جون فون نيومان

جون فون نيومان
فون نيومان في الأربعينيات
عضو في لجنة الطاقة الذرية الأمريكية
تولى منصبه من 15 مارس 1955 إلى 8 فبراير 1957
رئيس	دوايت د. أيزنهاور
سبقه	يوجين م. زوكيرت
نجح من قبل	جون س. جراهام
التفاصيل الشخصية
وُلِدّ	نيومان يانوس لاجوس (1903-12-28)28 ديسمبر 1903 ، بودابست ، مملكة المجر
مات	8 فبراير 1957 (1957-02-08)(53 عامًا) واشنطن العاصمة ، الولايات المتحدة
مكان الراحة	مقبرة برينستون
المواطنة	هنغاريا الولايات المتحدة
المدرسة الأم	جامعة بازماني بيتر جامعة برلين المعهد الفيدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ
معروف بـ	الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم ، نظرية الألعاب ، نظرية الطيف ، نظرية إرجوديك ، جبر فون نيومان ، قائمة الأشياء التي سميت باسم جون فون نيومان
الزوجات	مارييتا كوفيسي ​ ​ ( مواليد  1930؛ تفرعت  1937 ) كلارا دان ​ ( ت.  1938 )
أطفال	مارينا فون نيومان ويتمان
الجوائز	جائزة بوتشر التذكارية (1938) جائزة الخدمة المدنية المتميزة للبحرية (1946) وسام الاستحقاق (1946) وسام الحرية (1956) جائزة إنريكو فيرمي (1956) ميدالية كارل جوستاف روسبي للأبحاث (1957)
المسيرة العلمية
الحقول	المنطق ، الرياضيات ، الفيزياء الرياضية ، الفيزياء النظرية ، الإحصاء ، الاقتصاد ، علوم الكمبيوتر ، علم الأحياء النظري ، الكيمياء ، الحوسبة
المؤسسات	جامعة جوتنجن جامعة برلين جامعة هامبورغ جامعة برينستون معهد الدراسات المتقدمة مختبر لوس ألاموس لجنة أبحاث الدفاع الوطني وزارة الدفاع الامريكية لجنة الطاقة الذرية الأمريكية
أُطرُوحَة	Az általános halmazelmélet axiomatikus felépítése (البناء البديهي لنظرية المجموعة العامة)  (1925)
مستشار الدكتوراه	ليبوت فيجير
المستشارين الأكاديميين الآخرين	لازلو راتز غابور سيجو مايكل فيكيتي جوزيف كورشاك [1] ديفيد هيلبرت إيرهارد شميت [2] هيرمان ويل جورج بوليا [3]
طلاب الدكتوراه	دونالد ب. جيليس إسرائيل هالبرين [5] فريدريش ماوتنر [6]
طلاب بارزون آخرون	يوجين ويجنر [7] بول هالموس بيتر لاكس بينوا ماندلبروت [8]
إمضاء

جون فون نيومان ( / vɒnˈnɔɪmən / von NOY -mən ؛ بالمجرية : Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ] ؛ 28 ديسمبر 1903 - 8 فبراير 1957) كان عالم رياضيات وفيزيائي ومهندس وعالم كمبيوتر مجري وأمريكي . ربما كان لديه أوسع تغطية لأي عالم رياضيات في عصره، [ ^9] حيث دمج العلوم البحتة والتطبيقية وقدم مساهمات كبيرة في العديد من المجالات، بما في ذلك الرياضيات والفيزياء والاقتصاد والحوسبة والإحصاء . كان رائدًا في بناء الإطار الرياضي للفيزياء الكمومية ، وفي تطوير التحليل الوظيفي ، وفي نظرية الألعاب ، حيث قدم أو قام بتدوين مفاهيم بما في ذلك الأتمتة الخلوية والمنشئ العالمي والحاسوب الرقمي . وقد سبق تحليله لبنية التضاعف الذاتي اكتشاف بنية الحمض النووي .

خلال الحرب العالمية الثانية ، عمل فون نيومان في مشروع مانهاتن . وقد طور النماذج الرياضية وراء العدسات المتفجرة المستخدمة في السلاح النووي من النوع الانفجاري . ^[10] قبل الحرب وبعدها، عمل كمستشار للعديد من المنظمات بما في ذلك مكتب البحث والتطوير العلمي ، ومختبر أبحاث الباليستية التابع للجيش ، ومشروع الأسلحة الخاصة للقوات المسلحة ، ومختبر أوك ريدج الوطني . ^[11] وفي ذروة نفوذه في الخمسينيات من القرن الماضي، ترأس عددًا من لجان وزارة الدفاع بما في ذلك لجنة تقييم الصواريخ الاستراتيجية واللجنة الاستشارية العلمية للصواريخ الباليستية العابرة للقارات . وكان أيضًا عضوًا في لجنة الطاقة الذرية المؤثرة المسؤولة عن جميع تطوير الطاقة الذرية في البلاد. ولعب دورًا رئيسيًا إلى جانب برنارد شرايفر وتريفور جاردنر في تصميم وتطوير أول برامج الصواريخ الباليستية العابرة للقارات في الولايات المتحدة . ^[12] وفي ذلك الوقت كان يُعتبر الخبير الأول في البلاد في مجال الأسلحة النووية والعالم الدفاعي الرائد في وزارة الدفاع الأمريكية .

حظيت مساهمات فون نيومان وقدرته الفكرية بإشادة زملائه في الفيزياء والرياضيات وغيرهما. وتتراوح الأوسمة التي نالها من ميدالية الحرية إلى حفرة على سطح القمر سميت باسمه.

وُلِد فون نيومان في بودابست ، مملكة المجر (التي كانت آنذاك جزءًا من الإمبراطورية النمساوية المجرية )، ^{[13] [14] [15] في 28 ديسمبر 1903، لعائلة} يهودية ثرية غير ملتزمة دينيًا . كان اسمه عند الولادة نيومان يانوس لاجوس. في المجرية، يأتي اسم العائلة أولاً، وأسماؤه الأولى تعادل جون لويس في اللغة الإنجليزية. ^[16]

كان الأكبر بين ثلاثة إخوة؛ وكان شقيقاه الأصغران هما ميهالي (مايكل) وميكلوس (نيكولاس). ^[17] كان والده نيومان ميكسا (ماكس فون نيومان) مصرفيًا وحاصلًا على درجة الدكتوراه في القانون . انتقل إلى بودابست من بيتش في نهاية ثمانينيات القرن التاسع عشر. ^[18] وُلِد والد ميكسا وجده في أوند (الآن جزء من سيرينكس )، مقاطعة زيمبلين ، شمال المجر. كانت والدة جون هي كان مارجيت (مارجريت كان)؛ ^[19] كان والداها كان جاكاب ومايسل كاتالين من عائلة مايسلز . ^[20] عاشت ثلاثة أجيال من عائلة كان في شقق واسعة فوق مكاتب كان هيلر في بودابست؛ احتلت عائلة فون نيومان شقة من 18 غرفة في الطابق العلوي. ^[21]

في 20 فبراير 1913، رفع الإمبراطور فرانز جوزيف والد جون إلى طبقة النبلاء المجريين لخدمته للإمبراطورية النمساوية المجرية. ^[22] وبالتالي اكتسبت عائلة نيومان اللقب الوراثي مارجيتاي ، والذي يعني "مارغيتا" ( مارغيتا اليوم ، رومانيا). لم يكن للعائلة أي صلة بالمدينة؛ تم اختيار اللقب في إشارة إلى مارغريت، كما كان شعار النبالة الذي اختاروه والذي يصور ثلاث مارغريت . أصبح نيومان يانوس مارجيتاي نيومان يانوس (جون نيومان دي مارجيتا)، والذي غيره لاحقًا إلى الألماني يوهان فون نيومان. ^[23]

كان فون نيومان طفلًا معجزة، حيث كان قادرًا في السادسة من عمره على قسمة رقمين من ثمانية أرقام في رأسه ^{[24] [25]} والتحدث باللغة اليونانية القديمة . ^[26] وقد تلقى هو وإخوته وأبناء عمومته تعليمهم من قبل مربيات. كان والد فون نيومان يعتقد أن معرفة لغات أخرى غير لغتهم المجرية الأم أمر ضروري، لذلك تم تعليم الأطفال اللغة الإنجليزية والفرنسية والألمانية والإيطالية . [ 27 ] في ^سن الثامنة، كان فون نيومان على دراية بحساب التفاضل والتكامل ، وفي سن الثانية عشرة كان قد قرأ كتاب بوريل La Théorie des Fonctions . ^[28] كان مهتمًا أيضًا بالتاريخ، حيث قرأ سلسلة التاريخ العالمي المكونة من 46 مجلدًا لويلهلم أونكين Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen ( التاريخ العام في الدراسات ). ^[29] تم تحويل إحدى الغرف في الشقة إلى مكتبة وغرفة قراءة. ^[30]

التحق فون نيومان بمدرسة فاسوري إيفانجيليكوس جيمنازيوم اللوثرية في عام 1914. ^{[31] كان} يوجين ويجنر متقدمًا على فون نيومان بعام في المدرسة وسرعان ما أصبح صديقًا له. ^[32]

على الرغم من إصرار والد فون نيومان على حضوره المدرسة في المستوى الدراسي المناسب لعمره، إلا أنه وافق على توظيف مدرسين خصوصيين لإعطاء فون نيومان تعليمًا متقدمًا. في سن الخامسة عشرة، بدأ دراسة حساب التفاضل والتكامل المتقدم تحت إشراف المحلل غابور سيجو . ^[32] بحلول سن التاسعة عشرة، نشر فون نيومان ورقتين رياضيتين رئيسيتين، أعطت الثانية منهما التعريف الحديث للأعداد الترتيبية ، والتي حلت محل تعريف جورج كانتور . ^[33] في ختام تعليمه في صالة الألعاب الرياضية، تقدم بطلب للحصول على جائزة Eötvös، وهي جائزة وطنية في الرياضيات وفاز بها. ^[34]

وفقًا لصديقه ثيودور فون كارمان ، أراد والد فون نيومان أن يتبعه جون في الصناعة، وطلب من فون كارمان إقناع ابنه بعدم دراسة الرياضيات. ^[35] قرر فون نيومان ووالده أن أفضل مسار وظيفي هو الهندسة الكيميائية . لم يكن هذا شيئًا كان لدى فون نيومان الكثير من المعرفة به، لذلك تم ترتيب الأمر له لأخذ دورة لمدة عامين بدون درجة علمية في الكيمياء في جامعة برلين ، وبعد ذلك جلس لامتحان القبول في المعهد الفيدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ ، ^[36] والذي اجتازه في سبتمبر 1923. ^[37] في الوقت نفسه، التحق فون نيومان بجامعة بازماني بيتر في بودابست، ^[38] كمرشح لنيل درجة الدكتوراه في الرياضيات . بالنسبة لأطروحته، قدم بديهية لنظرية المجموعات لكانتور . ^{[39] [40]} تخرج كمهندس كيميائي من المعهد الفيدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ عام 1926، وفي الوقت نفسه اجتاز امتحاناته النهائية بامتياز مع مرتبة الشرف للحصول على درجة الدكتوراه في الرياضيات (مع تخصصات فرعية في الفيزياء التجريبية والكيمياء). ^{[41] [42]} ومع ذلك، في كتاب عقل جميل لسيلفيا نصار، ورد أن فون نيومان كان مسجلاً في الهندسة الكيميائية في جامعة بودابست أثناء دراسته للرياضيات في برلين. ^[33]

ثم ذهب إلى جامعة جوتنجن بمنحة من مؤسسة روكفلر لدراسة الرياضيات تحت إشراف ديفيد هيلبرت . ^{[43] يتذكر} هيرمان ويل كيف كان فون نيومان وإيمي نويثر يتجولان في " شوارع جوتنجن الباردة والمبللة والممطرة" بعد انتهاء الفصل الدراسي لمناقشة أنظمة الأعداد المعقدة للغاية وتمثيلاتها . ^[44]

اكتملت تأهيل فون نيومان في 13 ديسمبر 1927، وبدأ في إلقاء المحاضرات بصفته أستاذًا خاصًا في جامعة برلين في عام 1928. ^[45] وكان أصغر شخص يُنتخب أستاذًا خاصًا في تاريخ الجامعة. ^[46] بدأ في كتابة ورقة بحثية رئيسية واحدة تقريبًا في الرياضيات شهريًا. ^[47] في عام 1929، أصبح لفترة وجيزة أستاذًا خاصًا في جامعة هامبورغ ، حيث كانت احتمالات أن يصبح أستاذًا دائمًا أفضل، ^[48] ثم انتقل في أكتوبر من ذلك العام إلى جامعة برينستون كمحاضر زائر في الفيزياء الرياضية . ^[49]

عُمِّد فون نيومان كاثوليكيًا في عام 1930. ^[50] وبعد فترة وجيزة، تزوج ماريتا كوفيسي، التي درست الاقتصاد في جامعة بودابست. ^[49] أنجب فون نيومان وماريتا ابنة، مارينا ، ولدت في عام 1935؛ وأصبحت أستاذة. ^[51] انفصل الزوجان في 2 نوفمبر 1937. ^[52] في 17 نوفمبر 1938، تزوج فون نيومان من كلارا دان . ^{[53] [54]}

في عام 1933، قبل فون نيومان منصب أستاذ دائم في معهد الدراسات المتقدمة في نيوجيرسي، عندما بدا أن خطة تلك المؤسسة لتعيين هيرمان ويل قد فشلت. ^[55] تبعته والدته وإخوته وأصهاره إلى الولايات المتحدة في عام 1939. ^[56] غيّر فون نيومان اسمه إلى الإنجليزية إلى جون، مع الاحتفاظ باللقب الألماني الأرستقراطي فون نيومان. ^[23] أصبح فون نيومان مواطنًا أمريكيًا متجنسًا في عام 1937، وحاول على الفور أن يصبح ملازمًا في فيلق ضباط الاحتياط بالجيش الأمريكي . اجتاز الامتحانات لكنه رُفض بسبب سنه. ^[57]

كان كلارا وجون فون نيومان نشطين اجتماعيًا داخل المجتمع الأكاديمي المحلي. ^[58] كان منزله الأبيض المغطى بالألواح الخشبية على طريق ويستكوت أحد أكبر المساكن الخاصة في برينستون. ^[59] كان يرتدي دائمًا بدلات رسمية. ^[60] كان يستمتع بالفكاهة اليديشية و "غير اللائقة" . ^[28] في برينستون، تلقى شكاوى بسبب عزف موسيقى مسيرة ألمانية عالية الصوت للغاية ؛ ^[61] قام فون نيومان ببعض أفضل أعماله في بيئات صاخبة وفوضوية. ^[62] وفقًا لتشرشل أيزنهارت ، كان بإمكان فون نيومان حضور الحفلات حتى الساعات الأولى من الصباح ثم إلقاء محاضرة في الساعة 8:30. ^[63]

كان معروفًا بسعادته الدائمة بتقديم المشورة العلمية والرياضية للآخرين من جميع مستويات القدرة. ^{[4] [64] [65]} كتب ويجنر أنه ربما أشرف على المزيد من العمل (بمعنى عرضي) من أي عالم رياضيات حديث آخر. ^[66] كتبت ابنته أنه كان مهتمًا جدًا بإرثه في جانبين: حياتها ومتانة مساهماته الفكرية للعالم. ^[67]

اعتبره الكثيرون رئيسًا ممتازًا للجان، حيث كان يرجئ الأمور الشخصية أو التنظيمية بسهولة إلى حد ما ولكنه يلح في الأمور الفنية. وصف هربرت يورك العديد من "لجان فون نيومان" التي شارك فيها بأنها "رائعة في الأسلوب وكذلك الإنتاج". أصبحت الطريقة التي عملت بها اللجان التي ترأسها فون نيومان بشكل مباشر وحميم مع الكيانات العسكرية أو الشركاتية الضرورية بمثابة مخطط لجميع برامج الصواريخ بعيدة المدى للقوات الجوية . ^[68] كان العديد من الأشخاص الذين عرفوا فون نيومان في حيرة من علاقته بالجيش وهياكل السلطة بشكل عام. ^{[69] اشتبه} ستانيسلاف أولام في أنه كان لديه إعجاب خفي بالأشخاص أو المنظمات التي يمكن أن تؤثر على أفكار الآخرين واتخاذ القرارات. ^[70]

