بديهية مجموعة القوى

في الرياضيات ، تُعدّ بديهية مجموعة القوى ^{[ 1 ]} إحدى بديهيات زيرميلو-فرانكل لنظرية المجموعات البديهية . وهي تضمن لكل مجموعة${\displaystyle x}$وجود مجموعة${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$، مجموعة القوى الخاصة بـ${\displaystyle x}$، والتي تتكون تحديداً من مجموعات فرعية من${\displaystyle x}$بحسب بديهية الامتداد ، فإن المجموعة${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$فريد من نوعه.

تظهر بديهية مجموعة القوى في معظم بديهيات نظرية المجموعات. وهي تُعتبر عمومًا غير مثيرة للجدل، على الرغم من أن نظرية المجموعات البنائية تُفضل صيغة أضعف منها لحل المخاوف المتعلقة بالقدرة على التنبؤ .

علاقة المجموعة الجزئية${\displaystyle \subseteq }$لا يُعد مفهومًا بدائيًا في نظرية المجموعات الرسمية، ولا يُستخدم في اللغة الرسمية لبديهيات زيرميلو-فرانكل. بل إن علاقة المجموعة الجزئية${\displaystyle \subseteq }$يتم تعريفها من حيث عضوية المجموعة ،${\displaystyle \in }$وبناءً على ذلك، وباللغة الرسمية لبديهيات زيرميلو-فرانكل، فإن بديهية مجموعة القوى تنص على ما يلي:

${\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \forall w\,(w\in z\Rightarrow w\in x)]}$

حيث y هي مجموعة القوى لـ x ، و z هو أي عنصر من y ، و w هو أي عنصر من z .

باللغة الإنجليزية، هذا يعني:

بالنظر إلى أي مجموعة x ، توجد مجموعة y بحيث إذا كانت المجموعة z، بالنظر إلى أي مجموعة z ، فإن هذه المجموعة z هي عضو في y إذا وفقط إذا كان كل عنصر من z هو أيضًا عنصر من x .

تسمح بديهية مجموعة القوى بتعريف بسيط للجداء الديكارتي لمجموعتين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.}$

لاحظ أن

${\displaystyle x,y\in X\cup Y}$

${\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)}$

وعلى سبيل المثال، عند النظر في نموذج يستخدم زوج كوراتوفسكي المرتب ،

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

وبالتالي فإن الضرب الديكارتي هو مجموعة لأن

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}$

يمكن تعريف الضرب الديكارتي لأي مجموعة منتهية من المجموعات بشكل متكرر:

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

يمكن إثبات وجود الضرب الديكارتي دون استخدام بديهية مجموعة القوى، كما هو الحال في نظرية مجموعة كريپكي-بلاتيك .

لا تُحدد بديهية مجموعة القوى المجموعات الجزئية الموجودة من مجموعة ما، بل تُحدد فقط وجود مجموعة تحتوي على جميع المجموعات الجزئية الموجودة. ^{[ 2 ]} ولا يُضمن وجود جميع المجموعات الجزئية المُمكنة. على وجه الخصوص، ستحتوي مجموعة القوى لمجموعة لانهائية على "مجموعات قابلة للإنشاء" فقط إذا كان الكون هو الكون القابل للإنشاء . ولكن في نماذج أخرى من نظرية ZF، قد يحتوي الكون على مجموعات غير قابلة للإنشاء. ^{[ 3 ]}

• بول هالموس ، نظرية المجموعات الساذجة . برينستون، نيوجيرسي: شركة دي. فان نوستراند، 1960. أعيد طبعه بواسطة سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1974. ISBN 0-387-90092-6(طبعة سبرينغر-فيرلاغ).
• جيتش، توماس، 2003. نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . سبرينغر. ISBN 3-540-44085-2.
• كونين، كينيث، 1980. نظرية المجموعات: مقدمة في براهين الاستقلال . إلسيفير. ISBN 0-444-86839-9.

تتضمن هذه المقالة مواد من مجموعة Axiom of power على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .