اتصال التوت والانحناء

في الفيزياء، يُعدّ كلٌّ من اتصال بيري وانحناء بيري مفهومين مترابطين، يُمكن النظر إليهما، على التوالي، على أنهما جهد قياس محلي وحقل قياس مرتبطين بطور بيري أو الطور الهندسي . وقد قدّم إس. بانشاراتنام ^{[ 1 ]} هذا المفهوم لأول مرة تحت مسمى الطور الهندسي ، ثم شرحه مايكل بيري بالتفصيل ونشره على نطاق واسع في ورقة بحثية نُشرت عام 1984 ^{[ 2 ]} ، مؤكدًا كيف تُوفّر الأطوار الهندسية مفهومًا موحدًا قويًا في العديد من فروع الفيزياء الكلاسيكية والكمية .

في ميكانيكا الكم، تنشأ مرحلة بيري في تطور دوري ثابت الحرارة . تنطبق نظرية الكم الثابتة الحرارة على نظام يكون هاميلتونيانه${\displaystyle H(\mathbf {R} )}$يعتمد على مُعامل (متجه)${\displaystyle \mathbf {R} }$وهذا يتغير مع مرور الوقت${\displaystyle t}$إذا${\displaystyle n}$القيمة الذاتية رقم 'th${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {R} )}$إذا ظل النظام غير متدهور في كل مكان على طول المسار وكان التغير مع الزمن t بطيئًا بما فيه الكفاية، فإن النظام يكون في البداية في الحالة الذاتية المعيارية${\displaystyle |n(\mathbf {R} (0))\rangle }$سيبقى في حالة ذاتية فورية${\displaystyle |n(\mathbf {R} (t))\rangle }$من الهاميلتوني${\displaystyle H(\mathbf {R} (t))}$، حتى مرحلة معينة، طوال العملية. وفيما يتعلق بالمرحلة، يمكن كتابة الحالة عند الزمن t على النحو التالي ^{[ 3 ]}$${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle =e^{i\gamma _{n}(t)}\,e^{-{i \over \hbar }\int _{0}^{t}dt'\varepsilon _{n}(\mathbf {R} (t'))}\,|n(\mathbf {R} (t))\rangle ,}$$ حيث يمثل الحد الأسي الثاني " عامل الطور الديناميكي ". أما الحد الأسي الأول فهو الحد الهندسي، مع${\displaystyle \gamma _{n}}$كونها مرحلة التوت. من شرط أن الدولة${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle }$إذا كانت تحقق معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن ، فيمكن إثبات ذلك. $${\displaystyle \gamma _{n}(t)=i\int _{0}^{t}dt'\,\langle n(\mathbf {R} (t'))|{d \over dt'}|n(\mathbf {R} (t'))\rangle =i\int _{\mathbf {R} (0)}^{\mathbf {R} (t)}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle ,}$$ مما يشير إلى أن طور بيري يعتمد فقط على المسار في فضاء المعلمات ، وليس على المعدل الذي يتم به اجتياز المسار.

في حالة التطور الدوري حول مسار مغلق${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بحيث${\displaystyle \mathbf {R} (T)=\mathbf {R} (0)}$، طور بيري ذو المسار المغلق هو $${\displaystyle \gamma _{n}=i\oint _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle .}$$ من الأمثلة على الأنظمة الفيزيائية التي يتحرك فيها الإلكترون على مسار مغلق حركة السيكلوترون (التفاصيل موجودة في صفحة طور بيري ). يجب مراعاة طور بيري للحصول على شرط التكميم الصحيح.

يمكن إجراء تحويل قياسي$${\displaystyle |{\tilde {n}}(\mathbf {R} )\rangle =e^{-i\beta (\mathbf {R} )}|n(\mathbf {R} )\rangle }$$ إلى مجموعة جديدة من الحالات التي تختلف عن الحالات الأصلية فقط بـ${\displaystyle \mathbf {R} }$عامل الطور المعتمد على . هذا يُعدّل طور بيري ذي المسار المفتوح ليصبح${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{n}(t)=\gamma _{n}(t)+\beta (t)-\beta (0)}$بالنسبة للمسار المغلق، يتطلب الاستمرار أن${\displaystyle \beta (T)-\beta (0)=2\pi m}$(${\displaystyle m}$(عدد صحيح)، ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \gamma _{n}}$ثابت، بتردد${\displaystyle 2\pi }$، تحت تحويل قياسي عشوائي.

يمكن التعبير عن طور بيري ذي المسار المغلق المحدد أعلاه على النحو التالي: $${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \cdot {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$$ أين $${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )=i\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle }$$ هي دالة ذات قيم متجهة تُعرف باسم اتصال بيري (أو جهد بيري). يعتمد اتصال بيري على المقياس، ويتحول كما يلي: ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}_{n}(\mathbf {R} )={\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )+\nabla _{\mathbf {R} \,}\beta (\mathbf {R} )}$ومن هنا تأتي صلة بيري المحلية${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$لا يمكن ملاحظتها فيزيائيًا أبدًا. ومع ذلك، فإن تكاملها على طول مسار مغلق، وهو طور بيري${\displaystyle \gamma _{n}}$، ثابت المقياس حتى مضاعف صحيح لـ${\displaystyle 2\pi }$. هكذا،${\displaystyle e^{i\gamma _{n}}}$هو ثابت تمامًا بغض النظر عن المقياس، وقد يكون مرتبطًا بالكميات الفيزيائية القابلة للرصد.