كما حافظ على معرفته باللغات التي تعلمها في شبابه. كان يعرف المجرية والفرنسية والألمانية والإنجليزية بطلاقة، وحافظ على مستوى محادثة بالإيطالية واليديشية واللاتينية واليونانية القديمة. كانت لغته الإسبانية أقل كمالا. ^[71] كان لديه شغف ومعرفة موسوعية بالتاريخ القديم، ^{[72] [73]} وكان يستمتع بقراءة المؤرخين اليونانيين القدماء باللغة اليونانية الأصلية. يشتبه أولام في أنهم ربما شكلوا وجهات نظره حول كيفية تطور الأحداث المستقبلية وكيف تعمل الطبيعة البشرية والمجتمع بشكل عام. ^[74]

كان أقرب أصدقاء فون نيومان في الولايات المتحدة هو عالم الرياضيات ستانيسلاف أولام . ^[75] كان فون نيومان يعتقد أن الكثير من أفكاره الرياضية حدثت بشكل حدسي؛ كان غالبًا ما ينام بمشكلة لم يتم حلها ويعرف الإجابة عند الاستيقاظ. ^[62] لاحظ أولام أن طريقة تفكير فون نيومان ربما لم تكن بصرية، بل سمعية أكثر. ^[76] يتذكر أولام، "بغض النظر عن إعجابه بالذكاء المجرد، كان لديه تقدير قوي (يمكن للمرء أن يقول جوعًا تقريبًا) للنوع الأكثر واقعية من الكوميديا ​​​​والفكاهة". ^[77]

في عام 1955، عُثر على كتلة بالقرب من عظم الترقوة لدى فون نيومان، والتي تبين أنها سرطان نشأ في الهيكل العظمي أو البنكرياس أو البروستاتا . (بينما يوجد اتفاق عام على أن الورم قد انتشر ، تختلف المصادر حول موقع السرطان الأولي.) ^{[78] [79]} ربما يكون الورم الخبيث قد نتج عن التعرض للإشعاع في مختبر لوس ألاموس الوطني . ^{[80] يتذكر الأب} ستريتماتر أنه حتى بعد تلقي الطقوس الأخيرة ، لم يتلق فون نيومان الكثير من السلام أو الراحة منها، حيث ظل مرعوبًا من الموت وغير قادر على قبول ظروفه. ^{[81] [82] [83] [84]} يُقال إن فون نيومان قال عن آرائه الدينية، "طالما أن هناك احتمالًا للدينونة الأبدية لغير المؤمنين، فمن المنطقي أن يكون المرء مؤمنًا في النهاية"، في إشارة إلى رهان باسكال . لقد اعترف لأمه قائلاً: "ربما يجب أن يكون هناك إله. فالكثير من الأمور يكون تفسيرها أسهل إذا كان هناك إله مقارنة بعدم وجوده". ^{[85] [86]}

توفي في 8 فبراير 1957 في مستشفى والتر ريد الطبي العسكري ودُفن في مقبرة برينستون . ^{[87] [88]}

في بداية القرن العشرين، عانت الجهود الرامية إلى تأسيس الرياضيات على نظرية المجموعات الساذجة من انتكاسة بسبب مفارقة راسل (حول مجموعة كل المجموعات التي لا تنتمي إلى نفسها). ^[89] تم حل مشكلة البديهية الكافية لنظرية المجموعات ضمناً بعد حوالي عشرين عامًا من قبل إرنست زيرميلو وأبراهام فرانكل . قدمت نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل سلسلة من المبادئ التي سمحت ببناء المجموعات المستخدمة في الممارسة اليومية للرياضيات، لكنها لم تستبعد صراحةً إمكانية وجود مجموعة تنتمي إلى نفسها. في أطروحته للدكتوراه عام 1925، أظهر فون نيومان تقنيتين لاستبعاد مثل هذه المجموعات - بديهية الأساس ومفهوم الطبقة . ^[90]

اقترحت بديهية الأساس أنه يمكن إنشاء كل مجموعة من الأسفل إلى الأعلى في تتابع منظم من الخطوات عن طريق مبادئ زيرميلو-فرانكل. إذا كانت إحدى المجموعات تنتمي إلى مجموعة أخرى، فيجب أن تأتي الأولى بالضرورة قبل الثانية في التتابع. وهذا يستبعد إمكانية انتماء المجموعة إلى نفسها. لإثبات أن إضافة هذه البديهية الجديدة إلى البديهيات الأخرى لم تنتج تناقضات، قدم فون نيومان طريقة النماذج الداخلية ، والتي أصبحت أداة إثبات أساسية في نظرية المجموعات. ^[90]

النهج الثاني لمشكلة المجموعات التي تنتمي إلى نفسها اتخذ من مفهوم الفئة أساسًا له ، ويُعرِّف المجموعة بأنها فئة تنتمي إلى فئات أخرى، في حين تُعرَّف الفئة المناسبة بأنها فئة لا تنتمي إلى فئات أخرى. وفقًا لنهج زيرميلو-فرانكل، تعوق البديهيات بناء مجموعة من كل المجموعات التي لا تنتمي إلى نفسها. على النقيض من ذلك، وفقًا لنهج فون نيومان، يمكن بناء فئة كل المجموعات التي لا تنتمي إلى نفسها، لكنها فئة مناسبة ، وليست مجموعة. ^[90]

بشكل عام، كان الإنجاز الرئيسي لفون نيومان في نظرية المجموعات هو "إضفاء البديهية على نظرية المجموعات ونظرية أنيقة (مرتبطة بذلك) للأعداد الترتيبية والكاردينالية بالإضافة إلى أول صياغة صارمة لمبادئ التعريفات بواسطة الاستقراء اللامتناهي ". ^[91]

بناءً على مفارقة هاوسدورف لفيليكس هاوسدورف (1914)، أظهر ستيفان باناخ وألفريد تارسكي في عام 1924 كيفية تقسيم كرة ثلاثية الأبعاد إلى مجموعات منفصلة ، ​​ثم ترجمة هذه المجموعات وتدويرها لتشكيل نسختين متطابقتين من نفس الكرة؛ هذه هي مفارقة باناخ-تارسكي . كما أثبتوا أن القرص ثنائي الأبعاد ليس له مثل هذا التحلل المتناقض. ولكن في عام 1929، ^[92] قسم فون نيومان القرص إلى قطع محدودة للغاية وأعاد ترتيبها في قرصين، باستخدام تحويلات أفينية تحافظ على المساحة بدلاً من الترجمات والدوران. اعتمدت النتيجة على إيجاد مجموعات حرة من التحويلات الأفينية، وهي تقنية مهمة امتدت لاحقًا بواسطة فون نيومان في عمله على نظرية القياس. ^[93]

بفضل مساهمات فون نيومان في المجموعات، تجنب النظام البديهي لنظرية المجموعات التناقضات التي كانت موجودة في الأنظمة السابقة وأصبح صالحًا للاستخدام كأساس للرياضيات، على الرغم من عدم وجود دليل على اتساقه . وكان السؤال التالي هو ما إذا كان النظام البديهي يوفر إجابات قاطعة لجميع الأسئلة الرياضية التي يمكن طرحها فيه، أو ما إذا كان من الممكن تحسينه بإضافة بديهيات أقوى يمكن استخدامها لإثبات فئة أوسع من النظريات. ^[94]

بحلول عام 1927، كان فون نيومان منخرطًا في مناقشات في جوتنجن حول ما إذا كان الحساب الابتدائي يتبع بديهيات بيانو . ^[95] بناءً على عمل أكرمان ، بدأ في محاولة إثبات (باستخدام الأساليب النهائية لمدرسة هيلبرت ) اتساق الحساب من الدرجة الأولى . نجح في إثبات اتساق جزء من حساب الأعداد الطبيعية (من خلال استخدام القيود المفروضة على الاستدلال ). ^[96] واصل البحث عن دليل أكثر عمومية لاتساق الرياضيات الكلاسيكية باستخدام أساليب من نظرية الإثبات . ^[97]

وصلت إجابة سلبية قوية على ما إذا كانت نهائية أم لا في سبتمبر 1930 في المؤتمر الثاني حول نظرية المعرفة للعلوم الدقيقة ، حيث أعلن كورت جودل عن نظريته الأولى في عدم الاكتمال : الأنظمة البديهية المعتادة غير مكتملة، بمعنى أنها لا تستطيع إثبات كل حقيقة يمكن التعبير عنها بلغتها. علاوة على ذلك، فإن كل امتداد متسق لهذه الأنظمة يظل بالضرورة غير مكتمل. ^[98] في المؤتمر، اقترح فون نيومان على جودل أن يحاول تحويل نتائجه للاقتراحات غير القابلة للحسم حول الأعداد الصحيحة. ^[99]

بعد أقل من شهر، أبلغ فون نيومان جودل بنتيجة مثيرة للاهتمام لنظريته: الأنظمة البديهية المعتادة غير قادرة على إثبات اتساقها الخاص. ^[98] رد جودل بأنه اكتشف بالفعل هذه النتيجة، المعروفة الآن باسم نظرية عدم الاكتمال الثانية ، وأنه سيرسل نسخة أولية من مقالته تحتوي على كلتا النتيجتين، والتي لم تظهر أبدًا. ^{[100] [101] [102]} أقر فون نيومان بأولوية جودل في رسالته التالية. ^[103] ومع ذلك، اختلفت طريقة فون نيومان في الإثبات عن طريقة جودل، وكان أيضًا من الرأي أن نظرية عدم الاكتمال الثانية وجهت ضربة أقوى بكثير لبرنامج هيلبرت مما اعتقد جودل أنها فعلت. ^{[104] [105]} مع هذا الاكتشاف، الذي غيّر بشكل جذري وجهات نظره حول الصرامة الرياضية، توقف فون نيومان عن البحث في أساسيات الرياضيات والرياضيات الميتافيزيقية وبدلاً من ذلك أمضى وقتًا في حل المشكلات المرتبطة بالتطبيقات. ^[106]

في سلسلة من الأوراق المنشورة في عام 1932، قدم فون نيومان مساهمات أساسية في نظرية الإرجوديك ، وهو فرع من الرياضيات يتضمن حالات الأنظمة الديناميكية بمقياس ثابت . ^[107] من أوراق عام 1932 حول نظرية الإرجوديك، كتب بول هالموس أنه حتى "إذا لم يفعل فون نيومان أي شيء آخر، فإنها كانت ستكون كافية لضمان الخلود الرياضي له". ^[108] بحلول ذلك الوقت، كان فون نيومان قد كتب بالفعل مقالاته حول نظرية المشغل ، وكان تطبيق هذا العمل مفيدًا في نظريته الإرجوديك المتوسطة . ^[109]

تتعلق النظرية بمجموعات وحدوية عشوائية ذات معامل واحد وتنص على أنه لكل متجه في فضاء هيلبرت ، يوجد بمعنى المقياس المحدد بواسطة معيار هيلبرت وهو متجه بحيث بالنسبة لجميع . وقد تم إثبات ذلك في الورقة الأولى. في الورقة الثانية، زعم فون نيومان أن نتائجه هنا كانت كافية للتطبيقات الفيزيائية المتعلقة بفرضية بولتزمان الإرجودية . كما أشار إلى أن الإرجودية لم تتحقق بعد وعزل ذلك للعمل المستقبلي. ^[110] ${\displaystyle {\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}}$${\displaystyle \phi }$${\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle V_{t}(\psi )=\psi }$${\displaystyle t}$

في وقت لاحق من العام نشر ورقة بحثية مؤثرة أخرى بدأت الدراسة المنهجية للارتجاعية. قدم وأثبت نظرية تحلل تُظهر أن إجراءات الحفاظ على القياس الارجودية للخط الحقيقي هي اللبنات الأساسية التي يمكن بناء جميع إجراءات الحفاظ على القياس منها. تم تقديم وإثبات العديد من النظريات الرئيسية الأخرى. النتائج في هذه الورقة وأخرى بالاشتراك مع بول هالموس لها تطبيقات مهمة في مجالات أخرى من الرياضيات. ^{[110] [111]}

في نظرية القياس ، يمكن صياغة "مشكلة القياس" لمساحة إقليدية ذات n بعد R ⁿ على النحو التالي: "هل توجد دالة مجموعة موجبة وموحدة وثابتة ومضافة على فئة جميع المجموعات الفرعية لـ R ⁿ ؟" ^[112] كان عمل فيليكس هاوسدورف وستيفان باناخ قد افترض أن مشكلة القياس لها حل موجب إذا كان n = 1 أو n = 2 وحل سلبي (بسبب مفارقة باناخ-تارسكي ) في جميع الحالات الأخرى. زعم عمل فون نيومان أن "المشكلة ذات طابع نظري جماعي في الأساس": يمكن تحديد وجود مقياس من خلال النظر في خصائص مجموعة التحويل للمساحة المعطاة. يأتي الحل الإيجابي للمساحات ذات البعدين على الأكثر، والحل السلبي للأبعاد الأعلى، من حقيقة أن المجموعة الإقليدية هي مجموعة قابلة للحل للبعدين على الأكثر، وليست قابلة للحل للأبعاد الأعلى. "وبالتالي، وفقًا لفون نيومان، فإن تغيير المجموعة هو الذي يحدث فرقًا، وليس تغيير المكان." ^[113] حوالي عام 1942 أخبر دوروثي ماهارام كيف تثبت أن كل مساحة قياس كاملة ذات سيغما محدودة لها رفع مضاعف؛ لم ينشر هذا الدليل وتوصلت لاحقًا إلى دليل جديد. ^[114]

في عدد من أوراق فون نيومان، تعتبر طرق الحجة التي استخدمها أكثر أهمية من النتائج. تحسبًا لدراسته اللاحقة لنظرية الأبعاد في جبر المشغلات، استخدم فون نيومان نتائج حول التكافؤ بالتحلل المحدود، وأعاد صياغة مشكلة القياس من حيث الوظائف. ^[115] كانت إحدى المساهمات الرئيسية التي قدمها فون نيومان لنظرية القياس نتيجة ورقة بحثية كتبت للإجابة على سؤال هار حول ما إذا كان هناك جبر لجميع الوظائف المحدودة على خط الأعداد الحقيقية بحيث تشكل "نظامًا كاملاً لممثلي فئات الوظائف المحدودة القابلة للقياس والمتساوية في كل مكان تقريبًا". ^[116] أثبت ذلك بشكل إيجابي، وفي أوراق لاحقة مع ستون ناقش العديد من التعميمات والجوانب الجبرية لهذه المشكلة. ^[117] كما أثبت بطرق جديدة وجود تفككات لأنواع عامة مختلفة من المقاييس. كما قدم فون نيومان دليلاً جديدًا على تفرد مقاييس هار باستخدام القيم المتوسطة للوظائف، على الرغم من أن هذه الطريقة نجحت فقط مع المجموعات المدمجة . ^[116] كان عليه أن يبتكر تقنيات جديدة تمامًا لتطبيق ذلك على المجموعات المدمجة محليًا . ^[118] كما قدم دليلاً جديدًا ومبتكرًا لنظرية رادون-نيكوديم . ^[119] كانت ملاحظات محاضراته حول نظرية القياس في معهد الدراسات المتقدمة مصدرًا مهمًا للمعرفة حول هذا الموضوع في أمريكا في ذلك الوقت، ونُشرت لاحقًا. ^{[120] [121] [122]}

