بديهية تحديد الحجم

في نظرية المجموعات ، اقترح جون فون نيومان بديهية محدودية الحجم في نظام بديهياته للمجموعات والفئات عام 1925. ^[¹ ] تُضفي هذه البديهية طابعًا رسميًا على مبدأ ^{محدودية} الحجم ، الذي يتجنب المفارقات التي وُوجهت في الصيغ السابقة لنظرية المجموعات، وذلك من خلال إدراك أن بعض الفئات أكبر من أن تُعتبر مجموعات. أدرك فون نيومان أن هذه المفارقات ناتجة عن السماح لهذه الفئات الكبيرة بأن تكون أعضاءً في فئة ما. ^[²^] الفئة التي تنتمي إلى فئة أخرى تُعتبر مجموعة؛ أما الفئة التي لا تُعتبر مجموعة فتُعتبر فئة فعلية . كل فئة هي فئة فرعية من V ، وهي فئة جميع المجموعات. ^[^أ^] تنص بديهية محدودية الحجم على أن الفئة تُعتبر مجموعة إذا وفقط إذا كانت أصغر من V ، أي أنه لا توجد دالة تربطها بـ V. عادةً ما تُصاغ هذه البديهية بالشكل المكافئ التالي : الفئة تُعتبر فئة فعلية إذا وفقط إذا كانت هناك دالة تربطها بـ V.

يستلزم مبدأ فون نيومان مبادئ الاستبدال والفصل والاتحاد والاختيار الشامل . وهو مكافئ لمزيج الاستبدال والاتحاد والاختيار الشامل في نظرية مجموعات فون نيومان-بيرنايز-غودل (NBG) ونظرية مجموعات مورس-كيلي. تستخدم التفسيرات اللاحقة لنظريات الفئات - مثل تفسيرات بول بيرنايز وكورت غودل وجون ل. كيلي - مبدأ الاستبدال والاتحاد ومبدأ اختيار مكافئ للاختيار الشامل بدلاً من مبدأ فون نيومان . [ 3 ] في عام 1930 ^،^وضع^إرنست زيرميلو نماذج لنظرية المجموعات تُحقق مبدأ محدودية الحجم. ^[⁴^]

ذكر أبراهام فرانكل وأزرييل ليفي أن بديهية محدودية الحجم لا تشمل كل "مبدأ محدودية الحجم" لأنها لا تتضمن بديهية مجموعة القوى . ^{[ 5 ]} جادل مايكل هالت بأن مبدأ محدودية الحجم لا يبرر بديهية مجموعة القوى، وأن "افتراض فون نيومان الصريح [بصغر مجموعات القوى] يبدو أفضل من افتراض زيرميلو وفرانكل وليفي الضمني المبهم لصغر مجموعات القوى". ^{[ 6 ]}

بيان رسمي

النسخة المعتادة من بديهية تحديد الحجم - وهي أن الفئة تكون فئة حقيقية إذا وفقط إذا كانت هناك دالة تربطها بـ V - يتم التعبير عنها باللغة الرسمية لنظرية المجموعات على النحو التالي:

{\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y{\bigl (}\exists D(y\in D)\implies \exists x[\,x\in C\land (x,y)\in F\,]{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}

قدّم غودل اصطلاحًا يقضي بأن المتغيرات ذات الأحرف الكبيرة تشمل جميع الفئات، بينما تشمل المتغيرات ذات الأحرف الصغيرة جميع المجموعات. ^{[ 7 ]} يسمح لنا هذا الاصطلاح بكتابة:

$\يوجد y\,\varphi (y)$ بدلاً من $\exists y{\bigl (}\exists D(y\in D)\land \varphi (y){\bigr )}$
$\forall y\,\varphi (y)$ بدلاً من $\forall y{\bigl (}\exists D(y\in D)\implies \varphi (y){\bigr )}$

باستخدام اتفاقية غودل، يمكن كتابة بديهية تحديد الحجم على النحو التالي:

{\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y\exists x{\bigl (}x\in C\land (x,y)\in F{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}

دلالات البديهية

أثبت فون نيومان أن بديهية محدودية الحجم تستلزم بديهية الاستبدال ، والتي يمكن التعبير عنها كما يلي: إذا كانت F دالة و A مجموعة، فإن F ( A ) مجموعة. وقد تم إثبات ذلك بالتناقض . لتكن F دالة و A مجموعة. ولنفترض أن F ( A ) فئة حقيقية. عندئذٍ توجد دالة G تُسقط F ( A ) على V. وبما أن الدالة المركبة G $\circ$ إذا كانت F تُسقط A على V ، فإن بديهية محدودية الحجم تستلزم أن A فئة حقيقية، وهو ما يتناقض مع كون A مجموعة. لذلك، فإن F ( A ) مجموعة. وبما أن بديهية الاستبدال تستلزم بديهية الفصل ، فإن بديهية محدودية الحجم تستلزم بديهية الفصل . ^{[ ب ]}

أثبت فون نيومان أيضًا أن بديهيته تستلزم إمكانية ترتيب V ترتيبًا جيدًا . يبدأ البرهان بإثبات بالتناقض أن Ord ، وهي فئة جميع الأعداد الترتيبية ، هي فئة فعلية. لنفترض أن Ord مجموعة. بما أنها مجموعة متعدية مرتبة ترتيبًا جيدًا تمامًا بواسطة ∈، فهي عدد ترتيبي. إذن Ord ∈ Ord ، وهو ما يناقض كون Ord مرتبة ترتيبًا جيدًا تمامًا بواسطة ∈. لذلك، Ord فئة فعلية. وبالتالي، فإن بديهية فون نيومان تستلزم وجود دالة F تُسقط Ord على V. لتعريف ترتيب جيد لـ V ، ليكن G الفئة الفرعية من F التي تتكون من الأزواج المرتبة ( α , x ) حيث α هو أصغر β بحيث يكون ( β , x ) ∈ F. أي أن G = {( α , x ) ∈ F : ∀ β (( β , x ) ∈ F ⇒ α ≤ β ) ^} . الدالة G هي تناظر أحادي بين فئة فرعية من Ord و V. بالتالي، x < y إذا كان ^G⁻¹( x) < G⁻¹ (y) يُعرّف ترتيبًا جيدًا لـ V. يُعرّف هذا الترتيب الجيد دالة اختيار شاملة : ليكن Inf ( x ) أصغر عنصر في مجموعة غير فارغة x . بما أن Inf ( x ) ∈ x ، فإن هذه الدالة تختار عنصرًا من x لكل مجموعة غير فارغة x . بالتالي، Inf ( x ) هي دالة اختيار شاملة، لذا فإن بديهية فون نيومان تستلزم بديهية الاختيار الشامل .

في عام 1968، أثبت أزرييل ليفي أن بديهية فون نيومان تستلزم بديهية الاتحاد . أولًا، أثبت دون استخدام بديهية الاتحاد أن لكل مجموعة من الأعداد الترتيبية حدًا أعلى. ثم استخدم دالة تربط Ord بـ V ليثبت أنه إذا كانت A مجموعة، فإن ∪ A مجموعة أيضًا. ^{[ 8 ]}

تُشير بديهيات الاستبدال والاختيار الشامل والاتحاد (مع البديهيات الأخرى لنظرية المجموعات غير المتجانسة ) إلى بديهية تحديد الحجم. ^{[ ج ]} لذا، تُكافئ هذه البديهية الجمع بين الاستبدال والاختيار الشامل والاتحاد في نظرية المجموعات غير المتجانسة أو نظرية مورس-كيلي للمجموعات . استبدلت هذه النظريات بديهية الاستبدال وشكلًا من أشكال بديهية الاختيار ببديهية تحديد الحجم لأن نظام بديهيات فون نيومان يتضمن بديهية الاتحاد. وجاء برهان ليفي على أن هذه البديهية زائدة عن الحاجة بعد سنوات عديدة. ^{[ 9 ]}

لا تستلزم بديهيات نظرية المجموعات المنطقية الجديدة (NBG)، مع استبدال بديهية الاختيار الشامل ببديهية الاختيار المعتادة ، بديهية تحديد الحجم. في عام ١٩٦٤، استخدم ويليام ب. إيستون الإجبار لبناء نموذج لنظرية المجموعات المنطقية الجديدة مع استبدال الاختيار الشامل ببديهية الاختيار. ^{[ ١٠ ]} في نموذج إيستون، لا يمكن ترتيب V ترتيبًا خطيًا ، وبالتالي لا يمكن ترتيبها ترتيبًا جيدًا. لذلك، تفشل بديهية تحديد الحجم في هذا النموذج. يُعد Ord مثالًا على فئة مناسبة لا يمكن ربطها بـ V لأنه (كما ثبت أعلاه) إذا كانت هناك دالة تربط Ord بـ V ، فإن V يمكن أن تكون مرتبة ترتيبًا جيدًا.

