نظرية الألعاب التعاونية

غالباً ما يُفترض أن الدوال المميزة فائقة الجمع ( أوين 1995 ، ص 213) . وهذا يعني أن قيمة اتحاد التحالفات المنفصلة لا تقل عن مجموع قيم التحالفات المنفصلة. 

${\displaystyle v(S\cup T)\geq v(S)+v(T)}$حينما${\displaystyle S,T\subseteq N}$مُرضٍ${\displaystyle S\cap T=\emptyset }$.

كلما زاد حجم التحالفات، زادت المكاسب:

${\displaystyle S\subseteq T\Rightarrow v(S)\leq v(T)}$.

هذا يتبع من خاصية الجمع الفائق . أي إذا تم تطبيع العوائد بحيث يكون للتحالفات الفردية قيمة صفرية.

تُعتبر لعبة التحالفات بسيطة إذا كانت العوائد إما 1 أو 0 ، أي أن التحالفات إما "رابحة" أو "خاسرة". ^{[ 7 ]}

بصورة مكافئة، يمكن تعريف اللعبة البسيطة بأنها مجموعة W من التحالفات، حيث تُسمى عناصر W بالتحالفات الرابحة ، والعناصر الأخرى بالتحالفات الخاسرة . يُفترض أحيانًا أن اللعبة البسيطة غير فارغة، أي أنها لا تحتوي على مجموعة فارغة. مع ذلك، في مجالات أخرى من الرياضيات، تُسمى الألعاب البسيطة أيضًا بالرسوم البيانية الفائقة أو الدوال المنطقية .

• تكون اللعبة البسيطة W رتيبة إذا كان أي تحالف يحتوي على تحالف فائز فائزًا أيضًا، أي إذا${\displaystyle S\in W}$و${\displaystyle S\subseteq T}$يعني${\displaystyle T\in W}$.
• تكون اللعبة البسيطة W مناسبة إذا كان مكمل (معارض) أي ائتلاف فائز خاسراً، أي إذا${\displaystyle S\in W}$يشير إلى${\displaystyle N\setminus S\notin W}$.
• تكون لعبة W البسيطة قوية إذا كان مكمل أي تحالف خاسر هو التحالف الفائز، أي إذا${\displaystyle S\notin W}$يشير إلى${\displaystyle N\setminus S\in W}$.
  • إذا كانت اللعبة البسيطة W لعبة مناسبة وقوية، فإن التحالف يفوز إذا وفقط إذا كان مكمله خاسراً، أي${\displaystyle S\in W}$إذا ${\displaystyle N\setminus S\notin W}$(إذا كانت v لعبة ائتلافية بسيطة مناسبة وقوية،${\displaystyle v(S)=1-v(N\setminus S)}$لأي S. )
• في لعبة بسيطة، يُعتبر اللاعب الذي يملك حق النقض (لاعب الفيتو) لاعبًا ينتمي إلى جميع التحالفات الفائزة. بافتراض وجود لاعب فيتو، فإن أي تحالف لا يحتوي على لاعب فيتو يكون خاسرًا. تُسمى اللعبة البسيطة W ضعيفة ( جماعية ) إذا كان لديها لاعب فيتو، أي إذا كان التقاطع${\displaystyle \bigcap W:=\bigcap _{S\in W}S}$جميع التحالفات الفائزة غير فارغة.
  • في لعبة بسيطة ، يُعتبر الديكتاتور لاعبًا ذا حق نقض، بحيث يكون أي تحالف يضم هذا اللاعب فائزًا. ولا ينتمي الديكتاتور إلى أي تحالف خاسر. ( لا علاقة لألعاب الديكتاتورية في الاقتصاد التجريبي بهذا الأمر).
• حامل لعبة بسيطة W هو مجموعة${\displaystyle T\subseteq N}$بحيث يكون لدينا لأي تحالف S${\displaystyle S\in W}$إذا${\displaystyle S\cap T\in W}$عندما تحتوي لعبة بسيطة على حامل، يتم تجاهل أي لاعب لا ينتمي إليه. تُسمى اللعبة البسيطة أحيانًا لعبة منتهية إذا كان لها حامل منتهٍ (حتى لو كان N عددًا لانهائيًا).
• عدد ناكامورا في لعبة بسيطة هو أقل عدد من التحالفات الرابحة ذات التقاطع الفارغ. ووفقًا لنظرية ناكامورا، يقيس هذا العدد درجة العقلانية؛ فهو مؤشر على مدى قدرة قاعدة التجميع على إنتاج خيارات محددة جيدًا.

