توازن بيرج

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

يُعدّ توازن بيرج مفهومًا حلّيًا في نظرية الألعاب، سُمّي نسبةً إلى عالم الرياضيات كلود بيرج . وهو يُشبه توازن ناش القياسي ، إلا أنه يهدف إلى تجسيد نوع من الإيثار بدلًا من اللعب الفردي غير التعاوني . فبينما يُمثّل توازن ناش حالةً يضمن فيها كل لاعب في لعبة استراتيجية حصوله على أعلى عائد ممكن بالنظر إلى استراتيجيات اللاعبين الآخرين، يضمن كل لاعب في توازن بيرج حصول جميع اللاعبين الآخرين على أعلى عائد ممكن. مع أن بيرج قدّم الفكرة الأساسية لهذا التوازن عام 1957، إلا أنه لم يُعرّف رسميًا إلا على يد فلاديسلاف يوسيفوفيتش جوكوفسكي عام 1985، ولم ينتشر استخدامه على نطاق واسع إلا بعد نصف قرن من تطوير بيرج له.

تاريخ

طُرح مفهوم توازن بيرج لأول مرة في كتاب كلود بيرج الصادر عام 1957 بعنوان " النظرية العامة للألعاب ذات العدد n من الأشخاص" . [ 1 ] يذكر موسى لرباني وفلاديسلاف يوسيفوفيتش جوكوفسكي أن الأفكار الواردة في هذا الكتاب لم تُستخدم على نطاق واسع في روسيا، ويعود ذلك جزئيًا إلى النقد اللاذع الذي وُجّه إليه بعد فترة وجيزة من ترجمته إلى الروسية عام 1961، كما لم تُستخدم في العالم الناطق بالإنجليزية لأن الكتاب لم يُطبع إلا باللغتين الفرنسية والروسية. [ 2 ] ويؤكد مؤلفون آخرون هذه التفسيرات، [ 3 ] ويضيف بيير كورتوا وآخرون أن تأثير الكتاب ربما يكون قد تضاءل بسبب افتقاره إلى الأمثلة الاقتصادية، فضلًا عن اعتماده على أدوات من نظرية الرسوم البيانية التي لم تكن مألوفة لدى الاقتصاديين في ذلك الوقت. [ 4 ]

قدّم بيرج مفهومه الأصلي للتوازن بأسلوبٍ بديهي، ونُشر أول تعريف رسمي لتوازن بيرج على يد فلاديسلاف يوسيفوفيتش جوكوفسكي عام ١٩٨٥. [ ٥ ] ثمّ درس كونستانتين سيمينوفيتش فايسمان موضوع توازن بيرج بالتفصيل في أطروحته للدكتوراه عام ١٩٩٥، [ ٦ ] ووثّق لارباني وجوكوفسكي أن هذه الأداة أصبحت أكثر استخدامًا في منتصف العقد الأول من الألفية الثانية، مع ازدياد اهتمام الاقتصاديين بالأنظمة المعقدة التي قد يميل فيها اللاعبون إلى البحث عن توازنات مواتية عالميًا، وإيلاء قيمة لعوائد اللاعبين الآخرين. [ ٢ ] ويربط كولمان وآخرون الاهتمام بتوازن بيرج بالاهتمام بنظرية الألعاب التعاونية ، وتطور التعاون ، ومواضيع مثل الإيثار في نظرية الألعاب التطورية . [ ٥ ]

تعريف

التعريف الرسمي

لنفترض لعبة ذات شكل طبيعيجي=⟨شمال،Sأنا،uأنا⟩{\displaystyle G=\langle N,S_{i},u_{i}\rangle }، أينشمال={1،2،...،ن}{\displaystyle N=\{1,2,\ldots ,n\}}هي مجموعةن{\displaystyle n}اللاعبون،Sأنا{\displaystyle S_{i}}هي مجموعة استراتيجيات اللاعب (غير الفارغة)أنا{\displaystyle i}أينأنا∈شمال{\displaystyle i\in N}، وuأنا{\displaystyle u_{i}}هي دالة منفعة ذلك اللاعب. يمكن الإشارة إلى ملف تعريف الاستراتيجية على النحو التالي:s=(s1،s2،...،sن)∈S{\displaystyle s=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})\in S}وتشير إلى ملف تعريف استراتيجية غير مكتملs-أنا=(s1،s2،...،sأنا-1،sأنا+1،...،sن){\displaystyle s_{-i}=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{i-1},s_{i+1},\ldots ,s_{n})}نبذة عن الاستراتيجيةs*∈S{\displaystyle s^{\ast }\in S}يُطلق عليه اسم توازن بيرج إذا كان، بالنسبة لأي لاعبأنا∈شمال{\displaystyle i\in N}وأيs-أنا∈S-أنا{\displaystyle s_{-i}\in S_{-i}}، يلبي ملف تعريف الاستراتيجيةuأنا(sأنا*،s-أنا)≤uأنا(s*){\displaystyle u_{i}(s_{i}^{\ast },s_{-i})\leq u_{i}(s^{\ast })}[ 7 ]​

