مسألة بيرنز-فيشر

لنفترض أن _X₁ , _...  , Xₙ و Y₁ , ..., Yₘ عينات مستقلة _{ومتطابقة} التوزيع من مجتمعين ينتميان إلى نفس عائلة التوزيعات المكانية-المقياسية . يُفترض أن معلمات المقياس غير معروفة وليست بالضرورة متساوية، وتكمن المشكلة في تقييم ما إذا كان من الممكن اعتبار معلمات الموقع متساوية بشكل معقول. يذكر ليمان _[ 1 ^{] أن "} مسألة بيرنز-فيشر" تُستخدم لهذا الشكل العام من النموذج عندما تكون عائلة التوزيعات اختيارية، وكذلك عند تقييدها بالتوزيع الطبيعي . بينما يناقش ليمان عددًا من المناهج لحل هذه المشكلة الأكثر عمومية، والتي تعتمد أساسًا على الأساليب اللامعلمية ^{[ 2 ]} ، يبدو أن معظم المصادر الأخرى تستخدم "مسألة بيرنز-فيشر" للإشارة فقط إلى الحالة التي يُفترض فيها أن التوزيع طبيعي: ويفترض معظم هذا المقال هذا الافتراض.   

طُرحت حلول لمسألة بيرنز-فيشر تستخدم إما الاستدلال الكلاسيكي أو الاستدلال البايزي، وكلا الحلين يُعتبر غير صالح نظريًا من وجهة نظر الآخر. إذا اقتصر البحث على الاستدلال الإحصائي الكلاسيكي فقط، فمن الممكن إيجاد حلول لمسألة الاستدلال سهلة التطبيق عمليًا، مع إعطاء الأفضلية لهذه البساطة على أي خطأ في عبارات الاحتمال المقابلة. عندما يكون من الضروري تحديد مستويات الدلالة الإحصائية للاختبارات الإحصائية بدقة، قد يكون هناك شرط إضافي يتمثل في أن الإجراء يستغل المعلومات الإحصائية في مجموعة البيانات إلى أقصى حد. من المعروف أنه يمكن الحصول على اختبار دقيق عن طريق حذف البيانات عشوائيًا من مجموعة البيانات الأكبر حتى تتساوى أحجام العينات، ثم تجميع البيانات في أزواج وحساب الفروق، ثم استخدام اختبار t العادي لاختبار ما إذا كان متوسط ​​الفرق يساوي صفرًا: من الواضح أن هذا ليس "مثاليًا" بأي حال من الأحوال.

تُعدّ مهمة تحديد تقديرات الفترات لهذه المسألة من المسائل التي يعجز فيها المنهج التكراري عن تقديم حل دقيق، على الرغم من توفر بعض التقريبات. كما تعجز المناهج البايزية التقليدية عن تقديم إجابة يمكن التعبير عنها بصيغ بسيطة ومباشرة، إلا أن الأساليب الحسابية الحديثة للتحليل البايزي تُتيح إيجاد حلول دقيقة إلى حد كبير. لذا، يُمكن استخدام دراسة هذه المسألة لتوضيح الفروقات بين المنهج التكراري والمنهج البايزي في تقدير الفترات.

قدّم رونالد فيشر في عام 1935 الاستدلال الموثوق ^{[ 3 ] [ 4 ]} لتطبيقه على هذه المشكلة. وقد أشار إلى ورقة بحثية سابقة لوالتر-أولريش بيرنز من عام 1929. اقترح بيرنز وفيشر إيجاد التوزيع الاحتمالي لـ

${\displaystyle T\equiv {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2} \over {\sqrt {s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}}}}$

أين${\displaystyle {\bar {x}}_{1}}$و${\displaystyle {\bar {x}}_{2}}$يمثلان متوسطي العينتين ، و s1 و s2 _هما انحرافيهما المعياريين . _انظر توزيع بيرنز-فيشر . قام فيشر بتقريب هذا التوزيع بتجاهل التباين العشوائي للأحجام النسبية للانحرافات المعيارية.

${\displaystyle {s_{1}/{\sqrt {n_{1}}} \over {\sqrt {s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}}}.}$

أثار حل فيشر جدلاً واسعاً لأنه لم يكن يتمتع بخاصية رفض فرضية تساوي المتوسطات باحتمالية α إذا كانت المتوسطات متساوية بالفعل. وقد اقتُرحت منذ ذلك الحين العديد من الطرق الأخرى لمعالجة هذه المشكلة، ودُرست آثارها على فترات الثقة الناتجة. ^{[ 5 ]}

إحدى الطرق الشائعة الاستخدام هي طريقة بي إل ويلش ^{[ 6 ]} ، الذي كان، مثل فيشر، في جامعة كوليدج لندن . تباين متوسط ​​الفرق

