المجموعة الأبيلية الأولية

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الزمر ، الزمرة الأبيلية الأولية هي زمرة أبيلية تشترك فيها جميع العناصر، باستثناء العنصر المحايد، في نفس الترتيب . يجب أن يكون هذا الترتيب المشترك عددًا أوليًا ، والزمر الأبيلية الأولية التي يكون فيها الترتيب المشترك هو p تُسمى نوعًا خاصًا من زمر p . ^{[ 1 ] [ 2 ]} تُسمى الزمرة التي يكون فيها p = 2 (أي الزمرة الأبيلية الأولية من الرتبة 2) أحيانًا بالزمرة البوليانية . ^{[ 3 ]}

كل زمرة أبيلية ابتدائية من الرتبة p هي فضاء متجهي على حقل الأعداد الأولية يحتوي على p عنصرًا، والعكس صحيح. وبحسب تصنيف الزمر الأبيلية المولدة نهائيًا ، أو بحكم أن لكل فضاء متجهي أساسًا ، فإن كل زمرة أبيلية ابتدائية منتهية يجب أن تكون على الصورة ( Z / pZ ) ⁿ ، حيث n عدد صحيح غير سالب (يُسمى أحيانًا رتبة الزمرة ). هنا، Z / pZ تُشير إلى الزمرة الدورية من الرتبة p (أو ما يُكافئها من الأعداد الصحيحة modulo p )، ويعني الرمز العلوي الضرب المباشر من الرتبة n للزمر . ^{[ 2 ]}

بشكل عام، فإن المجموعة الأبيلية الأولية من الرتبة p (التي قد تكون لانهائية) هي مجموع مباشر للمجموعات الدورية من الرتبة p . ^{[ 4 ]} (لاحظ أنه في الحالة المنتهية يتطابق الضرب المباشر والمجموع المباشر، ولكن هذا ليس هو الحال في الحالة اللانهائية.)

• تتكون المجموعة الأبيلية الأولية ( Z /2Z ) ² ^من أربعة عناصر: {(0,0)، (0,1)، (1,0)، (1,1)} . يتم الجمع عنصرًا عنصرًا، مع أخذ الناتج  بتردد  2. على سبيل المثال، (1,0) + (1,1) = (0,1) . هذه هي في الواقع مجموعة كلاين الرباعية .
• في المجموعة المولدة بواسطة الفرق المتناظر على مجموعة (ليست ^{بالضرورة} منتهية)، يكون لكل عنصر رتبة 2. أي مجموعة من هذا النوع تكون بالضرورة تبديلية، لأنه بما أن كل عنصر هو معكوسه، فإن ^xy = ( xy ) ^⁻¹ = y⁻¹x⁻¹ = yx . تُعمم هذه المجموعة ( التي تُسمى أيضًا المجموعة البوليانية) مثال مجموعة كلاين الرباعية إلى عدد عشوائي من المكونات.
• يتم توليد ( Z / pZ ) n بواسطة n عنصرًا، و n ^هو أقل عدد ممكن من المولدات. على وجه الخصوص، فإن المجموعة { e1 _, ..., en _} ، حيث يحتوي _{العنصر ei} على 1 في المكون i و0 في باقي المكونات، هي مجموعة مولدة دنيا.
• كل مجموعة أبيلية ابتدائية منتهية لها تمثيل منتهٍ بسيط إلى حد ما :

  ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{n}\cong \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\mid e_{i}^{p}=1,\ e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}\rangle }$

لنفترض V${\displaystyle \cong }$( Z / pZ ) n هي زمرة أبيلية أولية منتهية. ^بما أن Z / pZ${\displaystyle \cong }$F _p ، الحقل المنتهي المكون من p عنصرًا، لدينا V${\displaystyle \cong }$( Z / pZ ) ⁿ​${\displaystyle \cong }$بما أن F _p ⁿ ، يمكن اعتبار V فضاءً متجهيًا n- بعديًا على الحقل F _p . لاحظ أن المجموعة الأبيلية الأولية لا تمتلك عمومًا أساسًا مميزًا: اختيار التشاكل V${\displaystyle {\overset {\cong }{\to }}}$( Z / pZ ) n ^يتوافق مع اختيار الأساس.

