام مستقرًا في ظل اضطرابات صغيرة. أما بالنسبة لاضطرابات المدخلات الأكبر، فإن دراسة هذه الأنظمة تخضع لنظرية التحكم وتُطبق في هندسة التحكم . بالنسبة للأنظمة ذات المدخلات، يجب تحديد تأثير هذه المدخلات على استقرار النظام. النهجان الرئيسيان لهذا التحليل هما استقرار BIBO ( للأنظمة الخطية ) واستقرار المدخلات بالنسبة للحالة (ISS) ( للأنظمة غير الخطية ).

يوضح هذا المثال نظامًا يمكن فيه استخدام دالة ليابونوف لإثبات استقرار ليابونوف، ولكن لا يمكن استخدامها لإثبات الاستقرار التقاربي. لننظر إلى المعادلة التالية، المستندة إلى معادلة مذبذب فان دير بول مع تغيير حد الاحتكاك:

${\displaystyle {\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.}$

يترك

${\displaystyle x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}}$

بحيث يكون النظام المقابل هو

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}}$

الأصل${\displaystyle x_{1}=0,\ x_{2}=0}$هي نقطة التوازن الوحيدة. لنختر كدالة ليابونوف

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}$

وهي موجبة تمامًا بشكل واضح . ومشتقتها هي

${\displaystyle {\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.}$

يبدو أنه إذا كانت المعلمة${\displaystyle \varepsilon }$إذا كانت القيمة موجبة، فإن الاستقرار يكون تقاربياً لـ${\displaystyle x_{2}^{2}<3.}$لكن هذا خطأ، لأن${\displaystyle {\dot {V}}}$لا يعتمد على${\displaystyle x_{1}}$وستكون قيمتها صفرًا في كل مكان على${\displaystyle x_{1}}$المحور. التوازن مستقر وفقًا لمعيار ليابونوف ولكنه ليس مستقرًا تقاربيًا.

قد يكون من الصعب إيجاد دالة ليابونوف ذات مشتقة سالبة محددة كما هو مطلوب بموجب معيار استقرار ليابونوف، ومع ذلك، فإن الدالة${\displaystyle V}$مع${\displaystyle {\dot {V}}}$قد يكون ذلك متاحًا فقط في حالة شبه التحديد السالب. في الأنظمة المستقلة، يمكن تطبيق نظرية المجموعة الثابتة لإثبات الاستقرار التقاربي، لكن هذه النظرية لا تنطبق عندما تكون الديناميكيات دالة للزمن. ^{[ 15 ]}

بدلاً من ذلك، تسمح مبرهنة باربالات بإجراء تحليل شبيه بتحليل ليابونوف لهذه الأنظمة غير المستقلة. وتستند هذه المبرهنة إلى الملاحظات التالية: بافتراض أن f دالة للزمن فقط:

• امتلاك${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$لا يعني ذلك أن${\displaystyle f(t)}$له حد أقصى عند${\displaystyle t\to \infty }$. على سبيل المثال،${\displaystyle f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0}$.
• امتلاك${\displaystyle f(t)}$يقترب من الحد الأقصى مع${\displaystyle t\to \infty }$لا يعني ذلك أن${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$. على سبيل المثال،${\displaystyle f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0}$.
• امتلاك${\displaystyle f(t)}$ذات حد أدنى ومتناقصة (${\displaystyle {\dot {f}}\leq 0}$يشير ذلك إلى أنها تتقارب إلى حد معين. لكنه لا يحدد ما إذا كانت كذلك أم لا.${\displaystyle {\dot {f}}\to 0}$مثل${\displaystyle t\to \infty }$.

تقول ليمّة باربالات : إذا ${\displaystyle f(t)}$له حد نهائي لأن${\displaystyle t\to \infty }$وإذا${\displaystyle {\dot {f}}}$تكون متصلة بانتظام (الشرط الكافي للاستمرارية المنتظمة هو أن${\displaystyle {\ddot {f}}}$(محدود)، ثم${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$مثل${\displaystyle t\to \infty }$[ ^{16 ]​}

وهناك صيغة بديلة كما يلي: ليكن${\displaystyle p\in [1,\infty )}$و${\displaystyle q\in (1,\infty ]}$. لو${\displaystyle f\in L^{p}(0,\infty )}$و${\displaystyle {\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )}$، ثم${\displaystyle f(t)\to 0}$مثل${\displaystyle t\to \infty .}$^{[ 17 ]}

تكون اللمة صحيحة أيضاً في الحالة المتجهة، وذلك بالصيغة التالية: ليكن${\displaystyle f(t)}$لتكن دالة متصلة بانتظام ذات قيم في فضاء باناخ${\displaystyle E}$وافترض أن${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau }$له حد نهائي لأن${\displaystyle t\to \infty }$. ثم${\displaystyle f(t)\to 0}$مثل${\displaystyle t\to \infty }$[ ^{18 ]​}

المثال التالي مأخوذ من الصفحة 125 من كتاب سلوتين ولي بعنوان "التحكم غير الخطي التطبيقي" . ^{[ 15 ]}

لنفترض نظامًا غير مستقل

${\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)}$

${\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}$

هذا غير مستقل لأن المدخل${\displaystyle w}$هي دالة للزمن. افترض أن المدخل${\displaystyle w(t)}$محدود.