باستخدام عمله السابق في نظرية القياس، قدم فون نيومان العديد من المساهمات في نظرية المجموعات الطوبولوجية ، بدءًا من ورقة بحثية عن الدوال الدورية تقريبًا على المجموعات، حيث وسّع فون نيومان نظرية بور للدوال الدورية تقريبًا لتشمل مجموعات عشوائية . ^[123] واصل هذا العمل بورقة بحثية أخرى بالاشتراك مع بوشنر والتي حسنت نظرية الدورية تقريبًا لتشمل الدوال التي أخذت عناصر من المساحات الخطية كقيم بدلاً من الأرقام. ^[124] في عام 1938، حصل على جائزة بوشر التذكارية لعمله في التحليل فيما يتعلق بهذه الأوراق البحثية. ^{[125] [126]}

في ورقة بحثية عام 1933، استخدم مقياس هار المكتشف حديثًا في حل مشكلة هيلبرت الخامسة لحالة المجموعات المدمجة . ^[127] تم اكتشاف الفكرة الأساسية وراء هذا قبل عدة سنوات عندما نشر فون نيومان ورقة بحثية عن الخصائص التحليلية لمجموعات التحويلات الخطية ووجد أن المجموعات الفرعية المغلقة لمجموعة خطية عامة هي مجموعات لي . ^[128] تم توسيع هذا لاحقًا بواسطة كارتان ليشمل مجموعات لي التعسفية في شكل نظرية المجموعة الفرعية المغلقة . ^{[129] [116]}

كان فون نيومان أول من عرَّف فضاء هيلبرت المجرد بديهيًا . عرَّفه بأنه فضاء متجه معقد مع حاصل ضرب قياسي هيرميتي ، حيث يكون المعيار المقابل قابلاً للفصل وكاملاً. في نفس الأوراق، أثبت أيضًا الشكل العام لمتباينة كوشي-شوارتز التي كانت معروفة سابقًا فقط في أمثلة محددة. ^[130] واصل تطوير النظرية الطيفية للمشغلين في فضاء هيلبرت في ثلاث أوراق رائدة بين عامي 1929 و1932. [ ^131] تراكم هذا العمل في كتابه الأسس الرياضية لميكانيكا الكم والذي كان إلى جانب كتابين آخرين من تأليف ستون وباناخ في نفس العام أول دراسات أحادية حول نظرية فضاء هيلبرت. ^[132] أظهرت الأعمال السابقة التي قام بها آخرون أنه لا يمكن الحصول على نظرية الطوبولوجيات الضعيفة باستخدام المتتاليات . كان فون نيومان أول من وضع برنامجًا لكيفية التغلب على الصعوبات، مما أدى إلى تعريفه للمساحات المحدبة محليًا ومساحات المتجهات الطوبولوجية لأول مرة. بالإضافة إلى ذلك، فإن العديد من الخصائص الطوبولوجية الأخرى التي حددها في ذلك الوقت (كان من بين أوائل علماء الرياضيات الذين طبقوا أفكارًا طوبولوجية جديدة من هاوسدورف من الفضاء الإقليدي إلى فضاء هيلبرت) ^[133] مثل الحدود والحدود الكلية لا تزال مستخدمة حتى اليوم. ^[134] لمدة عشرين عامًا، كان فون نيومان يُعتبر "السيد بلا منازع" في هذا المجال. ^[116] كانت هذه التطورات مدفوعة في المقام الأول بالاحتياجات في ميكانيكا الكم حيث أدرك فون نيومان الحاجة إلى توسيع النظرية الطيفية للمشغلين الهيرميتيين من الحالة المحدودة إلى الحالة غير المحدودة . ^[135] تشمل الإنجازات الرئيسية الأخرى في هذه الأوراق توضيحًا كاملاً للنظرية الطيفية للمشغلات الطبيعية ، والعرض المجرد الأول لأثر المشغل الموجب ، [ ^{136] [137]} تعميمًا لعرض ريز لنظريات هيلبرت الطيفية في ذلك الوقت، واكتشاف المشغلات الهيرميتية في فضاء هيلبرت، على عكس المشغلات المترافقة ذاتيًا ، مما مكنه من إعطاء وصف لجميع المشغلات الهيرميتية التي تمتد إلى مشغل هيرميتي معين. كتب ورقة تفصل كيف يمكن استخدامكانت المصفوفات اللانهائية ، الشائعة في ذلك الوقت في نظرية الطيف، غير كافية كتمثيل للمشغلات الهيرميتية. أدى عمله في نظرية المشغلات إلى اختراعه الأعمق في الرياضيات البحتة، دراسة جبر فون نيومان وبشكل عام جبر المشغلات . ^[138]

أدى عمله اللاحق في حلقات المشغلات إلى إعادة النظر في عمله في نظرية الطيف وتوفير طريقة جديدة للعمل من خلال المحتوى الهندسي باستخدام التكاملات المباشرة لمساحات هيلبرت. ^[135] كما هو الحال في عمله في نظرية القياس، أثبت العديد من النظريات التي لم يجد الوقت لنشرها. أخبر ناخمان أرونزاجن وكي تي سميث أنه في أوائل الثلاثينيات من القرن العشرين أثبت وجود فضاءات فرعية ثابتة مناسبة للمشغلات المستمرة تمامًا في فضاء هيلبرت أثناء العمل على مشكلة الفضاء الفرعي الثابت . ^[139]

بالتعاون مع آي جيه شونبيرج، كتب عدة مواد بحثت في مقاييس هيلبرت الثابتة على خط الأعداد الحقيقية ، مما أدى إلى تصنيفها بالكامل. ويكمن دافعهم في أسئلة مختلفة تتعلق بتضمين المساحات المترية في مساحات هيلبرت. ^{[140] [141]}

مع باسكوال جوردان كتب ورقة قصيرة تعطي أول اشتقاق لمعيار معين من حاصل ضرب داخلي عن طريق هوية متوازي الأضلاع . ^{[142] إن} متباينة أثره هي نتيجة رئيسية لنظرية المصفوفة المستخدمة في مشاكل تقريب المصفوفة. ^[143] كما قدم لأول مرة فكرة أن ثنائي المعيار المسبق هو معيار في أول ورقة رئيسية تناقش نظرية المعايير الثابتة الوحدوية ووظائف القياس المتماثلة (المعروفة الآن بالمعايير المطلقة المتماثلة). ^{[144] [145] [146]} تؤدي هذه الورقة بشكل طبيعي إلى دراسة المثل العليا للمشغل المتماثل وهي نقطة البداية للدراسات الحديثة لمساحات المشغل المتماثل . ^[147]

لاحقًا مع روبرت شاتن ، بدأ دراسة المشغلات النووية على فضاءات هيلبرت، ^{[148] [149]} منتجات موتر لمساحات باناخ ، ^[150] قدم ودرس مشغلات فئة التتبع ، ^[151] ومثلها العليا ، وازدواجيتها مع المشغلات المدمجة ، والازدواجية مع المشغلات المحدودة . ^{[152] كان} تعميم هذا الموضوع على دراسة المشغلات النووية على فضاءات باناخ من بين الإنجازات الأولى لألكسندر جروثينديك . ^{[153] [154]} في وقت سابق في عام 1937 نشر فون نيومان العديد من النتائج في هذا المجال، على سبيل المثال إعطاء مقياس معامل واحد لمعايير متقاطعة مختلفة وإثبات العديد من النتائج الأخرى حول ما يُعرف الآن بمثل شاتن-فون نيومان. ^[155]${\displaystyle {\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}}$

أسس فون نيومان دراسة حلقات المؤثرين، من خلال جبر فون نيومان (المسمى في الأصل جبر W*). وبينما كانت أفكاره الأصلية لحلقات المؤثرين موجودة بالفعل في عام 1930، إلا أنه لم يبدأ دراستها بعمق حتى التقى إف جيه موراي بعد عدة سنوات. ^{[156] [157]} جبر فون نيومان هو جبر *- للمؤثرين المحدودين على فضاء هيلبرت المغلق في طوبولوجيا المؤثر الضعيف ويحتوي على المؤثر المتطابق . ^[158] تُظهر نظرية ثنائي التبديل لفون نيومان أن التعريف التحليلي يعادل التعريف الجبري البحت لكونه مساوٍ لثنائي التبديل . ^[159] بعد توضيح دراسة حالة الجبر التبادلي ، شرع فون نيومان في عام 1936، بالتعاون الجزئي مع موراي، في الحالة غير التبادلية ، في الدراسة العامة لتصنيف عوامل جبر فون نيومان. تُعتبر الأوراق الست الرئيسية التي طور فيها تلك النظرية بين عامي 1936 و1940 "من بين روائع التحليل في القرن العشرين"؛ ^[160] فهي تجمع العديد من النتائج الأساسية وبدأت العديد من البرامج في نظرية الجبر العامل التي عمل عليها علماء الرياضيات لعقود بعد ذلك. ومن الأمثلة على ذلك تصنيف العوامل . ^[161] بالإضافة إلى ذلك، أثبت في عام 1938 أن كل جبر فون نيومان على فضاء هيلبرت القابل للفصل هو تكامل مباشر للعوامل؛ ولم يجد الوقت لنشر هذه النتيجة حتى عام 1949. ^{[162] [163]} ترتبط جبر فون نيومان ارتباطًا وثيقًا بنظرية التكامل غير التبادلي، وهو الأمر الذي ألمح إليه فون نيومان في عمله ولكنه لم يكتبه صراحةً. ^{[164] [165]} نُشرت نتيجة مهمة أخرى حول التحلل القطبي في عام 1932. ^[166]

بين عامي 1935 و1937، عمل فون نيومان على نظرية الشبكة ، وهي نظرية المجموعات المرتبة جزئيًا حيث يكون لكل عنصرين حد أدنى أعظمي وحد أعلى أدنى. وكما كتب جاريت بيركهوف ، "لقد أشرق عقل جون فون نيومان اللامع على نظرية الشبكة مثل النيزك". ^[167] جمع فون نيومان بين الهندسة الإسقاطية التقليدية والجبر الحديث ( الجبر الخطي ، ونظرية الحلقات ، ونظرية الشبكة). يمكن بعد ذلك تفسير العديد من النتائج الهندسية السابقة في حالة الوحدات العامة على الحلقات. أرسى عمله الأساس لبعض الأعمال الحديثة في الهندسة الإسقاطية. ^[168]

كانت مساهمته الأكبر هي تأسيس مجال الهندسة المستمرة . ^[169] وقد تبع ذلك عمله الرائد في حلقات المشغلات. في الرياضيات، الهندسة المستمرة هي بديل للهندسة الإسقاطية المعقدة، حيث يمكن أن تكون عنصرًا من فاصل الوحدة بدلاً من أن يكون بُعد الفضاء الفرعي في مجموعة منفصلة . في وقت سابق، قام مينجر وبيركهوف بتوضيح الهندسة الإسقاطية المعقدة من حيث خصائص شبكتها من الفضاءات الفرعية الخطية . أضعف فون نيومان، بعد عمله في حلقات المشغلات، تلك البديهيات لوصف فئة أوسع من الشبكات، وهي الهندسة المستمرة. ${\displaystyle 0,1,...,{\mathit {n}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

في حين أن أبعاد الفضاءات الجزئية للهندسة الإسقاطية عبارة عن مجموعة منفصلة ( الأعداد الصحيحة غير السالبة )، فإن أبعاد عناصر الهندسة المستمرة يمكن أن تتراوح بشكل مستمر عبر الفاصل الوحدوي . كان فون نيومان مدفوعًا باكتشافه لجبر فون نيومان مع دالة البعد التي تأخذ نطاقًا مستمرًا من الأبعاد، وكان أول مثال للهندسة المستمرة بخلاف الفضاء الإسقاطي هو إسقاطات عامل النوع الثاني فائق النهاية . ^{[170] [171]}${\displaystyle [0,1]}$

في عمل نظري أكثر نقاءً في الشبكة، حل المشكلة الصعبة المتمثلة في توصيف فئة (الهندسة الإسقاطية ذات الأبعاد المستمرة على حلقة تقسيم عشوائية ) بلغة مجردة لنظرية الشبكة. ^[172] قدم فون نيومان استكشافًا تجريديًا للأبعاد في الشبكات الطوبولوجية المعيارية المكملة المكتملة (الخصائص التي تنشأ في شبكات الفضاءات الفرعية لمساحات المنتج الداخلية ):${\displaystyle {\mathit {CG(F)}}}$ ${\displaystyle {\mathit {F}}\,}$

يتم تحديد البعد، حتى التحويل الخطي الإيجابي، من خلال الخاصيتين التاليتين. يتم الحفاظ عليه من خلال تعيينات المنظور ("المنظورات") ويتم ترتيبه حسب التضمين. يتعلق الجزء الأعمق من الإثبات بتكافؤ المنظور مع "الإسقاط عن طريق التحلل" - والذي يعد نتيجة تكميلية له هو انتقال المنظور.

بالنسبة لأي عدد صحيح، تكون الهندسة الإسقاطية المجردة ذات الأبعاد المتماثلة مع الشبكة الفرعية للفضاء المتجهي ذي الأبعاد المتماثلة على حلقة تقسيم (فريدة) مقابلة . يُعرف هذا باسم نظرية فيبلين-يونج . وسّع فون نيومان هذه النتيجة الأساسية في الهندسة الإسقاطية إلى الحالة ذات الأبعاد المستمرة. ^{[173] حفزت} نظرية التنسيق هذه قدرًا كبيرًا من العمل في الهندسة الإسقاطية المجردة ونظرية الشبكة، واستمر الكثير منها باستخدام تقنيات فون نيومان. ^{[168] [174]} وصف بيركهوف هذه النظرية على النحو التالي:${\displaystyle n>3}$${\displaystyle {\mathit {n}}}$${\displaystyle {\mathit {n}}}$ ${\displaystyle V_{n}(F)}$${\displaystyle F}$

إن أي شبكة متكاملة معيارية L لها "أساس" من n ≥ 4 عناصر منظورية زوجية، تكون متماثلة مع الشبكة ℛ( R ) لجميع المثل العليا اليمنى الرئيسية لحلقة منتظمة مناسبة R. هذا الاستنتاج هو تتويج لـ 140 صفحة من الجبر الرائع والحاسم الذي يتضمن بديهيات جديدة تمامًا. أي شخص يرغب في الحصول على انطباع لا يُنسى عن حافة شفرة الحلاقة لعقل فون نيومان، ما عليه سوى محاولة متابعة هذه السلسلة من التفكير الدقيق بنفسه - مدركًا أن خمس صفحات منها غالبًا ما كانت تُكتب قبل الإفطار، جالسًا على طاولة الكتابة في غرفة المعيشة مرتديًا رداء الحمام. ^[175]

تطلب هذا العمل إنشاء حلقات منتظمة . ^[176] حلقة فون نيومان المنتظمة هي حلقة حيث يوجد لكل عنصر بحيث . ^[175] جاءت هذه الحلقات من أعماله في جبر فون نيومان، بالإضافة إلى جبر AW* وأنواع مختلفة من جبر C*، ولها صلات بها . ^[177]${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle axa=a}$

تم إثبات العديد من النتائج التقنية الأصغر حجمًا أثناء إنشاء وإثبات النظريات المذكورة أعلاه، وخاصة فيما يتعلق بالتوزيع (مثل التوزيع اللانهائي)، حيث قام فون نيومان بتطويرها حسب الحاجة. كما طور نظرية للتقييمات في الشبكات، وشارك في تطوير النظرية العامة للشبكات المترية . ^[178]

أشار بيركهوف في مقاله الذي نشر بعد وفاته عن فون نيومان إلى أن معظم هذه النتائج تم تطويرها في فترة عمل مكثفة استمرت عامين، وأنه في حين استمرت اهتماماته في نظرية الشبكة بعد عام 1937، فقد أصبحت هامشية وظهرت بشكل أساسي في رسائل إلى علماء رياضيات آخرين. كانت المساهمة الأخيرة في عام 1940 في ندوة مشتركة أجراها مع بيركهوف في معهد الدراسات المتقدمة حول هذا الموضوع حيث طور نظرية الحلقات المرتبة ذات الشبكة الكاملة سيجما. لم يكتب العمل للنشر أبدًا. ^[179]