تم الاعتراف على نطاق واسع ببعض العلاقات بين البديهيات المذكورة أعلاه، مثل ما يلي (على سبيل المثال، Peleg، 2002، القسم 2.1 ^{[ 8 ]} ):

• إذا كانت اللعبة البسيطة ضعيفة، فهذا أمر طبيعي.
• لعبة بسيطة تكون استبدادية إذا وفقط إذا كانت قوية وضعيفة.

وبشكل أكثر عمومية، تم إجراء تحقيق كامل في العلاقة بين البديهيات التقليدية الأربعة (الرتابة، والملاءمة، والقوة، وعدم الضعف)، والنهائية، وقابلية الحساب الخوارزمي ^{[ 9 ] (كومابي وميهارا، 2011 [ 10 ]} )، والتي تم تلخيص نتائجها في الجدول "وجود الألعاب البسيطة" أدناه.

كما دُرست القيود التي تفرضها مختلف البديهيات الخاصة بالألعاب البسيطة على عدد ناكامورا الخاص بها بشكلٍ مُستفيض. ^{[ 12 ]} وعلى وجه الخصوص، فإن اللعبة البسيطة القابلة للحساب والتي لا تحتوي على لاعب حق النقض يكون لها عدد ناكامورا أكبر من 3 فقط إذا كانت لعبة صحيحة وغير قوية .

كانت المجموعة المستقرة للعبة (المعروفة أيضًا باسم حل فون نيومان-مورجنسترن ( فون نيومان ومورجنسترن 1944 ) ) أول حل مقترح للألعاب التي تضم أكثر من لاعبين.${\displaystyle v}$دعها تكون لعبة ودعها${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$لنفترض وجود إسنادين لـ${\displaystyle v}$. ثم${\displaystyle x}$يهيمن${\displaystyle y}$إذا كان هناك تحالف ما${\displaystyle S\neq \emptyset }$يرضي${\displaystyle x_{i}>y_{i},\forall ~i\in S}$و${\displaystyle \sum _{i\in S}x_{i}\leq v(S)}$بمعنى آخر، اللاعبون في${\displaystyle S}$أفضل العوائد من${\displaystyle x}$إلى أولئك من${\displaystyle y}$ويمكنهم التهديد بالانسحاب من الائتلاف الكبير إذا${\displaystyle y}$يُستخدم هذا الأسلوب لأن العائد الذي يحصلون عليه بمفردهم لا يقل عن حجم المخصصات التي يتلقونها بموجب${\displaystyle x}$.

المجموعة المستقرة هي مجموعة من عمليات الإسناد التي تحقق خاصيتين:

• الاستقرار الداخلي: لا يوجد متجه عائد في المجموعة المستقرة يهيمن عليه متجه آخر في المجموعة.
• الاستقرار الخارجي: جميع متجهات العوائد خارج المجموعة يهيمن عليها متجه واحد على الأقل في المجموعة.

رأى فون نيومان ومورغنسترن أن المجموعة المستقرة هي مجموعة السلوكيات المقبولة في المجتمع: لا يُفضّل أي سلوك على آخر بشكل واضح، ولكن لكل سلوك غير مقبول بديل مفضل. هذا التعريف عام جدًا، مما يسمح باستخدام المفهوم في مجموعة واسعة من أشكال الألعاب.

