أسس جديدة

يمكن وضع بديهيات محدودة لـ NF . ^{[ 2 ]} إحدى مزايا هذه البديهيات المحدودة هي أنها تلغي مفهوم التدرج الطبقي . تتوافق البديهيات في البديهيات المحدودة مع البنى الأساسية الطبيعية، بينما يُعدّ الفهم الطبقي قويًا ولكنه ليس بديهيًا بالضرورة. في كتابه التمهيدي، اختار هولمز اعتبار البديهيات المحدودة أساسية، وإثبات الفهم الطبقي كنظرية. ^{[ 3 ]} يمكن أن تختلف مجموعة البديهيات الدقيقة، ولكنها تشمل معظم البديهيات التالية، مع إمكانية إثبات البديهيات الأخرى كنظريات: ^{[ 4 ] [ 2 ]}

• الامتدادية: إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي مجموعات، ولكل عنصر${\displaystyle x}$،${\displaystyle x}$هو عنصر من${\displaystyle A}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x}$هو عنصر من${\displaystyle B}$، ثم${\displaystyle A=B}$[ ^{5 ]​}
  • يمكن اعتبار هذا البيان تعريفًا لرمز المساواة بدلًا من كونه بديهية. مع ذلك، في هذه الحالة، يلزم وجود بديهية أخرى لتبرير الاستبدال برمز المساواة المعرّف بهذه الطريقة. ^{[ 6 ] [ 7 ]}
• النمط الفردي: لكل كائن${\displaystyle x}$المجموعة${\displaystyle \iota (x)=\{x\}=\{y|y=x\}}$موجود، ويسمى الكائن الوحيد من${\displaystyle x}$[ ^{8 ] [ 9 ]​}
• المنتج الديكارتي: لأي مجموعات${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$المجموعة${\displaystyle A\times B=\{(a,b)|a\in A{\text{ and }}b\in B\}}$، ويسمى الناتج الديكارتي لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$موجود. ^{[ 10 ]} يمكن حصر ذلك في وجود أحد نواتج الضرب الاتجاهي${\displaystyle A\times V}$أو${\displaystyle V\times B}$[ ^{11 ] [ 12 ]​}
• العكس: لكل علاقة${\displaystyle R}$المجموعة${\displaystyle R^{-1}=\{(x,y)|(y,x)\in R\}}$موجود؛ لاحظ أن${\displaystyle xR^{-1}y}$بالضبط إذا${\displaystyle yRx}$[ ^{13 ] [ 14 ] [ 15 ]​}
• صورة فردية: لأي علاقة${\displaystyle R}$المجموعة${\displaystyle R\iota =\{(\{x\},\{y\})|(x,y)\in R\}}$، والتي تُسمى الصورة المفردة لـ${\displaystyle R}$موجود. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}
• المجال: إذا${\displaystyle R}$هي علاقة، مجموعة${\displaystyle {\text{dom}}(R)=\{x|\exists y.(x,y)\in R\}}$، والتي تسمى نطاق${\displaystyle R}$موجود. ^{[ 13 ]} يمكن تعريف ذلك باستخدام عملية تحويل النوع. ^{[ 19 ]}
• المحتويات: المجموعة${\displaystyle [\subseteq ]=\{(x,y)|x\subseteq y\}}$موجود. ^{[ 20 ]} وبالمثل، يمكننا اعتبار المجموعة${\displaystyle [\in ]=[\subseteq ]\cap (1\times V)=\{(\{x\},y)|x\in y\}}$[ ^{21 ] [ 22 ]​}
• المكمل: لكل مجموعة${\displaystyle A}$المجموعة${\displaystyle A^{c}=\{x|x\notin A\}}$، والتي تسمى مكمل${\displaystyle A}$^{[ 23 ]} موجود.
• الاتحاد (المنطقي): إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي مجموعات، المجموعة${\displaystyle A\cup B=\{x|x\in A{\text{ or }}x\in B{\text{ or both}}\}}$، والتي تسمى اتحاد (بوليان)${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$^{[ 24 ]} موجود.
• مجموعة عالمية:${\displaystyle V=\{x|x=x\}}$موجود. من الواضح أنه لأي مجموعة${\displaystyle x}$،${\displaystyle x\cup x^{c}=V}$[ ^{23 ]​}
• زوج مُرتب: لكل${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، الزوج المرتب من${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$،${\displaystyle (a,b)}$موجود؛${\displaystyle (a,b)=(c,d)}$بالضبط إذا${\displaystyle a=c}$و${\displaystyle b=d}$يمكن أن يكون هذا، بالإضافة إلى مجموعات أكبر، تعريفًا وليس بديهية إذا تم استخدام بناء الزوج المرتب. ^{[ 25 ]}
• الإسقاطات: المجموعات${\displaystyle \pi _{1}=\{((x,y),x)|x,y\in V\}}$و${\displaystyle \pi _{2}=\{((x,y),y)|x,y\in V\}}$موجودة (هذه هي العلاقات التي تربط الزوج المرتب بأول حدين فيه، والتي يشار إليها تقنياً باسم إسقاطاته). ^{[ 26 ]}
• قطري: المجموعة${\displaystyle [=]=\{(x,x)|x\in V\}}$توجد علاقة تسمى علاقة المساواة. ^{[ 26 ]}
• اتحاد المجموعات: إذا${\displaystyle A}$هي مجموعة جميع عناصرها مجموعات، المجموعة${\displaystyle \bigcup [A]=\{x|{\text{لبعض }}B، x\in B{\text{ و }}B\in A\}}$، والتي تسمى اتحاد (المجموعة)${\displaystyle A}$^{[ 27 ]} موجود.
• الناتج النسبي: إذا${\displaystyle R}$،${\displaystyle S}$العلاقات، المجموعة${\displaystyle (R|S)=\{(x,y)|{\text{لبعض }}z,xRz{\text{ و }}zSy\}}$، ويسمى الناتج النسبي لـ${\displaystyle R}$و${\displaystyle S}$موجود. ^{[ 13 ]}
• مناهضة التقاطع:${\displaystyle x|y=\{z:\neg (z\in x\land z\in y)\}}$موجود. هذا يعادل المكمل والاتحاد معًا، مع${\displaystyle x^{c}=x|x}$و${\displaystyle x\cup y=x^{c}|y^{c}}$[ ^{28 ]​}
• الكاردينال الأول: المجموعة${\displaystyle 1}$من بين جميع الأفراد المنفردين،${\displaystyle \{x|\exists y:(\forall w:w\in x\leftrightarrow w=y)\}}$موجود. ^{[ 29 ] [ 30 ]}
• إدخال الصفوف: لعلاقة${\displaystyle R}$المجموعات${\displaystyle I_{2}(R)=\{(z,w,t):(z,t)\in R\}}$و${\displaystyle I_{3}(R)=\{(z,w,t):(z,w)\in R\}}$موجود. ^{[ 31 ] [ 32 ]}
• تحويل النوع: لأي مجموعة${\displaystyle S}$المجموعة${\displaystyle {\text{TL}}(S)=\{z:\forall w:(w,\{z\})\in S\}}$موجود. ^{[ 33 ] [ 34 ]}

