مجموعة كلاين الرباعية

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة قابلة للحل مسرد نظرية المجموعة قائمة مواضيع نظرية المجموعة
المجموعات المحدودة المجموعة الدورية Z n المجموعة المتماثلة S n المجموعة المتناوبة أ ن المجموعة ثنائية السطوح D n المجموعة الرباعية Q نظرية كوشي نظرية لاجرانج نظريات سيلاو نظرية هول مجموعة ب المجموعة الإبيلية الابتدائية مجموعة فروبينيوس مضاعف شور تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة دوري متناوب نوع الكذب متقطع
المجموعات المنفصلة شبكات الأعداد الصحيحة (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مجموعة مجانية المجموعات المعيارية بي اس ال(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) س ل(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مجموعة حسابية شعرية المجموعة الزائدية
المجموعات الطوبولوجية والمجموعات الكاذبة الملف اللولبي دائرة الخطية العامة GL( n ) خطية خاصة SL( n ) متعامد O( n ) إقليدية E( n ) متعامد خاص SO( n ) وحدة U( n ) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

في الرياضيات ، مجموعة كلاين الرباعية هي مجموعة أبيلية مكونة من أربعة عناصر، حيث يكون كل عنصر فيها معكوسًا ذاتيًا (ينتج عن تكوينه مع نفسه العنصر المتطابق) وحيث ينتج عن تكوين أي عنصرين من العناصر الثلاثة غير المتطابقة العنصر الثالث. يمكن وصفها بأنها مجموعة تماثل مستطيل غير مربع (حيث تكون العناصر الثلاثة غير المتطابقة هي الانعكاس الأفقي والانعكاس الرأسي والدوران بزاوية 180 درجة )، أو كمجموعة عمليات البتات الحصرية أو على قيم ثنائية ثنائية البت، أو بشكل أكثر تجريدًا ، هي حاصل الضرب المباشر لنسختين من المجموعة الدورية من الدرجة 2 وفقًا للنظرية الأساسية للمجموعات الأبلية المولدة بشكل محدود . وقد تم تسميتها Vierergruppe ( بالألمانية: [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə]) .${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ ^ⓘ )، بمعنى المجموعة الرباعية) بواسطةفيليكس كلاينفي عام 1884.^[1]ويطلق عليها أيضًامجموعة كلاين، وغالبًا ما يرمز لها بالحرفأو. ${\displaystyle V}$${\displaystyle K_{4}}$

المجموعة الرباعية لكلاين، التي تتكون من أربعة عناصر، هي أصغر مجموعة غير دورية. وحتى التماثل الشكلي ، لا يوجد سوى مجموعة واحدة أخرى من الدرجة الرابعة: المجموعة الدورية من الدرجة الرابعة. كلتا المجموعتين أبيلية.

يتم إعطاء جدول كايلي لمجموعة كلاين بواسطة:

*	هـ	أ	ب	ج
هـ	هـ	أ	ب	ج
أ	أ	هـ	ج	ب
ب	ب	ج	هـ	أ
ج	ج	ب	أ	هـ

يتم تعريف مجموعة كلاين الرباعية أيضًا من خلال عرض المجموعة

${\displaystyle V=\left\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\right\rangle .}$

جميع العناصر غير المتطابقة لمجموعة كلاين لها الترتيب 2، لذا يمكن لأي عنصرين غير متطابقين أن يعملوا كمولدات في العرض أعلاه. مجموعة كلاين الرباعية هي أصغر مجموعة غير دورية . ومع ذلك، فهي مجموعة أبيلية ، ومتماثلة مع المجموعة ثنائية السطوح من الترتيب (الكاردينالية) 4، والتي يرمز إليها (أو ، باستخدام الاتفاقية الهندسية)؛ ​​بخلاف المجموعة من الترتيب 2، فهي المجموعة ثنائية السطوح الوحيدة التي تكون أبيلية. ${\displaystyle D_{4}}$${\displaystyle D_{2}}$

مجموعة كلاين الرباعية متماثلة أيضًا مع المجموع المباشر ، بحيث يمكن تمثيلها على أنها الأزواج {(0,0)، (0,1)، (1,0)، (1,1)} تحت إضافة مكونة modulo 2 (أو على نحو مكافئ سلاسل البتات {00، 01، 10، 11} تحت XOR بتية )، مع كون (0,0) هو عنصر هوية المجموعة. وبالتالي فإن مجموعة كلاين الرباعية هي مثال لمجموعة أبيلية أولية 2 ، والتي تسمى أيضًا مجموعة منطقية . وبالتالي فإن مجموعة كلاين الرباعية هي أيضًا المجموعة التي تم إنشاؤها بواسطة الفرق المتماثل كعملية ثنائية على مجموعات فرعية من مجموعة قوى لمجموعة بها عنصرين - أي على حقل من المجموعات التي تحتوي على أربعة عناصر، مثل ؛ المجموعة الفارغة هي عنصر هوية المجموعة في هذه الحالة. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}}$

هناك بناء عددي آخر لمجموعة كلاين الرباعية وهو المجموعة { 1, 3, 5, 7 } ، حيث تكون العملية هي الضرب modulo 8. هنا a هو 3، وb هو 5، و c = ab هو 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

تتمتع مجموعة كلاين الرباعية أيضًا بتمثيل 2 × 2 مصفوفات حقيقية مع كون العملية هي ضرب المصفوفة:

${\displaystyle e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad }$

${\displaystyle b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

في مكعب روبيك ، يمكن عمل نمط "النقاط الأربع" بثلاث طرق، اعتمادًا على زوج الوجوه التي تُركت فارغة؛ تشكل هذه المواضع الثلاثة مع الموضع المحلول مثالًا لمجموعة كلاين، حيث يعمل الموضع المحلول كالهوية.

