المفهوم البدائي

في الرياضيات والمنطق والفلسفة والأنظمة الصورية ، يُعرَّف المفهوم الأولي بأنه مفهوم لا يُعرَّف بدلالة مفاهيم مُعرَّفة سابقًا. غالبًا ما يُستدل عليه بشكل غير رسمي، عادةً بالاستناد إلى الحدس أو يُعتبر بديهيًا . في النظرية البديهية ، تُقيَّد العلاقات بين المفاهيم الأولية بواسطة بديهيات . ^{[ 1 ]} يشير بعض المؤلفين إلى هذه البديهيات على أنها "تعريف" للمفاهيم الأولية بواسطة بديهية واحدة أو أكثر، لكن هذا قد يكون مُضلِّلًا. لا يُمكن للنظريات الصورية الاستغناء عن المفاهيم الأولية، وإلا ستقع في تسلسل لا نهائي .

على سبيل المثال، في الهندسة المعاصرة، تعتبر النقطة والخط والاحتواء بعض المفاهيم الأولية.

شرح ألفريد تارسكي دور المفاهيم الأولية على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

عندما نشرع في بناء مجال معرفي معين، نميز، أولاً وقبل كل شيء، مجموعة صغيرة من تعابير هذا المجال التي تبدو لنا مفهومة مباشرةً؛ نسمي هذه التعابير بالمصطلحات الأولية أو المصطلحات غير المُعرَّفة، ونستخدمها دون شرح معانيها. في الوقت نفسه، نتبنى مبدأ عدم استخدام أي من التعابير الأخرى للمجال قيد الدراسة، ما لم يُحدد معناها أولاً بالاستعانة بالمصطلحات الأولية وتلك التعابير التي سبق شرح معانيها. تُسمى الجملة التي تُحدد معنى المصطلح بهذه الطريقة بالتعريف...

وقد شرح جيلبرت دي بي روبنسون التراجع الحتمي إلى المفاهيم البدائية في نظرية المعرفة :

قد يُفاجأ غير المتخصصين في الرياضيات باستحالة تعريف جميع المصطلحات المستخدمة تعريفًا دقيقًا. هذه ليست مشكلة سطحية، بل هي جوهر المعرفة؛ فمن الضروري البدء من نقطة ما، ولإحراز تقدم، يجب تحديد العناصر والعلاقات غير المُعرَّفة والخصائص المُسلَّم بها بوضوح. ^{[ 3 ]}

تتجلى ضرورة المفاهيم الأولية في العديد من الأسس البديهية في الرياضيات:

• نظرية المجموعات : يُعد مفهوم المجموعة مثالًا على مفهوم أولي. وكما كتبت ماري تايلز : ^{[ 4 ]} فإن "تعريف" "المجموعة" ليس تعريفًا بقدر ما هو محاولة لشرح شيء يُعطى صفة مصطلح أولي غير مُعرَّف. وكدليل على ذلك، تستشهد بفيلكس هاوسدورف : "تتكون المجموعة من تجميع عناصر منفردة معًا في كلٍّ واحد. المجموعة هي تعدد يُنظر إليه كوحدة واحدة."
• نظرية المجموعات البسيطة : المجموعة الفارغة مفهوم أولي. والقول بأنها موجودة هو بديهية ضمنية .
• حساب بيانو : دالة التابع والعدد صفر مفاهيم أولية. ولأن حساب بيانو مفيد فيما يتعلق بخصائص الأعداد، فإن الأشياء التي تمثلها المفاهيم الأولية قد لا تكون ذات أهمية كبيرة. ^{[ 5 ]}
• الحساب للأعداد الحقيقية : عادةً ما تكون المفاهيم الأولية هي: العدد الحقيقي، عمليتان ثنائيتان : الجمع والضرب ، العددان 0 و1، الترتيب.
• الأنظمة البديهية : تعتمد المفاهيم الأولية على مجموعة البديهيات المختارة للنظام. ناقش أليساندرو بادوا هذا الاختيار في المؤتمر الدولي للفلسفة في باريس عام 1900. ^{[ 6 ]} قد لا يكون من الضروري بالضرورة ذكر المفاهيم نفسها؛ إذ كتبت سوزان هاك (1978): "يقال أحيانًا إن مجموعة البديهيات تقدم تعريفًا ضمنيًا لمصطلحاتها الأولية." ^{[ 7 ]}
• الهندسة الإقليدية : في ظل نظام بديهيات هيلبرت، فإن المفاهيم الأولية هي النقطة والخط والمستوى والتطابق والوساطة والوقوع .
• الهندسة الإقليدية : في ظل نظام بديهيات بيانو، فإن المفاهيم الأولية هي النقطة والقطعة المستقيمة والحركة .

في كتابه عن فلسفة الرياضيات ، "مبادئ الرياضيات" ، استخدم برتراند راسل المفاهيم التالية: في حساب الفئات ( نظرية المجموعات )، استخدم العلاقات ، معتبرًا انتماء المجموعة مفهومًا أساسيًا. ولتحديد المجموعات، اعتبر الدوال الافتراضية أساسية أيضًا، بالإضافة إلى عبارة "بحيث" المستخدمة في تدوين بناء المجموعات . (ص 18، 19) وفيما يتعلق بالعلاقات، اعتبر راسل العلاقة العكسية والعلاقة التكميلية لـ xRy معينة مفاهيم أساسية . علاوة على ذلك، فإن حاصل الضرب المنطقي للعلاقات وحاصل الضرب النسبي للعلاقات مفاهيم أساسية. (ص 25) أما بالنسبة لدلالة الأشياء بالوصف، فقد أقر راسل بوجود مفهوم أساسي. (ص 27) وتتلخص أطروحة كتاب راسل في أن "الرياضيات البحتة لا تستخدم سوى عدد قليل من المفاهيم، وهذه المفاهيم هي ثوابت منطقية". (ص 21)

• نظرية المجموعات البديهية
• أسس الهندسة
• أسس الرياضيات
• الذرية المنطقية
• ثابت منطقي
• المنطق الرياضي
• المفهوم (الفلسفة)
• لغة وصفية دلالية طبيعية