قد يبدو للقارئ المتأمل أن المجموعة F_{_p} ⁿ تتمتع ببنية أكثر تعقيدًا من المجموعة V ، لا سيما أنها تتضمن الضرب القياسي بالإضافة إلى جمع المتجهات والمجموعات. مع ذلك، فإن V ، كمجموعة تبديلية، تمتلك بنية فريدة من نوعها في نمط Z ، حيث يتوافق فعل Z مع الجمع المتكرر، وتتوافق هذه البنية مع الضرب القياسي في F _{_p}. أي أن c ⋅ g = g ⁺ + g⁺ + ... + g ⁺ ( c مرة)، حيث c في F_{_p} (باعتباره عددًا صحيحًا حيث 0 ≤ c < p )، مما يُعطي V بنية طبيعية في نمط F _{_p} .          

بما أن الفضاء المتجهي V _ذو الأبعاد المحدودة له أساس { e1 _, ..., en _} كما هو موضح في الأمثلة، فإذا اعتبرنا { v1 _, ..., vn } أي n عنصرًا من V ، فإنه باستخدام الجبر الخطي، _نجد أن التطبيق T ( ei ) = vi يمتد بشكل فريد إلى تحويل خطي لـ V. ويمكن اعتبار كل T من هذا النوع تشاكلًا زمرًا من V إلى V ( تشاكلًا داخليًا ) _، وبالمثل، يمكن اعتبار أي تشاكل داخلي لـ V تحويلًا خطيًا لـ V كفضاء متجهي.

إذا قمنا بتقييد اهتمامنا بالتشاكلات الذاتية لـ V، فسنحصل على Aut( V ) = { T  : V → V | ker T = 0} = GL _n ( Fp ₎ ، وهي المجموعة الخطية العامة للمصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n × n على Fp _.  

تؤثر زمرة التشاكل الذاتي GL( V ) = GLn ₍ Fp ) _بشكل متعدٍ على V \ {0} (كما هو الحال في أي فضاء متجهي). وهذا في الواقع يميز الزمر الأبيلية الأولية بين جميع الزمر المنتهية: إذا كانت G زمرة منتهية ذات عنصر محايد e بحيث تؤثر زمرة التشاكل الذاتي Aut( G ) بشكل متعدٍ على G \ { e }، فإن G تكون زمرة أبيلية أولية. (البرهان: إذا كانت Aut( G ) تؤثر بشكل متعدٍ على G \ { e }، فإن جميع العناصر غير المحايدة في G لها نفس الرتبة (أولية بالضرورة). عندئذٍ تكون G زمرة من الرتبة p . ويترتب على ذلك أن G لها مركز غير تافه ، وهو ثابت بالضرورة تحت جميع التشاكلات الذاتية، وبالتالي يساوي جميع عناصر G. )

قد يكون من المفيد أيضًا تجاوز مكونات الرتبة الأولية إلى مكونات الرتبة الأسية الأولية. لنفترض أن لدينا زمرة أبيلية ابتدائية G من النوع ( p₁ , p₂ , ..., pₙ ) حيث p عدد أولي . الزمرة المتجانسة ^{[ 5 ]} (من الرتبة n ) هي زمرة أبيلية من النوع ( m₁ , m₂ , ..., mₙ ) ^، أي حاصل الضرب المباشر لـ n زمر دورية متماثلة من الرتبة m ، والتي تُعد الزمر من النوع ( pₖ , ^{pₖ ,} ..., pₖ ) حالة خاصة منها.

المجموعات الخاصة الإضافية هي امتدادات للمجموعات الأبيلية الأولية بواسطة مجموعة دورية من الرتبة p، وهي مماثلة لمجموعة هايزنبرغ .

• المجموعة الابتدائية
• مساحة هامينغ