قدم فون نيومان مساهمات أساسية في الإحصاء الرياضي . في عام 1941، استنتج التوزيع الدقيق لنسبة متوسط ​​مربع الاختلافات المتتالية إلى تباين العينة للمتغيرات المستقلة والموزعة بشكل طبيعي . ^[180] تم تطبيق هذه النسبة على المتبقيات من نماذج الانحدار وهي معروفة عمومًا باسم إحصاء دوربين واتسون ^{[181] لاختبار الفرضية الصفرية القائلة بأن الأخطاء مستقلة تسلسليًا مقابل البديل القائل بأنها تتبع} انحدارًا ذاتيًا ثابتًا من الدرجة الأولى . ^[181]

بعد ذلك، قام دينيس سارجان وألوك بهارجافا بتوسيع النتائج لاختبار ما إذا كانت الأخطاء في نموذج الانحدار تتبع مسارًا عشوائيًا غاوسيًا ( أي تمتلك جذر وحدة ) مقابل البديل القائل بأنها انحدار ذاتي ثابت من الدرجة الأولى. ^[182]

في سنواته الأولى، نشر فون نيومان العديد من الأوراق المتعلقة بالتحليل الحقيقي لنظرية المجموعات ونظرية الأعداد. ^[183] ​​في ورقة من عام 1925، أثبت أنه لأي تسلسل كثيف من النقاط في ، يوجد إعادة ترتيب لتلك النقاط موزعة بشكل موحد . ^{[184] [185] [186]} في عام 1926 كان منشوره الوحيد حول نظرية بروفر للأعداد الجبرية المثالية حيث وجد طريقة جديدة لبنائها، وبالتالي توسيع نظرية بروفر إلى مجال جميع الأعداد الجبرية ، وأوضح علاقتها بالأعداد p-adic . ^{[187] [188] [189] [190] [191]} في عام 1928 نشر ورقتين إضافيتين متواصلتين مع هذه الموضوعات. تناولت الأولى تقسيم الفاصلة إلى مجموعات فرعية متطابقة قابلة للعد . حلت مشكلة هوغو شتاينهاوس التي تساءل فيها عما إذا كانت الفاصلة قابلة للقسمة. أثبت فون نيومان أن جميع الفترات، نصف المفتوحة أو المفتوحة أو المغلقة، قابلة للقسمة عن طريق الترجمات (أي أنه يمكن تحليل هذه الفترات إلى مجموعات فرعية متطابقة عن طريق الترجمات). ^{[192] [193] [194] [ 195]} تناولت ورقته التالية تقديم دليل بناء بدون بديهية الاختيار بأن الأعداد الحقيقية المستقلة جبريًا موجودة. أثبت أن مستقلة جبريًا لـ . وبالتالي، توجد مجموعة كاملة مستقلة جبريًا من الأعداد الحقيقية بحجم المتصل . ^{[196] [197] [198] [199]} تتضمن النتائج الثانوية الأخرى من حياته المهنية المبكرة إثبات مبدأ الحد الأقصى لمنحدر دالة التقليل في مجال حساب المتغيرات ، ^{[200] [201] [202] [203]} وتبسيط صغير لنظرية هيرمان مينكوفسكي للأشكال الخطية في نظرية الأعداد الهندسية . ^{[204] [205] [206]} في وقت لاحق من حياته المهنية، كتب مع باسكوال جوردان ويوجين ويجنر ورقة أساسية لتصنيف جميع جبر جوردان الحقيقي الرسمي ذي الأبعاد المحدودة واكتشاف جبر ألبرت أثناء محاولته البحث عن جبر أفضل.${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}}$${\displaystyle r>0}$ الصيغة الرياضية لنظرية الكم . ^{[207] [208]} في عام 1936 حاول تعزيز برنامج استبدال بديهيات برنامج هيلبرت الفضائي السابق بتلك الخاصة بجبر جوردان ^[209] في ورقة بحثية تبحث في الحالة اللانهائية الأبعاد؛ كان يخطط لكتابة ورقة بحثية أخرى على الأقل حول هذا الموضوع ولكنه لم يفعل ذلك أبدًا. ^[210] ومع ذلك، شكلت هذه البديهيات الأساس لمزيد من التحقيقات في ميكانيكا الكم الجبرية التي بدأها إيرفينج سيجال . ^{[211] [212]}

كان فون نيومان أول من وضع إطارًا رياضيًا صارمًا لميكانيكا الكم ، والمعروف باسم مسلمات ديراك-فون نيومان ، في عمله المؤثر عام 1932 الأسس الرياضية لميكانيكا الكم . ^[213] بعد الانتهاء من بديهية نظرية المجموعة، بدأ في مواجهة بديهية ميكانيكا الكم. أدرك في عام 1926 أنه يمكن تمثيل حالة نظام كمي بنقطة في فضاء هيلبرت (معقد) يمكن أن تكون، بشكل عام، ذات أبعاد لا نهائية حتى لجسيم واحد. في هذه الصيغة لميكانيكا الكم، يتم تمثيل الكميات القابلة للملاحظة مثل الموضع أو الزخم كمشغلات خطية تعمل على فضاء هيلبرت المرتبط بالنظام الكمومي. ^[214]

وبذلك تم تقليص فيزياء ميكانيكا الكم إلى رياضيات فضاءات هيلبرت والمشغلات الخطية المؤثرة عليها. على سبيل المثال، يتم ترجمة مبدأ عدم اليقين ، الذي بموجبه يمنع تحديد موضع الجسيم تحديد زخمه والعكس صحيح، إلى عدم قابلية التبادل للمشغلين المتقابلين. تضمنت هذه الصيغة الرياضية الجديدة كحالات خاصة صياغات كل من هايزنبيرج وشرودنغر. ^[214]

سمح العلاج المجرد لفون نيومان له بمواجهة القضية الأساسية للحتمية مقابل عدم الحتمية، وفي الكتاب قدم دليلاً على أن النتائج الإحصائية لميكانيكا الكم لا يمكن أن تكون متوسطات لمجموعة أساسية من "المتغيرات الخفية" المحددة، كما هو الحال في الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية. في عام 1935، نشرت جريت هيرمان ورقة بحثية زعمت أن الدليل يحتوي على خطأ مفاهيمي وبالتالي فهو غير صالح. ^[215] تم تجاهل عمل هيرمان إلى حد كبير حتى بعد أن قدم جون إس. بيل نفس الحجة بشكل أساسي في عام 1966. ^[216] في عام 2010، جادل جيفري بوب بأن بيل أساء تفسير دليل فون نيومان، وأشار إلى أن الدليل، على الرغم من أنه غير صالح لجميع نظريات المتغيرات المخفية ، يستبعد مجموعة فرعية محددة جيدًا ومهمة. يقترح بوب أيضًا أن فون نيومان كان على دراية بهذا القيد ولم يزعم أن دليله استبعد تمامًا نظريات المتغيرات المخفية. ^[217] إن صحة حجة بوب، بدورها، محل نزاع. فقد قدمت نظرية جليسون لعام 1957 حجة ضد المتغيرات الخفية على غرار نظرية فون نيومان، ولكنها تأسست على افتراضات يُنظر إليها على أنها ذات دوافع أفضل وأكثر أهمية من الناحية المادية. ^{[218] [219]}

لقد افتتح دليل فون نيومان خطًا من الأبحاث أدى في النهاية، من خلال نظرية بيل وتجارب آلان أسبكت في عام 1982، إلى إثبات أن الفيزياء الكمومية تتطلب إما مفهومًا للواقع يختلف بشكل كبير عن مفهوم الفيزياء الكلاسيكية، أو يجب أن تتضمن عدم المحلية في انتهاك واضح للنسبية الخاصة. ^[220]

في أحد فصول كتاب الأسس الرياضية لميكانيكا الكم ، قام فون نيومان بتحليل عميق لما يسمى بمشكلة القياس . وخلص إلى أن الكون المادي بأكمله يمكن أن يخضع لدالة الموجة العالمية . وبما أن هناك حاجة إلى شيء "خارج الحساب" لانهيار دالة الموجة، فقد خلص فون نيومان إلى أن الانهيار كان بسبب وعي المجرب. وزعم أن رياضيات ميكانيكا الكم تسمح بوضع انهيار دالة الموجة في أي موضع في السلسلة السببية من جهاز القياس إلى "الوعي الذاتي" للمراقب البشري. بعبارة أخرى، في حين يمكن رسم الخط الفاصل بين المراقب والمُلاحظ في أماكن مختلفة، فإن النظرية لا معنى لها إلا إذا كان المراقب موجودًا في مكان ما. ^[221] على الرغم من قبول يوجين ويجنر لفكرة أن الوعي يسبب الانهيار، ^[222] إلا أن تفسير فون نيومان-ويجنر لم يحظ أبدًا بالقبول بين غالبية الفيزيائيين. ^[223]

على الرغم من أن نظريات ميكانيكا الكم تستمر في التطور، إلا أن الإطار الأساسي للصيغة الرياضية للمشاكل في ميكانيكا الكم التي تقوم عليها معظم المناهج يمكن إرجاعه إلى الصياغات والتقنيات الرياضية التي استخدمها فون نيومان لأول مرة. تُجرى المناقشات حول تفسير النظرية ، والتوسعات الخاصة بها، الآن في الغالب على أساس افتراضات مشتركة حول الأسس الرياضية. ^[213]

في عام 1974، قال الفيزيائي الرياضي آرثر وايتمان إن بديهيته لنظرية الكم كانت ربما أهم بديهية لنظرية فيزيائية حتى الآن، وذلك بالنظر إلى عمل فون نيومان في ميكانيكا الكم كجزء من تحقيق مشكلة هيلبرت السادسة . ومع كتابه الصادر عام 1932، أصبحت ميكانيكا الكم نظرية ناضجة بمعنى أنها كانت ذات شكل رياضي دقيق، مما سمح بإجابات واضحة للمشاكل المفاهيمية. ^[224] ومع ذلك، شعر فون نيومان في سنواته الأخيرة أنه فشل في هذا الجانب من عمله العلمي لأنه على الرغم من كل الرياضيات التي طورها، إلا أنه لم يجد إطارًا رياضيًا مرضيًا لنظرية الكم ككل. ^{[225] [226]}

تُستخدم إنتروبيا فون نيومان على نطاق واسع في أشكال مختلفة ( الإنتروبيا الشرطية ، والإنتروبيا النسبية ، وما إلى ذلك) في إطار نظرية المعلومات الكمومية . ^[227] وتستند مقاييس التشابك إلى بعض الكميات المرتبطة مباشرة بإنتروبيا فون نيومان. وبالنظر إلى مجموعة إحصائية من الأنظمة الميكانيكية الكمومية مع مصفوفة الكثافة ، فإنها تُعطى بواسطة يمكن أيضًا تعميم العديد من نفس مقاييس الإنتروبيا في نظرية المعلومات الكلاسيكية على الحالة الكمومية، مثل إنتروبيا هوليفو ^[228] والإنتروبيا الكمومية الشرطية . تهتم نظرية المعلومات الكمومية إلى حد كبير بتفسير واستخدامات إنتروبيا فون نيومان، وهو حجر الزاوية في تطوير الأولى؛ تنطبق إنتروبيا شانون على نظرية المعلومات الكلاسيكية. ^[229]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).\,}$

تم تقديم صيغة مشغلات الكثافة والمصفوفات بواسطة فون نيومان ^[230] في عام 1927 وبشكل مستقل، ولكن بشكل أقل منهجية بواسطة ليف لاندو ^[231] وفيليكس بلوخ ^[232] في عامي 1927 و1946 على التوالي. تسمح مصفوفة الكثافة بتمثيل الخلطات الاحتمالية للحالات الكمومية ( الحالات المختلطة ) على النقيض من الدوال الموجية ، والتي لا يمكنها تمثيل الحالات النقية إلا . ^[233]

يمثل مخطط قياس فون نيومان ، السلف لنظرية إزالة التماسك الكمومي ، القياسات إسقاطيًا من خلال مراعاة جهاز القياس الذي يُعامل أيضًا ككائن كمي. أدى مخطط "القياس الإسقاطي" الذي قدمه فون نيومان إلى تطوير نظريات إزالة التماسك الكمومي. ^{[234] [235]}

اقترح فون نيومان لأول مرة منطقًا كميًا في أطروحته عام 1932 الأسس الرياضية لميكانيكا الكم ، حيث لاحظ أن الإسقاطات على فضاء هيلبرت يمكن اعتبارها مقترحات حول الملاحظات الفيزيائية. تم تدشين مجال المنطق الكمي لاحقًا في ورقة عام 1936 بواسطة فون نيومان وجاريت بيركهوف، أول من قدم المنطق الكمي، ^[236] حيث أثبت فون نيومان وبيركهوف لأول مرة أن ميكانيكا الكم تتطلب حسابًا قياسيًا مختلفًا بشكل كبير عن جميع المنطق الكلاسيكي وعزلوا بدقة بنية جبرية جديدة للمنطق الكمي. تم تحديد مفهوم إنشاء حساب قياسي للمنطق الكمي لأول مرة في قسم قصير في عمل فون نيومان عام 1932، ولكن في عام 1936، تم إثبات الحاجة إلى حساب قياسي جديد من خلال العديد من البراهين. على سبيل المثال، لا يمكن للفوتونات المرور عبر مرشحين متتاليين مستقطبين بشكل عمودي (على سبيل المثال، أفقيًا ورأسيًا)، وبالتالي، من باب أولى ، لا يمكنها المرور إذا تمت إضافة مرشح ثالث مستقطب قطريًا إلى الاثنين الآخرين، إما قبلهما أو بعدهما في التعاقب، ولكن إذا تمت إضافة المرشح الثالث بين الاثنين الآخرين، فإن الفوتونات ستمر بالفعل. يمكن ترجمة هذه الحقيقة التجريبية إلى المنطق باعتبارها عدم قابلية الاقتران للتبديل . كما تم إثبات أن قوانين توزيع المنطق الكلاسيكي، و ، ليست صالحة لنظرية الكم. ^[237]${\displaystyle (A\land B)\neq (B\land A)}$${\displaystyle P\lor (Q\land R)={}}$${\displaystyle (P\lor Q)\land (P\lor R)}$${\displaystyle P\land (Q\lor R)={}}$${\displaystyle (P\land Q)\lor (P\land R)}$

السبب وراء ذلك هو أن الانفصال الكمومي، على عكس حالة الانفصال الكلاسيكي، يمكن أن يكون صحيحًا حتى عندما يكون كلا الانفصالين خاطئين وهذا بدوره يعزى إلى حقيقة أنه في كثير من الأحيان تكون الحالة في ميكانيكا الكم أن زوجًا من البدائل محددًا دلاليًا، في حين أن كل من أعضائه غير محدد بالضرورة. وبالتالي، يجب استبدال قانون التوزيع للمنطق الكلاسيكي بشرط أضعف. ^[237] بدلاً من الشبكة التوزيعية، تشكل المقترحات حول نظام كمي شبكة متعامدة معيارية متماثلة مع شبكة الفضاءات الفرعية لفضاء هيلبرت المرتبط بهذا النظام. ^[238]

ومع ذلك، لم يكن راضيًا أبدًا عن عمله في المنطق الكمومي. كان ينوي أن يكون توليفة مشتركة بين المنطق الرسمي ونظرية الاحتمالات وعندما حاول كتابة ورقة لمحاضرة هنري جوزيف التي ألقاها في جمعية واشنطن الفلسفية في عام 1945، وجد أنه لا يستطيع ذلك، خاصة وأنه كان مشغولاً بأعمال الحرب في ذلك الوقت. أثناء خطابه في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات عام 1954 ، ذكر هذه القضية باعتبارها واحدة من المشكلات غير المحلولة التي يمكن لعلماء الرياضيات في المستقبل العمل عليها. ^{[239] [240]}

قدم فون نيومان مساهمات أساسية في مجال ديناميكا الموائع ، بما في ذلك حل التدفق الكلاسيكي لموجات الانفجار ، ^[241] والاكتشاف المشترك (بشكل مستقل من قبل ياكوف بوريسوفيتش زيلدوفيتش وفيرنر دورينج ) لنموذج تفجير ZND للمتفجرات. ^[242] خلال ثلاثينيات القرن العشرين، أصبح فون نيومان مرجعًا في الرياضيات الخاصة بالشحنات المشكلة . ^[243]