لا تستلزم بديهيات نظرية المجموعات الطبيعية، مع استبدال بديهية الاستبدال ببديهية الفصل الأضعف، بديهية تحديد الحجم. عرّف $\أوميغا _{\alpha }$ كما هو الحال $\alpha$ العدد الترتيبي الأولي اللانهائي رقم -th ، وهو أيضًا العدد الأصلي $\aleph _{\alpha }$ يبدأ الترقيم من $0$ ، لذا $\omega _{0}=\omega .$ في عام ١٩٣٩، أشار غودل إلى أن Lωω _{، _وهي} مجموعة جزئية من الكون القابل للإنشاء ، تُعد نموذجًا لنظرية ZFC مع استبدال الإحلال بالفصل. ^{[ ١١ ]} ولتوسيعها إلى نموذج لنظرية NBG مع استبدال الإحلال بالفصل، لنفترض أن فئاتها هي مجموعات Lωω _{+ ₁ ،} وهي المجموعات الجزئية القابلة للإنشاء من Lωω _{. _{يحقق هذا النموذج بديهيات وجود الفئات في NBG}}_{_،} لأن تقييد متغيرات المجموعة لهذه البديهيات على Lωω _يُنتج حالات من بديهية الفصل، التي تنطبق على L. ^{[ د ]} كما يحقق بديهية الاختيار الشامل لوجود دالة تنتمي إلى Lωω _{+ 1}_{_تُسقط} ωω _{_على} Lωω _،_مما يعني أن Lωω _{مرتبة _{ترتيبًا}} جيدًا. ^{[ هـ ]} تفشل بديهية تحديد الحجم لأن الفئة المناسبة {ω _n : n ∈ ω} لها عدد أصلي $\aleph _{0}$ لذلك لا يمكن إسقاطها على L _{ω _ω} ، التي لها عدد عناصر $\aleph _{\أوميغا }$ . ^{[ f ]}

في رسالةٍ إلى زيرميلو عام ١٩٢٣، ذكر فون نيومان الصيغة الأولى لمسلمته: تُعتبر الفئة فئةً حقيقية إذا وفقط إذا كان هناك تطابقٌ تامٌ بينها وبين V. [ ٢ ^{] وتستلزم مسلمة} تحديد الحجم مسلمة فون نيومان لعام ١٩٢٣. وبالتالي، فإنها تستلزم أيضًا أن جميع الفئات الحقيقية متساوية العدد مع V.

إثبات أن بديهية محدودية الحجم تستلزم بديهية فون نيومان لعام 1923

لإثبات $\Longleftarrow$ الاتجاه، دع $A$ كن فصلاً دراسياً و $F$ أن تكون مراسلة فردية من $A$ ل $V.$ منذ $F$ خرائط $A$ على $V,$ إن بديهية محدودية الحجم تعني أن $A$ هو فئة مناسبة.

لإثبات $\Longrightarrow$ الاتجاه، دع $A$ سنُعرّف فئات مُرتبة ترتيبًا جيدًا. $(A,<)$ و $(V,<),$ وبناء تماثلات الترتيب بين $(Ord,<),(A,<),$ و $(V,<).$ ثم يكون التماثل الترتيبي من $(A,<)$ ل $(V,<)$ هي علاقة مباشرة بين $A$ و $V.$

لقد ثبت أعلاه أن بديهية محدودية الحجم تستلزم وجود دالة $F$ تلك الخرائط $Ord$ على $V.$ أيضًا، $G$ تم تعريفها كفئة فرعية من $F$ هذا تطابق تام بين $Dom(G)$ و $V.$ وهو يحدد ترتيبًا جيدًا على $V\colon \,x<y\,$ لو $G^{-1}(x)<G^{-1}(y).$ لذلك، $G$ هو تماثل ترتيبي من $(Dom(G),<)$ ل $(V,<).$

لو $(C,<)$ هي فئة مرتبة جيدًا، وأجزاؤها الأولية الصحيحة هي الفئات $\{x\in C:x<y\}$ أين $y\in C.$ الآن $(Ord,<)$ تتميز هذه المجموعة بأن جميع أجزائها الأولية الصحيحة هي مجموعات. $Dom(G)\subseteq Ord,$ هذه الخاصية تنطبق على $(Dom(G),<).$ تماثل الترتيب $G$ وهذا يعني أن هذه الخاصية تنطبق على $(V,<).$ منذ $A\subseteq V,$ هذه الخاصية تنطبق على $(A,<).$

للحصول على تماثل ترتيبي من $(A,<)$ ل $(V,<),$ تُستخدم النظرية التالية: إذا $P$ هي فئة مناسبة والأجزاء الأولية المناسبة من $(P,<)$ إذا كانت المجموعات عبارة عن مجموعات، فإن هناك تماثلًا ترتيبيًا من $(Ord,<)$ ل $(P,<).$ ^{[ ز ]} منذ $(A,<)$ و $(V,<)$ إذا تحققت فرضية النظرية، فهناك تماثلات ترتيبية. $I_{A}\colon (Ord,<)\rightarrow (A,<)$ و $I_{V}\colon (Ord,<)\rightarrow (V,<).$ لذلك، فإن تماثل الترتيب $I_{V}\circ I_{A}^{-1}\colon (A,<)\rightarrow (V,<)$ هي علاقة مباشرة بين $A$ و $V.$

نماذج زيرميلو وبديهية تحديد الحجم

في عام 1930، نشر زيرميلو مقالًا عن نماذج نظرية المجموعات، أثبت فيه أن بعض نماذجه تحقق بديهية محدودية الحجم. ^{[ 4 ]} تُبنى هذه النماذج في ZFC باستخدام التسلسل الهرمي التراكمي Vα _، والذي يُعرَّف بالاستدعاء الذاتي المتسامي .

V ₀ = ∅ . ^[^h^]
V _{α +1} = V _α ∪ P ( V _α ) . أي اتحاد V _α ومجموعة قواها . ^[ⁱ^]
بالنسبة للنهاية β : V _β = ∪ _{α < β} V _α . أي أن V _β هو اتحاد V _α السابق .

عمل زيرميلو مع نماذج من الشكل V _κ حيث κ عدد أصلي . فئات النموذج هي المجموعات الجزئية من V _κ ، وعلاقة ∈ للنموذج هي علاقة ∈ القياسية. مجموعات النموذج هي الفئات X التي X ∈ V _κ . ^{[ j ]} حدد زيرميلو الأعداد الأصلية κ التي تحقق V _κ ما يلي : ^{[ 12 ]}

النظرية 1. الفئة X هي مجموعة إذا وفقط إذا كان | X | < κ.

النظرية 2. | V _κ | = κ.

بما أن كل فئة هي مجموعة جزئية من V _{κ ، فإن النظرية 2 تُشير إلى أن}عدد عناصر كل فئة X هو ≤ κ. وبدمج هذا مع النظرية 1، يتضح أن عدد عناصر كل فئة حقيقية هو κ. وبالتالي، يمكن وضع كل فئة حقيقية في تناظر أحادي مع V _κ . هذا التناظر هو مجموعة جزئية من V _κ ، لذا فهو فئة من النموذج. وعليه، فإن بديهية محدودية الحجم تنطبق على النموذج V _κ .

يمكن إثبات النظرية التي تنص على أن _Vκلها ترتيب جيد بشكل مباشر . بما أن κ عدد ترتيبي عدد عناصره κ و | _Vκ| = κ ، فهناك تناظر أحادي بين κ و Vκ . ينتج عن هذا التناظر ترتيب جيد لـ Vκ _._أما برهان فون نيومان فهو غير مباشر ، إذ يستخدم مفارقة بورالي-فورتي لإثبات بالتناقض أن فئة جميع الأعداد الترتيبية هي فئة فعلية. وبالتالي، فإن بديهية محدودية الحجم تستلزم وجود دالة تربط فئة جميع الأعداد الترتيبية بفئة جميع المجموعات. تنتج هذه الدالة ترتيبًا جيدًا ^لـ Vκ _.^[¹³ ]

النموذج V _ω

لإثبات صحة النظريتين 1 و2 لبعض V _κ ، نبرهن أولًا أنه إذا كانت مجموعة ما تنتمي إلى V _α فإنها تنتمي إلى جميع V _β اللاحقة ، أو بصورة مكافئة: V _α ⊆ V _β لـ α ≤ β. ويتم إثبات ذلك بالاستقراء المتسامي على β.