انحناء بيري هو موتر من الرتبة الثانية مضاد للتناظر مشتق من اتصال بيري عبر $${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )={\partial \over \partial R^{\mu }}{\mathcal {A}}_{n,\nu }(\mathbf {R} )-{\partial \over \partial R^{\nu }}{\mathcal {A}}_{n,\mu }(\mathbf {R} ).}$$ في فضاء المعلمات ثلاثي الأبعاد، يمكن كتابة انحناء بيري في شكل متجه زائف$${\displaystyle \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} )=\nabla _{\mathbf {R} }\times {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} ).}$$ ترتبط أشكال الموتر والمتجه الزائف لانحناء بيري ببعضها البعض من خلال موتر ليفي-سيفيتا المتناظر المضاد كما يلي:${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }=\epsilon _{\mu \nu \xi }\,\mathbf {\Omega } _{n,\xi }}$على عكس اتصال بيري، الذي لا يكون فيزيائيًا إلا بعد التكامل حول مسار مغلق، فإن انحناء بيري هو مظهر محلي ثابت القياس للخصائص الهندسية للدوال الموجية في فضاء المعلمات، وقد ثبت أنه عنصر فيزيائي أساسي لفهم مجموعة متنوعة من الخصائص الإلكترونية. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

لمسار مغلق${\displaystyle {\mathcal {C}}}$الذي يشكل حدود سطح${\displaystyle {\mathcal {S}}}$يمكن إعادة كتابة طور بيري ذي المسار المغلق باستخدام نظرية ستوكس على النحو التالي: $${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {S} \cdot \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} ).}$$ إذا كان السطح متعدد الشعب مغلقًا ، فإن حد الحدود يتلاشى، لكن عدم تحديد حد الحدود modulo${\displaystyle 2\pi }$يتجلى ذلك في نظرية تشيرن ، التي تنص على أن تكامل انحناء بيري على مشعب مغلق يتم تكميمه بوحدات من${\displaystyle 2\pi }$هذا الرقم هو ما يسمى برقم تشيرن ، وهو ضروري لفهم تأثيرات التكميم المختلفة.

وأخيرًا، باستخدام${\displaystyle \left\langle n|\partial H/\partial \mathbf {R} |n'\right\rangle =\left\langle \partial n/\partial \mathbf {R} |n'\right\rangle (\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})}$ل${\displaystyle n\neq n'}$ويمكن أيضًا كتابة انحناء بيري كمجموع لجميع الحالات الذاتية الأخرى على النحو التالي: $${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=i\sum _{n'\neq n}{\frac {1}{(\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})^{2}}}{\left(\left\langle n\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\nu }}}\left|n\right\rangle -\left\langle n\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\nu }}}\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\left|n\right\rangle \right)}.}$$ لاحظ أن انحناء مستوى الطاقة رقم n ينتج عن جميع مستويات الطاقة الأخرى. أي أن انحناء بيري يُمكن اعتباره نتيجة للتفاعل المتبقي بين تلك الحالات الذاتية المُسقطة. ^{[ 5 ]} وهذا يُعطي قانون الحفظ المحلي لانحناء بيري.${\displaystyle \sum _{n}\Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=0,}$ إذا جمعنا جميع مستويات الطاقة الممكنة لكل قيمة من${\displaystyle \mathbf {R} .}$ توفر هذه المعادلة أيضًا ميزة عدم وجود تفاضل على الحالات الذاتية، وبالتالي يمكن حسابها تحت أي اختيار للمقياس.

يمكن كتابة هاميلتونيان جسيم ذو لف مغزلي 1/2 في مجال مغناطيسي على النحو التالي ^{[ 3 ]}$${\displaystyle H=\mu \mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {B} ,}$$ أين${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$تشير إلى مصفوفات باولي ،${\displaystyle \mu }$يمثل العزم المغناطيسي ، و B يمثل المجال المغناطيسي. في ثلاثة أبعاد، تمتلك الحالات الذاتية طاقات.${\displaystyle \pm \mu B}$ومتجهاتها الذاتية هي $${\displaystyle |u_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}\sin {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\-\cos {\theta \over 2}\end{pmatrix}},|u_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\\sin {\theta \over 2}\end{pmatrix}}.}$$ والآن لننظر إلى${\displaystyle |u_{-}\rangle }$يمكن حساب اتصالها بـ Berry على النحو التالي: ${\textstyle {\mathcal {A}}_{\theta }=\langle u_{-}|i{\frac {1}{r}}\partial _{\theta }|u_{-}\rangle =0,}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=\langle u_{-}|i{\tfrac {1}{r\sin {\theta }}}\partial _{\phi }|u_{-}\rangle ={\frac {\sin ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\theta }}}}$وانحناء بيري هو${\displaystyle \ \Omega _{r}={\frac {1}{r\sin {\theta }}}[\partial _{\theta }({\mathcal {A}}_{\phi }\sin {\theta })-\partial _{\phi }{\mathcal {A}}_{\theta }]{\hat {r}}={\frac {1}{2r^{2}}}{\hat {r}}.}$ إذا اخترنا مقياسًا جديدًا عن طريق الضرب${\displaystyle |u_{-}\rangle }$بواسطة${\displaystyle e^{i\phi }}$(أو أي مرحلة أخرى)${\displaystyle e^{i\alpha \phi }}$،${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$)، أما صلات بيري فهي ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }=0}$و ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=-{\frac {\cos ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\theta }}}}$بينما يبقى انحناء بيري ثابتًا. وهذا يتوافق مع الاستنتاج القائل بأن اتصال بيري يعتمد على المقياس بينما لا يعتمد انحناء بيري عليه.

