نظرية باناخ للنقطة الثابتة

في الرياضيات ، تعتبر نظرية النقطة الثابتة لباناخ (المعروفة أيضًا باسم نظرية رسم الخرائط الانكماشية أو نظرية رسم الخرائط الانكماشية أو نظرية باناخ-كاتشوبولي ) أداة مهمة في نظرية الفضاءات المترية ؛ فهي تضمن وجود وتفرد النقاط الثابتة لبعض الخرائط الذاتية للفضاءات المترية وتوفر طريقة بناءة لإيجاد تلك النقاط الثابتة. يمكن فهمها على أنها صياغة مجردة لطريقة بيكارد للتقريبات المتتالية . ^[1] سميت النظرية على اسم ستيفان باناخ (1892-1945) الذي صاغها لأول مرة في عام 1922. ^{[2] [3]}

التعريف. ليكن فضاء متريًا . إذن، تسمى الخريطة تعيينًا انكماشيًا على X إذا كان هناك مثل هذا ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle T:X\to X}$${\displaystyle q\in [0,1)}$

${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq qd(x,y)}$

للجميع${\displaystyle x,y\in X.}$

نظرية النقطة الثابتة لباناخ. ليكن فضاء متري كامل غير فارغ مع تعيين انكماشي. عندئذٍ ، يسمح T بنقطة ثابتة فريدة في X (أي ). علاوة على ذلك، يمكن إيجادها على النحو التالي: ابدأ بعنصر عشوائي وحدد تسلسلًا بواسطة لـ عندئذٍ .${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle T:X\to X.}$ ${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$${\displaystyle n\geq 1.}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}}$

ملاحظة 1. المتباينات التالية متكافئة وتصف سرعة التقارب :

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}}$

تسمى أي قيمة من هذا القبيل لـ q ثابت ليبشيتز لـ ، وأصغرها تسمى أحيانًا "أفضل ثابت ليبشيتز" لـ . ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

ملاحظة 2. فكل شيء لا يكفي بشكل عام لضمان وجود نقطة ثابتة، كما هو موضح في الخريطة. ${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$${\displaystyle x\neq y}$

${\displaystyle T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,}$

الذي يفتقر إلى نقطة ثابتة. ومع ذلك، إذا كان مضغوطًا ، فإن هذا الافتراض الأضعف يعني وجود نقطة ثابتة وفرادة، والتي يمكن العثور عليها بسهولة كأصغر من ، في الواقع، يوجد أصغر من خلال الاكتناز، ويجب أن يكون نقطة ثابتة من، ومن ثم يتبع ذلك بسهولة أن النقطة الثابتة هي حد أي تسلسل من التكرارات من${\displaystyle X}$${\displaystyle d(x,T(x))}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle T.}$

ملاحظة 3. عند استخدام النظرية في الممارسة العملية، يكون الجزء الأصعب عادةً هو التعريف بشكل صحيح بحيث${\displaystyle X}$${\displaystyle T(X)\subseteq X.}$

ليكن تعسفيًا وحدد تسلسلًا بوضع . نلاحظ أولاً أنه بالنسبة لكل ما لدينا المتباينة ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).}$

يتبع ذلك الاستدلال على ، باستخدام حقيقة أن هو تعيين انكماش. ثم يمكننا أن نظهر أن هو متوالية كوشي . على وجه الخصوص، دع مثل هذا : ${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\[5pt]&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\[5pt]&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}}$

ليكن تعسفيًا. بما أن ، يمكننا إيجاد قيمة كبيرة بحيث ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle q\in [0,1)}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}$

لذلك، من خلال اختيار وأكبر من ذلك يمكننا أن نكتب: ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .}$

وهذا يثبت أن المتتالية هي كوشي. وباكتمال المتتالية ، فإن المتتالية لها حد، علاوة على ذلك، يجب أن تكون نقطة ثابتة عند : ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle x^{*}\in X.}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).}$

كتعيين انكماش، يكون مستمرًا، لذا فإن إدخال الحد داخله كان مبررًا. أخيرًا، لا يمكن أن يكون هناك أكثر من نقطة ثابتة واحدة في ، نظرًا لأن أي زوج من النقاط الثابتة المميزة و من شأنه أن يتعارض مع انكماش : ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle d(T(p_{1}),T(p_{2}))=d(p_{1},p_{2})>qd(p_{1},p_{2}).}$