في وقت لاحق، طور فون نيومان مع روبرت د. ريتشماير خوارزمية لتحديد اللزوجة الاصطناعية والتي حسنت فهم موجات الصدمة . عندما حلت أجهزة الكمبيوتر مشاكل الهيدروديناميكية أو الديناميكية الهوائية، وضعت الكثير من نقاط الشبكة الحسابية في مناطق انقطاع حاد (موجات الصدمة). عملت رياضيات اللزوجة الاصطناعية على تنعيم انتقال الصدمة دون التضحية بالفيزياء الأساسية. ^[244]

سرعان ما طبق فون نيومان النمذجة الحاسوبية في الميدان، حيث طور برامج لأبحاثه الباليستية. خلال الحرب العالمية الثانية، اقترب من آر إتش كينت، مدير مختبر أبحاث الباليستية التابع للجيش الأمريكي ، ببرنامج كمبيوتر لحساب نموذج أحادي البعد لـ 100 جزيء لمحاكاة موجة الصدمة. ألقى فون نيومان ندوة حول برنامجه لجمهور ضم صديقه ثيودور فون كارمان . بعد أن انتهى فون نيومان، قال فون كارمان "بالطبع أنت تدرك أن لاجرانج استخدم أيضًا نماذج رقمية لمحاكاة ميكانيكا المتصل ". لم يكن فون نيومان على علم بميكانيكا التحليل لاغرانج . ^[245]

على الرغم من أنه لم يكن غزير الإنتاج في الفيزياء كما كان في الرياضيات، إلا أنه قدم مع ذلك العديد من المساهمات الأخرى الجديرة بالملاحظة. اعتُبرت أوراقه الرائدة مع سوبرامانيان شاندراسيخار حول إحصائيات المجال الجاذبي المتقلب الناتج عن النجوم الموزعة عشوائيًا بمثابة جولة قوة . ^[246] في هذه الورقة، طوروا نظرية استرخاء الجسمين ^[247] واستخدموا توزيع هولتسمارك لنمذجة ^[248] ديناميكيات الأنظمة النجمية . ^[249] كتب العديد من المخطوطات الأخرى غير المنشورة حول مواضيع في بنية النجوم ، وقد تم تضمين بعضها في أعمال شاندراسيخار الأخرى. ^{[250] [251]} في العمل السابق الذي قاده أوزوالد فيبلين، ساعد فون نيومان في تطوير أفكار أساسية تتضمن المغزلات التي من شأنها أن تؤدي إلى نظرية تويستور لروجر بنروز . ^{[252] [253]} تم القيام بالكثير من هذا في ندوات عقدت في IAS خلال ثلاثينيات القرن العشرين. ^[254] ومن هذا العمل كتب ورقة مع إيه إتش تاوب وفيبلين لتوسيع معادلة ديراك إلى النسبية الإسقاطية ، مع التركيز الأساسي على الحفاظ على الثبات فيما يتعلق بتحويلات الإحداثيات والدوران والقياس ، كجزء من البحث المبكر في النظريات المحتملة للجاذبية الكمومية في ثلاثينيات القرن العشرين. ^[255] وفي نفس الفترة الزمنية قدم عدة مقترحات لزملائه للتعامل مع المشاكل في نظرية المجال الكمومي التي تم إنشاؤها حديثًا ولتكميم الزمكان؛ ومع ذلك، لم يعتبر زملاؤه وهو الأفكار مثمرة ولم يسعوا إليها. ^{[256] [257] [258] ومع ذلك، فقد حافظ على بعض الاهتمام على الأقل، في عام 1940 كتب مخطوطة عن} معادلة ديراك في فضاء دي سيتر . ^[259]

أسس فون نيومان مجال نظرية الألعاب كفرع رياضي. ^[260] وقد أثبت نظريته عن الحد الأدنى للقيمة القصوى في عام 1928. وتنص هذه النظرية على أنه في الألعاب ذات المحصلة الصفرية ذات المعلومات الكاملة (أي التي يعرف فيها اللاعبون في كل مرة جميع التحركات التي حدثت حتى الآن)، يوجد زوج من الاستراتيجيات لكلا اللاعبين تسمح لكل منهما بتقليل خسائره القصوى. ^[261] وتسمى هذه الاستراتيجيات الأمثل . أظهر فون نيومان أن الحد الأدنى للقيمة القصوى متساوٍ (في القيمة المطلقة) ومتضاد (في الإشارة). وقد قام بتحسين وتوسيع نظرية الحد الأدنى للقيمة القصوى لتشمل الألعاب التي تنطوي على معلومات غير كاملة والألعاب التي تضم أكثر من لاعبين، ونشر هذه النتيجة في كتابه نظرية الألعاب والسلوك الاقتصادي لعام 1944 ، الذي كتبه مع أوسكار مورغنسترن . وكان الاهتمام العام بهذا العمل كبيرًا لدرجة أن صحيفة نيويورك تايمز نشرت قصة على الصفحة الأولى. ^[262] في هذا الكتاب، أعلن فون نيومان أن النظرية الاقتصادية تحتاج إلى استخدام التحليل الوظيفي ، وخاصة المجموعات المحدبة ونظرية النقطة الثابتة الطوبولوجية ، بدلاً من حساب التفاضل التقليدي، لأن عامل الحد الأقصى لا يحافظ على الدوال القابلة للتفاضل. ^[260]

كانت تقنيات فون نيومان التحليلية الوظيفية - استخدام أزواج ثنائية من مساحات المتجهات الحقيقية لتمثيل الأسعار والكميات، واستخدام المستويات الفائقة الداعمة والفاصلة والمجموعات المحدبة، ونظرية النقطة الثابتة - أدوات أساسية في الاقتصاد الرياضي منذ ذلك الحين. ^[263]

رفع فون نيومان المستوى الرياضي للاقتصاد في العديد من المنشورات المؤثرة. بالنسبة لنموذجه للاقتصاد المتوسع، أثبت وجود وفرادة التوازن باستخدام تعميمه لنظرية النقطة الثابتة لبروير . ^[260] اعتبر نموذج فون نيومان للاقتصاد المتوسع قلم الرصاص المصفوفة  A  − λ B مع المصفوفات غير السلبية  A و B ؛ سعى فون نيومان إلى متجهات الاحتمالات p و  q وعدد موجب  λ من شأنه أن يحل معادلة التكامل جنبًا إلى جنب مع نظامين من عدم المساواة يعبران عن الكفاءة الاقتصادية. في هذا النموذج، يمثل متجه الاحتمال ( المنقول ) p أسعار السلع بينما يمثل متجه الاحتمال q "الكثافة" التي ستجري بها عملية الإنتاج. يمثل الحل الفريد λ عامل النمو الذي يساوي 1 بالإضافة إلى معدل نمو الاقتصاد؛ معدل النمو يساوي سعر الفائدة . ^{[264] [265]}  ${\displaystyle p^{T}(A-\lambda B)q=0}$

وقد نُظر إلى نتائج فون نيومان على أنها حالة خاصة من البرمجة الخطية ، حيث يستخدم نموذجه مصفوفات غير سالبة فقط. ولا تزال دراسة نموذجه للاقتصاد المتوسع تثير اهتمام خبراء الاقتصاد الرياضي. ^{[266] [267]} وقد أطلق العديد من المؤلفين على هذه الورقة أعظم ورقة في الاقتصاد الرياضي، حيث أدركوا أنها قدمت نظريات النقطة الثابتة، والتفاوتات الخطية ، والتراخي التكميلي ، وثنائية النقطة السرجية . ^[268] وفي وقائع مؤتمر حول نموذج نمو فون نيومان، قال بول صامويلسون إن العديد من علماء الرياضيات طوروا أساليب مفيدة لخبراء الاقتصاد، لكن فون نيومان كان فريدًا من نوعه في تقديم مساهمات كبيرة في النظرية الاقتصادية نفسها. ^[269] إن الأهمية الدائمة للعمل على التوازنات العامة ومنهجية نظريات النقطة الثابتة تتجلى في منح جوائز نوبل في عام 1972 لكينيث أرو ، وفي عام 1983 لجيرارد ديبرو ، وفي عام 1994 لجون ناش الذي استخدم نظريات النقطة الثابتة لإنشاء توازنات للألعاب غير التعاونية ولمشاكل المساومة في أطروحته للدكتوراه. كما استخدم أرو وديبرو البرمجة الخطية، كما فعل الحائزون على جائزة نوبل تجالينج كوبمانز وليونيد كانتوروفيتش وفاسيلي ليونتيف وبول صامويلسون وروبرت دورفمان وروبرت سولو وليونيد هورويتز . ^[270]

بدأ اهتمام فون نيومان بالموضوع أثناء إلقائه محاضرات في برلين في عامي 1928 و1929. أمضى الصيف في بودابست، كما فعل الخبير الاقتصادي نيكولاس كالدور ؛ أوصى كالدور فون نيومان بقراءة كتاب للخبير الاقتصادي الرياضي ليون والراس . لاحظ فون نيومان أن نظرية التوازن العام لوالراس وقانون والراس ، والتي أدت إلى أنظمة من المعادلات الخطية المتزامنة، يمكن أن تنتج النتيجة السخيفة المتمثلة في إمكانية تعظيم الربح عن طريق إنتاج وبيع كمية سلبية من المنتج. استبدل المعادلات بالتفاوتات، وأدخل التوازنات الديناميكية، من بين أشياء أخرى، وأنتج ورقته في النهاية. ^[271]

بناءً على نتائجه في ألعاب المصفوفات ونموذجه للاقتصاد المتوسع، اخترع فون نيومان نظرية الثنائية في البرمجة الخطية عندما وصف جورج دانتزيج عمله في بضع دقائق، وطلب منه فون نيومان غير الصبور أن يصل إلى النقطة. ثم استمع دانتزيج مذهولًا بينما قدم فون نيومان محاضرة لمدة ساعة حول المجموعات المحدبة ونظرية النقطة الثابتة والثنائية، مفترضًا التكافؤ بين ألعاب المصفوفات والبرمجة الخطية. ^[272]

لاحقًا، اقترح فون نيومان طريقة جديدة للبرمجة الخطية ، باستخدام النظام الخطي المتجانس لبول جوردان (1873)، والذي تم تعميمه لاحقًا بواسطة خوارزمية كارماركار . استخدمت طريقة فون نيومان خوارزمية دوارة بين المبسطات ، مع تحديد قرار الدوران بواسطة مشكلة فرعية غير سالبة للمربعات الصغرى مع قيد محدب ( إسقاط المتجه الصفري على الغلاف المحدب للمبسط النشط). كانت خوارزمية فون نيومان أول طريقة نقطة داخلية للبرمجة الخطية. ^[273]

كان فون نيومان شخصية مؤسسة في مجال الحوسبة ، ^[274] مع مساهمات كبيرة في تصميم أجهزة الكمبيوتر، وعلوم الكمبيوتر النظرية ، والحوسبة العلمية ، وفلسفة علوم الكمبيوتر .

استشار فون نيومان مختبر أبحاث الباليستية التابع للجيش ، وخاصة في مشروع ENIAC ، ^[275] كعضو في لجنته الاستشارية العلمية. ^[276] على الرغم من أن بنية البرنامج المخزن ذات الذاكرة الفردية تسمى عادةً بنية فون نيومان ، إلا أن البنية كانت تستند إلى عمل جيه بريسبر إيكرت وجون ماوتشلي ، مخترعي ENIAC وخليفته، EDVAC . أثناء استشارته لمشروع EDVAC في جامعة بنسلفانيا ، كتب فون نيومان مسودة أولية غير مكتملة لتقرير عن EDVAC . وصفت الورقة، التي أبطل توزيعها المبكر ادعاءات براءة اختراع إيكرت وماوتشلي، جهاز كمبيوتر يخزن كل من بياناته وبرنامجه في نفس مساحة العنوان، على عكس أقدم أجهزة الكمبيوتر التي خزنت برامجها بشكل منفصل على شريط ورقي أو لوحات توصيل . أصبحت هذه البنية أساسًا لمعظم تصميمات الكمبيوتر الحديثة. ^[277]

بعد ذلك، صمم فون نيومان جهاز IAS في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون، نيو جيرسي. ورتب تمويله، وتم تصميم المكونات وبناؤها في مختبر أبحاث RCA القريب. أوصى فون نيومان بأن يتضمن جهاز IBM 701 ، الملقب بحاسوب الدفاع ، أسطوانة مغناطيسية. كان إصدارًا أسرع من جهاز IAS وشكل الأساس لجهاز IBM 704 الناجح تجاريًا . ^{[278] [279]}

كان فون نيومان هو مخترع خوارزمية الفرز بالدمج في عام 1945 ، حيث يتم فرز النصف الأول والثاني من المصفوفة بشكل متكرر ثم دمجهما. ^{[280] [281]}

كجزء من عمل فون نيومان في مجال القنبلة الهيدروجينية، قام هو وستانيسلاف أولام بتطوير محاكاة للحسابات الهيدروديناميكية. كما ساهم في تطوير طريقة مونت كارلو ، والتي استخدمت أرقامًا عشوائية لتقريب الحلول للمشاكل المعقدة. ^[282]

تُستخدم خوارزمية فون نيومان لمحاكاة عملة عادلة بعملة متحيزة في مرحلة "تبييض البرمجيات" لبعض مولدات الأرقام العشوائية للأجهزة . ^[283] ولأن الحصول على أرقام عشوائية "حقيقية" كان غير عملي، فقد طور فون نيومان شكلاً من أشكال العشوائية الزائفة ، باستخدام طريقة المربع الأوسط . وبرر هذه الطريقة الخام بأنها أسرع من أي طريقة أخرى تحت تصرفه، وكتب أن "أي شخص يفكر في الطرق الحسابية لإنتاج أرقام عشوائية هو بالطبع في حالة من الخطيئة". ^[283] كما لاحظ أنه عندما أخطأت هذه الطريقة، فقد فعلت ذلك بوضوح، على عكس الطرق الأخرى التي قد تكون غير صحيحة بشكل خفي. ^[283]

تم تقديم الحوسبة العشوائية بواسطة فون نيومان في عام 1953، ^[284] ولكن لم يكن من الممكن تنفيذها حتى التطورات في الحوسبة في الستينيات. [ ^{285] [286]} حوالي عام 1950 كان أيضًا من بين أول من تحدثوا عن التعقيد الزمني للحسابات ، والتي تطورت في النهاية إلى مجال نظرية التعقيد الحسابي . ^[287]

سبق التحليل الرياضي الذي أجراه فون نيومان لبنية التضاعف الذاتي اكتشاف بنية الحمض النووي. ^[289] كما يُنسب إلى أولام وفون نيومان عمومًا إنشاء مجال الأتمتة الخلوية ، بدءًا من أربعينيات القرن العشرين، كنموذج رياضي مبسط للأنظمة البيولوجية. ^[290]

في محاضرات ألقاها عامي 1948 و1949، اقترح فون نيومان آلة ذاتية التكاثر حركية . ^{[291] [292]} وبحلول عام 1952، كان يعالج المشكلة بشكل أكثر تجريدًا. فقد صمم آلة خلوية ثنائية الأبعاد متقنة من شأنها أن تصنع تلقائيًا نسخة من تكوينها الأولي من الخلايا. ^[293] وقد تم توضيح منشئ فون نيومان الشامل المستند إلى الآلة الخلوية لفون نيومان في نظريته بعد وفاته للآلات ذاتية التكاثر . [ 294 ^] لا يزال حي فون نيومان ، حيث يكون لكل خلية في شبكة ثنائية الأبعاد أربع خلايا شبكية متجاورة بشكل عمودي كجيران، مستخدمًا للآلات الخلوية الأخرى. ^[295]