في بعدين ، مجموعة كلاين الرباعية هي مجموعة تماثل المعين والمستطيلات التي ليست مربعات ، والعناصر الأربعة هي الهوية، والانعكاس الرأسي، والانعكاس الأفقي، والدوران 180 درجة.

في ثلاثة أبعاد، هناك ثلاث مجموعات تماثل مختلفة والتي هي جبريًا مجموعة كلاين الرباعية:

• واحد مع ثلاثة محاور دوران ثنائية الأضلاع متعامدة: المجموعة ثنائية السطوح ${\displaystyle D_{2}}$
• واحد مع محور دوران مزدوج، ومستوى انعكاس عمودي:${\displaystyle C_{2\mathrm {h} }=D_{1\mathrm {d} }}$
• واحد مع محور دوران مزدوج في مستوى الانعكاس (وبالتالي أيضًا في مستوى الانعكاس العمودي): .${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }=D_{1\mathrm {h} }}$

العناصر الثلاثة من الدرجة الثانية في مجموعة كلاين الرباعية قابلة للتبادل: وبالتالي فإن مجموعة التشكل الذاتي لـ V هي مجموعة تبديلات هذه العناصر الثلاثة، أي المجموعة المتماثلة . ${\displaystyle S_{3}}$

يمكن اعتبار ترتيبات مجموعة كلاين الرباعية لعناصرها الخاصة مجردة باعتبارها تمثيلًا ترتيبيًا لها على أربع نقاط:

${\displaystyle V={}}${()، (1،2)(3،4)، (1،3)(2،4)، (1،4)(2،3)}

في هذا التمثيل، توجد مجموعة فرعية طبيعية للمجموعة المتناوبة (والمجموعة المتماثلة أيضًا ) على أربعة أحرف. في الواقع، إنها نواة تماثل المجموعة الشاملة من إلى . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle S_{3}}$

التمثيلات الأخرى ضمن S ₄ هي:

{ ()، (1،2)، (3،4)، (1،2)(3،4) }

{ ()، (1،3)، (2،4)، (1،3)(2،4) }

{ ()، (1،4)، (2،3)، (1،4) (2،3) }

أنها ليست مجموعات فرعية طبيعية من S ₄ .

وفقًا لنظرية جالوا ، فإن وجود مجموعة كلاين الرباعية (وبشكل خاص، التمثيل التباديلي لها) يفسر وجود صيغة لحساب جذور المعادلات الرباعية من حيث الجذور ، كما أنشأها لودوفيكو فيراري : تتوافق الخريطة مع المكعب المحلول ، من حيث محللات لاغرانج . ${\displaystyle S_{4}\to S_{3}}$

في بناء الحلقات المحدودة ، تحتوي ثماني حلقات من أصل إحدى عشر حلقة تحتوي على أربعة عناصر على مجموعة كلاين الرباعية كبنية فرعية إضافية.

إذا كانت تشير إلى المجموعة الضربية للأعداد الحقيقية غير الصفرية والمجموعة الضربية للأعداد الحقيقية الموجبة ، فهي مجموعة وحدات الحلقة ، وهي مجموعة فرعية من (في الواقع هي مكون متطابق لـ ) . مجموعة الحاصل متماثلة مع مجموعة كلاين الرباعية. وعلى نحو مماثل، فإن مجموعة وحدات حلقة الأعداد المركبة المنقسمة ، عند قسمتها على مكون متطابق لها، تؤدي أيضًا إلى مجموعة كلاين الرباعية. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times })/(\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+})}$

من بين الرسوم البيانية المتصلة البسيطة ، فإن أبسط (بمعنى وجود أقل عدد من الكيانات) التي تقبل مجموعة كلاين الرباعية كمجموعة تماثلية ذاتية هو الرسم البياني الماسي الموضح أدناه. وهي أيضًا مجموعة تماثلية ذاتية لبعض الرسوم البيانية الأخرى التي تكون أبسط بمعنى وجود عدد أقل من الكيانات. وتشمل هذه الرسم البياني الذي يحتوي على أربع رؤوس وحافة واحدة، والذي يظل بسيطًا ولكنه يفقد الاتصال، والرسم البياني الذي يحتوي على رأسين متصلين ببعضهما البعض بواسطة حافتين، والذي يظل متصلاً ولكنه يفقد البساطة.

في تأليف الموسيقى ، المجموعة الرباعية هي المجموعة الأساسية للتباديل في تقنية الاثني عشر نغمة . في هذه الحالة، يتم كتابة جدول كايلي ^[2]

س	أنا	ر	جمهورية أيرلندا
أنا	س	جمهورية أيرلندا	ر
ر	جمهورية أيرلندا	س	أنا
جمهورية أيرلندا	ر	أنا	س

• مجموعة رباعية
• قائمة المجموعات الصغيرة

• م. أرمسترونج (1988) المجموعات والتناظر ، دار سبرينغر للنشر ، صفحة 53.
• WE Barnes (1963) مقدمة في الجبر المجرد ، DC Heath & Co.، الصفحة 20.

• فايستين، إريك دبليو. “Vierergruppe”. عالم الرياضيات .