β = 0: V ₀ ⊆ V ₀ .
بالنسبة إلى β+1: عن طريق الفرضية الاستقرائية، V _α ⊆ V _β . وبالتالي، V _α ⊆ V _β ⊆ V _β ∪ P ( V _β ) = V _β+1 .
للحد β: إذا α < β، ثم V _α ⊆ ∪ _{ξ < β}V _ξ = V _β . إذا α = β , ثم V _α ⊆ V _β .

تدخل المجموعات في التسلسل الهرمي التراكمي من خلال مجموعة القوى P ( V _β ) في الخطوة β +1. ستكون التعريفات التالية مطلوبة:

إذا كانت x مجموعة، فإن rank ( x ) هي أصغر ترتيب β بحيث x ∈ V _β+1 . ^[¹⁴^]

الحد الأعلى لمجموعة من الأعداد الترتيبية A، ويرمز له بـ sup A، هو أصغر عدد ترتيبي β بحيث يكون α ≤ β لجميع α ∈ A.

أصغر نموذج لزيرميلو هو V _ω . يثبت الاستقراء الرياضي أن V _n محدود لجميع قيم n < ω :

| V ₀ | = 0.
| V _{n +1} | = | V _n ∪ P ( V _n )| ≤ | V _n | + 2 ^|^V^_n^| ، وهو محدود لأن V _n محدود بحسب فرضية الاستقراء.

برهان النظرية 1: تدخل المجموعة X _إلىVω عبر P ( Vn ₎ لبعض n < ω، لذا X ⊆ Vn _. بما أن Vn _مجموعة منتهية، فإن X مجموعة منتهية. عكسيًا : إذا كانت الفئة X منتهية، فلنفرض أن N = sup {rank( x ): x ∈ X }. بما أن rank( x ) ≤ N لجميع x ∈ X ، فإن X ⊆ VN ₊₁ ، وبالتالي X ∈ VN ₊₂ ⊆ Vω _. إذن ، X ∈ Vω _.

برهان النظرية 2: V _ω هو اتحاد عدد لا نهائي قابل للعد من المجموعات المنتهية ذات الحجم المتزايد. وبالتالي، فإن له عددًا أصليًا. $\aleph _{0}$ ، وهو ما يساوي ω بواسطة مهمة فون نيومان الأساسية .

تحقق المجموعات والفئات في V _ω جميع بديهيات NBG باستثناء بديهية اللانهاية . ^{[ k ]}

النماذج V _κ حيث κ عدد أصلي يصعب الوصول إليه بشدة

تم استخدام خاصيتين من خصائص التناهي لإثبات النظريتين 1 و 2 لـ V _ω :

إذا كان λ عددًا أصليًا محدودًا، فإن 2λ ^يكون عددًا محدودًا.
إذا كانت A مجموعة من الأعداد الترتيبية بحيث تكون | A | محدودة، و α محدودة لجميع α ∈ A ، فإن sup A محدودة.

لإيجاد نماذج تحقق بديهية اللانهاية، استبدل كلمة "محدود" بـ "< κ" للحصول على الخصائص التي تُعرّف الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة . يكون العدد الأصلي κ غير قابل للوصول بقوة إذا كان κ > ω و:

إذا كان π عددا أساسيا بحيث يكون π < κ، فإن 2 ^lect < κ.
إذا كانت A مجموعة من الأعداد الترتيبية بحيث | A | < κ، و α < κ لجميع α ∈ A ، فإن sup A < κ.

تؤكد هذه الخصائص أنه لا يمكن الوصول إلى κ من الأسفل. تنص الخاصية الأولى على أنه لا يمكن الوصول إلى κ بواسطة مجموعات القوى؛ وتنص الثانية على أنه لا يمكن الوصول إلى κ بواسطة بديهية الاستبدال. ^{[ ل ]} وكما أن بديهية اللانهاية مطلوبة للحصول على ω، فإن بديهية مطلوبة للحصول على الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة. افترض زيرميلو وجود متتالية غير محدودة من الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة. ^{[ م ]}

إذا كان κ هو عدد كاردينال لا يمكن الوصول إليه بقوة، فإن الاستقراء العابر للحدود يثبت | الخامس _ألفا | < κ للجميع α < κ:

α = 0: | V ₀ | = 0.
بالنسبة لـ α + 1: | V _{α + 1} | = | V _α ∪ P ( V _α )| ≤ | V _α | + 2 ^|^V^_α^| = 2 ^|^V^_α^| < κ. تستخدم المتباينة الأخيرة فرضية الاستقراء وكون κ غير قابل للوصول إليه بقوة.
للحد α : | الخامس _ألفا | = |∪ _{ξ < α} V _ξ | ≥ سوب { | الخامس _ξ | : ξ < α } < κ. يستخدم عدم المساواة الأخير فرضية استقرائية و κ لا يمكن الوصول إليها بقوة.

برهان النظرية 1: تدخل المجموعة X _إلىVκ عبر P ( Vα ) لبعض α < _κ ، لذا X ⊆ Vα . بما أن | Vα | < κ، نحصل على | X | < κ. عكسيًا: إذا كانت الفئة X تحتوي على | X | < _κ ، فلنفرض أن β = sup {rank( x ): x ∈ X }. نظرًا لأن _κ غير قابلة للوصول بقوة، فإن | X | < κ وrank( x ) < κ لكل x ∈ X يستلزمان أن β = sup {rank( x ): x ∈ X } < κ. بما أن rank( x ) ≤ β لكل x ∈ X ، فإن X ⊆ Vβ ₊₁ ، لذا X ∈ Vβ ₊₂ ⊆ Vκ _. بالتالي ، X ∈ Vκ _.

إثبات النظرية 2: | الخامس _κ | = |∪ _{α < κ}V _α | ≥ سوب { | الخامس _ألفا | : α < κ}. دع β يكون هذا الأسمى. نظرًا لأن كل ترتيب في الجزء العلوي أقل من κ، فلدينا β ≥ κ. افترض β < κ . ثم هناك الكاردينال α بحيث β < lect < κ؛ على سبيل المثال، لنفترض أن 2 = 2 ^|β| . منذ χ ⊆ V _χ و | الخامس _lect | في الأعلى، لدينا χ ≥ | الخامس _lect | ≥ ب. وهذا يتناقض مع β < lect . ولذلك | الخامس _κ | = β = κ.

تحقق المجموعات والفئات في V _κ جميع بديهيات NBG. ^{[ n ]}

مبدأ تحديد الحجم

مبدأ تحديد الحجم هو مبدأ استدلالي يُستخدم لتبرير بديهيات نظرية المجموعات. وهو يتجنب مفارقات نظرية المجموعات عن طريق تقييد مخطط البديهيات الكامل (المتناقض) للفهم .

\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists x\,\forall u\,(u\in x\iff \varphi (u,w_{1},\ldots ,w_{n}))

إلى الحالات "التي لا تعطي مجموعات 'أكبر بكثير' من تلك التي تستخدمها." ^{[ 15 ]}

إذا كان المقصود بـ "أكبر" هو "أكبر في الحجم الأصلي"، فيمكن تبرير معظم البديهيات: بديهية الفصل تُنتج مجموعة جزئية من x لا تتجاوز حجم x . بديهية الاستبدال تُنتج مجموعة صور f ( x ) لا تتجاوز حجم x . بديهية الاتحاد تُنتج اتحادًا لا يتجاوز حجمه حجم أكبر مجموعة في الاتحاد مضروبًا في عدد المجموعات في الاتحاد. ^{[ 16 ]} بديهية الاختيار تُنتج مجموعة اختيار لا يتجاوز حجمها حجم المجموعة المعطاة من المجموعات غير الفارغة.