يُعتبر فون نيومان "الباحث الأكثر تأثيرًا في الحوسبة العلمية على الإطلاق"، ^[296] وقد قدم العديد من المساهمات في هذا المجال، سواء من الناحية الفنية أو الإدارية. فقد طور إجراء تحليل استقرار فون نيومان ، ^[297] والذي لا يزال يستخدم بشكل شائع لتجنب تراكم الأخطاء في الطرق العددية لمعادلات التفاضل الجزئي الخطية . ^[298] وكانت ورقته مع هيرمان جولدستين في عام 1947 هي الأولى التي تصف تحليل الخطأ العكسي ، وإن كان ضمنيًا. ^[299] وكان أيضًا من أوائل من كتبوا عن طريقة جاكوبي . ^[300] وفي لوس ألاموس، كتب العديد من التقارير السرية حول حل مشاكل ديناميكيات الغاز عدديًا. ومع ذلك، فقد شعر بالإحباط بسبب الافتقار إلى التقدم في الأساليب التحليلية لهذه المشاكل غير الخطية . ونتيجة لذلك، تحول نحو الأساليب الحسابية. ^[301] وتحت تأثيره أصبحت لوس ألاموس رائدة في العلوم الحسابية خلال الخمسينيات وأوائل الستينيات. ^[302]

أدرك فون نيومان من هذا العمل أن الحوسبة لم تكن مجرد أداة للتوصل إلى حل لمشكلة عدديًا بالقوة الغاشمة ، بل يمكنها أيضًا توفير نظرة ثاقبة لحل المشكلات تحليليًا، ^[303] وأن هناك مجموعة هائلة من المشكلات العلمية والهندسية التي قد تكون أجهزة الكمبيوتر مفيدة في حلها، وأهمها المشكلات غير الخطية . ^[304] في يونيو 1945 في المؤتمر الرياضي الكندي الأول ألقى محاضرته الأولى حول الأفكار العامة حول كيفية حل المشكلات، وخاصة ديناميكيات الموائع عدديًا. ^[245] كما وصف كيف كانت أنفاق الرياح عبارة عن أجهزة كمبيوتر تناظرية في الواقع ، وكيف ستحل أجهزة الكمبيوتر الرقمية محلها وتجلب عصرًا جديدًا من ديناميكيات الموائع. وصفها جاريت بيركهوف بأنها "عرض مبيعات لا يُنسى". ووسّع هذه المحادثة مع جولدستين إلى مخطوطة "حول مبادئ آلات الحوسبة واسعة النطاق" واستخدمها للترويج لدعم الحوسبة العلمية. كما طورت أوراقه أيضًا مفاهيم عكس المصفوفات والمصفوفات العشوائية وطرق الاسترخاء الآلية لحل مشاكل القيمة الحدودية الإهليلجية . ^[305]

كجزء من بحثه في التطبيقات المحتملة لأجهزة الكمبيوتر، أصبح فون نيومان مهتمًا بالتنبؤ بالطقس، مشيرًا إلى أوجه التشابه بين المشاكل في هذا المجال وتلك التي عمل عليها أثناء مشروع مانهاتن. ^[306] في عام 1946 أسس فون نيومان "المشروع الأرصاد الجوية" في معهد الدراسات المتقدمة، وحصل على تمويل لمشروعه من مكتب الأرصاد الجوية ، وخدمات الأرصاد الجوية التابعة للقوات الجوية الأمريكية والبحرية الأمريكية. ^[307] مع كارل جوستاف روسبي ، الذي يُعتبر عالم الأرصاد الجوية النظري الرائد في ذلك الوقت، جمع مجموعة من عشرين عالم أرصاد جوية للعمل على مشاكل مختلفة في هذا المجال. ومع ذلك، نظرًا لعمله الآخر بعد الحرب، لم يكن قادرًا على تخصيص وقت كافٍ للقيادة السليمة للمشروع ولم يتم إنجاز سوى القليل.

تغير هذا عندما تولى الشاب جول جريجوري تشارني القيادة المشتركة للمشروع من روسبي. ^[308] بحلول عام 1950، كتب فون نيومان وتشارني أول برنامج نمذجة مناخية في العالم، واستخدماه لإجراء أول توقعات جوية رقمية في العالم على كمبيوتر إينياك الذي رتب فون نيومان لاستخدامه؛ ^[307] نشر فون نيومان وفريقه النتائج باسم التكامل العددي لمعادلة الدوامة الباروتروبية . ^[309] لعبوا معًا دورًا رائدًا في الجهود المبذولة لدمج تبادلات الطاقة والرطوبة بين البحر والهواء في دراسة المناخ. ^[310] على الرغم من بدائية، انتشرت أخبار توقعات إينياك بسرعة في جميع أنحاء العالم وتم البدء في عدد من المشاريع الموازية في مواقع أخرى. ^[311]

في عام 1955، أقنع فون نيومان وتشارني وزملاؤهما مموليهم بفتح وحدة التنبؤ العددي المشترك للطقس (JNWPU) في سوتلاند بولاية ماريلاند ، والتي بدأت في التنبؤ الروتيني بالطقس في الوقت الفعلي. ^[312] بعد ذلك، اقترح فون نيومان برنامجًا بحثيًا لنمذجة المناخ:

النهج هو محاولة التنبؤات قصيرة المدى أولاً، ثم التنبؤات طويلة المدى لتلك الخصائص للدورة التي يمكن أن تستمر على مدى فترات زمنية طويلة بشكل تعسفي، وأخيرًا محاولة التنبؤ لفترات زمنية متوسطة إلى طويلة والتي تكون طويلة جدًا بحيث لا يمكن معالجتها بواسطة نظرية الهيدروديناميكية البسيطة وقصيرة جدًا بحيث لا يمكن معالجتها بواسطة مبدأ نظرية التوازن العام. ^[313]

دفعت النتائج الإيجابية لنورمان أ. فيليبس في عام 1955 إلى رد فعل فوري ونظم فون نيومان مؤتمراً في برينستون حول "تطبيق تقنيات التكامل العددي على مشكلة الدورة العامة". ومرة ​​أخرى، نظم البرنامج استراتيجيًا باعتباره برنامجًا تنبؤيًا لضمان الدعم المستمر من مكتب الأرصاد الجوية والجيش، مما أدى إلى إنشاء قسم أبحاث الدورة العامة (الآن مختبر ديناميكيات السوائل الجيوفيزيائية ) بجوار JNWPU. ^[314] واصل العمل على القضايا الفنية للنمذجة وفي ضمان التمويل المستمر لهذه المشاريع. ^[315] خلال أواخر القرن التاسع عشر، اقترح سفانتي أرينيوس أن النشاط البشري يمكن أن يتسبب في الاحتباس الحراري عن طريق إضافة ثاني أكسيد الكربون إلى الغلاف الجوي. ^[316] في عام 1955، لاحظ فون نيومان أن هذا ربما بدأ بالفعل: "ربما يكون ثاني أكسيد الكربون المنبعث في الغلاف الجوي نتيجة لحرق الصناعة للفحم والنفط - أكثر من نصفه خلال الجيل الماضي - قد غيّر تكوين الغلاف الجوي بما يكفي لتفسير ارتفاع درجة حرارة العالم بشكل عام بنحو درجة فهرنهايت واحدة." ^{[317] [318]} قادته أبحاثه في أنظمة الطقس والتنبؤ بالأرصاد الجوية إلى اقتراح التلاعب بالبيئة عن طريق نشر الملونات على القمم الجليدية القطبية لتعزيز امتصاص الإشعاع الشمسي (عن طريق تقليل البياض ) . ^{[319] [320] [319] [320]} ومع ذلك، فقد حث على توخي الحذر في أي برنامج لتعديل الغلاف الجوي:

إن ما يمكن فعله، بطبيعة الحال، ليس مؤشراً لما ينبغي فعله... والواقع أن تقييم العواقب النهائية للتبريد العام أو الاحترار العام أمر معقد. فالتغيرات من شأنها أن تؤثر على مستوى البحار، وبالتالي على صلاحية الجرف الساحلي القاري للسكنى؛ وتبخر البحار، وبالتالي مستويات هطول الأمطار والتجلد؛ وهلم جرا... ولكن لا شك أن المرء قادر على إجراء التحليلات اللازمة للتنبؤ بالنتائج، والتدخل على أي نطاق مرغوب، وتحقيق نتائج رائعة في نهاية المطاف. ^[318]

كما حذر من أن التحكم في الطقس والمناخ يمكن أن يكون له استخدامات عسكرية، حيث أخبر الكونجرس في عام 1956 أنهما يمكن أن يشكلا خطرًا أكبر من الصواريخ الباليستية العابرة للقارات . ^[321]

يُنسب أول استخدام لمفهوم التفرد في السياق التكنولوجي إلى فون نيومان، ^[322] الذي ناقش وفقًا لأولام "التقدم المتسارع للتكنولوجيا والتغيرات في نمط الحياة البشرية، مما يعطي مظهر الاقتراب من بعض التفردات الأساسية في تاريخ الجنس البشري والتي لا يمكن للشؤون البشرية، كما نعرفها، أن تستمر بعدها". ^[323] تم توضيح هذا المفهوم لاحقًا في كتاب صدمة المستقبل لألفين توفلر .

ابتداءً من أواخر ثلاثينيات القرن العشرين، طور فون نيومان خبرته في الانفجارات - وهي الظواهر التي يصعب نمذجتها رياضيًا. خلال هذه الفترة، كان هو السلطة الرائدة في رياضيات الشحنات المشكلة ، مما قاده إلى عدد كبير من الاستشارات العسكرية وبالتالي مشاركته في مشروع مانهاتن . تضمنت المشاركة رحلات متكررة إلى مرافق الأبحاث السرية للمشروع في مختبر لوس ألاموس في نيو مكسيكو. ^[38]

قدم فون نيومان مساهمته الرئيسية في القنبلة الذرية من خلال مفهوم وتصميم العدسات المتفجرة التي كانت مطلوبة لضغط قلب البلوتونيوم لسلاح الرجل السمين الذي أُلقي لاحقًا على ناغازاكي . ^[324] في حين أن فون نيومان لم يبتكر مفهوم " الانفجار الداخلي "، إلا أنه كان أحد أكثر أنصاره إصرارًا، وشجع على الاستمرار في تطويره ضد غرائز العديد من زملائه، الذين شعروا بأن مثل هذا التصميم غير قابل للتنفيذ. كما توصل في النهاية إلى فكرة استخدام شحنات مشكلة أكثر قوة ومواد أقل انشطارًا لزيادة سرعة "التجميع" بشكل كبير. ^[325]

عندما تبين أنه لن يكون هناك ما يكفي من اليورانيوم 235 لصنع أكثر من قنبلة واحدة، تم توسيع مشروع العدسات الانفجارية بشكل كبير وتم تنفيذ فكرة فون نيومان. كان الانفجار هو الطريقة الوحيدة التي يمكن استخدامها مع البلوتونيوم 239 المتوفر من موقع هانفورد . ^[326] وضع تصميم العدسات المتفجرة المطلوبة، ولكن ظلت هناك مخاوف بشأن "تأثيرات الحافة" والعيوب في المتفجرات. ^[327] أظهرت حساباته أن الانفجار سيعمل إذا لم ينحرف بأكثر من 5٪ عن التناظر الكروي. ^[328] بعد سلسلة من المحاولات الفاشلة مع النماذج، حقق جورج كيستياكوفسكي ذلك ، وتم الانتهاء من بناء قنبلة ترينيتي في يوليو 1945. ^[329]

في زيارة إلى لوس ألاموس في سبتمبر 1944، أظهر فون نيومان أن زيادة الضغط من انعكاس موجة الصدمة الانفجارية من الأجسام الصلبة كانت أكبر مما كان يُعتقد سابقًا إذا كانت زاوية سقوط موجة الصدمة بين 90 درجة وزاوية محددة. ونتيجة لذلك، تم تحديد أن فعالية القنبلة الذرية ستزداد بالتفجير على بعد بضعة كيلومترات فوق الهدف، وليس على مستوى الأرض. ^{[330] [331]}

كان فون نيومان ضمن لجنة اختيار الأهداف التي كانت مسؤولة عن اختيار مدينتي هيروشيما وناجازاكي اليابانيتين كأول أهداف للقنبلة الذرية . أشرف فون نيومان على الحسابات المتعلقة بالحجم المتوقع لانفجارات القنبلتين، وتقدير عدد القتلى، والمسافة فوق الأرض التي يجب أن تنفجر بها القنابل لتحقيق الانتشار الأمثل لموجات الصدمة. كانت العاصمة الثقافية كيوتو هي الاختيار الأول لفون نيومان، ^[332] وهو الاختيار الذي أيده قائد مشروع مانهاتن الجنرال ليزلي جروفز . ومع ذلك، رفض وزير الحرب هنري إل ستيمسون هذا الهدف . ^[333]

في 16 يوليو 1945، كان فون نيومان والعديد من أفراد مشروع مانهاتن شهود عيان على أول اختبار لتفجير قنبلة ذرية، والذي أُطلق عليه الاسم الرمزي ترينيتي . أُجري الحدث كاختبار لجهاز طريقة الانفجار الداخلي، في ميدان قصف ألاموجوردو في نيو مكسيكو. بناءً على ملاحظاته وحدها، قدر فون نيومان أن الاختبار أسفر عن انفجار يعادل 5 كيلو طن من مادة تي إن تي (21  تيرا جول ) لكن إنريكو فيرمي قدم تقديرًا أكثر دقة لـ 10 كيلو طن من خلال إسقاط قصاصات من الورق الممزق أثناء مرور موجة الصدمة بموقعه ومراقبة مدى تشتتها. كانت القوة الفعلية للانفجار بين 20 و 22 كيلو طن. ^[334] ظهرت عبارة "كيلو طن" لأول مرة في أوراق فون نيومان عام 1944. ^[335]

واصل فون نيومان عمله دون أن يتأثر وأصبح، جنبًا إلى جنب مع إدوارد تيلر، أحد أولئك الذين دعموا مشروع القنبلة الهيدروجينية . تعاون مع كلاوس فوكس في مزيد من تطوير القنبلة، وفي عام 1946 قدم الاثنان براءة اختراع سرية توضح مخططًا لاستخدام قنبلة انشطارية لضغط وقود الاندماج لبدء الاندماج النووي . ^[336] استخدمت براءة اختراع فوكس-فون نيومان الانفجار الإشعاعي ، ولكن ليس بنفس الطريقة المستخدمة في ما أصبح التصميم النهائي للقنبلة الهيدروجينية، تصميم تيلر-أولام . ومع ذلك، تم دمج عملهما في لقطة "جورج" لعملية الدفيئة ، والتي كانت مفيدة في اختبار المفاهيم التي دخلت في التصميم النهائي. ^[337] تم نقل عمل فوكس-فون نيومان إلى الاتحاد السوفيتي من قبل فوكس كجزء من تجسسه النووي ، ولكن لم يتم استخدامه في التطوير المستقل للسوفييت لتصميم تيلر-أولام. وقد أشار المؤرخ جيريمي بيرنشتاين إلى أنه من عجيب المفارقات أن "جون فون نيومان وكلاوس فوكس أنتجا اختراعًا رائعًا في عام 1946 كان من الممكن أن يغير مسار تطوير القنبلة الهيدروجينية بالكامل، ولكن لم يتم فهمه بالكامل إلا بعد تصنيع القنبلة بنجاح". ^[337]

بسبب خدماته في زمن الحرب، حصل فون نيومان على جائزة الخدمة المدنية المتميزة في البحرية في يوليو 1946، وميدالية الاستحقاق في أكتوبر 1946. ^[338]

