التماثل الشكلي

في الرياضيات ، التشاكل التفاضلي هو تماثل بين مشعبات قابلة للتفاضل . وهو دالة قابلة للعكس تربط مشعبًا قابلًا للتفاضل بآخر بحيث تكون كل من الدالة ومعكوسها قابلة للتفاضل بشكل مستمر .

بفرض وجود مشعبين قابلين للتفاضل${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$، خريطة قابلة للتفاضل باستمرار${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$يكون تماثلاً تفاضلياً إذا كان تقابلاً ومعكوسه${\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M}$وهي قابلة للتفاضل أيضًا. إذا كانت هذه الدوال${\displaystyle r}$أوقات قابلة للتفاضل باستمرار،${\displaystyle f}$ يُطلق عليه اسم${\displaystyle C^{r}}$-التماثل التفاضلي.

مشعبان${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$هي متماثلة الشكل (يشار إليها عادةً بـ${\displaystyle M\simeq N}$) إذا كان هناك تماثل تفاضلي${\displaystyle f}$من${\displaystyle M}$ل${\displaystyle N}$. اثنين${\displaystyle C^{r}}$-المشعبات التفاضلية هي${\displaystyle C^{r}}$-متماثل الشكل إذا كان هناك${\displaystyle r}$دالة تقابلية قابلة للتفاضل باستمرار بينهما، وعكسها أيضًا${\displaystyle r}$أ) قابلة للتفاضل باستمرار.${\displaystyle C^{1}}$التحويل التفاضلي هو ببساطة تحويل تفاضلي، و${\displaystyle C^{0}}$-التشابه التفاضلي هو تشابه تماثلي.

بالنظر إلى مجموعة جزئية${\displaystyle X}$من مشعب${\displaystyle M}$ومجموعة فرعية${\displaystyle Y}$من مشعب${\displaystyle N}$، دالة${\displaystyle f:X\to Y}$يقال إنه سلس إن كان للجميع${\displaystyle p}$في${\displaystyle X}$يوجد حي${\displaystyle U\subset M}$ل${\displaystyle p}$ووظيفة سلسة${\displaystyle g:U\to N}$بحيث تتفق القيود :${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$(لاحظ أن${\displaystyle g}$هو امتداد لـ${\displaystyle f}$). الوظيفة${\displaystyle f}$يقال إن الدالة هي تماثل تفاضلي إذا كانت تقابلية، وملساء، وكان معكوسها أملسًا.

يمكن اختبار ما إذا كانت دالة قابلة للتفاضل هي تماثل تفاضلي محليًا في ظل بعض القيود البسيطة. هذه هي نظرية هادامارد-كاشيوبولي: ^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle U}$،${\displaystyle V}$هي مجموعات فرعية مفتوحة متصلة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بحيث${\displaystyle V}$هي ببساطة متصلة ، خريطة قابلة للتفاضل${\displaystyle f:U\to V}$يكون تماثلاً تفاضلياً إذا كان حقيقياً وإذا كان التفاضل${\displaystyle Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$يكون تقابلياً (وبالتالي تماثلاً خطياً ) عند كل نقطة${\displaystyle x}$في${\displaystyle U}$.

بعض الملاحظات:

من الضروري لـ${\displaystyle V}$يتم توصيلها ببساطة من أجل الوظيفة${\displaystyle f}$أن تكون قابلة للعكس عالميًا (بشرط أن تكون مشتقتها دالة تقابلية عند كل نقطة). على سبيل المثال، لننظر إلى "تحقيق" دالة المربع المركب

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

ثم${\displaystyle f}$هو شامل ويرضي

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

وهكذا، على الرغم من ذلك${\displaystyle Df_{x}}$دالة تقابلية عند كل نقطة،${\displaystyle f}$لا يمكن عكسها لأنها لا تكون أحادية (مثلاً${\displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}$).

بما أن التفاضل عند نقطة ما (للدالة القابلة للتفاضل)

${\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V}$

إذا كانت دالة خطية ، فإن لها دالة عكسية محددة جيدًا إذا وفقط إذا${\displaystyle Df_{x}}$هي دالة تقابل. التمثيل المصفوفي لـ${\displaystyle Df_{x}}$هو${\displaystyle n\times n}$مصفوفة المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى التي يكون عنصرها في${\displaystyle i}$الصف رقم -th و${\displaystyle j}$العمود رقم -th هو${\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}$. تُستخدم مصفوفة جاكوبيان هذه غالبًا في الحسابات الصريحة.

تكون التشاكلات التفاضلية بالضرورة بين متعددات الشعب ذات البعد نفسه . تخيل${\displaystyle f}$الانتقال من البعد${\displaystyle n}$لتحديد الأبعاد${\displaystyle k}$. لو${\displaystyle n<k}$ثم${\displaystyle Df_{x}}$لا يمكن أن يكون شاملاً أبداً، وإذا${\displaystyle n>k}$ثم${\displaystyle Df_{x}}$لا يمكن أن تكون حقنية أبدًا. في كلتا الحالتين، إذن،${\displaystyle Df_{x}}$لا يُعدّ تقابلاً.