إن مبدأ تحديد الحجم لا يبرر مسلمة اللانهاية:

\exists y\,[\emptyset \in y\,\land \,\forall x(x\in y\implies x\cup \{x\}\in y)],

تستخدم هذه الطريقة المجموعة الفارغة والمجموعات المُشتقة منها بتكرار عملية الترتيب اللاحق . ولأن هذه المجموعات منتهية، فإن أي مجموعة تُحقق هذه البديهية، مثل ω، تكون أكبر بكثير من هذه المجموعات. يعتبر فرانكل وليفي المجموعة الفارغة ومجموعة الأعداد الطبيعية اللانهائية ، التي يُستدل على وجودها من بديهيتي اللانهاية والفصل، نقطة انطلاق لتوليد المجموعات. ^{[ 17 ]}

يعتمد منهج فون نيومان في تحديد الحجم على بديهية تحديد الحجم. وكما ذُكر في قسم " آثار البديهية" ، فإن بديهية فون نيومان تستلزم بديهيات الفصل والاستبدال والاتحاد والاختيار. ومثل فرانكل وليفي، اضطر فون نيومان إلى إضافة بديهية اللانهاية إلى نظامه، إذ لا يمكن إثباتها من بديهياته الأخرى. ^{[ o ]} وتتلخص الاختلافات بين منهج فون نيومان في تحديد الحجم ومنهج فرانكل وليفي فيما يلي:

تُدخل بديهية فون نيومان مفهوم محدودية الحجم في نظام البديهيات، مما يُتيح إثبات معظم بديهيات وجود المجموعات. ويُبرر مبدأ محدودية الحجم البديهيات باستخدام حجج غير رسمية أكثر عرضة للاختلاف من البرهان.
افترض فون نيومان بديهية مجموعة القوى لأنه لا يمكن إثباتها من بديهياته الأخرى. ^{[ ص ]} يذكر فرانكل وليفي أن مبدأ تحديد الحجم يبرر بديهية مجموعة القوى. ^{[ 18 ]}

ثمة خلاف حول ما إذا كانت نظرية تحديد الحجم تبرر بديهية مجموعة القوى. وقد حلل مايكل هالت الحجج التي قدمها فرانكل وليفي. بعض حججهما تقيس الحجم بمعايير أخرى غير الحجم الأصلي - على سبيل المثال، يقدم فرانكل مفهومي "الشمولية" و"قابلية التوسع". ويشير هالت إلى ما يعتبره عيوبًا في حججهما. ^{[ 19 ]}

ثم يجادل هالت بأن نتائج نظرية المجموعات تشير ظاهريًا إلى عدم وجود صلة بين حجم مجموعة لانهائية وحجم مجموعة قواها. وهذا يعني أن مبدأ محدودية الحجم غير قادر على تبرير بديهية مجموعة القوى، لأنه يشترط ألا تكون مجموعة قوى x "أكبر بكثير" من x . وفي حالة قياس الحجم بالحجم الأصلي، يشير هالت إلى عمل بول كوهين . ^{[ 20 ]} بدءًا من نموذج ZFC و $\aleph _{\alpha }$ قام كوهين ببناء نموذج تكون فيه قيمة مجموعة القوى لـ ω هي $\aleph _{\alpha }$ إذا كانت النهاية المشتركة لـ $\aleph _{\alpha }$ ليست ω؛ وإلا فإن عددها هو $\aleph _{\alpha +1}$ [ ²¹^] بما أن عدد عناصر مجموعة القوى لـ ω ليس له حد، فلا توجد علاقة بين عدد عناصر ω وعدد عناصر P (ω) ^.^[²²^]

يناقش هالت أيضًا الحالة التي يُقاس فيها الحجم بـ"الشمولية"، والتي تعتبر المجموعة "كبيرة جدًا" إذا كانت ذات "شمولية غير محدودة" أو "امتداد غير محدود". ^{[ 23 ]} ويشير إلى أنه بالنسبة لمجموعة لانهائية، لا يمكننا التأكد من امتلاكنا لجميع مجموعاتها الجزئية دون المرور بالامتداد غير المحدود للكون. كما يقتبس من جون ل. بيل وموشيه ماتشوفر : "... مجموعة القوى P ( u ) لمجموعة معينة [لانهائية] u لا تتناسب فقط مع حجم u ، بل تتناسب أيضًا مع "ثراء" الكون بأكمله..." ^{[ 24 ]} بعد هذه الملاحظات، يقول هالت: "يدفع المرء إلى الشك في أنه لا توجد ببساطة أي صلة بين حجم (شمولية) مجموعة لانهائية a وحجم P ( a )." ^{[ 20 ]}

يرى هالت أن مبدأ محدودية الحجم ذو قيمة لتبرير معظم بديهيات نظرية المجموعات. وتشير حججه فقط إلى أنه لا يمكنه تبرير بديهيات اللانهاية ومجموعة القوى. ^{[ 25 ]} ويخلص إلى أن "افتراض فون نيومان الصريح [بصغر مجموعات القوى] يبدو أفضل من افتراض زيرميلو وفرينكل وليفي الضمني المبهم لصغر مجموعات القوى". ^{[ 6 ]}

تاريخ

طوّر فون نيومان بديهية تحديد الحجم كطريقة جديدة لتحديد المجموعات. وتُحدد نظرية ZFC المجموعات من خلال بديهيات بناء المجموعات الخاصة بها. ومع ذلك، وكما أشار أبراهام فرانكل : "إن الطابع التعسفي إلى حد ما للعمليات المختارة في بديهيات Z [ZFC] كأساس للنظرية، يُبرر بالتطور التاريخي لنظرية المجموعات أكثر من الحجج المنطقية." ^{[ 26 ]}

بدأ التطور التاريخي لبديهيات ZFC في عام 1908 عندما اختار زيرميلو بديهياتٍ لإزالة المفارقات ودعم برهانه على نظرية الترتيب الجيد . ^{[ q ]} في عام 1922، أشار أبراهام فرانكل _{وثورالف} سكوليم إلى أن _{بديهيات}زيرميلو لا يمكنها إثبات وجود المجموعة { Z₀, Z₁ _,Z₂ , ... } _{حيث Z₀ هي مجموعة الأعداد الطبيعية، وZₙ₊₁} هي مجموعة قوى Zₙ . _[ 27 ] _كما^قدّما^بديهية^{الاستبدال} ، التي تضمن وجود هذه المجموعة. [ ²⁸^]^مع ذلك، فإن إضافة البديهيات حسب الحاجة لا يضمن وجود جميع المجموعات المعقولة ، ولا يوضح _الفرق بين المجموعات الآمنة للاستخدام والمجموعات التي تؤدي إلى تناقضات.

^{في رسالةٍ وجّهها} فون نيومان إلى زيرميلو عام ١٩٢٣، قدّم منهجًا لنظرية المجموعات يُحدّد المجموعات "الكبيرة جدًا" التي قد تُؤدّي إلى تناقضات. ^{[ ]} حدّد فون نيومان هذه المجموعات باستخدام المعيار التالي: "تكون المجموعة 'كبيرة جدًا' إذا وفقط إذا كانت مُكافئة لمجموعة جميع الأشياء". ثمّ قيّد كيفية استخدام هذه المجموعات: "... لتجنّب المفارقات، تُعلن المجموعات 'الكبيرة جدًا' غير مقبولة كعناصر " . ^{[ ٢٩ ]} بدمج هذا التقييد مع معياره، حصل فون نيومان على نسخته الأولى من بديهية تحديد الحجم، والتي تنصّ بلغة الأصناف على ما يلي: الصنف صنفٌ حقيقي إذا وفقط إذا كان مُكافئًا في عدد عناصره مع V. ^{[ ٢ ]} بحلول عام ١٩٢٥، عدّل فون نيومان بديهيته بتغيير عبارة "متساوية العدد مع V " إلى "يمكن إسقاطها على V "، مما أدى إلى ظهور بديهية تحديد الحجم. سمح هذا التعديل لفون نيومان بتقديم برهان بسيط لبديهية الاستبدال. ^{[ ١ ]} تُعرّف بديهية فون نيومان المجموعات على أنها فئات لا يمكن إسقاطها على V. أدرك فون نيومان أنه حتى مع هذه البديهية، فإن نظريته للمجموعات لا تُحدد المجموعات بشكل كامل. ^{[ s ]}

وجد غودل أن بديهية فون نيومان "ذات أهمية كبيرة":