في عام 1950، أصبح فون نيومان مستشارًا لمجموعة تقييم أنظمة الأسلحة ، ^[339] التي كانت وظيفتها تقديم المشورة لرؤساء الأركان المشتركة ووزير الدفاع الأمريكي بشأن تطوير واستخدام التقنيات الجديدة. ^[340] كما أصبح مستشارًا لمشروع الأسلحة الخاصة للقوات المسلحة ، والذي كان مسؤولاً عن الجوانب العسكرية المتعلقة بالأسلحة النووية . ^[339] وعلى مدار العامين التاليين، أصبح مستشارًا في جميع أنحاء حكومة الولايات المتحدة. ^[341] وشمل ذلك وكالة الاستخبارات المركزية (CIA)، وعضوًا في اللجنة الاستشارية العامة المؤثرة التابعة لهيئة الطاقة الذرية ، ومستشارًا لمختبر لورانس ليفرمور الوطني الذي تم إنشاؤه حديثًا ، وعضوًا في المجموعة الاستشارية العلمية للقوات الجوية الأمريكية ^[339] وخلال هذا الوقت أصبح عالم دفاع "خارق" في البنتاغون . اعتُبرت سلطته معصومة من الخطأ على أعلى مستويات الحكومة والجيش الأمريكي. ^[342]

خلال العديد من اجتماعات المجلس الاستشاري للقوات الجوية الأمريكية، توقع فون نيومان وإدوارد تيلر أنه بحلول عام 1960 ستكون الولايات المتحدة قادرة على بناء قنبلة هيدروجينية خفيفة بما يكفي لتناسب أعلى صاروخ. في عام 1953، قام برنارد شرايفر ، الذي كان حاضرًا في الاجتماع، بزيارة شخصية لفون نيومان في برينستون لتأكيد هذا الاحتمال. ^[343] جند شرايفر تريفور جاردنر ، الذي زار فون نيومان بدوره بعد عدة أسابيع لفهم الاحتمالات المستقبلية بشكل كامل قبل بدء حملته من أجل مثل هذا السلاح في واشنطن. ^[344] الآن، إما رئيسًا أو يخدم في العديد من المجالس التي تتعامل مع الصواريخ الاستراتيجية والأسلحة النووية، كان فون نيومان قادرًا على حقن العديد من الحجج الحاسمة فيما يتعلق بالتقدم السوفييتي المحتمل في كل من هذه المجالات وفي الدفاعات الاستراتيجية ضد القاذفات الأمريكية في التقارير الحكومية للدفاع عن إنشاء الصواريخ الباليستية العابرة للقارات . ^[345] أحضر جاردنر فون نيومان في عدة مناسبات إلى اجتماعات مع وزارة الدفاع الأمريكية لمناقشة تقاريره مع كبار المسؤولين المختلفين. ^[346] شكلت العديد من قرارات التصميم في هذه التقارير مثل آليات التوجيه بالقصور الذاتي الأساس لجميع الصواريخ الباليستية العابرة للقارات بعد ذلك. ^[347] وبحلول عام 1954، كان فون نيومان يشهد بانتظام أمام اللجان الفرعية العسكرية التابعة للكونجرس لضمان الدعم المستمر لبرنامج الصواريخ الباليستية العابرة للقارات. ^[348]

ومع ذلك، لم يكن هذا كافيًا. فلكي يعمل برنامج الصواريخ الباليستية العابرة للقارات بكامل طاقته، كانوا بحاجة إلى عمل مباشر من قبل رئيس الولايات المتحدة. ^[349] وقد أقنعوا الرئيس أيزنهاور في اجتماع مباشر في يوليو 1955، والذي أسفر عن توجيه رئاسي في 13 سبتمبر 1955. وذكر أنه "ستكون هناك عواقب وخيمة على الأمن القومي وعلى تماسك العالم الحر" إذا طور الاتحاد السوفييتي الصواريخ الباليستية العابرة للقارات قبل الولايات المتحدة، وبالتالي صنف مشروع الصواريخ الباليستية العابرة للقارات "كبرنامج بحث وتطوير له الأولوية القصوى فوق كل البرامج الأخرى". وصدرت أوامر لوزير الدفاع ببدء المشروع "بأقصى قدر من الاستعجال". ^[350] وأظهرت الأدلة لاحقًا أن السوفييت كانوا بالفعل يختبرون صواريخهم الباليستية متوسطة المدى في ذلك الوقت. ^[351] واستمر فون نيومان في مقابلة الرئيس، بما في ذلك في منزله في جيتيسبيرج، بنسلفانيا ، ومسؤولين حكوميين آخرين رفيعي المستوى كمستشار رئيسي في مجال الصواريخ الباليستية العابرة للقارات حتى وفاته. ^[352]

في عام 1955، أصبح فون نيومان مفوضًا في لجنة الطاقة الذرية (AEC)، والتي كانت في ذلك الوقت أعلى منصب رسمي متاح للعلماء في الحكومة. ^[353] (بينما كان تعيينه يتطلب رسميًا أن يقطع جميع عقود الاستشارات الأخرى الخاصة به، ^[354] تم إعفاء فون نيومان لمواصلة العمل مع العديد من اللجان العسكرية الحاسمة بعد أن أثار سلاح الجو والعديد من أعضاء مجلس الشيوخ الرئيسيين مخاوفهم. ^[352] ) استخدم هذا المنصب لتعزيز إنتاج القنابل الهيدروجينية المدمجة المناسبة لتسليم الصواريخ الباليستية العابرة للقارات (ICBM). لقد شارك في تصحيح النقص الشديد في التريتيوم والليثيوم 6 اللازمين لهذه الأسلحة، وجادل ضد الاكتفاء بالصواريخ متوسطة المدى التي يريدها الجيش. كان مصرا على أن القنابل الهيدروجينية التي يتم تسليمها في عمق أراضي العدو بواسطة صاروخ باليستي عابر للقارات ستكون السلاح الأكثر فعالية ممكنًا، وأن عدم الدقة النسبية للصاروخ لن تكون مشكلة مع القنبلة الهيدروجينية. وقال إن الروس ربما كانوا يقومون ببناء نظام أسلحة مماثل، وهو ما تبين أنه صحيح. ^{[355] [356]} وبينما كان لويس شتراوس بعيدًا في النصف الثاني من عام 1955، تولى فون نيومان منصب رئيس اللجنة بالإنابة. ^[357]

في سنواته الأخيرة قبل وفاته بالسرطان، ترأس فون نيومان لجنة سرية للغاية تابعة للحكومة الأمريكية مختصة بالصواريخ الباليستية العابرة للقارات، والتي كانت تجتمع أحيانًا في منزله. وكان الغرض من هذه اللجنة هو اتخاذ قرار بشأن جدوى بناء صاروخ باليستي عابر للقارات كبير بما يكفي لحمل سلاح نووي حراري. وكان فون نيومان يزعم منذ فترة طويلة أنه في حين كانت العقبات الفنية كبيرة، إلا أنه يمكن التغلب عليها. وقد اجتاز صاروخ SM-65 Atlas أول اختبار وظيفي كامل له في عام 1959، بعد عامين من وفاته. ^{[358] وتم نشر صواريخ} تيتان الأكثر تقدمًا في عام 1962. وقد تم اقتراح كلا المشروعين في لجان الصواريخ الباليستية العابرة للقارات التي ترأسها فون نيومان. ^[352] كانت جدوى الصواريخ الباليستية العابرة للقارات ترجع إلى حد كبير إلى الرؤوس الحربية المحسنة الأصغر حجمًا والتي لم تكن تعاني من مشكلات التوجيه أو مقاومة الحرارة كما كانت ترجع إلى التطورات في مجال الصواريخ، وكان فهمه للأولى يجعل نصيحته لا تقدر بثمن. ^{[358] [352]}

دخل فون نيومان الخدمة الحكومية في المقام الأول لأنه شعر أنه إذا كان للحرية والحضارة أن تبقى، فيجب أن يكون ذلك لأن الولايات المتحدة ستنتصر على الشمولية من النازية والفاشية والشيوعية السوفيتية . ^[60] خلال جلسة استماع للجنة مجلس الشيوخ، وصف أيديولوجيته السياسية بأنها " معادية للشيوعية بشدة ، وأكثر عسكرية من المعتاد". ^{[359] [360]}

علق هيرمان جولدستين على قدرة فون نيومان على اكتشاف الأخطاء الخفية وتذكر المواد القديمة بشكل مثالي. ^{[361] [362]} عندما كانت لديه صعوبات لم يكن يعمل بجد؛ بدلاً من ذلك، كان يذهب إلى المنزل وينام عليها ثم يعود لاحقًا بحل. ^[363] هذا الأسلوب، "اتباع مسار أقل مقاومة"، يعني أحيانًا أنه يمكنه الخروج عن الموضوع. وهذا يعني أيضًا أنه إذا كانت الصعوبة كبيرة منذ البداية، فإنه كان ببساطة ينتقل إلى مشكلة أخرى، ولا يحاول العثور على نقاط ضعف يمكنه اختراقها. ^[364] في بعض الأحيان قد يكون جاهلًا بالأدبيات الرياضية القياسية، ويجد أنه من الأسهل إعادة استنباط المعلومات الأساسية التي يحتاجها بدلاً من مطاردة المراجع. ^[365]

بعد بدء الحرب العالمية الثانية ، أصبح مشغولاً للغاية بالالتزامات الأكاديمية والعسكرية. وتفاقمت عادته في عدم كتابة المحاضرات أو نشر النتائج. ^[366] لم يكن من السهل عليه مناقشة موضوع رسميًا في الكتابة ما لم يكن ناضجًا بالفعل في ذهنه؛ وإذا لم يكن كذلك، فإنه، على حد تعبيره، "سيطور أسوأ سمات التحذلق وعدم الكفاءة". ^[367]

قال عالم الرياضيات جان ديدونيه إن فون نيومان "ربما كان آخر ممثل لمجموعة مزدهرة وواسعة النطاق ذات يوم، علماء الرياضيات العظماء الذين كانوا في وطنهم على قدم المساواة في الرياضيات البحتة والتطبيقية والذين حافظوا طوال حياتهم المهنية على إنتاج ثابت في كلا الاتجاهين". ^[160] وفقًا لديدونيه، كانت عبقريته المحددة في التحليل و"التركيبات"، حيث يُفهم التركيبات بمعنى واسع جدًا يصف قدرته على تنظيم وإثبات الأعمال المعقدة التي بدت في السابق أنها لا علاقة لها بالرياضيات. اتبع أسلوبه في التحليل المدرسة الألمانية، استنادًا إلى أسس في الجبر الخطي والطوبولوجيا العامة . في حين كان لدى فون نيومان خلفية موسوعية، إلا أن نطاقه في الرياضيات البحتة لم يكن واسعًا مثل بوانكاريه أو هيلبرت أو حتى ويل : لم يقم فون نيومان أبدًا بعمل مهم في نظرية الأعداد أو الطوبولوجيا الجبرية أو الهندسة الجبرية أو الهندسة التفاضلية . ومع ذلك، في الرياضيات التطبيقية، كان عمله مساويًا لعمل غاوس أو كوشي أو بوانكاريه . ^[116]

وفقًا لويغنر، "لا أحد يعرف كل العلوم، حتى فون نيومان لم يكن يعرفها. أما بالنسبة للرياضيات، فقد ساهم في كل جزء منها باستثناء نظرية الأعداد والطوبولوجيا. أعتقد أن هذا شيء فريد من نوعه". ^[368] لاحظ هالموس أنه في حين كان فون نيومان يعرف الكثير من الرياضيات، كانت الفجوات الأكثر بروزًا في الطوبولوجيا الجبرية ونظرية الأعداد؛ وتذكر حادثة فشل فيها فون نيومان في التعرف على التعريف الطوبولوجي للطورس . [ ^369] اعترف فون نيومان لهيرمان جولدستين بأنه لم يكن لديه أي مهارة على الإطلاق في الطوبولوجيا وأنه لم يكن مرتاحًا لها أبدًا، مع طرح جولدستين هذا الأمر لاحقًا عند مقارنته بهيرمان ويل ، الذي اعتقد أنه كان أعمق وأوسع. ^[363]

في سيرته الذاتية لفون نيومان، كتب سالومون بوخنر أن الكثير من أعمال فون نيومان في الرياضيات البحتة تضمنت فضاءات متجهية محدودة وغير محدودة الأبعاد ، والتي كانت تغطي في ذلك الوقت جزءًا كبيرًا من المساحة الإجمالية للرياضيات. ومع ذلك، أشار إلى أن هذا لم يغطي جزءًا مهمًا من المشهد الرياضي، وبشكل خاص، أي شيء يتضمن الهندسة "بالمعنى العالمي"، وموضوعات مثل الطوبولوجيا ، والهندسة التفاضلية والتكاملات التوافقية ، والهندسة الجبرية وغيرها من المجالات المماثلة. نادرًا ما عمل فون نيومان في هذه المجالات، وكما رأى بوخنر، لم يكن لديه أي قرابة معها. ^[129]

في إحدى مقالات فون نيومان الأخيرة، أبدى أسفه لأن علماء الرياضيات البحتة لم يعد بوسعهم اكتساب معرفة عميقة حتى بجزء بسيط من هذا المجال. ^[370] في أوائل الأربعينيات، أعد له أولام اختبارًا على غرار اختبار الدكتوراه للعثور على نقاط الضعف في معرفته؛ لم يتمكن فون نيومان من الإجابة بشكل مرضٍ على سؤال في كل من الهندسة التفاضلية ونظرية الأعداد والجبر. وخلصوا إلى أن اختبارات الدكتوراه قد تكون "ليس لها معنى دائم". ومع ذلك، عندما رفض ويل عرضًا لكتابة تاريخ الرياضيات في القرن العشرين، بحجة أنه لا يمكن لأي شخص القيام بذلك، اعتقد أولام أن فون نيومان كان بإمكانه أن يطمح إلى القيام بذلك. ^[371]

وأشار أولام إلى أن معظم علماء الرياضيات كانوا قادرين على إتقان تقنية واحدة استخدموها مرارا وتكرارا، في حين أتقن فون نيومان ثلاث تقنيات:

1. منشأة للتلاعب الرمزي بالمشغلين الخطيين؛
2. شعور بديهي بالبنية المنطقية لأي نظرية رياضية جديدة؛
3. شعور بديهي بالبنية الفوقية التركيبية للنظريات الجديدة. ^[372]

على الرغم من أنه كان يوصف عادةً بأنه محلل، إلا أنه صنف نفسه ذات مرة على أنه جبري، ^[373] وغالبًا ما أظهر أسلوبه مزيجًا من التقنية الجبرية والحدس النظري للمجموعة. ^[374] كان يحب التفاصيل المفرطة ولم يكن لديه مشاكل مع التكرار المفرط أو التدوين الصريح للغاية. ومن الأمثلة على ذلك ورقة بحثية له عن حلقات المشغلات، حيث قام بتوسيع التدوين الوظيفي العادي، إلى . ومع ذلك، انتهى الأمر بتكرار هذه العملية عدة مرات، حيث كانت النتيجة النهائية معادلات مثل . أصبحت ورقة عام 1936 معروفة للطلاب باسم "بصلة فون نيومان" ^[375] لأن المعادلات "كانت بحاجة إلى التقشير قبل أن يتم هضمها". بشكل عام، على الرغم من أن كتاباته كانت واضحة وقوية، إلا أنها لم تكن نظيفة أو أنيقة. ^[376] على الرغم من قوتها من الناحية الفنية، إلا أن اهتمامه الأساسي كان أكثر بالتشكيل الواضح والقابل للتطبيق للقضايا والأسئلة الأساسية للعلوم بدلاً من مجرد حل الألغاز الرياضية. ^[375]${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \phi ((x))}$${\displaystyle (\psi ((((a)))))^{2}=\phi ((((a))))}$

وفقًا لأولام، فاجأ فون نيومان علماء الفيزياء بإجراء تقديرات الأبعاد والحسابات الجبرية في رأسه بطلاقة، وشبهه أولام بالشطرنج معصوب العينين . كان انطباعه أن فون نيومان حلل المواقف الفيزيائية من خلال الاستنتاج المنطقي المجرد بدلاً من التصور الملموس. ^[377]

