الجبر البسيط المركزي

في نظرية الحلقات والمجالات ذات الصلة في الرياضيات، فإن الجبر البسيط المركزي ( CSA ) على حقل K هو جبر K- الترابطي ذو الأبعاد المحدودة A الذي يكون بسيطًا ، ويكون مركزه هو K بالضبط .

على سبيل المثال، تُشكّل الأعداد المركبة C جبرًا تسلسليًا فوق نفسها، ولكن ليس فوق الأعداد الحقيقية R (مركز C هو C بأكمله ، وليس R فقط ). تُشكّل الكواترنيونات H جبرًا تسلسليًا رباعي الأبعاد فوق R ، وهي في الواقع العنصر الوحيد غير التافه في زمرة براور للأعداد الحقيقية (انظر أدناه). يُعدّ البُعد المحدود أساسيًا للتعريف: على سبيل المثال، بالنسبة لحقل F ذي خاصية 0، فإن جبر فايل${\displaystyle F[X,\partial _{X}]}$هو جبر بسيط مركزه F ، ولكنه ليس جبرًا بسيطًا مركزيًا على F لأنه ذو بُعد لانهائي كوحدة نمطية F.

بحسب نظرية آرتين-ويدربورن ، فإن الجبر البسيط ذو الأبعاد المحدودة A متماثل مع جبر المصفوفات M ( n , S ) لحلقة قسمة S. وبالنظر إلى جبرين بسيطين مركزيين A ~ M ( n , S ) و B ~ M ( m , T ) على الحقل نفسه F ، يُقال عن A و B أنهما متشابهان (أو متكافئان براور ) إذا كانت حلقتا قسمتهما S و T متماثلتين. ويمكن تزويد مجموعة جميع فئات التكافؤ للجبر البسيط المركزي على حقل معين F ، في ظل علاقة التكافؤ ^هذه ، بعملية زمرة تُعطى بالضرب الموتري للجبر . وتُسمى الزمرة الناتجة زمرة براور Br( F ) للحقل F. ^{[ 1} ] وهي دائمًا زمرة التواء . ^{[ 2 ]}

• وفقًا لنظرية آرتين-ويدربورن، فإن الجبر البسيط ذو الأبعاد المحدودة A متماثل مع جبر المصفوفات M ( n , S ) لحلقة قسمة S ما . وبالتالي، يوجد جبر قسمة وحيد في كل فئة تكافؤ براور. ^{[ 3 ]}
• كل تماثل ذاتي لجبر بسيط مركزي هو تماثل ذاتي داخلي (وهذا يتبع من نظرية سكوليم-نوثر ).
• بُعد الجبر البسيط المركزي ، بوصفه فضاءً متجهيًا فوق مركزه، هو دائمًا مربع: ودرجته هي الجذر التربيعي لهذا البُعد. ^{[ 4 ]} دليل شور للجبر البسيط المركزي هو درجة جبر القسمة المكافئ: ^{[ 5 ]} وهو يعتمد فقط على فئة براور للجبر. ^{[ 6 ]}
• دورة أو أسّ الجبر البسيط المركزي هو رتبة فئة براور الخاصة به كعنصر في زمرة براور. وهو قاسم للدليل، ^{[ 7 ]} ويتكون العددان من نفس العوامل الأولية. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}
• إذا كانت S جبرًا فرعيًا بسيطًا من جبر مركزي بسيط A فإن dim F _S يقسم dim _F A.  
• كل جبر مركزي بسيط رباعي الأبعاد على حقل F متماثل مع جبر رباعي الأبعاد ؛ في الواقع، هو إما جبر مصفوفة ثنائي الأبعاد ، أو جبر قسمة .
• إذا كانت D جبر قسمة مركزي على K بحيث يكون الدليل قابلاً للتحليل إلى عوامل أولية

${\displaystyle \mathrm {ind} (D)=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}\ }$

إذن، فإن D لها تحليل ضرب موتر

${\displaystyle D=\bigotimes _{i=1}^{r}D_{i}\ }$

حيث أن كل مكون D _i هو جبر قسمة مركزي ذو فهرس${\displaystyle p_{i}^{m_{i}}}$ويتم تحديد المكونات بشكل فريد حتى التماثل. ^{[ 11 ]}

نُطلق على الحقل E اسم حقل تجزئة لـ A على K إذا كان A ⊗ E متماثلًا مع حلقة مصفوفات على E. كل جبر قسمة متجانس (CSA) محدود الأبعاد له حقل تجزئة: في الواقع، في حالة كون A جبر قسمة، فإن أي حقل جزئي أقصى من A هو حقل تجزئة. بشكل عام ، وفقًا لنظريتي ويدربورن وكويث، يوجد حقل تجزئة يُمثل امتدادًا قابلًا للفصل لـ K من الدرجة التي تساوي دليل A ، وهذا الحقل متماثل مع حقل جزئي من A. ^{[ 12 ] [ 13 ]} على سبيل المثال، يقسم الحقل C جبر الكواترنيون H على R مع

${\displaystyle t+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \leftrightarrow \left({\begin{array}{*{20}c}t+xi&y+zi\\-y+zi&t-xi\end{array}}\right).}$

يمكننا استخدام وجود حقل التقسيم لتعريف المعيار المختزل والأثر المختزل لـ CSA A. ^{[ 14 ]} نُسقط A على حلقة مصفوفات فوق حقل تقسيم ، ونُعرّف المعيار المختزل والأثر المختزل على أنهما مُركّبان من هذا الإسقاط مع المحدد والأثر على التوالي. على سبيل المثال، في جبر الكواترنيون H ^، يُظهر التقسيم أعلاه أن العنصر t + xi + yj + zk له معيار مختزل t² ⁺ x² + ^y² + z² وأثر مختزل ^2t .

المعيار المختزل ضربي، والأثر المختزل جمعي. يكون العنصر a من المصفوفة A قابلاً للعكس إذا وفقط إذا كان معياره المختزل غير صفري؛ وبالتالي، فإن CSA هو جبر قسمة إذا وفقط إذا كان المعيار المختزل غير صفري على العناصر غير الصفرية. ^{[ 15 ]}

تُعدّ الجبريات المتقاطعة (CSAs) على حقل K نظيرًا غير تبادلي لحقول التمديد على K ؛ ففي كلتا الحالتين، لا تحتوي على مُثُل ثنائية الجانب غير تافهة، ولها حقل مميز في مركزها، مع العلم أن الجبريات المتقاطعة قد تكون غير تبادلية ولا يشترط أن يكون لها معكوسات (لا يشترط أن تكون جبر قسمة ). وهذا الأمر ذو أهمية خاصة في نظرية الأعداد غير التبادلية باعتبارها تعميمات لحقول الأعداد (امتدادات للأعداد النسبية Q )؛ انظر حقل الأعداد غير التبادلي .

• جبر أزومايا ، تعميم لجبر CSA حيث يتم استبدال الحقل الأساسي بحلقة محلية تبديلية
• صنف سيفيري-براور
• نظرية بوسنر

• كوهن، بي إم (2003). الجبر المتقدم وتطبيقاته (  الطبعة الثانية). سبرينغر. رقم ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001 . 
• جاكوبسون، ناثان (1996). جبر القسمة ذو الأبعاد المحدودة على الحقول . برلين: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002 . 
• لام، تسيت-يوين (2005). مقدمة في الأشكال التربيعية على الحقول . دراسات عليا في الرياضيات . المجلد  67. الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-1095-2. السيد 2104929 . زبل 1068.11023 .  
• لورنز، فالكو (2008). الجبر. المجلد الثاني: الحقول ذات البنية، والجبر، والمواضيع المتقدمة . سبرينغر. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 .