الاتساق المتساوي

في المنطق الرياضي ، تكون نظريتان متسقتين إذا كان اتساق إحداهما يستلزم اتساق الأخرى، والعكس صحيح . في هذه الحالة، يمكن القول، بشكل عام، إنهما "متسقتان بنفس القدر".

بشكل عام، لا يمكن إثبات الاتساق المطلق لنظرية T. بدلاً من ذلك، نأخذ عادةً نظرية S ، يُعتقد أنها متسقة، ونحاول إثبات العبارة الأضعف التي تنص على أنه إذا كانت S متسقة، فلا بد أن تكون T متسقة أيضًا - إذا استطعنا فعل ذلك، نقول إن T متسقة بالنسبة إلى S. وإذا كانت S متسقة أيضًا بالنسبة إلى T ، فنقول إن S و T متسقتان بالتساوي .

في المنطق الرياضي، تُدرس النظريات الصورية ككائنات رياضية . ولأن بعض النظريات تتمتع بقوة كافية لنمذجة كائنات رياضية مختلفة، فمن الطبيعي التساؤل عن مدى اتساقها .

اقترح هيلبرت برنامجًا في مطلع القرن العشرين كان هدفه النهائي إثبات اتساق الرياضيات باستخدام الأساليب الرياضية. ولأن معظم فروع الرياضيات يمكن اختزالها إلى الحساب ، فقد أصبح البرنامج سريعًا بمثابة إثبات اتساق الحساب من خلال أساليب قابلة للصياغة ضمن الحساب نفسه.

تُظهر نظريات عدم الاكتمال لغودل أن برنامج هيلبرت غير قابل للتحقيق: إذا كانت نظرية متسقة وقابلة للحساب قوية بما يكفي لصياغة رياضياتها الفوقية (سواء كان شيء ما برهانًا أم لا)، أي قوية بما يكفي لنمذجة جزء ضعيف من الحساب ( يكفي حساب روبنسون )، فإن النظرية لا تستطيع إثبات اتساقها. توجد بعض المحاذير التقنية المتعلقة بالمتطلبات التي يجب أن يستوفيها البيان الرسمي الذي يمثل العبارة الرياضية الفوقية "النظرية متسقة"، ولكن النتيجة هي أنه إذا استطاعت نظرية (قوية بما يكفي) إثبات اتساقها، فإما أنه لا توجد طريقة حسابية لتحديد ما إذا كانت عبارة ما بديهية من بديهيات النظرية أم لا، أو أن النظرية نفسها غير متسقة (وفي هذه الحالة يمكنها إثبات أي شيء، بما في ذلك عبارات خاطئة مثل اتساقها).

بناءً على ذلك، وبدلاً من الاتساق المطلق، يُنظر عادةً في الاتساق النسبي: لنفترض أن S و T نظريتان رسميتان. ولنفترض أن S نظرية متسقة. هل يترتب على ذلك أن T متسقة؟ إذا كان الأمر كذلك، فإن T متسقة بالنسبة إلى S. وتكون النظريتان متكافئتين في الاتساق إذا كانت كل منهما متسقة بالنسبة إلى الأخرى.

إذا كانت T متسقة بالنسبة إلى S ، ولكن من غير المعروف أن S متسقة بالنسبة إلى T ، فإننا نقول إن S تتمتع بقوة اتساق أكبر من T. عند مناقشة مسائل قوة الاتساق هذه، يجب تناول النظرية الفوقية التي تجري فيها المناقشة بعناية. بالنسبة للنظريات على مستوى الحساب من الرتبة الثانية ، فإن برنامج الرياضيات العكسية لديه الكثير ليقوله. تُعد مسائل قوة الاتساق جزءًا معتادًا من نظرية المجموعات ، لأنها نظرية قابلة للحساب يمكنها بالتأكيد نمذجة معظم الرياضيات. تُسمى مجموعة بديهيات نظرية المجموعات الأكثر استخدامًا ZFC . عندما يُقال إن عبارة نظرية مجموعات A متسقة بالتساوي مع عبارة أخرى B ، فإن ما يُدعى في الواقع هو أنه في النظرية الفوقية ( حساب بيانو في هذه الحالة) يمكن إثبات أن النظريتين ZFC+ A وZFC+ B متسقتان بالتساوي. عادةً، يمكن اعتماد الحساب التكراري الأولي كنظرية فوقية، ولكن حتى لو كانت النظرية الفوقية هي ZFC أو امتداد لها، فإن المفهوم يبقى ذا معنى. تسمح طريقة الإجبار بإثبات أن النظريات ZFC وZFC+CH وZFC+¬CH جميعها متسقة بالتساوي (حيث تشير CH إلى فرضية الاستمرارية ).

عند مناقشة أجزاء من نظرية ZFC أو امتداداتها (على سبيل المثال، نظرية ZF، وهي نظرية المجموعات بدون بديهية الاختيار، أو نظرية ZF+AD، وهي نظرية المجموعات مع بديهية الحتمية )، يتم تكييف المفاهيم المذكورة أعلاه وفقًا لذلك. وبالتالي، فإن نظرية ZF متسقة مع نظرية ZFC، كما بيّن غودل.

يمكن معايرة قوة اتساق العديد من العبارات التوافقية باستخدام أعداد كبيرة . على سبيل المثال:

• إن نفي فرضية كوريبا يتطابق مع وجود عدد أصلي غير قابل للوصول إليه .
• عدم وجود خاص${\displaystyle \omega _{2}}$- أشجار أرونسزاجن متسقة مع وجود طائر ماهلو الكاردينالي ،
• عدم وجود${\displaystyle \omega _{2}}$- أشجار أرونسزاجن متسقة مع وجود عدد أصلي مضغوط بشكل ضعيف . ^{[ 1 ]}

• عقار رئيسي كبير

• أكيهيرو كاناموري (2003). الأعلى اللانهائي . سبرينغر. رقم ISBN 3-540-00384-3