تأثير هول الكمي

تكميم موصلية هول (${\displaystyle G_{xy}=1/R_{xy}}$تتميز هذه الظاهرة بخاصية بالغة الدقة. [4] وقد وُجد أن القياسات الفعلية لموصلية هول هي مضاعفات صحيحة أو كسرية لـ e² ^/ h ^{بدقة أفضل من} جزء واحد في المليار . [ ^{5 ] وقد} أتاح ذلك تعريف معيار عملي جديد للمقاومة الكهربائية ، استنادًا إلى كمية المقاومة المُعطاة بثابت فون كليتزينغ RK _. سُمي هذا المعيار نسبةً إلى كلاوس فون كليتزينغ ، مكتشف التكميم الدقيق. كما يوفر تأثير هول الكمي تحديدًا مستقلًا ودقيقًا للغاية لثابت البنية الدقيقة ، وهي كمية ذات أهمية أساسية في الديناميكا الكهربائية الكمية .

في عام 1990، كانت القيمة التقليدية الثابتة R _K-90 =تم تحديد قيمة 25812.807 أوم  لاستخدامها في معايرات المقاومة في جميع أنحاء العالم. ^{[ 6 ]} لاحقًا، حددت مراجعة عام 2019 للنظام الدولي للوحدات القيم الدقيقة لـ h و e ، مما أدى إلى قيمة دقيقة لـ R _K = ⁠ h / e ² ⁠ =25812.80745 ... Ω  . ^{[ 7 ]}​​​

في بُعدين، عندما تتعرض الإلكترونات الكلاسيكية لمجال مغناطيسي، فإنها تتبع مدارات دائرية تُعرف باسم مدارات السيكلوترون. أما عند معالجة النظام ميكانيكيًا كميًا، فإن هذه المدارات تُكمّم. ولتحديد قيم مستويات الطاقة، يجب حل معادلة شرودنغر.

بما أن النظام يتعرض لمجال مغناطيسي، فإنه يجب إدخاله كجهد متجه كهرومغناطيسي في معادلة شرودنغر . النظام المدروس عبارة عن غاز إلكتروني حر الحركة في الاتجاهين x و y، ولكنه محصور بإحكام في الاتجاه z. عندئذٍ، يُطبق مجال مغناطيسي في الاتجاه z، ووفقًا لمقياس لانداو، يكون الجهد المتجه الكهرومغناطيسي هو${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$والجهد القياسي هو${\displaystyle \phi =0}$وبالتالي فإن معادلة شرودنغر لجسيم مشحون ${\displaystyle q}$والكتلة الفعالة${\displaystyle m^{*}}$يتضمن هذا النظام ما يلي:

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2m^{*}}}\left[\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right]^{2}+V(z)\right\}\psi (x,y,z)=\varepsilon \psi (x,y,z)}$

أين${\displaystyle \mathbf {p} }$ الزخم الكنسي، الذي يتم استبداله بالمؤثر${\displaystyle -i\hbar \nabla }$و${\displaystyle \varepsilon }$هي الطاقة الكلية.

لحل هذه المعادلة، يمكن فصلها إلى معادلتين، لأن المجال المغناطيسي يؤثر فقط على الحركة على طول المحورين س و ص. وتصبح الطاقة الكلية حينها مجموع مساهمتين.${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{z}+\varepsilon _{xy}}$المعادلات المقابلة على المحور z هي:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}+V(z)\right]u(z)=\varepsilon _{z}u(z)}$

لتبسيط الأمور، الحل${\displaystyle V(z)}$يُعتبر بئرًا لانهائيًا. وبالتالي، فإن حلول الاتجاه z هي الطاقات.${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$،${\displaystyle n_{z}=1,2,3...}$ والدوال الموجية جيبية. بالنسبة لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في هذه الاتجاهات، يمكن اختيار حل معادلة شرودنغر ليكون ناتج موجة مستوية في${\displaystyle y}$-اتجاه مع وظيفة غير معروفة لـ${\displaystyle x}$، أي،${\displaystyle \psi _{xy}=u(x)e^{ik_{y}y}}$وذلك لأن الجهد الشعاعي لا يعتمد على${\displaystyle y}$ومؤثر الزخم${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$وبالتالي، يتبادل مع الهاميلتوني. وباستبدال هذه الفرضية في معادلة شرودنغر، نحصل على معادلة المذبذب التوافقي أحادي البعد المتمركز عند${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$.

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\frac {1}{2}}m^{*}\omega _{\rm {c}}^{2}(x-l_{B}^{2}k_{y})^{2}\right]u(x)=\varepsilon _{xy}u(x)}$

أين${\textstyle \omega _{\rm {c}}={\frac {eB}{m^{*}}}}$يُعرَّف بأنه تردد السيكلوترون و${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$الطول المغناطيسي. الطاقات هي:

${\displaystyle \varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)}$، ${\displaystyle n_{x}=1,2,3...}$

والدوال الموجية للحركة في${\displaystyle xy}$تُعطى المستويات بضرب موجة مستوية في${\displaystyle y}$ومتعددات حدود هيرميت المخففة بواسطة الدالة الغاوسية في${\displaystyle x}$، وهي الدوال الموجية للمذبذب التوافقي.