لو${\displaystyle Df_{x}}$هي تقابل عند${\displaystyle x}$ثم${\displaystyle f}$يُقال إنها عملية تحويل تفاضلي محلية (لأنها، بحسب الاستمرارية،${\displaystyle Df_{y}}$سيكون أيضًا تقابليًا للجميع${\displaystyle y}$قريب بما فيه الكفاية من${\displaystyle x}$).

بالنظر إلى خريطة سلسة من البعد${\displaystyle n}$لتحديد الأبعاد${\displaystyle k}$، لو${\displaystyle Df}$(أو محلياً،${\displaystyle Df_{x}}$) شاملة،${\displaystyle f}$ويُقال إنها حالة غمر (أو محليًا، "غمر محلي")؛ وإذا${\displaystyle Df}$(أو محلياً،${\displaystyle Df_{x}}$) دالة حقنية،${\displaystyle f}$يقال إنها عملية غمر (أو محلياً، "غمر محلي").

لا يُعدّ التقابل التفاضلي بالضرورة تماثلاً تفاضلياً.${\displaystyle f(x)=x^{3}}$على سبيل المثال، ليس تماثلاً تفاضلياً من${\displaystyle \mathbb {R} }$لأن مشتقته تنعدم عند الصفر (وبالتالي فإن معكوسه غير قابل للتفاضل عند الصفر). هذا مثال على تماثل شكلي ليس تماثلاً تباينياً.

متى${\displaystyle f}$هي خريطة بين مشعبات قابلة للتفاضل، مشعب تفاضلي${\displaystyle f}$هو شرط أقوى من شرط التماثل المتماثل${\displaystyle f}$بالنسبة للتحويل التفاضلي،${\displaystyle f}$ويجب أن يكون معكوسه قابلاً للتفاضل ؛ من أجل التشاكل الموضعي،${\displaystyle f}$ويكفي أن يكون معكوسه متصلاً . كل تماثل تفاضلي هو تماثل طوبولوجي، ولكن ليس كل تماثل طوبولوجي هو تماثل تفاضلي.

${\displaystyle f:M\to N}$يُعتبر تماثلاً تفاضلياً إذا استوفى التعريف المذكور أعلاه في مخططات الإحداثيات . بتعبير أدق: اختر أي غطاء من${\displaystyle M}$باستخدام مخططات إحداثيات متوافقة ، وافعل الشيء نفسه لـ${\displaystyle N}$. يترك${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle \psi }$تكون الرسوم البيانية على التوالي${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$، مع${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$على التوالي، صور${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle \psi }$الخريطة${\displaystyle \psi f\phi ^{-1}:U\to V}$يكون حينها تماثلاً تفاضلياً كما في التعريف أعلاه، كلما${\displaystyle f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)}$.

بما أن أي فضاء متعدد الشعب يمكن تحديد معالمه محليًا، يمكننا النظر في بعض الخرائط الصريحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$داخل${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

• يترك

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$

يمكننا حساب مصفوفة جاكوبي:

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$

تكون مصفوفة جاكوبي ذات محدد يساوي صفرًا إذا وفقط إذا${\displaystyle xy=0}$نرى ذلك${\displaystyle f}$لا يمكن أن يكون هناك سوى اختلاف طفيف في الشكل عن...${\displaystyle x}$المحور السيني و${\displaystyle y}$المحور السيني. ومع ذلك،${\displaystyle f}$ليست دالة تقابلية لأن${\displaystyle f(x,y)=f(-x,y)}$وبالتالي لا يمكن أن يكون تماثلاً تفاضلياً.

• يترك

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$

حيث${\displaystyle a_{i,j}}$و${\displaystyle b_{i,j}}$هي أعداد حقيقية اختيارية ، والحدود المحذوفة من الدرجة الثانية على الأقل في x و y . يمكننا حساب مصفوفة جاكوبي عند 0 :

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$

نلاحظ أن g هو تماثل موضعي عند 0 إذا وفقط إذا

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$

أي أن الحدود الخطية في مكونات g مستقلة خطيًا مثل كثيرات الحدود .

• يترك

${\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}$

يمكننا حساب مصفوفة جاكوبي:

${\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

مصفوفة جاكوبي لها محدد يساوي صفرًا في كل مكان! في الواقع، نرى أن صورة h هي دائرة الوحدة .

يترك${\displaystyle M}$ليكن متعدد شعب قابل للتفاضل وقابل للعد من الدرجة الثانية وهاوسدورف . زمرة التشاكل التفاضلي لـ${\displaystyle M}$هي مجموعة الجميع${\displaystyle C^{r}}$التحولات الشكلية لـ${\displaystyle M}$إلى نفسها، ويرمز لها بـ${\displaystyle {\text{Diff}}^{r}(M)}$أو عندما${\displaystyle r}$مفهوم،${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$هذه مجموعة "كبيرة"، بمعنى أنه - شريطة${\displaystyle M}$ليس ذا أبعاد صفرية - إنه ليس مضغوطًا محليًا .

بما أن كل تماثل تفاضلي هو تماثل تماثلي، فإن أي زوج من المتشعبات المتماثلة تفاضليًا يكون متماثلًا تماثليًا على وجه الخصوص . والعكس ليس صحيحًا بشكل عام.