أخذ${\displaystyle V=e^{2}+g^{2}}$أعطِ${\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}$

هذا يعني أن${\displaystyle V(t)\leq V(0)}$بحسب الشرطين الأولين، وبالتالي${\displaystyle e}$و${\displaystyle g}$محدودة. لكنها لا تقول شيئًا عن تقارب${\displaystyle e}$إلى الصفر، كما${\displaystyle {\dot {V}}}$هي فقط شبه محددة سلبية (ملاحظة)${\displaystyle g}$يمكن أن تكون قيمتها غير صفرية عندما${\displaystyle {\dot {V}}}$=0) والديناميكيات غير مستقلة.

باستخدام ليمّة باربالات:

${\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)}$.

هذا محدود لأن${\displaystyle e}$،${\displaystyle g}$و${\displaystyle w}$محدودة. وهذا يعني${\displaystyle {\dot {V}}\to 0}$مثل${\displaystyle t\to \infty }$وبالتالي${\displaystyle e\to 0}$وهذا يثبت أن الخطأ يتقارب.

لنفترض المعادلة التفاضلية المساعدة${\displaystyle {\dot {v}}(t)=-q(t)\beta (v(t))+e(t),}$للجميع${\displaystyle t\geq t_{0}}$، مع الدولة${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$والحالة الابتدائية${\displaystyle v(t_{0})\geq 0}$الوظيفة${\displaystyle \beta \in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$يزداد بشكل مطرد ويرضي${\displaystyle \beta (0)=0}$الوظائف${\displaystyle e}$و${\displaystyle q}$ينتمي إلى${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} _{+})}$تكمن أهمية المعادلة التفاضلية السابقة في أنه يمكن ربط فئة واسعة من متباينات ليابونوف بها من خلال مبدأ المقارنة.

افترض أن ذلك لجميع${\displaystyle t\geq t_{0}}$،${\displaystyle q(t)>0}$ومع${\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }q(t)\,dt=\infty }$و${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {e(t)}{q(t)}}=L\in \mathbb {R} _{+}\cup \{\infty \}.}$تشير الخاصية السابقة إلى اضطراب محدود عندما${\displaystyle L>0}$تكون محدودة واضطرابًا متلاشيًا عندما${\displaystyle L=0}$.

لكل شرط ابتدائي${\displaystyle v(t_{0})\geq 0}$وكل حل${\displaystyle v(t)}$مع أقصى فترة وجود${\displaystyle [t_{0},\omega )}$، أين${\displaystyle t_{0}<\omega \leq \infty }$، تنطبق الخصائص التالية: ^{[ 19 ]}

1. ${\displaystyle v(t)\geq 0}$للجميع${\displaystyle t\in [t_{0},\omega )}$.
2. لو${\displaystyle L\in [0,\infty )}$و${\displaystyle L\in \mathrm {Range} \{\beta \}}$، ثم ${\displaystyle \omega =\infty }$،${\displaystyle \|v\|_{\infty }<\infty }$و${\displaystyle \lim _{t\to \infty }v(t)=\beta ^{-1}(L)}$.
3. لو${\displaystyle L=\infty }$،${\displaystyle v}$لا يساوي الصفر بشكل منتظم، و${\displaystyle \lim _{s\to \infty }\beta (s)=\infty }$، ثم ${\displaystyle \omega =\infty }$و${\displaystyle \lim _{t\to \infty }v(t)=\infty }$.

وقد تم استخلاص النتائج السابقة أيضًا في الأدبيات ضمن سياقات مختلفة؛ انظر على سبيل المثال ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]} .

ضع في اعتبارك النظام التالي  :${\displaystyle {\dot {\zeta }}(t)=g{\big (}t,\zeta (t){\big )};t\geq t_{0},}$${\displaystyle \zeta (t_{0})=\zeta _{0},}$أين${\displaystyle (t_{0},\zeta _{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m}}$، حل${\displaystyle \zeta (t)}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$(${\displaystyle m}$(عدد صحيح موجب تمامًا)، ودالة محددة جيدًا${\displaystyle g:[t_{0},\infty )\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$مع${\displaystyle g(t,0)=0}$،${\displaystyle \forall t\geq t_{0}}$.