من خلال معادلة مستويات لاندو، نلاحظ أن الطاقة تعتمد فقط على${\displaystyle n_{x}}$ليس على${\displaystyle k_{y}}$الولايات التي لها نفس${\displaystyle n_{x}}$لكنها مختلفة${\displaystyle k_{y}}$منحطون.

عند انعدام المجال، تكون كثافة الحالات لكل وحدة سطح لغاز الإلكترونات ثنائي الأبعاد، مع الأخذ في الاعتبار الانحلال الناتج عن الدوران، مستقلة عن الطاقة.

${\displaystyle n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$.

عند تشغيل المجال، تنهار كثافة الحالات من قيمة ثابتة إلى مشط ديراك ، وهو سلسلة من حالات ديراك${\displaystyle \delta }$الدوال، التي تتوافق مع مستويات لاندو المنفصلة${\displaystyle \Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}}$لكن عند درجة حرارة محدودة، تكتسب مستويات لاندو عرضًا أكبر.${\textstyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau _{i}}}}$ كون${\displaystyle \tau _{i}}$ الفترة الزمنية بين أحداث التشتت. يُفترض عادةً أن الشكل الدقيق لمستويات لاندو هو شكل غاوسي أو لورنتزي .

ومن السمات الأخرى أن الدوال الموجية تشكل شرائط متوازية في${\displaystyle y}$- اتجاه متباعد بالتساوي على طول${\displaystyle x}$المحور -، على غرار${\displaystyle \mathbf {A} }$بما أنه لا يوجد شيء مميز في أي اتجاه في${\displaystyle xy}$إذا تم اختيار الجهد الشعاعي بشكل مختلف، فسيجد المرء تناظرًا دائريًا.

بالنظر إلى عينة من الأبعاد${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$وتطبيق شروط الحدود الدورية في${\displaystyle y}$-اتجاه${\textstyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$،${\displaystyle j}$بما أن عدد صحيح، فإن كل جهد مكافئ يوضع عند قيمة${\displaystyle x_{k}=l_{B}^{2}k}$.

عدد الولايات لكل مستوى من مستويات لاندو و${\displaystyle k}$يمكن حسابها من النسبة بين التدفق المغناطيسي الكلي الذي يمر عبر العينة والتدفق المغناطيسي المقابل لحالة معينة.

${\displaystyle N_{B}={\frac {\phi }{\phi _{0}}}={\frac {BA}{BL_{y}\Delta x_{k}}}={\frac {A}{2\pi l_{B}^{2}}}{\begin{array}{lcr}&l_{B}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {AeB}{2\pi \hbar }}{\begin{array}{lcr}&\omega _{\rm {c}}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}A}{2\pi \hbar }}}$

وبالتالي فإن كثافة الحالات لكل وحدة مساحة هي

${\displaystyle n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}}$.

لاحظ اعتماد كثافة الحالات على المجال المغناطيسي. فكلما زاد المجال المغناطيسي، زاد عدد الحالات في كل مستوى من مستويات لاندو. ونتيجة لذلك، يزداد التقييد في النظام نظرًا لانخفاض عدد مستويات الطاقة المشغولة.

إعادة كتابة التعبير الأخير على النحو التالي${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$من الواضح أن كل مستوى من مستويات لاندو يحتوي على عدد من الحالات يساوي عدد الحالات الموجودة في درجة حرارة ثنائية الأبعاد في${\displaystyle \Delta \varepsilon =\hbar \omega _{\rm {c}}}$.

بالنظر إلى حقيقة أن الإلكترونات هي فرميونات ، فإن كل حالة متاحة في مستويات لاندو تقابل إلكترونين، إلكترون واحد لكل قيمة من قيم الدوران${\textstyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$مع ذلك، إذا تم تطبيق مجال مغناطيسي قوي، فإن الطاقات تنقسم إلى مستويين بسبب العزم المغناطيسي المرتبط بمحاذاة الدوران مع المجال المغناطيسي. والفرق في الطاقات هو${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$كون${\displaystyle g}$ عامل يعتمد على المادة (${\displaystyle g=2}$(للإلكترونات الحرة) و${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$المغناطيسون بور . العلامة${\displaystyle +}$ يتم أخذها عندما يكون الدوران موازياً للمجال و${\displaystyle -}$ عندما يكونان متوازيين عكسيًا. هذه الحقيقة، التي تُسمى انقسام اللف المغزلي، تعني أن كثافة الحالات لكل مستوى تنخفض إلى النصف. لاحظ أن${\displaystyle \Delta E}$ يتناسب مع المجال المغناطيسي، لذا كلما زاد المجال المغناطيسي، زادت أهمية الانقسام.

للحصول على عدد مستويات لاندو المشغولة، يتم تحديد ما يسمى بعامل التعبئة${\displaystyle \nu }$باعتبارها النسبة بين كثافة الحالات في 2DEG وكثافة الحالات في مستويات لاندو.

${\displaystyle \nu ={\frac {n_{\rm {2D}}}{n_{B}}}={\frac {hn_{\rm {2D}}}{eB}}}$

بشكل عام، عامل التعبئة${\displaystyle \nu }$ليس عددًا صحيحًا. يكون عددًا صحيحًا عندما يكون عدد مستويات لاندو الممتلئة دقيقًا. بدلًا من ذلك، يصبح عددًا غير صحيح عندما لا يكون المستوى الأعلى ممتلئًا بالكامل. في التجارب العملية، يتم تغيير المجال المغناطيسي مع تثبيت كثافة الإلكترونات (وليس طاقة فيرمي!)، أو يتم تغيير كثافة الإلكترونات مع تثبيت المجال المغناطيسي. كلتا الحالتين تُشيران إلى تغير مستمر في عامل الملء.${\displaystyle \nu }$ولا يمكن للمرء أن يتوقع${\displaystyle \nu }$أن يكون عددًا صحيحًا.${\displaystyle n_{B}\propto B}$بزيادة المجال المغناطيسي، ترتفع مستويات لاندو في الطاقة ويزداد عدد الحالات في كل مستوى، وبالتالي يقل عدد الإلكترونات التي تشغل المستوى الأعلى حتى يصبح فارغًا. إذا استمر المجال المغناطيسي في الزيادة، ففي النهاية، ستكون جميع الإلكترونات في أدنى مستوى لاندو.${\displaystyle \nu <1}$وهذا ما يسمى بالحد الكمي المغناطيسي.

من الممكن ربط عامل الملء بالمقاومة الكهربائية، وبالتالي، بموصلية النظام. عندما${\displaystyle \nu }$ إذا كان عددًا صحيحًا، فإن طاقة فيرمي تقع بين مستويات لاندو حيث لا توجد حالات متاحة لحاملات الشحنة، وبالتالي تصبح الموصلية صفرًا (يُفترض أن المجال المغناطيسي كبير بما يكفي بحيث لا يكون هناك تداخل بين مستويات لاندو، وإلا فسيكون هناك عدد قليل من الإلكترونات وستكون الموصلية تقريبًا${\displaystyle 0}$وبالتالي، تصبح المقاومة الكهربائية صفرًا أيضًا (في المجالات المغناطيسية العالية جدًا، ثبت أن الموصلية الطولية والمقاومة الكهربائية متناسبتان). ^{[ 20 ]}

مع الموصلية${\displaystyle \sigma =\rho ^{-1}}$يجد المرء

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\det \rho }}{\begin{pmatrix}\rho _{yy}&-\rho _{xy}\\-\rho _{yx}&\rho _{xx}\end{pmatrix}}\;.}$

إذا كانت المقاومة الطولية تساوي صفرًا والمقاومة العرضية محدودة، فإن${\displaystyle \det \rho \neq 0}$وبالتالي تصبح كل من الموصلية الطولية والمقاومة صفراً.

بدلاً من ذلك، عندما${\displaystyle \nu }$ إذا كان عدداً نصف صحيح، فإن طاقة فيرمي تقع عند ذروة توزيع الكثافة لمستوى لاندو معين. وهذا يعني أن المقاومة ستكون لها قيمة عظمى نتيجةً لزيادة التشتت.

يتوافق هذا التوزيع للقيم الدنيا والقصوى مع "التذبذبات الكمومية" المعروفة بتذبذبات شوبنيكوف-دي هاس ، والتي تزداد أهميتها مع ازدياد شدة المجال المغناطيسي. ومن الواضح أن ارتفاع القمم يزداد مع ازدياد شدة المجال المغناطيسي، نظرًا لزيادة كثافة الحالات مع ازدياد شدة المجال، مما يؤدي إلى زيادة عدد حاملات الشحنة التي تُسهم في المقاومة. ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه في حالة المجال المغناطيسي الضعيف جدًا، تكون المقاومة الطولية ثابتة، مما يعني الوصول إلى النتيجة الكلاسيكية.

من العلاقة الكلاسيكية للمقاومة العرضية${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$واستبدال${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$ يتم تحديد كمية المقاومة العرضية والتوصيلية:

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {h}{\nu e^{2}}}\Rightarrow \sigma =\nu {\frac {e^{2}}{h}}}$

ويستنتج المرء إذن أن المقاومة المستعرضة هي مضاعف لمقلوب ما يسمى بكم الموصلية${\displaystyle e^{2}/h}$إذا كان عامل التعبئة عددًا صحيحًا. مع ذلك، في التجارب، تُلاحظ ثباتات لقيم التعبئة الكاملة.${\displaystyle \nu }$وهذا يشير إلى وجود حالات إلكترونية بين مستويات لاندو. تتمركز هذه الحالات، على سبيل المثال، في شوائب المادة حيث تُحصر في مدارات فلا تُسهم في التوصيلية. ولهذا السبب تبقى المقاومة ثابتة بين مستويات لاندو. وإذا انخفض المجال المغناطيسي، نحصل على النتيجة الكلاسيكية التي تُبين أن المقاومة تتناسب طرديًا مع المجال المغناطيسي.