يُعطى انحناء بيري لكل زاوية مجسمة بالعلاقة التالية:${\displaystyle {\overline {\Omega }}_{\theta \phi }=\Omega _{\theta \phi }/\sin \theta =1/2}$في هذه الحالة، طور بيري المقابل لأي مسار معين على كرة الوحدة${\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}}$في فضاء المجال المغناطيسي، تكون الزاوية نصف الزاوية المجسمة التي يشكلها المسار. وبالتالي، فإن تكامل انحناء بيري على الكرة بأكملها يساوي بالضبط${\displaystyle 2\pi }$وبالتالي فإن عدد تشيرن يساوي واحدًا، وهو ما يتوافق مع نظرية تشيرن.

تلعب مرحلة بيري دورًا هامًا في الدراسات الحديثة للخواص الإلكترونية في المواد الصلبة البلورية ^{[ 5 ]} وفي نظرية تأثير هول الكمي ^{[ 6 ]} . تسمح دورية الجهد البلوري بتطبيق نظرية بلوخ ، التي تنص على أن الحالات الذاتية للهاميلتوني تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$$ أين${\displaystyle n}$هو مؤشر نطاق،${\displaystyle \mathbf {k} }$هو متجه موجي في الفضاء المتبادل ( منطقة بريلوين )، و${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$هي دالة دورية لـ${\displaystyle \mathbf {r} }$بسبب التناظر الانتقالي ، فإن مؤثر الزخم${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$يمكن استبدالها بـ${\displaystyle {\frac {m}{\hbar }}\partial H/\partial k_{i}}$باستخدام استبدال بايرلز ومتجه الموجة${\displaystyle \mathbf {k} }$يلعب دور المعلمة${\displaystyle \mathbf {R} }$^{[ 5 ]} بالتالي ، يمكن تعريف أطوار بيري، والوصلات، والانحناءات في الفضاء المتبادل. على سبيل المثال، في نظام ذي N نطاقًا، تكون وصلة بيري للنطاق رقم n في الفضاء المتبادل هي $${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {k} )=i\langle u_{n\mathbf {k} }|\nabla _{\mathbf {k} }|u_{n\mathbf {k} }\rangle .}$$ في النظام، انحناء بيري للحزمة رقم n${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {k} )}$يتم تحديدها بواسطة جميع النطاقات الأخرى البالغ عددها N − 1 لكل قيمة من قيم${\displaystyle \mathbf {k} .}$ في البلورة ثنائية الأبعاد، لا يمتلك انحناء بيري سوى مركبة خارج المستوى، ويتصرف ككمية شبه قياسية. ويعود ذلك إلى وجود تناظر انتقالي داخل المستوى فقط عند كسر التناظر الانتقالي على طول المحور z في البلورة ثنائية الأبعاد. ولأن نظرية بلوخ تشير أيضًا إلى أن الفضاء المتبادل نفسه مغلق، وأن منطقة بريلوين لها طوبولوجيا طارة ثلاثية الأبعاد، فإنه يمكن تلبية متطلبات التكامل على حلقة مغلقة أو متعدد الشعب بسهولة. وبهذه الطريقة، يمكن التعبير عن خصائص مثل الاستقطاب الكهربائي ، والمغنطة المدارية ، وموصلية هول الشاذة ، والاقتران المغناطيسي الكهربائي المداري بدلالة أطوار بيري، والوصلات، والانحناءات. ^{[ 5 ] [ 7 ] [ 8 ]}

• المرحلة الكمومية، بعد خمس سنوات. بقلم م. بيري.
• مراحل بيري والانحناءات في نظرية البنية الإلكترونية مؤرشفة في 2018-03-28 في Wayback Machine محاضرة ألقاها د. فاندربيلت.
• علم التوت، والتأثيرات المغناطيسية الكهربائية المدارية، والعوازل الطوبولوجية مؤرشفة في 2023-07-30 في آلة Wayback - محاضرة ألقاها د. فاندربيلت.