نظرية التقارب الذاتي

في الرياضيات ، تعتبر نظرية التقارب الذاتي واحدة من عائلة من النظريات ذات الصلة التي تحدد الشروط التي تضمن الاستقرار التقاربي العالمي لنظام ديناميكي ذاتي مستمر .

صِيغت فرضية ماركوس -يامابي كمحاولة لوضع شروط للاستقرار العالمي للأنظمة الديناميكية المستمرة في بُعدين . مع ذلك، لا تنطبق هذه الفرضية على الأبعاد الأكبر من بُعدين، وهي مشكلة تسعى نظريات التقارب الذاتي إلى معالجتها. وضع راسل سميث أول نظرية للتقارب الذاتي. ^{[ 1 ]} ثم قام مايكل لي وجيمس مولدوني بتنقيح هذه النظرية لاحقًا. ^{[ 2 ]}

فيما يلي نظرية بسيطة نسبياً للتقارب الذاتي:

يترك${\displaystyle x}$ليكن متجهًا في فضاء ما${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$، تتطور وفقًا لمعادلة تفاضلية مستقلة${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$لنفترض أن${\displaystyle X}$محدبة وثابتة للأمام تحت​${\displaystyle f}$وأن هناك نقطة ثابتة${\displaystyle {\hat {x}}\in X}$بحيث${\displaystyle f({\hat {x}})=0}$إذا وُجد معيار لوغاريتمي${\displaystyle \mu }$بحيث يكون اليعقوبي${\displaystyle J(x)=D_{x}f}$يرضي${\displaystyle \mu (J(x))<0}$لجميع قيم${\displaystyle x}$، ثم${\displaystyle {\hat {x}}}$هي النقطة الثابتة الوحيدة، وهي مستقرة تقاربياً على مستوى العالم. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ترتبط نظرية التقارب الذاتي هذه ارتباطًا وثيقًا بنظرية باناش للنقطة الثابتة .

ملاحظة: هذا وصف بديهي لكيفية ضمان نظريات التقارب الذاتي للاستقرار، وليس وصفًا رياضيًا دقيقًا.

تكمن النقطة الأساسية في نظرية المثال المذكورة أعلاه في وجود معيار لوغاريتمي سالب، مشتق من معيار متجهي . يقيس المعيار المتجهي فعليًا المسافة بين النقاط في الفضاء المتجهي الذي تُعرَّف عليه المعادلة التفاضلية، ويعني المعيار اللوغاريتمي السالب أن المسافات بين النقاط، كما يقيسها المعيار المتجهي المقابل، تتناقص مع مرور الوقت تحت تأثير${\displaystyle f}$طالما أن مسارات جميع النقاط في فضاء الطور محدودة ، فإن جميع المسارات يجب أن تتقارب في النهاية إلى نفس النقطة.

تعمل نظريات التقارب الذاتي لراسل سميث ومايكل لي وجيمس مولدوني بطريقة مماثلة، لكنها تعتمد على إثبات أن مساحة الأشكال ثنائية الأبعاد في فضاء الطور تتناقص مع الزمن. هذا يعني أنه لا يمكن أن توجد مدارات دورية ، إذ يجب أن تتقلص جميع الحلقات المغلقة إلى نقطة. إذا كان النظام محدودًا، فوفقًا لفرضية بو الختامية، لا يمكن أن يكون هناك سلوك فوضوي أيضًا، لذا يجب أن تصل جميع المسارات في النهاية إلى حالة توازن.

كما قام مايكل لي بتطوير نظرية تقارب ذاتي موسعة قابلة للتطبيق على الأنظمة الديناميكية التي تحتوي على مشعب ثابت . ^{[ 5 ]}