جبر ثنائي الكواترنيون

في الرياضيات، جبر ثنائي الكواترنيون هو مركب من جبر الكواترنيون على حقل.

لا تشكل الثنائيات الرباعية لويليام روان هاميلتون (1844) والثنائيات الرباعية المنقسمة ذات الصلة والثنائيات الرباعية المزدوجة جبر الثنائيات الرباعية بهذا المعنى.

ليكن F حقلاً مميزاً لا يساوي 2. جبر ثنائي الكواترنيون على F هو حاصل ضرب موتر لجبري كواترنيون . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

الجبر ثنائي الكواترنيون هو جبر مركزي بسيط ذو بُعد 16 ودرجة 4 على الحقل الأساسي: له أس (رتبة فئة براور الخاصة به في مجموعة براور لـ F ) ^{[ 3 ]} يساوي 1 أو 2.

ليكن A = ( a ₁ , a ₂ ) و B = ( b ₁ , b ₂ ) جبرًا رباعيًا على F.

صيغة ألبرت لـ A و B هي

${\displaystyle q=\left\langle {-a_{1},-a_{2},a_{1}a_{2},b_{1},b_{2},-b_{1}b_{2}}\right\rangle \ .}$

يمكن اعتبار ذلك بمثابة الفرق في حلقة ويت للأشكال الثلاثية المرتبطة بالفضاءات التخيلية لـ A و B. ^{[ 4} ] تكون جبريات الكواترنيون مرتبطة إذا وفقط إذا كان شكل ألبرت ^{متناحياً} ، وإلا فهي غير مرتبطة . ^{[ 5 ]}

تنص نظرية ألبرت على أن ما يلي متكافئ:

• A ⊗ B هو جبر القسمة ؛
• شكل ألبرت غير متجانس ؛
• A و B هما جبر قسمة وليس لهما حقل تجزئة تربيعي مشترك. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

في حالة الجبر المرتبط، يمكننا تصنيف البنى الأخرى الممكنة لحاصل الضرب الموتري بدلالة صيغة ألبرت. إذا كانت الصيغة زائدية ، فإن جبر الكواترنيون الثنائي يكون متماثلًا مع جبر المصفوفات ₄ × 4 من الرتبة 4 على F ؛ وإلا ، فإنه يكون متماثلًا مع حاصل الضرب M₂ ( F ) ⊗ D ، حيث D هو جبر قسمة الكواترنيون على F. ^{[ 2 ]} يكون مؤشر شور لجبر الكواترنيون الثنائي 4 أو 2 أو 1 _، بينما يكون مؤشر ويت لصيغة ألبرت 0 أو 1 أو 3. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

تنص نظرية ألبرت على أن كل جبر مركزي بسيط من الدرجة 4 والأس 2 هو جبر ثنائي رباعي. ^{[ 8 ] [ 10 ]}