• أحد التطبيقات القياسية هو إثبات نظرية بيكارد-ليندلوف حول وجود وتفرد الحلول لبعض المعادلات التفاضلية العادية . يتم التعبير عن الحل المطلوب للمعادلة التفاضلية كنقطة ثابتة لمشغل تكامل مناسب على مساحة الدوال المستمرة تحت المعيار الموحد . ثم يتم استخدام نظرية النقطة الثابتة لباناخ لإظهار أن هذا المشغل التكاملي له نقطة ثابتة فريدة.
• إحدى نتائج نظرية النقطة الثابتة لباناخ هي أن اضطرابات ليبشيتز الصغيرة للمتطابقة هي تماثلات ثنائية ليبشيتز . دع Ω تكون مجموعة مفتوحة من فضاء باناخ E ؛ دع I  : Ω → E تشير إلى خريطة المتطابقة (التضمين) ودع g  : Ω → E تكون خريطة ليبشيتز للثابت k < 1. إذن

1. Ω′ := ( I + g )(Ω) هي مجموعة فرعية مفتوحة من E : على وجه التحديد، لأي x في Ω بحيث يكون B ( x , r ) ⊂ Ω لدينا B (( I + g )( x ), r (1 − k )) ⊂ Ω′؛
2. I + g  : Ω → Ω′ هو تجانس ثنائي ليبشيتز؛

على وجه التحديد، ( I + g ) ⁻¹ لا تزال على هيئة I + h  : Ω → Ω′ مع h a خريطة Lipschitz للثابت k /(1 −  k ). النتيجة المباشرة لهذه النتيجة تعطي إثبات نظرية الدالة العكسية .

• يمكن استخدامه لإعطاء الظروف الكافية التي تضمن عمل طريقة نيوتن للتقريبات المتعاقبة، وعلى نحو مماثل بالنسبة لطريقة تشيبيشيف من الدرجة الثالثة.
• يمكن استخدامه لإثبات وجود وتفرد الحلول للمعادلات التكاملية.
• يمكن استخدامه لإثبات نظرية تضمين ناش . ^[4]
• يمكن استخدامه لإثبات وجود وتفرد الحلول لتكرار القيمة، وتكرار السياسة، وتقييم السياسة للتعلم التعزيزي . ^[5]
• يمكن استخدامه لإثبات وجود وخصوصية التوازن في منافسة كورنو ، ^[6] وغيرها من النماذج الاقتصادية الديناميكية. ^[7]

توجد عدة صيغ لمبدأ انكماش باناخ. والصيغة التالية تعود إلى تشيسلاف بيساغا، من عام 1959:

ليكن f  : X → X خريطة لمجموعة مجردة بحيث يكون لكل تكرار f ⁿ نقطة ثابتة فريدة. ليكن هناك مقياس كامل على X بحيث يكون f انكماشيًا، و q هو ثابت الانكماش. ${\displaystyle q\in (0,1),}$

في الواقع، تكفي افتراضات ضعيفة للغاية للحصول على هذا النوع من العكس. على سبيل المثال، إذا كانت خريطة على فضاء طوبولوجي T ₁ بنقطة ثابتة فريدة a ، بحيث يكون لكل منها f ⁿ ( x ) → a ، فهناك بالفعل مقياس على X بالنسبة له، حيث تلبي f شروط مبدأ انكماش باناخ بثابت انكماش 1/2. ^[8] في هذه الحالة، يكون المقياس في الواقع مقياسًا فائقًا . ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$

هناك عدد من التعميمات (بعضها عبارة عن نتائج مباشرة ). ^[9]

ليكن T  : X → X خريطة على فضاء متري كامل غير فارغ. إذن، على سبيل المثال، بعض التعميمات لنظرية النقطة الثابتة لباناخ هي:

• افترض أن بعض التكرارات T ⁿ لـ T عبارة عن انكماش. عندئذٍ يكون لـ T نقطة ثابتة فريدة.
• افترض أنه لكل n ، يوجد c _n بحيث d ( T ⁿ ( x )، T ⁿ ( y )) ≤ c _n d ( x , y ) لجميع x و y ، وأن

${\displaystyle \sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .}$

ومن ثم فإن T لها نقطة ثابتة فريدة.

