بديهية الامتدادية

مبدأ الامتداد ، ^{[ 1 ] [ 2 ]} ويُسمى أيضًا مبدأ المدى ، ^{[ 3 ] [ 4 ]} هو مبدأ يُستخدم في العديد من أشكال نظرية المجموعات البديهية ، مثل نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات . ^{[ 5 ] [ 6 ]} يُعرّف هذا المبدأ ماهية المجموعة . ^{[ 1 ]} وبصورة غير رسمية، يعني هذا المبدأ أن المجموعتين A و B متساويتان إذا وفقط إذا كانتا تحتويان على نفس العناصر .

مصطلح الامتدادية ، كما هو مستخدم فيتستند "بديهية الامتداد" إلى المنطق . يُعرّف التعريف القصدي الشروط اللازمة والكافية لتطبيق مصطلح ما على كائن. على سبيل المثال: " العدد الزوجي هو عدد صحيح يقبل القسمة على 2". أما التعريف الامتدادي، فيُدرج جميع الكائنات التي ينطبق عليها المصطلح. على سبيل المثال: "العدد الزوجي هو أي عدد صحيح من الأعداد التالية: 0، 2، 4، 6، 8...، -2، -4، -6، -8...". في المنطق، يُعرّف امتداد المسند بأنه مجموعة جميع الأشياء التي يكون المسند صحيحًا بالنسبة لها. ^{[ 7 ]}

تم إدخال المصطلح المنطقي إلى نظرية المجموعات في عام 1893، وحاول غوتلوب فريجه استخدام فكرة الامتداد هذه رسميًا في قوانينه الأساسية للحساب (بالألمانية: Grundgesetze der Arithmetik )، ^{[ 8 ] [ 9 ]} حيث، إذا${\displaystyle F}$هو مسند، وامتداده (بالألمانية: Umfang )${\displaystyle \varepsilon F}$، هي مجموعة جميع الكائنات التي تحقق${\displaystyle F}$[ ^{10 ] على} سبيل المثال إذا${\displaystyle F(x)}$إذا كان "س عدد زوجي"، فـ${\displaystyle \varepsilon F}$هي المجموعة${\displaystyle \{\cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \}}$. في عمله، عرّف قانونه الأساسي الخامس سيئ السمعة على النحو التالي: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \varepsilon F=\varepsilon G\equiv \forall x(F(x)\equiv G(x))}$$ينص هذا المبدأ على أنه إذا كان للمسندين نفس الامتدادات (أي أنهما يتحققان من خلال نفس مجموعة العناصر)، فإنهما متكافئان منطقيًا. مع ذلك، تبين لاحقًا أن هذا المبدأ أدى إلى مفارقة راسل . كان أول بيان صريح لمبدأ الامتداد الحديث في عام 1908 من قِبل إرنست زيرميلو في ورقة بحثية حول نظرية الترتيب الجيد ، حيث قدم أول نظرية مجموعات بديهية، والتي تُعرف الآن بنظرية مجموعات زيرميلو ، والتي أصبحت أساسًا لنظريات المجموعات الحديثة. ^{[ 12 ]} كان المصطلح المحدد لـ "الامتداد" الذي استخدمه زيرميلو هو "Bestimmtheit". لم يصبح مصطلح "الامتداد" الإنجليزي شائعًا في النصوص الرياضية والمنطقية إلا في عشرينيات وثلاثينيات القرن العشرين، ^{[ 13 ]} وخاصة مع صياغة المنطق ونظرية المجموعات رسميًا على يد شخصيات مثل ألفريد تارسكي وجون فون نيومان .

باللغة الرسمية لبديهيات زيرميلو-فرانكل، تنص البديهية على ما يلي:

${\displaystyle \forall x\forall y\,[\forall z\,(\left.z\in x\right.\leftrightarrow \left.z\in y\right.)\rightarrow x=y]}$^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

أو بالكلمات:

إذا كانت المجموعات${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا كان لديهم نفس الأعضاء، فهم نفس المجموعة. ^{[ 14 ] [ 1 ]}

في نظرية المجموعات البحتة ، جميع عناصر المجموعات هي مجموعات بحد ذاتها، ولكن ليس في نظرية المجموعات ذات العناصر غير المحددة . ويمكن ملاحظة فائدة هذه البديهية من خلال حقيقة أنه إذا قبلنا أن${\displaystyle \exists A\,\forall x\,(x\in A\iff \Phi (x))}$، أين${\displaystyle A}$هي مجموعة و${\displaystyle \Phi (x)}$هي صيغة${\displaystyle x}$يحدث مجاناً في ولكن${\displaystyle A}$إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن البديهية تضمن وجود مجموعة فريدة${\displaystyle A}$والتي تكون أعضاؤها تحديدًا أي كائنات (عناصر أو مجموعات، حسب الحالة) تحقق الصيغة${\displaystyle \Phi (x)}$.

عكس البديهية،${\displaystyle \forall x\forall y\,[x=y\rightarrow \forall z\,(\left.z\in x\right.\leftrightarrow \left.z\in y\right.)]}$وينتج ذلك من خاصية الاستبدال للمساواة . ومع ذلك، تُعطى البديهية أحيانًا بشكل مباشر كعبارة ثنائية الشرط ، أي كما يلي :${\displaystyle \forall x\forall y\,[\forall z\,(\left.z\in x\right.\leftrightarrow \left.z\in y\right.)\leftrightarrow x=y]}$[ ^{1 ]​}

تتناول نظرية المجموعات " الأسس الجديدة " لكواين ، في عروضه الأصلية لها، الرمز${\displaystyle =}$للمساواة أو الهوية كاختصار مع تعريف من حيث${\displaystyle \in }$بدلاً من رمز أولي للغة الرسمية كما هو معتاد في عرض نظرية مجموعات ZF، يوجد نوعان من هذا التعريف، أحدهما يحتاج إلى بديهية منفصلة للامتداد، والآخر يمثل مبدأ الامتداد في حد ذاته.