أعتقد على وجه الخصوص أن شرط فون نيومان الضروري والكافي، الذي يجب أن تحققه خاصية ما لتعريف مجموعة، ذو أهمية بالغة، لأنه يوضح علاقة نظرية المجموعات البديهية بالمفارقات. ويتضح أن هذا الشرط يصل إلى جوهر الأشياء من خلال كونه يستلزم بديهية الاختيار، التي كانت في السابق منفصلة تمامًا عن المبادئ الوجودية الأخرى. إن الاستدلالات، التي تقترب من المفارقات، والتي أصبحت ممكنة بفضل هذه النظرة للأمور، تبدو لي ليست أنيقة فحسب، بل مثيرة للاهتمام أيضًا من وجهة النظر المنطقية. ^{[ ]} علاوة على ذلك، أعتقد أنه فقط من خلال المضي قدمًا في هذا الاتجاه، أي في الاتجاه المعاكس للبنائية ^، سيتم حل المشكلات الأساسية لنظرية المجموعات المجردة. ^[³⁰^]

ملحوظات

↑ البرهان: لتكن A فئة و X ∈ A. إذن X مجموعة، لذا X ∈ V. وبالتالي، A ⊆ V.
↑ برهان باستخدام بديهية فون نيومان: ليكن A مجموعة و B فئة جزئية ناتجة عن بديهية الفصل. باستخدام البرهان بالتناقض، نفترض أن B فئة حقيقية. إذن، توجد دالة F تربط B بـ V. نُعرّف الدالة G التي تربط A بـ V : إذا كان x ∈ B فإن G ( x )= F ( x )؛ إذا كان x ∈ A \ B فإن G ( x )= ∅ . بما أن F تربط A بـ V ، فإن G تربط A بـ V. لذا، فإن بديهية محدودية الحجم تُشير إلى أن A فئة حقيقية، وهو ما يُناقض كون A مجموعة. بالتالي، B مجموعة.
↑ يمكن إعادة صياغة ذلك على النحو التالي: تتضمن نظرية NBG بديهية محدودية الحجم. في عام 1929، أثبت فون نيومان أن نظام البديهيات الذي تطور لاحقًا إلى نظرية NBG يتضمن بديهية محدودية الحجم. ( فيريروس 2007 ، ص 380).
↑ يتم تقييد متغير المجموعة في البديهية على الجانب الأيمن من عبارة "إذا وفقط إذا". كما يتم تحويل متغيرات الفئة في البديهية إلى متغيرات مجموعة. على سبيل المثال، بديهية وجود الفئة $\forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\Leftrightarrow u\notin A)]$ يصبح $\forall a\,\exists b\,\forall u\,[u\in b\Leftrightarrow (u\in L_{\omega _{\omega }}\land u\notin a)].$ توجد بديهيات وجود الفئة في Gödel 1940 ، ص 5.
↑ عرّف غودل دالة $F$ التي تربط فئة الأعداد الترتيبية بـ $L$ الوظيفة ${F|}_{\omega _{\omega }}$ (وهو ما يمثل قيدًا لـ $F$ ل $\omega _{\omega }$ الخرائط $\omega _{\omega }$ على $L_{\omega _{\omega }}$ وهو ملك لـ $L_{\omega _{\omega }+1}$ لأنها مجموعة فرعية قابلة للإنشاء من $L_{\omega _{\omega }}$ يستخدم غودل الترميز $F''\omega _{\alpha }$ ل $L_{\omega _{\alpha }}$ . ( جودل 1940 ، ص 37-38، 54.)
↑ إثبات بالتناقض أن $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ هي فئة حقيقية : لنفترض أنها مجموعة. وبحسب بديهية الاتحاد، $\cup \,\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ هي مجموعة. هذا الاتحاد يساوي $\omega _{\omega }$ ، وهي الفئة الصحيحة للنموذج التي تضم جميع الأعداد الترتيبية، وهو ما يتناقض مع كون الاتحاد مجموعة. لذلك، $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ هو فئة مناسبة. دليل على ذلك $|L_{\omega _{\omega }}|=\aleph _{\omega }\!:$ الوظيفة ${F|}_{\omega _{\omega }}$ خرائط $\omega _{\omega }$ على $L_{\omega _{\omega }}$ ، لذا $|L_{\omega _{\omega }}|\leq |\omega _{\omega }|.$ أيضًا، $\omega _{\omega }\subseteq L_{\omega _{\omega }}$ يشير إلى $|\omega _{\omega }|\leq |L_{\omega _{\omega }}|.$ لذلك، $|L_{\omega _{\omega }}|=|\omega _{\omega }|=\aleph _{\omega }.$
↑ هذا هو النصف الأول من النظرية 7.7 في كتاب غودل 1940 ، صفحة 27. يُعرّف غودل التشاكل الترتيبي $F:(Ord,<)\rightarrow (A,<)$ عن طريق الاستدعاء الذاتي غير المحدود : $F(\alpha )=Inf(A\setminus \{F(\beta ):\beta \in \alpha \}).$
↑ هذا هو التعريف القياسي لـ V₀ _. افترض زيرميلو أن V₀ هي مجموعة من العناصر غير المتجانسة _، وأثبت أنه إذا احتوت هذه المجموعة على عنصر واحد فقط، فإن النموذج الناتج يحقق بديهية محدودية الحجم (وينطبق برهانه أيضًا على_V₀= ∅). وذكر زيرميلو أن هذه البديهية لا تنطبق على جميع النماذج المبنية من مجموعة من العناصر غير المتجانسة. ( زيرميلو ١٩٣٠ ، ص٣٨؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد ١٩٩٦ ، ص١٢٢٧).
^ هذا هو تعريف زيرميلو ( زيرميلو 1930 ، ص 36؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 1225.). إذا كان V ₀ = ∅، فإن هذا التعريف يعادل التعريف القياسي V _{α +1} = P ( V _α ) منذ V _α ⊆ P ( V _α ) ( كونين 1980 ، ص95؛ يستخدم كونين الترميز R ( α ) بدلاً من V _α ). إذا كان V ₀ عبارة عن مجموعة من العناصر، فإن التعريف القياسي يلغي العناصر عند V ₁ .
↑ إذا كانت X مجموعة، فإنه يوجد صنف Y بحيث X ∈ Y. وبما أن Y ⊆ V _κ ، فإن X ∈ V _κ . والعكس صحيح: إذا كانت X ∈ V _κ ، فإن X تنتمي إلى صنف، وبالتالي فإن X مجموعة.
أثبت زيرميلو أن_Vωتحقق نظرية ZFC دون الحاجة إلى بديهية اللانهاية. بديهيات وجود الفئات في نظرية NBG ( غودل، 1940 ، ص5) صحيحة لأن Vω مجموعة عند النظر _{إليها من}_{منظور نظرية المجموعات التي تُنشئها (أي ZFC).}لذلك ، تُنتج بديهية الفصل مجموعات جزئية من Vω تحقق بديهيات وجود الفئات.
↑ قدّم زيرميلو مفهوم الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة κ بحيث يحقق V _κ شرط ZFC. وقد قادته بديهيات مجموعة القوى والاستبدال إلى خصائص الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة. ( زيرميلو 1930 ، ص 31-35؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 1221-1224). وبشكل مستقل، قدّم كلٌّ من واكلاف سيربينسكي وألفريد تارسكي هذه الأعداد الأصلية في عام 1930. ( سيربينسكي وتارسكي 1930 ).
استخدم زيرميلو هذا التسلسل من الأعداد الأصلية للحصول على سلسلة من النماذج التي تفسر مفارقات نظرية المجموعات، مثل مفارقة بورالي-فورتي ومفارقة راسل . وذكر أن هذه المفارقات "تعتمد فقط على الخلط بين نظرية المجموعات نفسها ... والنماذج الفردية التي تمثلها. فما يظهر على أنه 'مجموعة فائقة أو غير منتهية' في نموذج ما، هو في النموذج التالي مجموعة جيدة وصحيحة تمامًا، ذات عدد أصلي ونوع ترتيبي، وهي بحد ذاتها حجر أساس لبناء مجال جديد [نموذج]." ( زيرميلو 1930 ، ص46-47؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص1223).
أثبت زيرميلو أن V _κ تحقق شرط ZFC إذا كان κ عددًا أصليًا غير قابل للوصول بقوة. تكون بديهيات وجود الفئات في نظرية المجموعات غير المتجانسة (NBG) ( غودل، 1940 ، ص 5) صحيحة لأن V _κ مجموعة عند النظر إليها من منظور نظرية المجموعات التي تُنشئها (أي ZFC + وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة). لذا، تُنتج بديهية الفصل مجموعات جزئية من V _κ تحقق بديهيات وجود الفئات.
↑ النموذج الذي تكون مجموعاته عناصر من $V_{\omega }$ والتي تُعتبر فئاتها مجموعات فرعية من $V_{\omega }$ يفي بجميع بديهياته باستثناء بديهية اللانهاية، التي تفشل لأن جميع المجموعات محدودة.
↑ النموذج الذي تكون مجموعاته عناصر من $L_{\omega _{1}}$ والتي تُعدّ فئاتها عناصر من $L_{\omega _{2}}$ يُحقق جميع بديهياته باستثناء بديهية مجموعة القوى. هذه البديهية غير صحيحة لأن جميع المجموعات قابلة للعد.
« ... يجب علينا، من جهة، تقييد هذه المبادئ [البديهيات] بما يكفي لاستبعاد جميع التناقضات، ومن جهة أخرى، توسيع نطاقها بما يكفي للاحتفاظ بكل ما هو قيّم في هذه النظرية.» ( زيرميلو 1908 ، ص 261؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت 1967 أ، ص 200). يجادل غريغوري مور بأن «وضع البديهيات لدى زيرميلو كان مدفوعًا في المقام الأول برغبة في ضمان إثباته لنظرية الترتيب الجيد...» (مور 1982، ص 158-160 ) .
نشر فون نيومان مقالًا تمهيديًا عن نظامه البديهي عام 1925 ( فون نيومان 1925 ؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت 1967ج ). وفي عام 1928، قدم شرحًا مفصلًا لنظامه ( فون نيومان 1928 ).
↑ بحث فون نيومان فيما إذا كانت نظريته للمجموعات تصنيفية ؛ أي ما إذا كانت تحدد المجموعات بشكل فريد بمعنى أن أي نموذجين منها متماثلان . وقد أظهر أنها ليست تصنيفية بسبب ضعف في بديهية الانتظام : فهذه البديهية تستبعد فقط وجود المتتاليات التنازلية من النوع ∈ في النموذج؛ إذ قد توجد المتتاليات التنازلية خارج النموذج. فالنموذج الذي يحتوي على متتاليات تنازلية "خارجية" ليس متماثلاً مع نموذج لا يحتوي على مثل هذه المتتاليات، لأن هذا النموذج الأخير يفتقر إلى صور متماثلة للمجموعات التي تنتمي إلى المتتاليات التنازلية الخارجية. وقد قاد هذا فون نيومان إلى استنتاج مفاده أنه "لا يبدو أن هناك أي بديهية تصنيفية لنظرية المجموعات على الإطلاق" ( فون نيومان 1925 ، ص 239؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت 1967ج ، ص 412).
↑ على سبيل المثال، يستخدم برهان فون نيومان على أن بديهيته تستلزم نظرية الترتيب الجيد مفارقة بورالي-فورتي ( فون نيومان 1925 ، ص 223؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت 1967 ج ، ص 398).