يترك${\displaystyle v}$أن تكون لعبة. جوهر${\displaystyle v}$هي مجموعة متجهات العوائد

${\displaystyle C(v)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:\sum _{i\in N}x_{i}=v(N);\quad \sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S),\forall ~S\subseteq N\right\}.}$

بعبارة أخرى، يُمثل جوهر الأمر مجموعة التقديرات التي لا تتجاوز قيمة أي ائتلاف بموجبها مجموع عوائد أعضائه. وبالتالي، لا يوجد لدى أي ائتلاف حافز لمغادرة الائتلاف الأكبر والحصول على عائد أكبر.

بالنسبة للألعاب البسيطة، هناك مفهوم آخر للجوهر، حيث يُفترض أن لكل لاعب تفضيلات على مجموعة${\displaystyle X}$من البدائل. الملف التعريفي عبارة عن قائمة${\displaystyle p=(\succ _{i}^{p})_{i\in N}}$تفضيلات الأفراد${\displaystyle \succ _{i}^{p}}$على${\displaystyle X}$. هنا${\displaystyle x\succ _{i}^{p}y}$يعني ذلك الفرد${\displaystyle i}$يفضل البديل${\displaystyle x}$ ل${\displaystyle y}$في الملف الشخصي${\displaystyle p}$. بالنظر إلى لعبة بسيطة${\displaystyle v}$وملف تعريفي${\displaystyle p}$علاقة هيمنة​${\displaystyle \succ _{v}^{p}}$يتم تعريفها على${\displaystyle X}$بواسطة${\displaystyle x\succ _{v}^{p}y}$إذا وفقط إذا كان هناك ائتلاف فائز${\displaystyle S}$ (أي،${\displaystyle v(S)=1}$مُرضٍ${\displaystyle x\succ _{i}^{p}y}$للجميع${\displaystyle i\in S}$الجوهر​${\displaystyle C(v,p)}$لعبة بسيطة${\displaystyle v}$فيما يتعلق بالملف الشخصي${\displaystyle p}$مجموعة التفضيلات هي مجموعة البدائل التي لا يهيمن عليها${\displaystyle \succ _{v}^{p}}$ (مجموعة العناصر القصوى لـ${\displaystyle X}$بالنسبة إلى${\displaystyle \succ _{v}^{p}}$):

${\displaystyle x\in C(v,p)}$إذا وفقط إذا لم يكن هناك${\displaystyle y\in X}$بحيث${\displaystyle y\succ _{v}^{p}x}$.

عدد ناكامورا للعبة بسيطة هو أقل عدد من التحالفات الفائزة ذات التقاطع الفارغ. تنص نظرية ناكامورا على أن النواة${\displaystyle C(v,p)}$لا يكون فارغًا لجميع الملفات الشخصية${\displaystyle p}$من التفضيلات غير الدورية (أو المتعدية ) إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة محدودة والعدد الأصلي (عدد العناصر) لـ${\displaystyle X}$وهو أقل من رقم ناكامورا لـ${\displaystyle v}$. تنص إحدى الصيغ المعدلة التي وضعها كومابي وميهارا على أن الجوهر${\displaystyle C(v,p)}$لا يكون فارغًا لجميع الملفات الشخصية${\displaystyle p}$من التفضيلات التي لها عنصر أقصى إذا وفقط إذا كان العدد الأصلي لـ${\displaystyle X}$وهو أقل من رقم ناكامورا لـ${\displaystyle v}$(انظر رقم ناكامورا لمزيد من التفاصيل.)

نظرًا لأن النواة قد تكون فارغة، فقد تم تقديم تعميم في ( شابلي وشوبيك 1966 ) . القوي${\displaystyle \varepsilon }$-core لرقم ما${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$هي مجموعة متجهات العوائد

${\displaystyle C_{\varepsilon }(v)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:\sum _{i\in N}x_{i}=v(N);\quad \sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S)-\varepsilon ,\forall ~S\subseteq N\right\}.}$