قارن جولدستاين محاضراته بالجلوس على الزجاج، أملس وواضح. وبالمقارنة، اعتقد جولدستاين أن مقالاته العلمية كانت مكتوبة بطريقة أكثر قسوة، وبقدر أقل من البصيرة. ^{[64] وصف} هالموس محاضراته بأنها "مبهرة"، حيث كان حديثه واضحًا وسريعًا ودقيقًا وشاملًا. مثل جولدستاين، وصف أيضًا كيف بدا كل شيء "سهلًا وطبيعيًا للغاية" في المحاضرات ولكنه محير عند التفكير لاحقًا. ^[365] كان متحدثًا سريعًا: وجدت بانيش هوفمان صعوبة كبيرة في تدوين الملاحظات، حتى في الاختزال ، ^[378] وقال ألبرت تاكر إن الناس غالبًا ما كانوا يضطرون إلى طرح أسئلة على فون نيومان لإبطائه حتى يتمكنوا من التفكير في الأفكار التي كان يقدمها. كان فون نيومان يعرف هذا وكان ممتنًا لجمهوره الذي أخبره عندما كان يسير بسرعة كبيرة. ^[379] على الرغم من أنه قضى وقتًا في التحضير للمحاضرات، إلا أنه نادرًا ما استخدم الملاحظات، وبدلاً من ذلك قام بتدوين نقاط ما سيناقشه ومدة مناقشته. ^[365]

كان فون نيومان معروفًا أيضًا بذاكرته التصويرية ، وخاصة من النوع الرمزي. يكتب هيرمان جولدستاين :

كانت قدرته على التذكر المطلق من بين قدراته المذهلة. فبقدر ما أستطيع أن أقول، كان فون نيومان قادراً على اقتباس ما جاء في كتاب أو مقالة بمجرد قراءته؛ فضلاً عن ذلك، كان قادراً على القيام بذلك بعد سنوات دون تردد. وكان قادراً أيضاً على ترجمة الكتاب أو المقالة دون أي نقصان في السرعة من لغتها الأصلية إلى الإنجليزية. وفي إحدى المناسبات، اختبرت قدرته عندما طلبت منه أن يخبرني كيف بدأت قصة مدينتين . وعندئذ، وبدون أي توقف، بدأ على الفور في تلاوة الفصل الأول واستمر في القراءة حتى طُلب منه التوقف بعد حوالي عشر دقائق أو خمس عشرة دقيقة. ^[380]

يُقال إن فون نيومان كان قادرًا على حفظ صفحات دليل الهاتف. وكان يستضيف أصدقاءه من خلال مطالبتهم بنطق أرقام الصفحات بشكل عشوائي؛ ثم يتلو الأسماء والعناوين والأرقام الموجودة فيها. ^{[29] [381] كان} ستانيسلاف أولام يعتقد أن ذاكرة فون نيومان كانت سمعية وليست بصرية. ^[382]

وقد لاحظ أقرانه على نطاق واسع طلاقة فون نيومان في الرياضيات وسرعته في الحساب وقدرته العامة على حل المشكلات. فقد وصف بول هالموس سرعته بأنها "مذهلة". ^{[383] ووصفه} لوثار فولفجانج نوردهايم بأنه "أسرع عقل قابلته على الإطلاق". ^{[384] وقال} إنريكو فيرمي للفيزيائي هربرت إل أندرسون : "كما تعلم، هيرب، يمكن لجوني إجراء الحسابات في رأسه بسرعة تفوق سرعتي بعشر مرات! ويمكنني إجراؤها بسرعة تفوق سرعتك بعشر مرات، هيرب، لذا يمكنك أن ترى مدى إعجاب جوني!" ^{[385] واعترف} إدوارد تيلر بأنه "لم يستطع مواكبته أبدًا"، ^[386] ووصف إسرائيل هالبرين محاولة مواكبته بأنها مثل ركوب "دراجة ثلاثية العجلات ومطاردة سيارة سباق". ^[387]

كان يتمتع بقدرة غير عادية على حل المشكلات الجديدة بسرعة. قال جورج بوليا ، الذي حضر محاضرات فون نيومان في المعهد الفيدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ كطالب، "كان جوني الطالب الوحيد الذي كنت أخشاه على الإطلاق. إذا ذكرت أثناء المحاضرة مشكلة لم يتم حلها، فمن المحتمل أنه سيأتي إلي في نهاية المحاضرة بالحل الكامل مكتوبًا على ورقة." ^[388] عندما أحضر جورج دانتزيج لفون نيومان مشكلة لم يتم حلها في البرمجة الخطية "كما أفعل مع إنسان عادي"، والتي لم يكن لها أي أدب منشور، اندهش عندما قال فون نيومان "أوه، هذا!"، قبل أن يلقي محاضرة عابرة لأكثر من ساعة، موضحًا كيفية حل المشكلة باستخدام نظرية الثنائية التي لم يتم تصورها حتى الآن . ^[389]

دخلت قصة عن لقاء فون نيومان مع لغز الذبابة الشهير ^[390] الفولكلور الرياضي . في هذا اللغز، تبدأ دراجتان على بعد 20 ميلاً، وتسافر كل منهما نحو الأخرى بسرعة 10 أميال في الساعة حتى تصطدمان؛ وفي الوقت نفسه، تسافر ذبابة باستمرار ذهابًا وإيابًا بين الدراجات بسرعة 15 ميلاً في الساعة حتى تُسحق في الاصطدام. يسأل السائل عن المسافة الإجمالية التي قطعتها الذبابة؛ و"الحيلة" للإجابة السريعة هي إدراك أن عبور الذبابة الفردي لا يهم، فقط أنها كانت تسافر بسرعة 15 ميلاً في الساعة لمدة ساعة واحدة. كما يروي يوجين ويجنر ، ^{[391] طرح} ماكس بورن اللغز على فون نيومان. كان العلماء الآخرون الذين طرح عليهم اللغز قد حسبوا المسافة بشق الأنفس، لذلك عندما أصبح فون نيومان جاهزًا على الفور بالإجابة الصحيحة وهي 15 ميلاً، لاحظ بورن أنه يجب أن يكون قد خمن الحيلة. أجاب فون نيومان: "أي خدعة؟" "كل ما فعلته هو جمع السلسلة الهندسية ." ^[392]

كتب روتا أن فون نيومان كان لديه "شكوك عميقة ومتكررة في نفسه". ^{[393] تذكر} جون إل كيلي في عام 1989 أن "جوني فون نيومان قال إنه سيُنسى بينما يتذكر كورت جودل مع فيثاغورس ، لكن بقيتنا نظرنا إلى جوني بخوف". ^[394] يقترح أولام أن بعض شكوكه الذاتية فيما يتعلق بإبداعه الخاص ربما جاءت من حقيقة أنه لم يكتشف العديد من الأفكار المهمة التي توصل إليها الآخرون، على الرغم من أنه كان أكثر من قادر على القيام بذلك، مع إعطاء نظريات عدم الاكتمال ونظرية بيركهوف النقطية كأمثلة. كان فون نيومان يتمتع بمهارة في متابعة التفكير المعقد وكان لديه رؤى عليا، ومع ذلك ربما شعر أنه لا يمتلك موهبة الإثباتات والنظريات غير العقلانية أو الرؤى الحدسية. يصف أولام كيف شعر أثناء إحدى إقاماته في برينستون بينما كان فون نيومان يعمل على حلقات المشغلات والهندسة المستمرة والمنطق الكمومي أن فون نيومان لم يكن مقتنعًا بأهمية عمله، ولم يستمتع به إلا عندما وجد بعض الحيل التقنية المبتكرة أو النهج الجديد. ^[395] ومع ذلك، وفقًا لروتا، كان فون نيومان لا يزال لديه "تقنية أقوى بشكل لا يقارن" مقارنة بصديقه، على الرغم من وصف أولام بأنه عالم الرياضيات الأكثر إبداعًا. ^[393]

قال الحائز على جائزة نوبل هانز بيث "لقد تساءلت أحيانًا عما إذا كان دماغ مثل دماغ فون نيومان لا يشير إلى نوع متفوق على دماغ الإنسان". ^[29] لاحظ إدوارد تيلر "كان فون نيومان يجري محادثة مع ابني البالغ من العمر 3 سنوات، وكان الاثنان يتحدثان كأنداد، وتساءلت أحيانًا عما إذا كان يستخدم نفس المبدأ عندما يتحدث إلى بقيتنا". ^{[396] كتب} بيتر لاكس "كان فون نيومان مدمنًا على التفكير، وخاصة التفكير في الرياضيات". ^{[366] قال} يوجين ويجنر ، "لقد فهم المشكلات الرياضية ليس فقط في جانبها الأولي، ولكن في تعقيدها الكامل". ^{[397] أطلق عليه} كلود شانون "أذكى شخص قابلته على الإطلاق"، وهو رأي شائع. ^{[398] كتب} جاكوب برونوفسكي "لقد كان أذكى رجل عرفته على الإطلاق، دون استثناء. لقد كان عبقريًا". ^[399]

"يبدو من العدل أن نقول إنه إذا تم تفسير تأثير العالم على نطاق واسع بما يكفي ليشمل التأثير على المجالات خارج نطاق العلم نفسه، فإن جون فون نيومان كان على الأرجح أكثر علماء الرياضيات تأثيرًا على الإطلاق"، كتب ميكلوس ريداي . ^{[400] علق} بيتر لاكس بأن فون نيومان كان ليفوز بجائزة نوبل في الاقتصاد لو عاش لفترة أطول، وأنه "إذا كانت هناك جوائز نوبل في علوم الكمبيوتر والرياضيات، لكان قد تم تكريمه بها أيضًا". ^[401] كتب روتا أنه "كان أول من لديه رؤية للإمكانيات اللامحدودة للحوسبة، وكان لديه العزم على جمع الموارد الفكرية والهندسية الكبيرة التي أدت إلى بناء أول كمبيوتر كبير" وبالتالي "لم يكن لأي عالم رياضيات آخر في هذا القرن تأثير عميق ودائم على مسار الحضارة". ^[402] يُنظر إليه على نطاق واسع باعتباره أحد أعظم علماء الرياضيات والعلماء وأكثرهم تأثيرًا في القرن العشرين. ^[403]

وصفه عالم الأعصاب ليون هارمون بطريقة مماثلة، واصفًا إياه بأنه "العبقري الحقيقي" الوحيد الذي قابله على الإطلاق: "كان عقل فون نيومان شاملاً. كان بإمكانه حل المشكلات في أي مجال... وكان عقله يعمل دائمًا، ودائمًا لا يهدأ". ^[404] أثناء استشارته للمشاريع غير الأكاديمية، منحه مزيج فون نيومان من القدرة العلمية المتميزة والعملية مصداقية عالية مع الضباط العسكريين والمهندسين والصناعيين لا يمكن لأي عالم آخر أن يضاهيه. في مجال الصواريخ النووية، كان يُعتبر "الشخصية الاستشارية المهيمنة بوضوح" وفقًا لهربرت يورك . ^[405] قال الخبير الاقتصادي نيكولاس كالدور إنه "كان بلا شك أقرب شيء إلى العبقري الذي قابلته على الإطلاق". ^[268] وعلى نحو مماثل، كتب بول صامويلسون : "نحن خبراء الاقتصاد ممتنون لعبقرية فون نيومان. وليس من حقنا أن نحسب ما إذا كان جاوسًا ، أو بوانكاريه ، أو هيلبرت . لقد كان جوني فون نيومان الذي لا يُضاهى. لقد اندفع لفترة وجيزة إلى مجالنا ولم يعد كما كان منذ ذلك الحين". ^[406]

تشمل الأحداث والجوائز التي تم تسميتها تكريمًا لفون نيومان جائزة جون فون نيومان النظرية السنوية لمعهد أبحاث العمليات وعلوم الإدارة ، ^[407] وميدالية جون فون نيومان من معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات ، ^[408] وجائزة جون فون نيومان من جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية . ^[409] تم تسمية كل من فوهة فون نيومان على القمر ^[410] والكويكب 22824 فون نيومان تكريمًا له. ^{[411] [412]}

حصل فون نيومان على جوائز بما في ذلك ميدالية الاستحقاق في عام 1947، وميدالية الحرية في عام 1956، ^[413] وجائزة إنريكو فيرمي أيضًا في عام 1956. كما انتُخب عضوًا في العديد من الجمعيات الفخرية، بما في ذلك الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم والأكاديمية الوطنية للعلوم ، وحصل على ثماني درجات دكتوراه فخرية. ^{[414] [415] [416]} في 4 مايو 2005، أصدرت هيئة البريد الأمريكية سلسلة طوابع بريدية تذكارية للعلماء الأمريكيين ، صممها الفنان فيكتور ستابين . العلماء المصورون هم فون نيومان، وباربرا ماكلينتوك ، وجوزايا ويلارد جيبس ، وريتشارد فاينمان . ^[417]

تأسست جامعة جون فون نيومان  [hu] في كيكسكيميت ، المجر في عام 2016، خلفًا لكلية كيكسكيميت. ^[418]

كانت أول ورقة منشورة لفون نيومان بعنوان "حول موضع الأصفار في كثيرات حدود دنيا معينة" ، والتي شارك في تأليفها مع مايكل فيكيتي ونشرت عندما كان فون نيومان يبلغ من العمر 18 عامًا. في سن 19، نُشرت ورقته الفردية "حول مقدمة للأعداد غير المحدودة" . ^[419] قام بتوسيع ورقته الفردية الثانية، "تبسيط نظرية المجموعات" ، لإنشاء أطروحته للدكتوراه. ^[420] نُشر كتابه الأول، الأسس الرياضية لميكانيكا الكم ، في عام 1932. ^[421] بعد ذلك، تحول فون نيومان من النشر باللغة الألمانية إلى النشر باللغة الإنجليزية، وأصبحت منشوراته أكثر انتقائية وتوسعت إلى ما هو أبعد من الرياضيات البحتة. ساهمت نظريته عن موجات التفجير عام 1942 في البحث العسكري، ^[422] بدأ عمله في الحوسبة بكتابه غير المنشور عام 1946 حول مبادئ آلات الحوسبة واسعة النطاق ، وبدأت منشوراته حول التنبؤ بالطقس بمعادلة التكامل العددي لدوامة الباروتروبيك عام 1950. ^[423] إلى جانب أوراقه اللاحقة كانت هناك مقالات غير رسمية تستهدف الزملاء وعامة الناس، مثل مقاله عام 1947 بعنوان عالم الرياضيات ، ^[424] والذي وصف بأنه "وداعًا للرياضيات البحتة"، ومقاله عام 1955 هل يمكننا النجاة من التكنولوجيا؟، والذي تناول مستقبلًا قاتمًا بما في ذلك الحرب النووية وتغير المناخ المتعمد. ^[425] تم تجميع أعماله الكاملة في مجموعة مكونة من ستة مجلدات. ^[419]

• قائمة رواد علوم الكمبيوتر
• لجنة إبريق الشاي
• The MANIAC ، كتاب عن فون نيومان صدر عام 2023

• A more or less complete bibliography of publications of John von Neumann by Nelson H. F. Beebe
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "John von Neumann", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews
• von Neumann's profile at Google Scholar
• Oral History Project - The Princeton Mathematics Community in the 1930s, contains many interviews that describe contact and anecdotes of von Neumann and others at the Princeton University and Institute for Advanced Study community.
• Oral history interviews (from the Charles Babbage Institute, University of Minnesota) with: Alice R. Burks and Arthur W. Burks; Eugene P. Wigner; and Nicholas C. Metropolis.
• zbMATH profile
• Query for "von neumann" on the digital repository of the Institute for Advanced Study.
• Von Neumann vs. Dirac on Quantum Theory and Mathematical Rigor – from Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Quantum Logic and Probability Theory - from Stanford Encyclopedia of Philosophy
• FBI files on John von Neumann released via FOI
• Biographical video by David Brailsford (John Dunford Professor Emeritus of computer science at the University of Nottingham)
• John von Neumann: Prophet of the 21st Century 2013 Arte documentary on John von Neumann and his influence in the modern world (in German and French with English subtitles).
• John von Neumann - A Documentary 1966 detailed documentary by the Mathematical Association of America containing remarks by several of his colleagues including Ulam, Wigner, Halmos, Morgenstern, Bethe, Goldstine, Strauss and Teller.