ترتبط الأسس الجديدة ارتباطًا وثيقًا بنظرية المجموعات غير المتفرعة ذات الأنواع ( TST ) لراسل، وهي نسخة مبسطة من نظرية الأنواع الواردة في كتاب "مبادئ الرياضيات" (Principia Mathematica) ذات التسلسل الهرمي الخطي للأنواع. في هذه النظرية متعددة الأنواع ، يُخصص نوع لكل متغير ومجموعة. ومن المعتاد كتابة مؤشرات الأنواع كأرقام مرتفعة.${\displaystyle x^{n}}$يرمز إلى متغير من النوع n . يتكون النوع 0 من أفراد غير موصوفين بطريقة أخرى. لكل عدد طبيعي (فوقي) n ، فإن كائنات النوع n + 1 هي مجموعات من كائنات النوع n ؛ الكائنات المرتبطة بالهوية لها أنواع متساوية، ومجموعات النوع n تحتوي على عناصر من النوع n - 1. بديهيات نظرية شجرة القرار هي الامتداد، على مجموعات من نفس النوع (الموجب)، والفهم، أي أنه إذا${\displaystyle \phi (x^{n})}$إذا كانت صيغة، فإن المجموعة${\displaystyle \{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!}$موجود. بعبارة أخرى، بالنظر إلى أي صيغة${\displaystyle \phi (x^{n})\!}$الصيغة${\displaystyle \exists A^{n+1}\forall x^{n}[x^{n}\in A^{n+1}\leftrightarrow \phi (x^{n})]}$هو بديهية حيث${\displaystyle A^{n+1}\!}$يمثل المجموعة${\displaystyle \{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!}$وهو ليس مجانيًا في${\displaystyle \phi (x^{n})}$إن نظرية النوع هذه أقل تعقيدًا بكثير من تلك التي تم وضعها لأول مرة في كتاب Principia Mathematica ، والتي تضمنت أنواعًا للعلاقات التي لم تكن وسائطها بالضرورة من نفس الأنواع.