من الناحية الاقتصادية، القوي${\displaystyle \varepsilon }$-core هي مجموعة الإسنادات المسبقة التي لا يمكن لأي ائتلاف أن يحسن عائده فيها بالانسحاب من الائتلاف الكبير، إذا كان عليه دفع غرامة قدرها${\displaystyle \varepsilon }$للمغادرة.${\displaystyle \varepsilon }$قد يكون الأمر سلبياً، وفي هذه الحالة يمثل مكافأةً لمغادرة التحالف الكبير. من الواضح أنه بغض النظر عما إذا كان المركز خالياً أم لا، فإن الأقوياء${\displaystyle \varepsilon }$ستكون قيمة -core غير فارغة لقيمة كبيرة بما يكفي من${\displaystyle \varepsilon }$وتكون فارغة لقيمة صغيرة بما يكفي (ربما سالبة) من${\displaystyle \varepsilon }$وبناءً على هذا المنطق، فإن النواة الأصغر ، التي تم تقديمها في ( ماشلر، بيليج وشابلي 1979 ) ، هي تقاطع جميع المجموعات القوية غير الفارغة${\displaystyle \varepsilon }$-النوى. ويمكن اعتبارها أيضًا قوية${\displaystyle \varepsilon }$-core لأصغر قيمة لـ${\displaystyle \varepsilon }$وهذا يجعل المجموعة غير فارغة ( بيلباو 2000 ) .

قيمة شابلي هي متجه العوائد الوحيد الذي يتسم بالكفاءة والتناظر والرتابة. ^{[ 15 ]} وقد قدمها لويد شابلي ( شابلي، 1953 ) الذي أثبت أنها متجه العوائد الوحيد الذي يتسم بالكفاءة والتناظر والجمعية، ويُخصص عوائد صفرية للاعبين الوهميين. قيمة شابلي في لعبة فوق الجمعية تكون عقلانية فرديًا، ولكن هذا لا ينطبق على العموم. ( دريسن، 1988 )

يترك${\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} }$دعها تكون لعبة، ودعها${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$ليكن متجه العائد الفعال. أقصى فائض للاعب i على اللاعب j بالنسبة إلى x هو

${\displaystyle s_{ij}^{v}(x)=\max \left\{v(S)-\sum _{k\in S}x_{k}:S\subseteq N\setminus \{j\},i\in S\right\},}$

أقصى مبلغ يمكن أن يحصل عليه اللاعب i دون تعاون اللاعب j بالانسحاب من التحالف الكبير N في ظل متجه العوائد x ، بافتراض أن اللاعبين الآخرين في التحالف المنسحب من i راضون عن عوائدهم في ظل x . يُعدّ الفائض الأقصى طريقة لقياس قوة التفاوض لدى لاعب على آخر. نواة${\displaystyle v}$هي مجموعة الإسنادات x التي تحقق

• ${\displaystyle (s_{ij}^{v}(x)-s_{ji}^{v}(x))\times (x_{j}-v(j))\leq 0}$، و
• ${\displaystyle (s_{ji}^{v}(x)-s_{ij}^{v}(x))\times (x_{i}-v(i))\leq 0}$

لكل زوج من اللاعبين i و j . وبشكل بديهي، يتمتع اللاعب i بقوة تفاوضية أكبر من اللاعب j فيما يتعلق بالتعويض x إذا${\displaystyle s_{ij}^{v}(x)>s_{ji}^{v}(x)}$لكن اللاعب j محصن ضد تهديدات اللاعب i إذا${\displaystyle x_{j}=v(j)}$لأنه يستطيع الحصول على هذا العائد بنفسه. تحتوي النواة على جميع الاحتمالات التي لا يمتلك فيها أي لاعب هذه القدرة التفاوضية على لاعب آخر. وقد طُرح مفهوم الحل هذا لأول مرة في ( ديفيس وماشلر ، 1965 ) .

