مجال بيرغر

في مجال الهندسة الريمانية ، تُشكّل كرات بيرغر فئةً خاصةً من الأمثلة على مشعبات ريمان المتماثلة مع الكرة ثلاثية الأبعاد . وقد سُمّيت نسبةً إلى مارسيل بيرغر الذي قدّمها عام 1962.

زمرة لي SU (2) متماثلة تفاضليًا مع الكرة ثلاثية الأبعاد . جبر لي الخاص بها هو فضاء متجهي حقيقي ثلاثي الأبعاد يمتد بواسطة

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$

وهي مضاعفات مركبة لمصفوفات باولي . من السهل التحقق من أن المبدلات معطاة بالصيغة [u1, u2 ] ₌ 2u3 _و [ u1 , u3 ] ₌ -2u2 _و [ u2 , _u3 ] = _{2u1 .} أي جداء _داخلي موجب التحديد على جبر لي يُحدد مقياسًا ريمانيًا ثابتًا _من اليسار على زمرة لي. كرة بيرغر هي مقياس يتم الحصول عليه بجعل الجداء الداخلي على جبر لي مصفوفيًا .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

بالنسبة للأساس u1 _، u2 _، u3 _. هنا ، t عدد موجب يُختار بحرية؛ كل اختيار يُنتج كرة بيرغر مختلفة. إذا تم اختياره سالبًا، فسيتم إنتاج مقياس لورنتزي . باستخدام صيغة كوزول، يمكن حساب اتصال ليفي-سيفيتا مباشرةً .

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{u_{1}}u_{2}&=(2-t)u_{3}&\nabla _{u_{2}}u_{1}&=-tu_{3}\\\nabla _{u_{2}}u_{3}&=u_{1}&\nabla _{u_{3}}u_{2}&=-u_{1}\\\nabla _{u_{3}}u_{1}&=tu_{2}&\nabla _{u_{1}}u_{3}&=(t-2)u_{2}.\end{محاذاة}}}$

للمؤثر المنحني قيم ذاتية t ، t ، 4 - 3t . ويكون مقياس بيرغر الثابت من اليسار ثابتًا من اليمين أيضًا إذا وفقط إذا كان t = 1. ^{[ 1 ]}

الحقل المتجهي الثابت من اليسار على _SU (2) الموافق لـ u1 (أو لأي عنصر آخر من عناصر جبر لي) يكون مماسًا للألياف الدائرية لتليف هوبف SU(2) → S2 ^. [ ^{2 ] وبذلك} ، يمكن أيضًا بناء مقاييس بيرغر عبر تليف هوبف، عن طريق تغيير مقياس اتجاهات المماس للألياف. على عكس البناء السابق، الذي يعتمد على بنية زمرة لي على الكرة ثلاثية الأبعاد، يمكن توسيع هذا الإصدار من البناء ليشمل تليفات هوبف الأكثر عمومية ^S2n + ^{1 → CPn} للكرات ذات الأبعاد الفردية على الفضاءات الإسقاطية المركبة ، باستخدام مقياس فوبيني-ستودي .

تنص متباينة ويلهلم كلينجنبرغ الشهيرة على أنه لأي متري ريماني أملس على مشعب مغلق قابل للتوجيه ذي بُعد زوجي، إذا كان انحناء المقطع موجبًا، فإن نصف قطر الحقن يكون أكبر من أو يساوي π ⁄ K ^1/2 ، حيث K هو الحد الأقصى لانحناء المقطع. تُظهر كرات بيرغر أن هذا لا يصح إذا تم حذف فرضية البُعد الزوجي. ^{[ 3 ]}

وبالمثل، تشير تقديرات أخرى لكلينجنبرغ إلى أنه لأي مقياس ريماني أملس على مشعب مغلق بسيط الاتصال، إذا كانت جميع انحناءات القطاعات تقع في الفترة [ 1،4) ، فإن نصف قطر الحقن يكون أكبر من π / 2 . وتُظهر كرات بيرغر أنه لا يمكن إزالة الافتراض المتعلق بانحناء القطاعات. ^{[ 3 ]}

يمكن تغيير مقياس أي مشعب ريماني مضغوط لإنتاج مقياس ذي حجم وقطر ونصف قطر حقن صغيرين، ولكن بانحناء كبير. توضح كرات بيرغر الظواهر البديلة المتمثلة في صغر الحجم ونصف قطر الحقن، ولكن دون صغر القطر أو انحناء كبير. تُظهر هذه الكرات أن الكرة ثلاثية الأبعاد هي مشعب قابل للانهيار : فهي تقبل سلسلة من المقاييس الريمانية ذات انحناء محدود بشكل منتظم، ولكن بنصف قطر حقن يتقارب إلى الصفر. تتقارب هذه السلسلة من المشعبات الريمانية في مقياس غروموف-هاوسدورف إلى كرة ثنائية الأبعاد ذات انحناء ثابت. ^{[ 4 ]}

مصادر