في كتاب كواين " الأسس الجديدة للمنطق الرياضي" (1937)، ^{[ 17 ]} وهي الورقة الأصلية لـ NF، يُعرّف التعريف D8 ⁠${\displaystyle x=y}$كاختصار لـ​${\displaystyle \forall z\,(x\in z\rightarrow y\in z)}$^[ ملاحظة ^{1 ]} يعتمد هذا التعريف على القصد أكثر من الامتداد، إذ يمكن قراءته على النحو التالي: "يتساوى كائنان إذا انتمى أحدهما إلى جميع المجموعات التي ينتمي إليها الآخر (أي، يمتلك جميع خصائص الآخر)". كان هذا التعريف، بالإضافة إلى صيغة أخرى تستبدل الشرطيةبالشرطية الثنائية ، شائعًا في زمن كواين. ^{[ 18 ] : 136} ثم يُطلق اسم " مبدأ الامتدادية " على المسلمة P1.${\displaystyle x\subset y\rightarrow (y\subset x\rightarrow x=y)}$، ^{[ ملاحظة 2 ]} وهو ما يعادل منطقياً بديهية ZF للامتدادية.

في كتابه "المنطق الرياضي" (1951)، ^{[ 18 ]} يُعرّف كواين ⁠${\displaystyle x=y}$كما​​${\displaystyle \forall z\,(z\in x\leftrightarrow z\in y)}$( التعريف D10). ^{[ ملاحظة 3 ]} ، وهو ما يُعادل تمامًا سابقة بديهية الامتداد في نظرية ZF. ويستند هذا إلى مبدأ أن "الفئات متطابقة عندما تكون عناصرها متطابقة"، مع أن كواين يبدو أنه قد اعتبر هذا المبدأ أمرًا مفروغًا منه في هذه المرحلة، ولم يناقش "الامتداد" صراحةً. وقد كان الدافع وراء هذا التغيير في التعريف هو الرغبة في التوافق مع الفئات المناسبة . ^{[ 18 ] : 130-131، 136، 175.} كما اضطر كواين إلى تقديمبديهية الاستبدال ^{[ 18 ] : 162.}

إذا​${\displaystyle \phi }$هو ذري، و${\displaystyle \phi '}$يتكون من​${\displaystyle \phi }$بوضع​​${\displaystyle \alpha '}$⁠ لحدوث ⁠${\displaystyle \alpha }$ثم​​${\displaystyle \vdash \ulcorner \alpha =\alpha '\;.\supset \,.\,\phi \supset \phi '\urcorner }$⁠

للتعويض عن هذا التغيير في التعريف.

تعتمد التفسيرات الحديثة لنظرية التكافؤ عادةً على منطق الرتبة الأولى مع المساواة (حيث ⁠${\displaystyle =}$( الرمز بدائي تلقائيًا) وبالتالي يقبل بديهية التمديد في شكل ZF الخاص به. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

في نظرية المجموعات سكوت-بوتر (ZU)، "مبدأ الامتدادية"${\displaystyle (\forall x)(\left.x\in a\right.\Leftrightarrow \left.x\in b\right.)\Rightarrow a=b}$^{[ 21 ]} تُعطى كنظرية وليست بديهية، ويتم إثباتها من تعريف "المجموعة".

العنصر الأصلي هو عضو في مجموعة ليس مجموعة بحد ذاته. في بديهيات زيرميلو-فرانكل، لا توجد عناصر أصلية، ولكنها مُدرجة في بعض البديهيات البديلة لنظرية المجموعات. ^{[ 22 ]} يمكن التعامل مع العناصر الأصلية كنوع منطقي مختلف عن المجموعات؛ في هذه الحالة،${\displaystyle B\in A}$لا معنى له إذا${\displaystyle A}$هو عنصر أصلي، لذا فإن بديهية الامتداد تنطبق فقط على المجموعات. ^{[ 23 ]}

أو بدلاً من ذلك، في المنطق غير المصنف، يمكننا أن نطلب${\displaystyle B\in A}$ أن يكون خاطئًا كلما${\displaystyle A}$هو عنصر أصلي. في هذه الحالة، فإن بديهية التمديد المعتادة ستُشير إلى أن كل عنصر أصلي يساوي المجموعة الفارغة . لتجنب هذه النتيجة، يمكننا تعديل بديهية التمديد بحيث تنطبق فقط على المجموعات غير الفارغة، لتصبح كالتالي:

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\exists X\,(X\in A)\implies [\forall Y\,(Y\in A\iff Y\in B)\implies A=B]\,).}$

إنه:

بالنظر إلى أي مجموعة A وأي مجموعة B ، إذا كانت A مجموعة غير فارغة (أي إذا كان هناك عنصر X من A )، فإذا كان لدى A و B نفس العناصر بالضبط، فإنهما متساويان.

ثمة بديل آخر في المنطق غير المصنف وهو التعريف${\displaystyle A}$أن تكون هي العنصر الوحيد من${\displaystyle A}$ حينما${\displaystyle A}$هو عنصر أصلي. مثل هذه المجموعة${\displaystyle A}$يُعرف هذا باسم ذرة كوين . في حين أن هذا النهج يمكن أن يحافظ على بديهية الامتداد، فإن بديهية الانتظام ستحتاج إلى تعديل بدلاً من ذلك.

• التمدد
• السياق الامتدادي
• الامتداد (منطق المسند)
• نظرية المجموعات
• مسرد مصطلحات نظرية المجموعات