افترض أن النظام يحقق شروط كاراثيودوري؛ أي التعيين${\displaystyle t\mapsto g(t,\zeta )}$محصورة محليًا بشكل أساسي على${\displaystyle [t_{0},\infty )\times \mathbb {R} ^{m}}$، قابلة للقياس لكل${\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} ^{m}}$وهي مستمرة تقريبًا لكل${\displaystyle t\geq t_{0}}$يقبل النظام حلاً محلياً متصلاً تماماً وفقاً لمعادلة كاراثيودوري، وهو حل معرف على فترة قصوى.${\displaystyle [t_{0},\omega )}$.

افترض وجود ثوابت${\displaystyle \alpha >0}$،${\displaystyle \beta >0}$مع${\displaystyle \alpha <\beta }$الدوال المتصلة بشكل مطلق محليًا ${\displaystyle r_{1}\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$،${\displaystyle r_{2}\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ودالة قابلة للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$بما يفي بما يلي:

(أنا) ${\displaystyle (-1)^{\alpha }=-1}$و${\displaystyle (-1)^{\beta }}$محدد جيدًا (لسنا بحاجة إلى${\displaystyle (-1)^{\beta }}$(أن تكون محددة جيدًا إذا تم ضمان إيجابية الحلول).

(ii)${\displaystyle r_{1}(t)>0}$،${\displaystyle r_{2}(t)>0}$،${\displaystyle \forall t>t_{0}}$و${\displaystyle h(t)>0}$بالنسبة للجميع تقريباً${\displaystyle t>t_{0}}$.

(ثالثاً)${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {r_{2}(t)}{r_{1}(t)}}=\infty }$(ومن ثم يترتب على ذلك أن الاضطراب غير محدود، كما يتضح من متباينة ليابونوف الواردة لاحقًا).

(رابعاً) ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\Lambda (t)=0}$، أين ${\displaystyle \Lambda (t):={\frac {r_{1}(t){\dot {r}}_{2}(t)-{\dot {r}}_{1}(t)r_{2}(t)}{h(t)(r_{1}(t))^{\frac {2\beta -\alpha -1}{\beta -\alpha }}(r_{2}(t))^{\frac {\beta -2\alpha +1}{\beta -\alpha }}}},{\mbox{ for almost all }}t>t_{0}.}$

(خامساً) لكل حل${\displaystyle \zeta (t)}$النظام ذو أقصى فترة وجود${\displaystyle [t_{0},\omega )}$توجد ثوابت موجبة${\displaystyle \delta }$،${\displaystyle \sigma }$،${\displaystyle c_{1}}$،${\displaystyle c_{2}}$ودالة ليابونوف ${\displaystyle V\in C^{1}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} _{+})}$مُرضٍ (لكل شخص تقريبًا)${\displaystyle t\in (t_{0},\omega )}$ذلك يرضي${\displaystyle V(t,\zeta (t))<\delta }$):

${\displaystyle c_{1}|\kappa |^{\sigma }\leq V(t,\kappa )\leq c_{2}|\kappa |^{\sigma },\forall t\in \mathbb {R} ,\forall \kappa \in \mathbb {R} ^{m},}$

${\displaystyle \nabla V(t,\zeta (t))\cdot g(t,\zeta (t))\leq {\big (}-r_{1}(t)V^{\alpha }(t,\zeta (t))+r_{2}(t)V^{\beta }(t,\zeta (t)){\big )}h(t).}$

ثم، يوجد${\displaystyle c_{3}>0}$بحيث يكون لكل${\displaystyle |\zeta _{0}|<c_{3}}$، واحد يحصل${\displaystyle \omega =\infty }$و${\displaystyle |\zeta (t)|\leq {\sqrt[{\sigma }]{\frac {c_{2}}{c_{1}}}}|\zeta _{0}|,\forall t\geq t_{0},}$لهذا السبب.${\displaystyle \zeta =0}$مستقر بشكل منتظم. علاوة على ذلك، فإن نقطة الأصل مستقرة تقاربياً. ^{[ 25 ]}

يمكن تمثيل نموذج نمو السكان المتغير مع الزمن مع تأثير ألي بواسطة ^{[ 25 ]}

${\displaystyle {\dot {N}}(t)=R(t)N(t)\left({\frac {N(t)}{A(t)}}-1\right)\left(1-{\frac {N(t)}{K(t)}}\right),}$

أين${\displaystyle t\geq t_{0}}$، ولاية${\displaystyle N(t)\in \mathbb {R} }$، دالة قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ ${\displaystyle R:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$مع${\displaystyle R(t)>0}$بالنسبة للجميع تقريباً${\displaystyle t>t_{0}}$والدوال المتصلة بشكل مطلق محليًا ${\displaystyle A\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$و ${\displaystyle K\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$لهذا السبب. ${\displaystyle A(t)>0}$و${\displaystyle K(t)>0}$للجميع${\displaystyle t>t_{0}}$.

الجانب الأيمن من المعادلة يكون محليًا ليبشيتز في${\displaystyle N}$وبالتالي يوجد حل فريد بفترة وجود قصوى${\displaystyle [t_{0},\omega )}$الأصل${\displaystyle N=0}$هي نقطة توازن. نهدف إلى استنباط الشروط التي تجعل${\displaystyle N=0}$توازن انقراض مستقر بشكل منتظم وتوازن انقراض مستقر تقاربياً. ولتحقيق هذه الغاية، افترض أن

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }R(t)dt=\infty ,}$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{A(t)}}+{\frac {1}{K(t)}}\right)=\infty ,}$ و ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\left({\frac {{\dot {A}}(t)(K(t))^{2}+{\dot {K}}(t)(A(t))^{2}}{R(t)A(t)K(t)(A(t)+K(t))}}\right)=0.}$

يترك${\displaystyle V=N^{2}}$تتحقق المتباينة مع${\displaystyle c_{1}=1}$،${\displaystyle c_{2}=1}$و${\displaystyle \sigma =2}$. تؤدي الحسابات البسيطة إلى

${\displaystyle {\dot {V}}(t)\leq 2R(t)\left(-V(t)+\left({\frac {1}{A(t)}}+{\frac {1}{K(t)}}\right)V^{\frac {3}{2}}(t)\right){\mbox{ for almost all }}t>t_{0},}$

والتي تأخذ شكل المتباينة مع${\displaystyle \alpha =1}$،${\displaystyle \beta ={\frac {3}{2}}}$،${\displaystyle h(t)=2R(t)}$،${\displaystyle r_{1}(t)=1}$،${\displaystyle r_{2}(t)={\frac {1}{A(t)}}+{\frac {1}{K(t)}}}$ و${\displaystyle \delta }$هو أمر اعتباطي في${\displaystyle (t_{0},\infty )}$علاوة على ذلك، يمكن للمرء بسهولة إظهار الوظيفة${\displaystyle \Lambda (t)}$يؤول إلى الصفر عندما${\displaystyle t}$يؤول إلى اللانهاية. وبالتالي، تتحقق جميع الشروط، ومن ثم يوجد${\displaystyle c_{3}>0}$بحيث يكون لكل${\displaystyle |N_{0}|<c_{3}}$، واحد يحصل${\displaystyle \omega =\infty }$و

${\displaystyle |N(t)|\leq {\sqrt[{\sigma }]{\frac {c_{2}}{c_{1}}}}|N_{0}|,\forall t\geq t_{0},}$

وبالتالي${\displaystyle N=0}$مستقر بشكل موحد. في الواقع،${\displaystyle N=0}$مستقر بشكل منتظم ومستقر تقاربياً.

• دالة ليابونوف
• مبدأ لاسال للثبات
• نظرية ليابونوف-مالكين
• تخمين ماركوس-يامابي
• مدار نقطة التوازن
• نظرية هارتمان-غروبمان
• نظرية الاضطراب
• نظرية الاستقرار

• بهاتيا، نام بارشاد؛ سيجو، جورجيو ب. (2002). نظرية استقرار الأنظمة الديناميكية . سبرينغر. ISBN 978-3-540-42748-3.
• شيرفين، روبرت (1971). استقرار ليابونوف والتحكم بالتغذية الراجعة لأنظمة البلازما ثنائية التدفق (دكتوراه). جامعة كولومبيا.
• غاندولفو، جيانكارلو (1996). الديناميات الاقتصادية (  الطبعة الثالثة). برلين: سبرينغر. الصفحات 407-428 . ISBN  978-3-540-60988-9.
• شيرباكوف، بافيل س. (1992)، "ألكسندر ميخائيلوفيتش ليابونوف: بمناسبة مرور مئة عام على أطروحته للدكتوراه حول استقرار الحركة"، أوتوماتيكا ، 28 (5): 865-871 ، doi : 10.1016/0005-1098(92)90140-B
• باركس، بي سي (1992). "نظرية استقرار أ.م. ليابونوف - بعد مرور 100 عام". مجلة IMA للتحكم الرياضي والمعلومات . 9 (4): 275-303 . doi : 10.1093/imamci/9.4.275 .
• سلوتين، جان جاك إي؛ ويبينج لي (1991). تطبيق التحكم غير الخطي . نيوجيرسي: برنتيس هول.
• تيشل، ج. (2012). المعادلات التفاضلية العادية والأنظمة الديناميكية . بروفيدنس : الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• ويغينز، س. (2003). مقدمة في الأنظمة الديناميكية غير الخطية التطبيقية والفوضى (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر فيرلاغ . ISBN 978-0-387-00177-7.

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع asymptotically stable على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .