موتر مضاد للتناظر

في الرياضيات والفيزياء النظرية ، يكون الموتر متناظرًا عكسيًا أو متناوبًا على (أو بالنسبة إلى ) مجموعة جزئية من المؤشرات إذا كان يتبادل الإشارة (+/−) عند تبديل أي مؤشرين من مؤشرات المجموعة الجزئية. ^{[ 1 ] [ 2 ]} يجب أن تكون المجموعة الجزئية من المؤشرات عمومًا إما متغيرة بالكامل أو متغيرة عكسيًا بالكامل .

على سبيل المثال، $${\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }}$$ يتحقق ذلك عندما يكون الموتر متناظرًا عكسيًا بالنسبة لأول ثلاثة مؤشرات له.

إذا تغير إشارة موتر ما عند تبديل كل زوج من مؤشراته، فإن الموتر يكون مضادًا للتناظر تمامًا . حقل موتر متغاير مضاد للتناظر تمامًا من الرتبة${\displaystyle k}$قد يُشار إليه باسم التفاضلي${\displaystyle k}$-form ، ويمكن الإشارة إلى حقل موتر متغاير مضاد للتناظر تمامًا باسم${\displaystyle k}$حقل متجهي .

موتر A متناظر عكسيًا على المؤشرات${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$تتمتع هذه الخاصية بخاصية الانكماش مع موتر B متناظر على المؤشرات${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$يساوي صفرًا تمامًا.

بالنسبة لموتر عام U ذي مكونات${\displaystyle U_{ijk\dots }}$وزوج من المؤشرات${\displaystyle i}$و${\displaystyle j,}$للوحدة U أجزاء متناظرة وغير متناظرة، تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })}$		(الجزء المتناظر)
${\displaystyle U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })}$		(الجزء غير المتناظر).

يمكن تقديم تعريفات مماثلة لأزواج أخرى من المؤشرات. وكما يوحي مصطلح "الجزء"، فإن الموتر هو مجموع جزئه المتناظر وجزئه غير المتناظر لزوج معين من المؤشرات، كما في $${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}$$

يُرمز إلى التناظر المضاد باختصار بزوج من الأقواس المربعة. على سبيل المثال، في الأبعاد العشوائية، بالنسبة لموتر متغاير من الرتبة 2 M ، $${\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}$$ وبالنسبة لموتر متغير من الرتبة 3، T ، $${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}$$

في أي بُعدين أو ثلاثة أبعاد، يمكن كتابة هذه على النحو التالي $${\displaystyle {\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \delta _{ab\dots }^{cd\dots }}$هي دلتا كرونكر المعممة ، ويتم استخدام اصطلاح جمع أينشتاين .

وبشكل أعم، وبغض النظر عن عدد الأبعاد، فإن التناظر المضاد على${\displaystyle p}$يمكن التعبير عن المؤشرات على النحو التالي: $${\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}$$

بشكل عام، يمكن تحليل كل موتر من الرتبة 2 إلى زوج متماثل وزوج غير متماثل على النحو التالي: $${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).}$$

لا ينطبق هذا التفكيك بشكل عام على الموترات من الرتبة 3 أو أكثر، والتي لها تناظرات أكثر تعقيدًا.

تشمل الموترات المتناظرة تمامًا ما يلي:

• من البديهي أن جميع الكميات العددية والمتجهات (الموترات من الرتبة 0 و 1) متناظرة تمامًا (بالإضافة إلى كونها متناظرة تمامًا).
• الموتر الكهرومغناطيسي ،${\displaystyle F_{\mu \nu }}$في الكهرومغناطيسية .
• شكل الحجم الريماني على مشعب ريماني زائف .

• مصفوفة متناظرة عكسيًا – شكل المصفوفة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الجبر الخارجي – الجبر المرتبط بأي فضاء متجهي 
• رمز ليفي-تشيفيتا – كائن تبديل مضاد للتناظر يعمل على الموترات 
• حساب ريتشي – ترميز مؤشر الموتر للحسابات القائمة على الموتر 
• الموتر المتناظر – موتر ثابت تحت تبديلات المتجهات التي يؤثر عليها 
• التناظر

• بينروز، روجر (2007). الطريق إلى الواقع . كتب فينتج. رقم ISBN 978-0-679-77631-4.
• جيه إيه ويلر؛ سي. ميسنر؛ كيه إس ثورن (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. الصفحات 85-86 ، §3.5. ISBN  0-7167-0344-0.

• الموتر المتناظر العكسي – mathworld.wolfram.com