مراجع

1 2 فون نيومان 1925 ، ص. 223 ؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجنورت 1967 ج، ص 397-398 .
1 2 3 هالت 1984 ، ص 290 .
↑ بيرنايز 1937 ، الصفحات 66-70 ؛ بيرنايز 1941 ، الصفحات 1-6 . غودل 1940 ، الصفحات 3-7 . كيلي 1955 ، الصفحات 251-273 .
1 2 زيرميلو 1930 ؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 .
^ فرانكل، بار هيليل وليفي 1973 ، ص. 137 .
1 2 هالت 1984 ، ص. 295 .
↑ غودل 1940 ، ص 3 .
↑ ليفي 1968 .
↑ جاء ذلك بعد 43 عامًا: فقد ذكر فون نيومان بديهياته في عام 1925 وظهر برهان ليفي في عام 1968. ( فون نيومان 1925 ، ليفي 1968. )
↑ إيستون 1964 ، ص. 56أ–64 .
↑ غودل 1939 ، ص 223 .
↑ هذه النظريات جزء من نظرية زيرميلو الثانية للتطور. ( زيرميلو 1930 ، ص 37 ؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 1226. )
↑ فون نيومان 1925 ، ص 223 ؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت 1967ج ، ص 398. يتميز برهان فون نيومان، الذي يستخدم البديهيات فقط، بميزة تطبيقه على جميع النماذج بدلاً من تطبيقه على V _κ فقط .
↑ كونين 1980 ، ص 95 .
^ فرانكل وبار هيليل وليفي 1973 ، ص 32 ، 137 .
↑ هالت 1984 ، ص 205 .
^ فرانكل، بار هيليل وليفي 1973 ، ص. 95 .
↑ هالت 1984 ، ص 200، 202 .
↑ هالت 1984 ، ص 200-207 .
1 2 هالت 1984 ، ص 206-207 .
↑ كوهين 1966 ، ص 134 .
↑ هالت 1984 ، ص 207 .
↑ هالت 1984 ، ص 200 .
↑ بيل وماكوفر 2007 ، ص 509 .
↑ هالت 1984 ، ص 209-210 .
↑ مقدمة تاريخية في بيرنايز 1991 ، ص 31 .
^ فرانكل 1922 ، ص 230-231 . سكوليم 1922 ؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجنورت 1967 ب ، ص 296-297 ).
↑ فيريروس 2007 ، ص 369. في عام 1917، نشر ديمتري ميريمانوف شكلاً من أشكال الاستبدال يعتمد على التكافؤ الأساسي ( ميريمانوف 1917 ، ص 49 ).
↑ هالت 1984 ، ص 288، 290 .
^ من رسالة كتبها جودل بتاريخ 8 نوفمبر 1957 إلى ستانيسلاف أولام ( كاناموري 2003 ، ص. 295 ).

فهرس

بيل، جون ل.؛ ماتشوفر، موشيه (2007)، دورة في المنطق الرياضي ، دار نشر إلسيفير ساينس المحدودة، رقم ISBN 978-0-7204-2844-5.
بيرنايز، بول (1937)، "نظام نظرية المجموعات البديهية - الجزء الأول"، مجلة المنطق الرمزي ، 2 (1): 65-77 ، doi : 10.2307/2268862 ، JSTOR 2268862 .
بيرنايز، بول (1941)، "نظام نظرية المجموعات البديهية - الجزء الثاني"، مجلة المنطق الرمزي ، 6 (1): 1-17 ، doi : 10.2307/2267281 ، JSTOR 2267281 ، S2CID 250344277 .
بيرنايز، بول (1991)، نظرية المجموعات البديهية ، منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-66637-9.
كوهين، بول (1966)، نظرية المجموعات وفرضية الاستمرارية ، دبليو إيه بنجامين، رقم ISBN 978-0-486-46921-8.
إيستون، ويليام ب. (1964)، صلاحيات الكرادلة النظاميين (أطروحة دكتوراه)، جامعة برينستون.
فيريروس، خوسيه (2007)، متاهة الفكر: تاريخ نظرية المجموعات ودورها في الفكر الرياضي (الطبعة الثانية المنقحة )، بيركهاوزر، ISBN 978-3-7643-8349-7.
فرانكل ، أبراهام (1922)، “Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre” ، Mathematische Annalen ، 86 ( 3–4 ): 230–237 ، دوى : 10.1007 / bf01457986 ، S2CID 122212740 .
فرانكل، أبراهام؛ بار هليل، يهوشوا؛ ليفي، عزرييل (1973)، أسس نظرية المجموعات (الطبعة الثانية المنقحة )، بازل، سويسرا: إلسيفير، ISBN 0-7204-2270-1.
غودل، كورت (1939)، "برهان الاتساق لفرضية الاستمرارية المعممة" (ملف PDF) ، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 25 (4): 220-224 ، Bibcode : 1939PNAS...25..220G ، doi : 10.1073/pnas.25.4.220 ، PMC 1077751 ، PMID 16588293 .
غودل، كورت (1940)، اتساق فرضية الاستمرارية ، مطبعة جامعة برينستون.
هالت، مايكل (1984)، نظرية المجموعات الكانتورية وحدود الحجم ، أكسفورد: مطبعة كلارندون، ISBN 0-19-853179-6.
Kanamori، Akihiro (2003)، “Stanislaw Ulam” (PDF) ، in Solomon Feferman and John W. Dawson، Jr. (ed.)، Kurt Gödel Collected Works، Volume V: Correspondence HZ ، Clarendon Press، pp. 280– 300، ISBN 0-19-850075-0.
كيلي، جون ل. (1955)، الطوبولوجيا العامة ، فان نوستراند، رقم ISBN 978-0-387-90125-1{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
كونين، كينيث (1980)، نظرية المجموعات: مقدمة في براهين الاستقلال ، نورث هولاند، رقم ISBN 0-444-86839-9.
ليفي، عزريل (1968)، "حول نظام فون نيومان البديهي لنظرية المجموعات"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 75 (7): 762-763 ، doi : 10.2307/2315201 ، JSTOR 2315201 .
ميريمانوف ، دميتري (1917)، “Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et leإشكالية أساسية في نظرية المجموعات”، L’Enseignement Mathématique ، 19 : 37–52.
مور، غريغوري هـ. (1982)، بديهية زيرميلو للاختيار: أصولها وتطورها وتأثيرها ، سبرينغر، ISBN 0-387-90670-3.
سيربينسكي، فاكلاف؛ Tarski، Alfred (1930)، “Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles” (PDF) ، أساسيات الرياضيات ، 15 : 292–300 ، دوى : 10.4064/fm-15-1-292-300 ، ISSN 0016-2736 .
Skolem، Thoralf (1922)، “Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre”، Matematikerkongressen i Helsingfors den 4-7 Juli، 1922 ، pp. 217– 232 .
- الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت، جان (1967ب)، "بعض الملاحظات حول نظرية المجموعات البديهية"، من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، مطبعة جامعة هارفارد، ص 290-301 ، ISBN 978-0-674-32449-7.
فون نيومان ، جون ( 1925)، “Eine Axiomatisierung der Mengenlehre” ، مجلة für die Reine und Angewandte Mathematik ، 154 : 219–240.
- الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت، جان (1967ج)، "صياغة بديهية لنظرية المجموعات"، من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، مطبعة جامعة هارفارد، ص 393-413 ، رقم ISBN 978-0-674-32449-7.
فون نيومان ، جون (1928)، “Die Axiomatisierung der Mengenlehre” ، Mathematische Zeitschrift ، 27 : 669–752 ، دوى : 10.1007 / bf01171122 ، S2CID 123492324 .
Zermelo، Ernst (1908)، “Unter suchungen über die Grundlagen der Mengenlehre” ، مجلة الرياضيات ، 65 (2): 261–281 ، دوى : 10.1007 / bf01449999 ، S2CID 120085563 .
- الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت، جان (1967أ)، "دراسات في أسس نظرية المجموعات"، من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، مطبعة جامعة هارفارد، ص 199-215 ، ISBN 978-0-674-32449-7.
Zermelo، Ernst (1930)، “Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Unter suchungen über die Grundlagen der Mengenlehre” (PDF) ، Fundamenta Mathematicae ، 16 : 29– 47، دوى : 10.4064/fm-16-1-29-47.
- الترجمة الإنجليزية: إيوالد، ويليام ب. (1996)، "حول أعداد الحدود ومجالات المجموعات: دراسات جديدة في أسس نظرية المجموعات"، من إيمانويل كانط إلى ديفيد هيلبرت: كتاب مرجعي في أسس الرياضيات ، مطبعة جامعة أكسفورد، الصفحات 1208-1233 ، رقم ISBN 978-0-19-853271-2.