في التطبيقات، غالبًا ما يمكن إثبات وجود نقطة ثابتة وتميزها مباشرةً باستخدام نظرية النقطة الثابتة القياسية لباناخ، وذلك من خلال اختيار مناسب للمقياس الذي يجعل الخريطة T انكماشًا. في الواقع، تشير النتيجة المذكورة أعلاه التي توصل إليها بيساجا بقوة إلى البحث عن مثل هذا المقياس. انظر أيضًا المقالة حول نظريات النقطة الثابتة في الفضاءات اللانهائية الأبعاد للحصول على تعميمات.

تنشأ فئة مختلفة من التعميمات من التعميمات المناسبة لمفهوم الفضاء المتري ، على سبيل المثال عن طريق إضعاف البديهيات المحددة لمفهوم المتري. ^[10] بعض هذه التعميمات لها تطبيقات، على سبيل المثال، في نظرية دلالات البرمجة في علوم الكمبيوتر النظرية. ^[11]

يمكن استخدام تطبيق نظرية النقطة الثابتة لباناخ وتكرار النقطة الثابتة للحصول بسرعة على تقريب لـ π بدقة عالية. ضع في اعتبارك الدالة . يمكن التحقق من أن π هي نقطة ثابتة لـ f ، وأن f تقابل الفاصلة لنفسها. علاوة على ذلك، ، ويمكن التحقق من أن ${\displaystyle f(x)=\sin(x)+x}$${\displaystyle \left[3\pi /4,5\pi /4\right]}$${\displaystyle f'(x)=1+\cos(x)}$

${\displaystyle 0\leq 1+\cos(x)\leq 1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}<1}$

على هذه الفترة. لذلك، من خلال تطبيق نظرية القيمة المتوسطة ، فإن f لها ثابت Lipschitz أقل من 1 (أي ). يُظهر تطبيق نظرية النقطة الثابتة لباناخ أن النقطة الثابتة π هي النقطة الثابتة الوحيدة على الفترة، مما يسمح باستخدام تكرار النقطة الثابتة. ${\displaystyle 1-1/{\sqrt {2}}}$

على سبيل المثال، يمكن اختيار القيمة 3 لبدء تكرار النقطة الثابتة، كما هو الحال مع . ويمكن استخدام نظرية النقطة الثابتة لباناخ لاستنتاج أن ${\displaystyle 3\pi /4\leq 3\leq 5\pi /4}$

${\displaystyle \pi =f(f(f(\cdots f(3)\cdots )))).}$

يؤدي تطبيق f على 3 ثلاث مرات فقط إلى توسع π دقيق إلى 33 رقمًا:

${\displaystyle f(f(f(3)))=3.141592653589793238462643383279502\ldots \,.}$

• أجراوال، برافين؛ جليلي، محمد؛ ساميت، بيسيم (2018). "مبدأ انكماش باناخ وتطبيقاته". نظرية النقطة الثابتة في الفضاءات المترية . سنغافورة: سبرينغر. ص. 1-23. doi :10.1007/978-981-13-2913-5_1. ISBN 978-981-13-2912-8.
• شيكون، كارمن (2006). "الانكماش". المعادلات التفاضلية العادية مع التطبيقات (الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. ص 121-135. رقم ISBN 0-387-30769-9.
• جراناس، أندريج؛ دوجوندجي، جيمس (2003). نظرية النقطة الثابتة . نيويورك: دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 0-387-00173-5.
• استراتسكو، فاسيلي الأول (1981). نظرية النقطة الثابتة: مقدمة . هولندا: د. رايدل. ISBN 90-277-1224-7.انظر الفصل 7.
• كيرك، ويليام أ.؛ خمسي، محمد أ. (2001). مقدمة إلى الفضاءات المترية ونظرية النقطة الثابتة . نيويورك: جون وايلي. ISBN 0-471-41825-0.

تتضمن هذه المقالة مادة من نظرية النقطة الثابتة لباناخ على PlanetMath ، والتي تخضع لرخصة المشاع الإبداعي المنسوبة للمثل .