ثنائي رباعي منقسم

في الرياضيات ، يُعرف العدد الرباعي المزدوج المنقسم بأنه عدد فائق التعقيد من الشكل

${\displaystyle q=w+x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k} ,}$

حيث w و x و y و z أعداد مركبة منقسمة، و i و j و k تُضرب كما في زمرة الكواتيرنيون . بما أن كل معامل w أو x أو y أو z يمتد على بُعدين حقيقيين ، فإن الكواتيرنيون الثنائي المنقسم هو عنصر من فضاء متجهي ثماني الأبعاد . ونظرًا لأنه يحمل عملية ضرب، فإن هذا الفضاء المتجهي هو جبر على الحقل الحقيقي، أو جبر على حلقة تُشكل فيها الأعداد المركبة المنقسمة الحلقة. قدم ويليام كينغدون كليفورد هذا الجبر في مقال نُشر عام 1873 في مجلة الجمعية الرياضية بلندن . وقد ذُكر مرارًا في الأدبيات الرياضية منذ ذلك الحين، تارةً كانحراف في المصطلحات، وتارةً أخرى كمثال على الضرب الموتري للجبر ، وتارةً ثالثة كمثال على المجموع المباشر للجبر . وقد حدد علماء الجبر الكواتيرنيونات الثنائية المنقسمة بطرق مختلفة؛ انظر قسم المرادفات أدناه. 

يُعدّ ثنائي الكواترنيون المنقسم متماثلًا حلقيًا مع جبر كليفورد Cl _0,3 ( R ). وهو الجبر الهندسي المُوَلَّد بواسطة ثلاثة اتجاهات أساسية تخيلية متعامدة، { e ₁ , e ₂ , e ₃ } وفقًا لقاعدة التركيب.

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}-1&i=j,\\-e_{j}e_{i}&i\neq j\end{cases}}}$

يُعطي هذا جبرًا مُمتدًا _بواسطة عناصر الأساس الثمانية { ₁ , e1 , e2 , _{e3 ,} e1e2 , _e2e3 , _{e3e1 ,} e1e2e3 } ، حيث ( e1e2 ) ² = ( _e2e3 ) ² = ( e3e1 ₎ ² = _-1 و ω2 = ( _{e1e2e3 ) 2} = _{+1 . أما} الجبر الفرعي _{المُمتد} بواسطة العناصر _{الأربعة} { ₁ , i = ^e1 , j = e2 , k = _{e1e2 }} فهو حلقة القسمة لأعداد _{هاميلتون الرباعية} ، H = _Cl0,2 ( R ) _. وبالتالي ^، يُمكننا أن _نرى أن​

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} \otimes \mathbf {D} }$

حيث D = Cl _1,0 ( R ) هي الجبر الممتد بواسطة {1, ω} ، وهو جبر الأعداد المركبة المنقسمة . وبصورة مكافئة،

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .}$

تشكل الأعداد الرباعية المنقسمة حلقة ترابطية ، كما يتضح من دراسة عمليات الضرب في أساسها { 1، ω، i، j، k، ωi، ωj، ωk} . عند إضافة الوحدة الزائدية ω إلى مجموعة الأعداد الرباعية ، نحصل على مجموعة مكونة من 16 عنصرًا.

( {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, × ),

وهو الناتج المباشر الداخلي لمجموعة الكواترنيون والمجموعة الدورية {1، ω} من الرتبة 2.

بما أن عناصر المجموعة الرباعية {1، i، j، k} يمكن اعتبارها أساسًا لفضاء الأعداد الرباعية المنقسمة، فإنه يُمكن مقارنته بالفضاء المتجهي . لكن الأعداد المركبة المنقسمة تُشكّل حلقة، وليست حقلًا، لذا فإن الفضاء المتجهي غير مناسب. بل يُشكّل فضاء الأعداد الرباعية المنقسمة وحدةً حرة . يُعبّر هذا المصطلح القياسي في نظرية الحلقات عن تشابه مع الفضاء المتجهي، وهذا التركيب الذي وضعه كليفورد عام 1873 هو مثال على ذلك. تُشكّل الأعداد الرباعية المنقسمة جبرًا على حلقة ، ولكن ليس على حلقة زمرة .

يُرمز إلى المجموع المباشر لحلقة القسمة للأعداد الرباعية مع نفسها بـ${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$ناتج ضرب عنصرين${\displaystyle (a\oplus b)}$و${\displaystyle (c\oplus d)}$يكون${\displaystyle ac\oplus bd}$في هذا الجبر المباشر للمجموع .

الفرضية: جبر الأعداد الرباعية المنقسمة متماثل مع${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .}$

البرهان: لكل رباعي منقسم تعبير q = w + z ω حيث w و z رباعيان و ω ² = +1. الآن، إذا كان p = u + v ω رباعي منقسم آخر، فإن حاصل ضربهما هو

${\displaystyle pq=uw+vz+(uz+vw)\omega .}$

تحويل التماثل من ثنائيات الكواترنيون المنقسمة إلى${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$يُعطى بواسطة

${\displaystyle p\mapsto (u+v)\oplus (uv),\quad q\mapsto (w+z)\oplus (wz).}$

في${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$، ناتج هذه الصور، وفقًا لمعادلة الضرب الجبري لـ${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$كما هو موضح أعلاه، هو

${\displaystyle (u+v)(w+z)\oplus (uv)(wz).}$

هذا العنصر هو أيضًا صورة pq تحت عملية الربط إلى${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .}$ وبالتالي فإن المنتجات تتفق، والتطبيق هو تشاكل؛ وبما أنه تقابلي ، فهو تشاكل.

على الرغم من أن الثنائيات الرباعية المنقسمة تشكل فضاءً ثماني الأبعاد مثل الثنائيات الرباعية لهاملتون، إلا أنه من الواضح، بناءً على الاقتراح، أن هذا الجبر ينقسم إلى المجموع المباشر لنسختين من الرباعيات الحقيقية.

لا ينبغي الخلط بين ثنائيات الكواترنيون المنقسمة وثنائيات الكواترنيون (العادية) التي قدمها ويليام روان هاميلتون سابقًا. ثنائيات الكواترنيون الخاصة بهاميلتون هي عناصر من الجبر

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )=\mathbf {H} \otimes \mathbf {C} .}$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \mathbf {C} .}$

تشير المصطلحات والمركبات التالية إلى جبر ثنائي الكواترنيون المنقسم:

• الأعداد الرباعية الإهليلجية - كليفورد 1873 ، روني 2007
• كليفورد بيكواتيرنيون – جولي 1905 ، فان دير وايردن 1985
• ثنائيات الكواترنيون – روزنفيلد 1997
• ${\displaystyle \mathbf {D} \otimes \mathbf {H} }$حيث D = الأعداد المركبة المنقسمة – بورباكي 2013 ، روزنفيلد 1997
• ${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$، المجموع المباشر لجبري الكواترنيون - فان دير واردن 1985

• الأوكتوني المنقسم