[3] البرهان: لتكن A فئة و X ∈ A. إذن X مجموعة، لذا X ∈ V. وبالتالي، A ⊆ V.

[9] برهان باستخدام بديهية فون نيومان: ليكن A مجموعة و B فئة جزئية ناتجة عن بديهية الفصل. باستخدام البرهان بالتناقض، نفترض أن B فئة حقيقية. إذن، توجد دالة F تربط B بـ V. نُعرّف الدالة G التي تربط A بـ V : إذا كان x ∈ B فإن G ( x )= F ( x )؛ إذا كان x ∈ A \ B فإن G ( x )= ∅ . بما أن F تربط A بـ V ، فإن G تربط A بـ V. لذا، فإن بديهية محدودية الحجم تُشير إلى أن A فئة حقيقية، وهو ما يُناقض كون A مجموعة. بالتالي، B مجموعة.

[11] يمكن إعادة صياغة ذلك على النحو التالي: تتضمن نظرية NBG بديهية محدودية الحجم. في عام 1929، أثبت فون نيومان أن نظام البديهيات الذي تطور لاحقًا إلى نظرية NBG يتضمن بديهية محدودية الحجم. ( فيريروس 2007 ، ص 380).

[15] يتم تقييد متغير المجموعة في البديهية على الجانب الأيمن من عبارة "إذا وفقط إذا". كما يتم تحويل متغيرات الفئة في البديهية إلى متغيرات مجموعة. على سبيل المثال، بديهية وجود الفئة $\forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\Leftrightarrow u\notin A)]$ يصبح $\forall a\,\exists b\,\forall u\,[u\in b\Leftrightarrow (u\in L_{\omega _{\omega }}\land u\notin a)].$ توجد بديهيات وجود الفئة في Gödel 1940 ، ص 5.

[16] عرّف غودل دالة $F$ التي تربط فئة الأعداد الترتيبية بـ $L$ الوظيفة ${F|}_{\omega _{\omega }}$ (وهو ما يمثل قيدًا لـ $F$ ل $\omega _{\omega }$ الخرائط $\omega _{\omega }$ على $L_{\omega _{\omega }}$ وهو ملك لـ $L_{\omega _{\omega }+1}$ لأنها مجموعة فرعية قابلة للإنشاء من $L_{\omega _{\omega }}$ يستخدم غودل الترميز $F''\omega _{\alpha }$ ل $L_{\omega _{\alpha }}$ . ( جودل 1940 ، ص 37-38، 54.)

[17] إثبات بالتناقض أن $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ هي فئة حقيقية : لنفترض أنها مجموعة. وبحسب بديهية الاتحاد، $\cup \,\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ هي مجموعة. هذا الاتحاد يساوي $\omega _{\omega }$ ، وهي الفئة الصحيحة للنموذج التي تضم جميع الأعداد الترتيبية، وهو ما يتناقض مع كون الاتحاد مجموعة. لذلك، $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ هو فئة مناسبة. دليل على ذلك $|L_{\omega _{\omega }}|=\aleph _{\omega }\!:$ الوظيفة ${F|}_{\omega _{\omega }}$ خرائط $\omega _{\omega }$ على $L_{\omega _{\omega }}$ ، لذا $|L_{\omega _{\omega }}|\leq |\omega _{\omega }|.$ أيضًا، $\omega _{\omega }\subseteq L_{\omega _{\omega }}$ يشير إلى $|\omega _{\omega }|\leq |L_{\omega _{\omega }}|.$ لذلك، $|L_{\omega _{\omega }}|=|\omega _{\omega }|=\aleph _{\omega }.$

[18] هذا هو النصف الأول من النظرية 7.7 في كتاب غودل 1940 ، صفحة 27. يُعرّف غودل التشاكل الترتيبي $F:(Ord,<)\rightarrow (A,<)$ عن طريق الاستدعاء الذاتي غير المحدود : $F(\alpha )=Inf(A\setminus \{F(\beta ):\beta \in \alpha \}).$

[19] هذا هو التعريف القياسي لـ V₀ _. افترض زيرميلو أن V₀ هي مجموعة من العناصر غير المتجانسة _، وأثبت أنه إذا احتوت هذه المجموعة على عنصر واحد فقط، فإن النموذج الناتج يحقق بديهية محدودية الحجم (وينطبق برهانه أيضًا على_V₀= ∅). وذكر زيرميلو أن هذه البديهية لا تنطبق على جميع النماذج المبنية من مجموعة من العناصر غير المتجانسة. ( زيرميلو ١٩٣٠ ، ص٣٨؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد ١٩٩٦ ، ص١٢٢٧).

[20] هذا هو تعريف زيرميلو ( زيرميلو 1930 ، ص 36؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 1225.). إذا كان V ₀ = ∅، فإن هذا التعريف يعادل التعريف القياسي V _{α +1} = P ( V _α ) منذ V _α ⊆ P ( V _α ) ( كونين 1980 ، ص95؛ يستخدم كونين الترميز R ( α ) بدلاً من V _α ). إذا كان V ₀ عبارة عن مجموعة من العناصر، فإن التعريف القياسي يلغي العناصر عند V ₁ .

[21] إذا كانت X مجموعة، فإنه يوجد صنف Y بحيث X ∈ Y. وبما أن Y ⊆ V _κ ، فإن X ∈ V _κ . والعكس صحيح: إذا كانت X ∈ V _κ ، فإن X تنتمي إلى صنف، وبالتالي فإن X مجموعة.

