مفارقة بورالي فورتي

في نظرية المجموعات ، أحد فروع الرياضيات ، تُبيّن مفارقة بورالي-فورتي أن بناء "مجموعة جميع الأعداد الترتيبية " يؤدي إلى تناقض، وبالتالي يُظهر تناقضًا في نظام يسمح ببنائها. سُميت هذه المفارقة نسبةً إلى سيزار بورالي-فورتي ، الذي نشر عام 1897 بحثًا يُثبت نظريةً، دون علمه، تُناقض نتيجةً أثبتها سابقًا جورج كانتور . لاحظ برتراند راسل هذا التناقض لاحقًا، وعندما نشره في كتابه " مبادئ الرياضيات" عام 1903 ، ذكر أنه استوحى الفكرة من بحث بورالي-فورتي، ومن هنا جاء اسم بورالي-فورتي.

سنثبت ذلك بالتناقض.

1. ليكن Ω مجموعة تتكون من جميع الأعداد الترتيبية.
2. Ω متعدية لأنه لكل عنصر x من Ω (وهو عدد ترتيبي ويمكن أن يكون أي عدد ترتيبي) ولكل عنصر y من x ( أي وفقًا لتعريف الأعداد الترتيبية لفون نيومان ، لكل عدد ترتيبي y < x )، لدينا أن y هو عنصر من Ω لأن أي عدد ترتيبي يحتوي فقط على أعداد ترتيبية، وفقًا لتعريف هذا البناء الترتيبي.
3. Ω مرتبة بشكل جيد وفقًا لعلاقة العضوية لأن جميع عناصرها مرتبة بشكل جيد أيضًا وفقًا لهذه العلاقة.
4. لذلك، من خلال الخطوتين 2 و 3، لدينا أن Ω هي فئة ترتيبية وأيضًا، من خلال الخطوة 1، عدد ترتيبي، لأن جميع الفئات الترتيبية التي هي مجموعات هي أيضًا أعداد ترتيبية.
5. وهذا يعني أن Ω عنصر من Ω .
6. بحسب تعريف الأعداد الترتيبية لفون نيومان، فإن Ω < Ω هو نفسه كون Ω عنصرًا من Ω . وقد تم إثبات هذه العبارة الأخيرة في الخطوة 5.
7. لكن لا توجد فئة ترتيبية أقل من نفسها، بما في ذلك Ω بسبب الخطوة 4 ( Ω هي فئة ترتيبية)، أي Ω ≮ Ω .

لقد استنتجنا قضيتين متناقضتين ( Ω < Ω و Ω ≮ Ω ) من كون Ω مجموعة ، وبالتالي دحضنا أن Ω مجموعة.

إنّ صيغة المفارقة المذكورة أعلاه غير متوافقة مع السياق التاريخي، لأنها تفترض تعريف الأعداد الترتيبية الذي وضعه جون فون نيومان ، والذي بموجبه يُمثّل كل عدد ترتيبي مجموعة جميع الأعداد الترتيبية السابقة له، وهو تعريف لم يكن معروفًا وقت صياغة بورالي فورتي للمفارقة. إليكم تفسيرًا آخر بافتراضات أقل: لنفترض أننا نُلحق بكل ترتيب جيد كائنًا يُسمى نوع ترتيبه بطريقة غير محددة (أنواع الترتيب هي الأعداد الترتيبية). أنواع الترتيب (الأعداد الترتيبية) نفسها مُرتبة ترتيبًا جيدًا بطريقة طبيعية، ولا بدّ لهذا الترتيب الجيد من نوع ترتيب.$أوميغا$من السهل إثبات ذلك في نظرية المجموعات البسيطة (ويظل صحيحًا في ZFC ولكن ليس في الأسس الجديدة ) أن نوع ترتيب جميع الأعداد الترتيبية الأقل من قيمة ثابتة${\displaystyle \alpha }$يكون${\displaystyle \alpha }$نفسه. لذا فإن نوع ترتيب جميع الأعداد الترتيبية الأقل من $أوميغا$يكون$أوميغا$نفسها. لكن هذا يعني أن$أوميغا$، كونه نوع ترتيب جزء أولي صحيح من الأعداد الترتيبية، هو أقل تمامًا من نوع ترتيب جميع الأعداد الترتيبية، لكن الأخير هو$أوميغا$هذا بحد ذاته بحكم التعريف. وهذا تناقض.

باستخدام تعريف فون نيومان، الذي يُعرّف كل عدد ترتيبي بأنه مجموعة جميع الأعداد الترتيبية السابقة له، فإن المفارقة حتمية: وهي الفرضية المخالفة التي تنص على أن نوع ترتيب جميع الأعداد الترتيبية الأقل من قيمة ثابتة${\displaystyle \alpha }$يكون${\displaystyle \alpha }$يجب أن يكون هذا صحيحًا في حد ذاته. لا يمكن أن تكون مجموعة الأعداد الترتيبية لفون نيومان، مثل المجموعة في مفارقة راسل ، مجموعةً في أي نظرية مجموعات ذات منطق كلاسيكي. لكن مجموعة أنواع الترتيب في الأسس الجديدة (المعرفة على أنها فئات تكافؤ للترتيبات الجيدة تحت التشابه) هي في الواقع مجموعة، ويتم تجنب المفارقة لأن نوع ترتيب الأعداد الترتيبية أقل من$أوميغا$ اتضح أنه ليس كذلك$أوميغا .$

تتجاوز البديهيات الحديثة لنظرية المجموعات الرسمية ، مثل ZF و ZFC، هذا التناقض من خلال عدم السماح بإنشاء مجموعات باستخدام مصطلحات مثل "جميع المجموعات التي لها الخاصية".${\displaystyle P}$كما هو ممكن في نظرية المجموعات البسيطة ، وكما هو ممكن مع بديهيات غوتلوب فريجه - وتحديدًا القانون الأساسي الخامس - في "القواعد الأساسية للحساب". يستخدم نظام كواين " الأسس الجديدة " (NF) حلاً مختلفًا . بيّن روسر ( 1942 ) أنه في النسخة الأصلية من نظام كواين "المنطق الرياضي" (ML)، وهو امتداد لـ"الأسس الجديدة"، من الممكن استنتاج مفارقة بورالي-فورتي، مما يدل على أن هذا النظام كان متناقضًا. لم يعانِ تنقيح كواين للمنطق الرياضي بعد اكتشاف روسر من هذا العيب، بل أثبت هاو وانغ لاحقًا أنه متسق مع "الأسس الجديدة" .   

• اللانهائي المطلق

• موسوعة ستانفورد للفلسفة : " المفارقات والمنطق المعاصر " - بقلم أندريا كانتيني.