بينما يسهل إيجاد التشاكلات المتماثلة التي ليست تشاكلات تفاضلية، يصعب إيجاد زوج من المتشعبات المتماثلة غير المتماثلة. في الأبعاد 1 و2 و3، يكون أي زوج من المتشعبات الملساء المتماثلة متماثلاً تفاضلياً. في البعد 4 أو أكبر، توجد أمثلة على أزواج متماثلة ولكنها غير متماثلة تفاضلياً. أول مثال من هذا القبيل بناه جون ميلنور في البعد 7. فقد بنى متشعباً أملساً سباعي الأبعاد (يُسمى الآن كرة ميلنور ) متماثلاً متماثلاً مع الكرة القياسية ذات الأبعاد 7 ولكنه غير متماثل تفاضلياً معها. في الواقع، هناك 28 فئة من التشاكلات التفاضلية الموجهة للمتشعبات المتماثلة متماثلاً مع الكرة ذات الأبعاد 7 (كل منها هو الفضاء الكلي لحزمة ليفية فوق الكرة ذات الأبعاد 4 مع الكرة ذات الأبعاد 3 كحزمة ليفية).

تظهر ظواهر غير عادية أخرى في الفضاءات متعددة الأبعاد ذات البعد 4. في أوائل ثمانينيات القرن العشرين، أدى مزيج من نتائج سيمون دونالدسون ومايكل فريدمان إلى اكتشاف ظواهر غريبة.${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$يوجد عدد لا يُحصى من المجموعات الفرعية المفتوحة غير المتماثلة ثنائياً من${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$كل منها متماثل الشكل مع${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$كما يوجد عدد لا يُحصى من المشعبات التفاضلية غير المتماثلة ثنائياً والمتماثلة شكلياً مع${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$التي لا تندمج بسلاسة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.

• تحويل أنوسوف التفاضلي مثل خريطة قطة أرنولد
• الشذوذ التفاضلي، المعروف أيضًا باسم الشذوذ الجاذبي ، هو نوع من الشذوذ في ميكانيكا الكم
• علم التفاضل ، وهو عبارة عن تمثيلات سلسة لمجموعة، مما يُنشئ فضاءً تفاضليًا.
• علم القياسات الشكلية ، وهو دراسة قياسية للشكل والهيئة في علم التشريح الحاسوبي
• التشكل الإيتالي
• تباين شكلي كبير
• التماثل الموضعي
• التمايز الفائق

• كرانز، ستيفن ج.؛ باركس، هارولد ر. (2013). نظرية الدالة الضمنية: التاريخ والنظرية والتطبيقات . كلاسيكيات بيركهاوزر الحديثة. بوسطن. ISBN 978-1-4614-5980-4.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
• شودري، شيامولي؛ كاواي، هيكارو؛ تاي، إس. إتش. هنري (15 أغسطس 1987). " صياغة التكامل المساري للأوتار المغلقة" ( ملف PDF) . مجلة Physical Review D. 36 ( 4): 1148-1168 . رمز Bibcode : 1987PhRvD..36.1148C . doi : 10.1103/physrevd.36.1148 . ISSN 0556-2821 . PMID 9958280. S2CID 41709882. مؤرشف (ملف PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 21 يوليو 2018.   
• بانياغا، أوغسطين (1997)، بنية مجموعات التشاكل التفاضلي الكلاسيكية ، الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد  400، كلوير أكاديميك، ISBN 0-7923-4475-8
• دورين، بيتر ل. (2004)، التحويلات التوافقية في المستوى ، سلسلة كامبريدج للرياضيات، المجلد  156، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-64121-7
• "التماثل التفاضلي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• هيرش، موريس (1997)، الطوبولوجيا التفاضلية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90148-0
• كريجل، أندرياس؛ ميخور، بيتر (1997)، الإطار المناسب للتحليل العالمي ، دراسات وبحوث رياضية، المجلد  53، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 0-8218-0780-3
• ليزلي، جيه إيه (1967)، "حول بنية تفاضلية لمجموعة التشاكلات التفاضلية"، علم الطوبولوجيا ، 6 (2): 263-271 ، doi : 10.1016/0040-9383(67)90038-9 ، ISSN 0040-9383 ، MR 0210147  
• ميشور، بيتر دبليو؛ مامفورد، ديفيد (2013)، "مجموعة متنوعة من زمر التشاكل على R ⁿ ."، حوليات التحليل والهندسة العالمية ، 44 (4): 529-540 ، arXiv : 1211.5704 ، doi : 10.1007/s10455-013-9380-2 ، S2CID 118624866 
• ميلنور، جون دبليو. (2007)، الأعمال الكاملة، المجلد الثالث، الطوبولوجيا التفاضلية ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 978-0-8218-4230-0
• أوموري، هيديكي (1997)، زمر لي اللانهائية الأبعاد ، ترجمات من دراسات رياضية، المجلد  158، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 0-8218-4575-6
• كنسر، هيلموث (1926)، “Lösung der Aufgabe 41.”، Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (في المانيا)، 35 (2): 123