يُحدد مُعامل هارساني (نسبةً إلى جون هارساني ، الذي استخدمه لتعميم قيمة شابلي عام 1963 ^{[ 16 ]} ) الفائض الناتج عن تحالف لاعبين في لعبة تعاونية. ولتحديد هذا الفائض، تُصحح قيمة هذا التحالف بطرح الفائض الذي سبق أن حققته التحالفات الفرعية. ولهذا الغرض، يُحسب مُعامل هارساني.${\displaystyle d_{v}(S)}$ائتلاف${\displaystyle S}$داخل اللعبة${\displaystyle v}$يتم تحديدها بشكل متكرر بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{v}(\{i\})&=v(\{i\})\\d_{v}(\{i,j\})&=v(\{i,j\})-d_{v}(\{i\})-d_{v}(\{j\})\\d_{v}(\{i,j,k\})&=v(\{i,j,k\})-d_{v}(\{i,j\})-d_{v}(\{i,k\})-d_{v}(\{j,k\})-d_{v}(\{i\})-d_{v}(\{j\})-d_{v}(\{k\})\\&\vdots \\d_{v}(S)&=v(S)-\sum _{T\subsetneq S}d_{v}(T)\end{aligned}}}$

تُعطى الصيغة الصريحة للأرباح الموزعة على النحو التالي:${\textstyle d_{v}(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1)^{|S\setminus T|}v(T)}$الوظيفة${\displaystyle d_{v}:2^{N}\to \mathbb {R} }$يُعرف أيضًا باسم معكوس موبيوس لـ${\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} }$[ ^{17 ] في} الواقع، يمكننا التعافي${\displaystyle v}$من${\displaystyle d_{v}}$بمساعدة الصيغة${\textstyle v(S)=d_{v}(S)+\sum _{T\subsetneq S}d_{v}(T)}$.

تُعدّ أرباح هارساني مفيدة لتحليل كل من الألعاب ومفاهيم الحلول، على سبيل المثال، يتم الحصول على قيمة شابلي من خلال توزيع أرباح كل ائتلاف بين أعضائه، أي قيمة شابلي.${\displaystyle \phi _{i}(v)}$لاعب${\displaystyle i}$داخل اللعبة${\displaystyle v}$يتم حسابها عن طريق جمع حصة اللاعب من أرباح جميع التحالفات التي ينتمي إليها،${\textstyle \phi _{i}(v)=\sum _{S\subset N:i\in S}{d_{v}(S)}/{|S|}}$.

يترك${\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} }$دعها تكون لعبة، ودعها${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$ليكن متجه العائد . فائض${\displaystyle x}$من أجل ائتلاف${\displaystyle S\subseteq N}$الكمية${\displaystyle v(S)-\sum _{i\in S}x_{i}}$أي المكاسب التي يحققها اللاعبون في التحالف${\displaystyle S}$ويمكنهم الحصول على ذلك إذا انسحبوا من التحالف الكبير${\displaystyle N}$أقل من السداد${\displaystyle x}$وبدلاً من ذلك، خذ المكافأة${\displaystyle v(S)}$النواة​​${\displaystyle v}$هو الإسناد الذي يكون فيه متجه التجاوزات لجميع التحالفات (متجه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2^{N}}}$) هو الأصغر في ترتيب الليكسيمين . تم إدخال النوية في ( شمايدلر 1969 ) .

( ماشلر، بيليغ وشابلي 1979 ) قدموا وصفًا أكثر سهولة: بدءًا من الأقل قوة، سجل التحالفات التي يكون فيها الجانب الأيمن من عدم المساواة في تعريف${\displaystyle C_{\varepsilon }(v)}$لا يمكن تقليصها أكثر من ذلك دون إفراغ المجموعة. استمر في تقليل الطرف الأيمن للتحالفات المتبقية، حتى يتعذر تقليصها دون إفراغ المجموعة. سجّل المجموعة الجديدة من التحالفات التي تتحقق فيها المتباينات عند التساوي؛ استمر في تقليل الطرف الأيمن للتحالفات المتبقية وكرر هذه العملية حسب الحاجة حتى يتم تسجيل جميع التحالفات. متجه العائد الناتج هو النواة.