${\displaystyle {\bar {d}}={\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}$

النتائج في

${\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}={\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}.}$

قام ويلش (1938) بتقريب توزيع${\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}}$بواسطة توزيع بيرسون من النوع الثالث ( توزيع مربع كاي مُقاس ) الذي تتفق أول عزمين له مع عزمي توزيع بيرسون.${\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}}$ينطبق هذا على عدد درجات الحرية (df) التالي، والذي يكون عادةً غير صحيح:

${\displaystyle \nu \approx {(\gamma _{1}+\gamma _{2})^{2} \over \gamma _{1}^{2}/(n_{1}-1)+\gamma _{2}^{2}/(n_{2}-1)}\quad {\text{ حيث }}\gamma _{i}=\sigma _{i}^{2}/n_{i}.}$

بافتراض فرضية العدم لتساوي التوقعات، _μ₁ = μ₂ ، _يمكن تقريب توزيع إحصائية بيرنز-فيشر T ، التي تعتمد أيضًا على نسبة التباين σ₁² _/ σ₂² ^{، بتوزيع} t للطالب ^بدرجات _الحرية ν . لكن هذه ν تتضمن تباينات المجتمع σᵢ² _، ^{وهي غير} معروفة. التقدير التالي يستبدل تباينات المجتمع بتباينات العينة فقط:

${\displaystyle {\hat {\nu }}\approx {\frac {(g_{1}+g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}/(n_{1}-1)+g_{2}^{2}/(n_{2}-1)}}\quad {\text{ حيث }}g_{i}=s_{i}^{2}/n_{i}.}$

هذا${\displaystyle {\hat {\nu }}}$هو متغير عشوائي. لا يوجد توزيع t ذو عدد عشوائي من درجات الحرية. ومع ذلك، يمكن مقارنة توزيع Behrens–Fisher T مع الكمية المقابلة لتوزيع Student's t مع هذه الأعداد المقدرة من درجات الحرية.${\displaystyle {\hat {\nu }}}$وهو عادةً عدد غير صحيح. وبهذه الطريقة، يتم حساب الحد الفاصل بين منطقتي القبول والرفض لإحصائية الاختبار T بناءً على التباينات التجريبية s _i ² ، بطريقة تكون دالة سلسة لهذه التباينات.

لا تُعطي هذه الطريقة أيضًا المعدل الاسمي بدقة، ولكنها عمومًا ليست بعيدة جدًا عنه. مع ذلك، إذا كانت تباينات المجتمع متساوية، أو إذا كانت العينات صغيرة نسبيًا ويمكن افتراض أن تباينات المجتمع متساوية تقريبًا، فإن استخدام اختبار t للطالب يكون أكثر دقة .

تم اقتراح عدد من المناهج المختلفة للمشكلة العامة، ويدعي بعضها "حل" نسخة ما من المشكلة. ومن بين هذه المناهج ^{[ 7 ]}

• ذلك الذي حدث مع تشابمان في عام 1950، ^{[ 8 ]}
• ذلك الذي قام به بروكوفييف وشيشكين في عام 1974، ^{[ 9 ]}
• ذلك الذي قام به دوديفيتش وأحمد في عام 1998. ^{[ 10 ]}
• ذلك الذي حققه تشانغ وانغ في عام 2022. ^{[ 11 ]}

في مقارنة دوديفيتش للطرق المختارة، ^{[ 7 ]} وجد أن إجراء دوديفيتش-أحمد موصى به للاستخدام العملي.

لعدة عقود، ساد الاعتقاد بعدم وجود حل دقيق لمسألة بيرنز-فيشر الشائعة. إلا أنه في عام 1966، ثبت وجود حل دقيق لها. ^{[ 12 ]} وفي عام 2018، تم إثبات دالة كثافة الاحتمال لتوزيع بيرنز-فيشر المعمم ذي m متوسط ​​و m خطأ معياري مختلف من m عينة بأحجام مختلفة من توزيعات طبيعية مستقلة ذات متوسطات وتباينات مختلفة، كما تناولت الورقة البحثية تقريباتها التقاربية. ^{[ 13 ]} وأظهرت ورقة بحثية لاحقة أن اختبار t المزدوج الكلاسيكي هو مسألة بيرنز-فيشر مركزية ذات معامل ارتباط مجتمعي غير صفري، واستنتجت دالة كثافة الاحتمال المقابلة لها بحل مسألة بيرنز-فيشر غير المركزية المرتبطة بها ذات معامل ارتباط مجتمعي غير صفري. ^{[ 14 ]} كما حلت الورقة مسألة بيرنز-فيشر غير مركزية أكثر عمومية ذات معامل ارتباط مجتمعي غير صفري في الملحق. ^{[ 14 ]}