[25] أثبت زيرميلو أن_Vωتحقق نظرية ZFC دون الحاجة إلى بديهية اللانهاية. بديهيات وجود الفئات في نظرية NBG ( غودل، 1940 ، ص5) صحيحة لأن Vω مجموعة عند النظر _{إليها من}_{منظور نظرية المجموعات التي تُنشئها (أي ZFC).}لذلك ، تُنتج بديهية الفصل مجموعات جزئية من Vω تحقق بديهيات وجود الفئات.

[26] قدّم زيرميلو مفهوم الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة κ بحيث يحقق V _κ شرط ZFC. وقد قادته بديهيات مجموعة القوى والاستبدال إلى خصائص الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة. ( زيرميلو 1930 ، ص 31-35؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 1221-1224). وبشكل مستقل، قدّم كلٌّ من واكلاف سيربينسكي وألفريد تارسكي هذه الأعداد الأصلية في عام 1930. ( سيربينسكي وتارسكي 1930 ).

[27] استخدم زيرميلو هذا التسلسل من الأعداد الأصلية للحصول على سلسلة من النماذج التي تفسر مفارقات نظرية المجموعات، مثل مفارقة بورالي-فورتي ومفارقة راسل . وذكر أن هذه المفارقات "تعتمد فقط على الخلط بين نظرية المجموعات نفسها ... والنماذج الفردية التي تمثلها. فما يظهر على أنه 'مجموعة فائقة أو غير منتهية' في نموذج ما، هو في النموذج التالي مجموعة جيدة وصحيحة تمامًا، ذات عدد أصلي ونوع ترتيبي، وهي بحد ذاتها حجر أساس لبناء مجال جديد [نموذج]." ( زيرميلو 1930 ، ص46-47؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص1223).

[28] أثبت زيرميلو أن V _κ تحقق شرط ZFC إذا كان κ عددًا أصليًا غير قابل للوصول بقوة. تكون بديهيات وجود الفئات في نظرية المجموعات غير المتجانسة (NBG) ( غودل، 1940 ، ص 5) صحيحة لأن V _κ مجموعة عند النظر إليها من منظور نظرية المجموعات التي تُنشئها (أي ZFC + وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة). لذا، تُنتج بديهية الفصل مجموعات جزئية من V _κ تحقق بديهيات وجود الفئات.

[32] النموذج الذي تكون مجموعاته عناصر من $V_{\omega }$ والتي تُعتبر فئاتها مجموعات فرعية من $V_{\omega }$ يفي بجميع بديهياته باستثناء بديهية اللانهاية، التي تفشل لأن جميع المجموعات محدودة.

[33] النموذج الذي تكون مجموعاته عناصر من $L_{\omega _{1}}$ والتي تُعدّ فئاتها عناصر من $L_{\omega _{2}}$ يُحقق جميع بديهياته باستثناء بديهية مجموعة القوى. هذه البديهية غير صحيحة لأن جميع المجموعات قابلة للعد.

[43] « ... يجب علينا، من جهة، تقييد هذه المبادئ [البديهيات] بما يكفي لاستبعاد جميع التناقضات، ومن جهة أخرى، توسيع نطاقها بما يكفي للاحتفاظ بكل ما هو قيّم في هذه النظرية.» ( زيرميلو 1908 ، ص 261؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت 1967 أ، ص 200). يجادل غريغوري مور بأن «وضع البديهيات لدى زيرميلو كان مدفوعًا في المقام الأول برغبة في ضمان إثباته لنظرية الترتيب الجيد...» (مور 1982، ص 158-160 ) .

[46] نشر فون نيومان مقالًا تمهيديًا عن نظامه البديهي عام 1925 ( فون نيومان 1925 ؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت 1967ج ). وفي عام 1928، قدم شرحًا مفصلًا لنظامه ( فون نيومان 1928 ).

[48] بحث فون نيومان فيما إذا كانت نظريته للمجموعات تصنيفية ؛ أي ما إذا كانت تحدد المجموعات بشكل فريد بمعنى أن أي نموذجين منها متماثلان . وقد أظهر أنها ليست تصنيفية بسبب ضعف في بديهية الانتظام : فهذه البديهية تستبعد فقط وجود المتتاليات التنازلية من النوع ∈ في النموذج؛ إذ قد توجد المتتاليات التنازلية خارج النموذج. فالنموذج الذي يحتوي على متتاليات تنازلية "خارجية" ليس متماثلاً مع نموذج لا يحتوي على مثل هذه المتتاليات، لأن هذا النموذج الأخير يفتقر إلى صور متماثلة للمجموعات التي تنتمي إلى المتتاليات التنازلية الخارجية. وقد قاد هذا فون نيومان إلى استنتاج مفاده أنه "لا يبدو أن هناك أي بديهية تصنيفية لنظرية المجموعات على الإطلاق" ( فون نيومان 1925 ، ص 239؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت 1967ج ، ص 412).

[49] على سبيل المثال، يستخدم برهان فون نيومان على أن بديهيته تستلزم نظرية الترتيب الجيد مفارقة بورالي-فورتي ( فون نيومان 1925 ، ص 223؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت 1967 ج ، ص 398).

[Neumann1925-1] 1 2 فون نيومان 1925 ، ص. 223 ؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجنورت 1967 ج، ص 397-398 .

[HallettNeumann-2] 1 2 3 هالت 1984 ، ص 290 .

[4] بيرنايز 1937 ، الصفحات 66-70 ؛ بيرنايز 1941 ، الصفحات 1-6 . غودل 1940 ، الصفحات 3-7 . كيلي 1955 ، الصفحات 251-273 .

[Zermelo1930-5] 1 2 زيرميلو 1930 ؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 .

[6] فرانكل، بار هيليل وليفي 1973 ، ص. 137 .

[Hallettpowersets-7] 1 2 هالت 1984 ، ص. 295 .

[8] غودل 1940 ، ص 3 .

[10] ليفي 1968 .

[12] جاء ذلك بعد 43 عامًا: فقد ذكر فون نيومان بديهياته في عام 1925 وظهر برهان ليفي في عام 1968. ( فون نيومان 1925 ، ليفي 1968. )

[13] إيستون 1964 ، ص. 56أ–64 .

[14] غودل 1939 ، ص 223 .

[22] هذه النظريات جزء من نظرية زيرميلو الثانية للتطور. ( زيرميلو 1930 ، ص 37 ؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 1226. )

[23] فون نيومان 1925 ، ص 223 ؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجينورت 1967ج ، ص 398. يتميز برهان فون نيومان، الذي يستخدم البديهيات فقط، بميزة تطبيقه على جميع النماذج بدلاً من تطبيقه على V _κ فقط .

[24] كونين 1980 ، ص 95 .

[29] فرانكل وبار هيليل وليفي 1973 ، ص 32 ، 137 .

[30] هالت 1984 ، ص 205 .

[31] فرانكل، بار هيليل وليفي 1973 ، ص. 95 .

[34] هالت 1984 ، ص 200، 202 .

[35] هالت 1984 ، ص 200-207 .

[Hallett_1984_206–207-36] 1 2 هالت 1984 ، ص 206-207 .

[37] كوهين 1966 ، ص 134 .

[38] هالت 1984 ، ص 207 .

[39] هالت 1984 ، ص 200 .

[40] بيل وماكوفر 2007 ، ص 509 .

[41] هالت 1984 ، ص 209-210 .

[42] مقدمة تاريخية في بيرنايز 1991 ، ص 31 .

[44] فرانكل 1922 ، ص 230-231 . سكوليم 1922 ؛ الترجمة الإنجليزية: فان هيجنورت 1967 ب ، ص 296-297 ).

[45] فيريروس 2007 ، ص 369. في عام 1917، نشر ديمتري ميريمانوف شكلاً من أشكال الاستبدال يعتمد على التكافؤ الأساسي ( ميريمانوف 1917 ، ص 49 ).

[47] هالت 1984 ، ص 288، 290 .

[50] من رسالة كتبها جودل بتاريخ 8 نوفمبر 1957 إلى ستانيسلاف أولام ( كاناموري 2003 ، ص. 295 ).

[

[

[

،

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ ب ]

[ 8 ]

[ ج ]

[ 9 ]

[ ١٠ ]

[ ١١ ]

[ د ]

[ هـ ]

[ f ]

[ ز ]

[

[

[ j ]

[ 12 ]

لـ

[

[ k ]

[ ل ]

[ م ]

[ n ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ o ]

[ ص ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

21

.

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ q ]

قدّما

28

في رسالةٍ وجّهها

[ ٢٩ ]

[ s ]

[ ]

،

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