تتمتع الألعاب التعاونية المحدبة بالعديد من الخصائص الجيدة:

• يستلزم التفرع المعياري بشكل بديهي التفرع الجمعي .
• الألعاب المحدبة متوازنة تمامًا : جوهر اللعبة المحدبة غير فارغ، وبما أن أي لعبة فرعية من لعبة محدبة هي محدبة، فإن جوهر أي لعبة فرعية غير فارغ أيضًا.
• تتميز اللعبة المحدبة بمجموعة مستقرة فريدة تتطابق مع جوهرها .
• قيمة شابلي للعبة المحدبة هي مركز ثقل جوهرها .
• يمكن إيجاد نقطة قصوى (رأس) للمركز في وقت متعدد الحدود باستخدام الخوارزمية الجشعة : ليكن${\displaystyle \pi :N\to N}$ليكن تبديلاً للاعبين، وليكن${\displaystyle S_{i}=\{j\in N:\pi (j)\leq i\}}$ليكن مجموعة اللاعبين مرتبة${\displaystyle 1}$خلال${\displaystyle i}$في${\displaystyle \pi }$، لأي${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$، مع${\displaystyle S_{0}=\emptyset }$ثم تأتي المكافأة${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$محدد بواسطة${\displaystyle x_{i}=v(S_{\pi (i)})-v(S_{\pi (i)-1}),\forall ~i\in N}$هو رأس من رؤوس مركز${\displaystyle v}$يمكن إنشاء أي رأس من رؤوس النواة بهذه الطريقة عن طريق اختيار تبديل مناسب.${\displaystyle \pi }$.

تُدرس دوال المجموعات شبه المعيارية وفوق المعيارية أيضًا في مجال التحسين التوافقي . العديد من النتائج الواردة في ( شابلي، 1971 ) لها نظائر في ( إدموندز، 1970 ) ، حيث عُرضت الدوال شبه المعيارية لأول مرة كتعميمات للماترويدات . في هذا السياق، يُطلق على جوهر لعبة التكلفة المحدبة اسم متعدد السطوح الأساسي ، لأن عناصره تُعمم الخصائص الأساسية للماترويدات .

مع ذلك، يعتبر مجتمع التحسين عمومًا الدوال شبه المعيارية نظائر منفصلة للدوال المحدبة ( لوفاس، 1983 ) ، لأن تصغير كلا النوعين من الدوال قابل للمعالجة حسابيًا. لسوء الحظ، يتعارض هذا بشكل مباشر مع تعريف شابلي الأصلي للدوال فوق المعيارية بأنها "محدبة".

• بيلباو، خيسوس ماريو (2000)، الألعاب التعاونية على الهياكل التوافقية ، دار نشر كلوير الأكاديمية، رقم ISBN 9781461543930

• ديفيس، م.؛ ماشلر، م. (1965)، "جوهر اللعبة التعاونية"، مجلة البحوث اللوجستية البحرية الفصلية ، 12 (3): 223-259 ، doi : 10.1002/nav.3800120303

• دريسن، ثيو (1988)، الألعاب التعاونية، الحلول والتطبيقات ، دار نشر كلوير الأكاديمية، رقم ISBN 9789401577878

• إدموندز، جاك (1970)، "الدوال شبه المعيارية، والماترويدات، وبعض المجسمات متعددة السطوح"، في جاي، ر.؛ حناني، هـ.؛ ساوير، ن.؛ شونهايم، ج. (محررون)، الهياكل التوافقية وتطبيقاتها ، نيويورك: جوردون وبريتش، ص 69-87 

• لوفاس، لازلو ( 1983)، "الدوال شبه المعيارية والتحدب"، في باشم، أ.؛ غروتشل، م .؛ كورت، ب. (محررون)، البرمجة الرياضية - أحدث ما توصل إليه العلم ، برلين: سبرينغر، ص 235-257 

• ليتون-براون، كيفن؛ شوهام، يوآف (2008)، أساسيات نظرية الألعاب: مقدمة موجزة ومتعددة التخصصات ، سان رافائيل، كاليفورنيا: دار مورغان وكلايبول للنشر، رقم ISBN 978-1-59829-593-1مقدمة رياضية من 88 صفحة؛ انظر الفصل 8. متاح مجاناً عبر الإنترنت (الاشتراك مطلوب) مؤرشف بتاريخ 15-08-2000 في Wayback Machine في العديد من الجامعات.