تعريف غير رسمي

يلعب اللاعبون في لعبة ما في حالة توازن بيرج إذا اختاروا استراتيجية بحيث إذا كان أي لاعب معينأنا{\displaystyle i}يلتزم اللاعبون باستراتيجيتهم المختارة بينما يغير بعض اللاعبين الآخرين استراتيجياتهم، ثم اللاعبأنا{\displaystyle i}لن يزداد عائد اللاعب. لذا، يضمن كل لاعب في توازن بيرج أفضل عائد ممكن لكل لاعب آخر يلعب استراتيجية توازن بيرج الخاصة به؛ وهذا على عكس توازنات ناش، حيث يضمن كل لاعبأنا{\displaystyle i}لا يهتم اللاعب إلا بتحقيق أقصى قدر من المكاسب من استراتيجيته، ولا يهتم أي لاعب آخر بالمكاسب التي يحصل عليها اللاعبأنا{\displaystyle i}[ 5 ]​

مثال

ضع في اعتبارك لعبة معضلة السجين التالية ، من لارباني وجوكوفسكي (2017): [ 2 ]

أحمر
أزرق
التعاونعيب
التعاون
20
20
25
5
عيب
5
25
10
10

نتيجة بيرج

توازن بيرج في هذه اللعبة هو الحالة التي يختار فيها كلا اللاعبين "التعاون"، ونرمز له بـ(ج،ج){\displaystyle (C,C)}هذا توازن بيرج لأن كل لاعب لا يستطيع إلا أن يقلل من عائد اللاعب الآخر عن طريق تغيير استراتيجيته؛ إذا قام أي من اللاعبين بالتحول من "التعاون" إلى "الانشقاق"، فسوف يخفض عائد اللاعب الآخر من 20 إلى 5، لذلك يجب أن يكونوا في توازن بيرج.

نتيجة مباراة بيرج ضد ناش

لاحظ أولاً أن توازن بيرج(ج،ج){\displaystyle (C,C)}لا يمثل هذا توازن ناش، لأنه يمكن للاعب الصف أو لاعب العمود زيادة عائده من 20 إلى 25 عن طريق التحول إلى "الانشقاق" بدلاً من "التعاون".

توازن ناش في لعبة معضلة السجين هذه هو الحالة التي يختار فيها كلا اللاعبين "الخيانة"، ولنرمز لها بـ(د،د){\displaystyle (D,D)}تُحقق هذه الاستراتيجية المزدوجة عائدًا قدره 10 للاعب الصف و10 للاعب العمود، ولا يوجد لدى أي لاعب حافز أحادي الجانب لتغيير استراتيجيته لزيادة عائده إلى أقصى حد. ومع ذلك،(د،د){\displaystyle (D,D)}لا يمثل هذا توازن بيرج، لأنه يمكن للاعب الصف ضمان عائد أعلى للاعب العمود عن طريق تغيير الاستراتيجيات ومنح لاعب العمود عائدًا قدره 25 بدلاً من 10، ويمكن للاعب العمود أن يفعل الشيء نفسه للاعب الصف.

وبالتالي، فإن الطبيعة التعاونية لتوازن بيرج تتجنب مشكلة الانشقاق المتبادل التي جعلت معضلة السجين مثالاً سيئ السمعة على إمكانية أن يؤدي منطق توازن ناش إلى نتيجة دون المستوى الأمثل للطرفين. [ 8 ]

تحفيز

يُعتبر توازن بيرج نقيضًا تامًا لتوازن ناش، فبينما يُمثل توازن ناش السلوكيات الأنانية، يُمثل توازن بيرج السلوكيات الإيثارية. [ 9 ] ويشير موسى لرباني وفلاديسلاف يوسيفوفيتش جوكوفسكي إلى أن توازن بيرج يُمكن تفسيره كطريقة لصياغة القاعدة الذهبية في التفاعلات الاستراتيجية. [ 2 ]

تتمثل إحدى مزايا توازن بيرج على توازن ناش في أن نتائج بيرج قد تتوافق بشكل أوثق مع النتائج المستخلصة من علم النفس التجريبي والاقتصاد التجريبي . وقد لاحظ العديد من الباحثين أن اللاعبين الذين يُطلب منهم لعب ألعاب مثل معضلة السجين أو لعبة الإنذار النهائي في سيناريوهات مخبرية نادرًا ما يصلون إلى نتيجة توازن ناش، ويعود ذلك جزئيًا إلى أن الناس في المواقف الحقيقية غالبًا ما يولون قيمة لرفاهية الآخرين، وبالتالي قد يكون توازن بيرج في بعض الأحيان أكثر ملاءمة للسلوك الحقيقي في مواقف معينة. [ 5 ] [ 4 ]

