الشكل التربيعي المتساوي الخواص

في الرياضيات، يُقال إن الصيغة التربيعية على حقل F متساوية الخواص إذا وُجد متجه غير صفري تُساوي عنده الصيغة صفرًا؛ وإلا فهي غير متساوية الخواص . بتعبير أدق، إذا كانت q صيغة تربيعية على فضاء متجهي V فوق F ، فإن المتجه غير الصفري v في V يُقال إنه متساوي الخواص إذا كان q ( v ) = 0. تكون الصيغة التربيعية متساوية الخواص إذا وفقط إذا وُجد متجه متساوي الخواص غير صفري (أو متجه صفري ) لتلك الصيغة التربيعية.

لنفترض أن ( V , q ) فضاء تربيعي و W فضاء جزئي من V. عندئذٍ يُسمى W فضاءً جزئياً متناحياً من V إذا كان هناك متجه متناحٍ فيه، وفضاءً جزئياً متناحياً كلياً إذا كانت جميع المتجهات فيه متناحية، وفضاءً جزئياً غير متناحٍ إذا لم يحتوِ على أي متجهات متناحية (غير صفرية).مؤشر التناظر للفضاء التربيعي هو أكبر أبعاد الفضاءات الفرعية المتناظرة تمامًا. ^{[ 1 ]}

في مجال الأعداد الحقيقية، وبشكل أعم في حالة كون F حقلاً حقيقياً مغلقاً (بحيث تكون الإشارة مُعرَّفة)، إذا كانت الصيغة التربيعية غير مُنحلة ولها الإشارة ( a , b ) ، فإن دليل تماثلها هو أصغر قيمة بين a و b . وتكون الصيغة التربيعية غير المتماثلة على حقل حقيقي مغلق مُحدَّدة دائماً . ومن الأمثلة المهمة على الصيغة المتماثلة على الأعداد الحقيقية ما يظهر في الفضاء شبه الإقليدي .

ليكن F حقلاً مميزه ليس 2، وليكن ^{V =} F² . إذا اعتبرنا العنصر العام ( x , y ) من V ، فإن الصيغتين التربيعيتين q = xy و r = x² - y² متكافئتان ^، لوجود تحويل خطي على V يجعل q يشبه r ، والعكس صحيح. من الواضح أن ( V , q ) و ( V , r ) متناحيان. يُسمى هذا المثال بالمستوى الزائدي في نظرية الصيغ التربيعية . في حالة F = أعداد حقيقية ، يكون { x ∈ V  : q ( x ) = ثابت غير صفري} و { x ∈ V  : r ( x ) = ثابت غير صفري} قطعين زائدين . على وجه الخصوص، { x ∈ V  : r ( x ) = 1} هو القطع الزائد الواحدي . تم استخدام الترميز ⟨ 1 ⟩ ⊕ ⟨ −1 ⟩ بواسطة ميلنور وهوسيمولر ^{[ 1 ] : 9} للمستوى الزائدي حيث يتم عرض إشارات حدود متعددة الحدود ثنائية المتغيرات r .

وصف إميل أرتين المستوى الزائدي الأفيني بأنه فضاء تربيعي ذو أساس { M , N } يحقق M² = ^N² = 0، NM ⁼ 1 ، حيث تمثل الضربات الشكل التربيعي. ^{[ 2 ]}

من خلال متطابقة الاستقطاب، يرتبط الشكل التربيعي بشكل ثنائي خطي متناظر B ( u , v ) = ⁠ 1 / 4 ⁠ ( q ( u + v ) − q ( u − v )) .

يكون المتجهان u و v متعامدين عندما يكون B ( u , v ) = 0 . في حالة المستوى الزائدي، يكون u و v متعامدين زائديين .

يُقال إن الفضاء ذو ​​الشكل التربيعي مُقسّم (أو مُستقلَب ) إذا وُجد فضاء جزئي يُساوي مُتمِّمه المُتعامد ؛ أو بعبارة أخرى، يكون دليل التناظر مساويًا لنصف البُعد. ^{[ 1 ] : 57} يُعد المستوى الزائدي مثالًا على ذلك، وعلى حقل ذي خاصية لا تساوي 2، يكون كل فضاء مُقسّم عبارة عن مجموع مباشر لمستويات زائدية. ^{[ 1 ] : 12، 3}

من منظور تصنيف الأشكال التربيعية، تُعدّ الفضاءات ذات الأشكال التربيعية غير المتناحية اللبنات الأساسية للفضاءات التربيعية ذات الأبعاد العشوائية. بالنسبة لحقل عام F ، يُمثّل تصنيف الأشكال التربيعية غير المتناحية مشكلة معقدة. في المقابل، عادةً ما يكون التعامل مع الأشكال المتناحية أسهل بكثير. وفقًا لنظرية ويت للتحليل ، فإن كل فضاء جداء داخلي على حقل ما هو مجموع مباشر متعامد لفضاء منقسم وفضاء ذي شكل تربيعي محدد. ^{[ 1 ] : 56}

• إذا كان F حقلًا مغلقًا جبريًا ، على سبيل المثال حقل الأعداد المركبة ، و ( V ، q ) فضاء تربيعي ذو بُعد اثنين على الأقل، فإنه يكون متجانسًا.
• إذا كان F حقلًا منتهيًا و ( V , q ) فضاءً تربيعيًا ذو بُعد لا يقل عن ثلاثة، فإنه يكون متجانسًا (وهذه نتيجة لنظرية شيڤالي-وارنينغ ).
• إذا كان F هو الحقل Q _p للأعداد p -adic وكان ( V , q ) فضاءً تربيعيًا ذا بُعد لا يقل عن خمسة، فإنه يكون متجانسًا.

• خط متساوي الخواص
• الفضاء القطبي
• مجموعة ويت
• ويت رينج (أشكال)
• الشكل التربيعي العام

• بيت إل. كلارك، الأشكال التربيعية الفصل الأول: نظرية ويتس من جامعة ميامي في كورال جابلز، فلوريدا .
• لاري ج. جيرستين (2008) الأشكال التربيعية الأساسية ، الصفحات 14، 15، 23، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 978-0-8218-4465-6
• تسيت يوين لام (1973) النظرية الجبرية للأشكال التربيعية ، §1.3 المستوى الزائدي والفضاءات الزائدية، دبليو إيه بنجامين .
• تسيت يوين لام (2005) مقدمة في الأشكال التربيعية على الحقول ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 0-8218-1095-2.
• أوميرا، أو تي (1963). "الفقرة 42د: التناظر". مقدمة في الأشكال التربيعية . سبرينغر-فيرلاغ . ص  94. ISBN 3-540-66564-1.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• سير، جان بيير (2000) [1973]. دورة في الحساب . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات : كلاسيكيات في الرياضيات. المجلد  7 (إعادة طبع الطبعة الثالثة  ). سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 1034.11003 .