• لوكاس، ويليام ف. (1969)، "البرهان على أن اللعبة قد لا يكون لها حل"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 136 : 219-229 ، doi : 10.2307/1994798 ، JSTOR 1994798 . 

• Lucas، William F. (1992)، “Von Neumann-Morgenstern Stable Sets”، في Aumann، Robert J .؛ هارت، سيرجيو (محرران)، دليل نظرية اللعبة، المجلد الأول ، أمستردام: إلسفير ، الصفحات من 543 إلى 590 

• Luce, RD and Raiffa, H. (1957) Games and Decisions: An Introduction and Critical Survey , Wiley & Sons. (انظر الفصل 8).
• ماشلر، م .؛ بيليج، ب.؛ شابلي، لويد س. (1979)، "الخصائص الهندسية للنواة، والنووية، ومفاهيم الحلول ذات الصلة"، رياضيات بحوث العمليات ، 4 (4): 303-338 ، doi : 10.1287/moor.4.4.303

• أوزبورن، إم جيه وروبنشتاين، أ. (1994) دورة في نظرية الألعاب ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (انظر الفصول 13 و14 و15)
• مولان، هيرفيه (1988)، بديهيات صنع القرار التعاوني (  الطبعة الأولى)، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-42458-5

• أوين، غييرمو (1995)، نظرية الألعاب (  الطبعة الثالثة)، سان دييغو: أكاديميك برس ، رقم ISBN 978-0-12-531151-9

• Schmeidler, D. (1969), "The nucleolus of a characteristic function game", SIAM Journal on Applied Mathematics , 17 (6): 1163– 1170, doi : 10.1137/0117107 .

• شابلي، لويد س. (1953)، "قيمة لـ${\displaystyle n}$ألعاب اللاعبين"، في كون ، هـ.؛ تاكر، أ.و. (محرران)، مساهمات في نظرية الألعاب II ، برينستون، نيو جيرسي: مطبعة جامعة برينستون، ص 307-317 

• شابلي، لويد س. (18 مارس 1952)، قيمة ألعاب اللاعبين المتعددين ، سانتا مونيكا، كاليفورنيا: مؤسسة راند

• شابلي، لويد س. (1971)، "نوى الألعاب المحدبة"، المجلة الدولية لنظرية الألعاب ، 1 (1): 11-26 ، doi : 10.1007/BF01753431 ، S2CID 123385556 

• شابلي، لويد س .؛ شوبيك، م. (1966)، "الأنوية شبه الأساسية في اقتصاد نقدي ذي تفضيلات غير محدبة"، إيكونومتريكا ، 34 (4): 805-827 ، doi : 10.2307/1910101 ، JSTOR 1910101 

• شوهام، يواف؛ ليتون-براون، كيفن (2009)، أنظمة متعددة الوكلاء: أسس خوارزمية، ونظرية ألعاب، ومنطقية ، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-89943-7مرجع شامل من منظور حسابي؛ انظر الفصل 12. يمكن تحميله مجاناً عبر الإنترنت .

• فون نيومان، جون ؛ مورغنسترن، أوسكار (1944)، "نظرية الألعاب والسلوك الاقتصادي" ، مجلة نيتشر ، 157 (3981)، برينستون: مطبعة جامعة برينستون : 172، رمز Bibcode : 1946Natur.157..172R ، doi : 10.1038/157172a0 ، S2CID 29754824 

• يونغ، ديفيد دبليو كيه وليون أ. بتروسيان. ألعاب تفاضلية عشوائية تعاونية (سلسلة سبرينغر في بحوث العمليات والهندسة المالية)، سبرينغر، 2006. غلاف ورقي - رقم ISBN 978-1441920942.
• يونغ، ديفيد دبليو كيه وليون أ. بتروسيان. التحسين الاقتصادي المتسق مع الألعاب الفرعية: تحليل متقدم للألعاب الديناميكية التعاونية (نظرية الألعاب الثابتة والديناميكية: الأسس والتطبيقات)، بيركهاوزر بوسطن؛ 2012. ISBN 978-0817682613