يتمثل أحد التحديات التي تواجه استخدام توازنات بيرج في أنها لا تتمتع بخصائص وجود قوية كتلك التي تتمتع بها توازنات ناش، على الرغم من إمكانية ضمان وجودها بإضافة شروط إضافية. [ 10 ] كما يمكن استخدام مفهوم حل توازن بيرج للألعاب التي لا تستوفي شروط نظرية وجود ناش، والتي لا تحتوي على توازنات ناش، مثل بعض الألعاب ذات مجموعات الاستراتيجيات اللانهائية، أو في الحالات التي يُراد فيها إيجاد توازنات في الاستراتيجيات البحتة، ومع ذلك لا توجد توازنات ناش ضمن هذه الاستراتيجيات. [ 2 ] [ 11 ]

مراجع

  1. ^ بيرج ، كلود (1957). Theorie Generale des jeux an personnes (باللغة الفرنسية). غوتييه فيلارز.
  2. 1 2 3 4 5 العربي، موسى؛ جوكوفسكي، فلاديسلاف يوسيفوفيتش (2017). "توازن بيرج في الألعاب الثابتة ذات الشكل العادي: مراجعة الأدبيات" . Izvestiya Instituta Matematiki I Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta . 49 : 80– 110. دوى : 10.20537/2226-3594-2017-49-04 .
  3. ^ بيكاتش، ياروسلاف؛ بايتنر، باويل؛ فراكيويتز ، بيوتر (2019). "مثال على لعبة محدودة بدون توازنات بيرج على الإطلاق" . ألعاب . 10 (1): 7. أرخايف : 1807.05821 . دوى : 10.3390/g10010007 .
  4. 1 2 كورتوا، بيير؛ نيسا، رابعة؛ تازدايت، طارق (2015). "كيف نلعب الألعاب؟ قواعد سلوك ناش مقابل بيرج". الاقتصاد والفلسفة . 31 (1): 123-139 . doi : 10.1017/S026626711400042X . hdl : 20.500.12210/21717 .
  5. 1 2 3 4 كولمان، أندرو م.؛ كورنر، توم و.؛ موسى، أوليفييه؛ تازدايت، طارق (أبريل 2011). "الدعم المتبادل في الألعاب: بعض خصائص توازنات بيرج" . مجلة علم النفس الرياضي . 55 (2): 166-175 . doi : 10.1016/j.jmp.2011.02.001 . hdl : 2381/9716 .
  6. ↑ فايسمان، كونستانتين سيمينوفيتش (1995). توازن بيرج . جامعة سانت بطرسبرغ الحكومية.
  7. ↑ جوكوفسكي، فلاديسلاف يوسيفوفيتش. ب. كيندروف (محرر). بعض مسائل الألعاب التفاضلية غير المتنافسة . الأساليب الرياضية في بحوث العمليات. صوفيا: الأكاديمية البلغارية للعلوم. ص 103-195 . 
  8. ^ الرئة، روديكا إيوانا. سوسيو، ميهاي؛ جاسكو، نويمي؛ دوميتريسكو، د. (15 يوليو 2015). "توصيف وكشف توازنات ϵ-Berge-Zhukovskii" . بلوس واحد . 10 (7) هـ0131983. بيب كود : 2015PLoSO..1031983L . دوى : 10.1371/journal.pone.0131983 . بمك 4503462 . بميد 26177217 .  
  9. ↑ كودريافتسيف، كونستانتين؛ أوخوبوتوف، فيكتور؛ جوكوفسكي، فلاديسلاف (2018). "توازن بيرج في نموذج احتكار القلة كورنو". التحسين والتطبيقات. OPTIMA 2018. الاتصالات في علوم الحاسوب والمعلومات : 415-426 .
  10. ↑ نيساها، رابعة؛ لربانيك، موسى؛ تازدايت، طارق (أغسطس 2007). "ملاحظة حول توازن بيرج" . رسائل الرياضيات التطبيقية . 20 (8): 926-932 . doi : 10.1016/j.aml.2006.09.005 .
  11. ↑ موسى، أوليفييه؛ بوتييه، أنطونين؛ تازدايت، طارق (2012). "نظرية جديدة لإيجاد توازنات بيرج". المجلة الدولية لنظرية الألعاب . 14 (1). doi : 10.1142/S0219198912500053 .