بديهية الاختيار العالمي

في الرياضيات ، وتحديداً في نظريات الأصناف ، تُعدّ بديهية الاختيار الشامل صيغةً أقوى من بديهية الاختيار ، وهي تنطبق على الأصناف الصحيحة من المجموعات ، وكذلك على مجموعات المجموعات. وبعبارة أخرى، تنصّ هذه البديهية على أنه يمكن اختيار عنصر واحد من كل مجموعة غير فارغة في آنٍ واحد .

تنص بديهية الاختيار العالمي على وجود دالة اختيار عالمية τ، أي دالة بحيث يكون لكل مجموعة غير فارغة z ، فإن τ( z ) عنصر من z .

لا يمكن التعبير عن بديهية الاختيار الشامل مباشرةً بلغة نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF) باستخدام بديهية الاختيار (AC)، والمعروفة اختصارًا بـ ZFC، لأن دالة الاختيار τ هي فئة حقيقية، ولا يمكن في ZFC التكميم على الفئات. يمكن التعبير عنها بإضافة رمز دالة جديد τ إلى لغة ZFC، بحيث تكون τ دالة اختيار شاملة. يُعد هذا امتدادًا محافظًا لـ ZFC: فكل عبارة قابلة للإثبات في هذه النظرية الموسعة، والتي يمكن التعبير عنها بلغة ZFC، قابلة للإثبات بالفعل في ZFC ( فرانكل، بار-هيلل ، وليفي، 1973 ، ص 72) . بدلاً من ذلك، أظهر غودل أنه بالنظر إلى بديهية قابلية الإنشاء، يمكن كتابة دالة اختيار صريحة (وإن كانت معقدة إلى حد ما) τ بلغة ZFC، لذا فإن بديهية قابلية الإنشاء تعني، بمعنى ما، الاختيار الشامل (في الواقع، [تثبت ZFC أنه] في اللغة الموسعة برمز الدالة الأحادية τ، فإن بديهية قابلية الإنشاء تعني أنه إذا قيل إن τ دالة قابلة للتعريف صراحةً، فإن τ هذه هي دالة اختيار شاملة. وعندها يتحقق الاختيار الشامل أخلاقياً، مع τ كشاهد ) .

بلغة نظرية المجموعات فون نيومان-بيرنايز-غودل (NBG) ونظرية المجموعات مورس-كيلي ، يمكن صياغة بديهية الاختيار الشامل بشكل مباشر ( فرانكل، بار-هيلل وليفي 1973 ، ص 133) ، وهي تعادل العديد من العبارات الأخرى:

• كل فئة من المجموعات غير الفارغة لها دالة اختيار .
• V \ {∅} لها دالة اختيار (حيث V هي فئة جميع المجموعات ).
• يوجد ترتيب جيد لـ V.
• يوجد تقابل بين V وفئة جميع الأعداد الترتيبية .

في نظرية المجموعات فون نيومان-بيرنايز-غودل، لا يضيف الاختيار العالمي أي نتيجة حول المجموعات (وليس الفئات المناسبة) تتجاوز ما كان يمكن استنتاجه من بديهية الاختيار العادية.

إن الاختيار العالمي هو نتيجة لمبدأ محدودية الحجم .