توجد علاقة بين منهجيات New Foundations وTST فيما يتعلق بإضافة أو حذف تصنيفات الأنواع. في مخطط فهم NF، تُصنَّف الصيغة طبقيًا عندما يُمكن إسناد أنواع لها وفقًا لقواعد TST. ويمكن توسيع هذه العلاقة لربط كل صيغة NF بمجموعة من صيغ TST المقابلة لها مع تصنيفات فهرس أنواع مختلفة. هذه العلاقة من نوع واحد إلى متعدد لأن TST تحتوي على العديد من الصيغ المتشابهة. على سبيل المثال، يؤدي رفع كل فهرس نوع في صيغة TST بمقدار 1 إلى صيغة TST جديدة صالحة.

نظرية الأنواع المتشابكة (TTT) هي امتداد لنظرية الأنواع الثابتة (TST) حيث يتم تحديد نوع كل متغير بواسطة عدد ترتيبي بدلاً من عدد طبيعي. الصيغ الذرية السليمة هي${\displaystyle x^{n}=y^{n}}$و${\displaystyle x^{m}\in y^{n}}$أين${\displaystyle m<n}$إن بديهيات نظرية TTT هي نفسها بديهيات نظرية TST حيث يكون كل متغير من النوع${\displaystyle i}$يتم ربطها بمتغير${\displaystyle s(i)}$أين${\displaystyle s}$هي دالة متزايدة.

تُعتبر نظرية TTT نظرية "غريبة" لأن كل نوع يرتبط بكل نوع أدنى منه بنفس الطريقة. على سبيل المثال، تحتوي مجموعات النوع 2 على عناصر من النوع 1 وعناصر من النوع 0، وتؤكد بديهيات الامتداد أن مجموعة النوع 2 تُحدد بشكل فريد إما بعناصرها من النوع 1 أو بعناصرها من النوع 0. بينما تمتلك نظرية TST نماذج طبيعية حيث كل نوع${\displaystyle i+1}$هي مجموعة القوى من النوع${\displaystyle i}$في نظرية التقسيم الزمني (TTT)، يُفسَّر كل نوع على أنه مجموعة القوى لكل نوع أدنى منه في آنٍ واحد. ومع ذلك، يمكن تحويل نموذج اللغة الطبيعية (NF) بسهولة إلى نموذج TTT، لأن جميع الأنواع في اللغة الطبيعية (NF) متطابقة. وعلى العكس من ذلك، يمكن إثبات، باستخدام حجة أكثر تعقيدًا، أن اتساق نظرية التقسيم الزمني (TTT) يستلزم اتساق اللغة الطبيعية (NF). ^{[ 35 ]}

يُعدّ NF مع العناصر الأولية ( NFU ) أحد المتغيرات المهمة لـ NF، وقد طُوّر على يد جنسن ^{[ 36 ]} ووضّحه هولمز ^{[ 4 ]} . العناصر الأولية هي كائنات ليست مجموعات ولا تحتوي على أي عناصر، ولكن يمكن احتواؤها في مجموعات. إحدى أبسط طرق صياغة بديهيات NFU تعتبر العناصر الأولية مجموعات فارغة متعددة وغير متساوية، مما يُضعف بديهية الامتداد في NF إلى:

• الامتدادية الضعيفة: كائنان غير فارغين لهما نفس العناصر هما نفس الكائن؛ رسميًا،

$${\displaystyle \forall xyw.(w\in x)\to (x=y\leftrightarrow (\forall z.z\in x\leftrightarrow z\in y)))}$$

في هذه البديهية، يبقى مخطط الفهم دون تغيير، على الرغم من أن المجموعة${\displaystyle \{x\mid \phi (x)\}}$لن يكون فريدًا إذا كان فارغًا (أي إذا${\displaystyle \phi (x)}$(غير قابل للإرضاء).

لكن لتسهيل الاستخدام، من الأنسب وجود مجموعة فارغة فريدة و"معيارية". ويمكن تحقيق ذلك عن طريق إدخال مسند المجموعة.${\displaystyle \mathrm {set} (x)}$لتمييز المجموعات عن الذرات. وتكون البديهيات كالتالي:

• المجموعات: المجموعات فقط هي التي تضم أعضاء، أي${\displaystyle \forall xy.x\in y\to \mathrm {set} (y).}$
• خاصية الامتداد: مجموعتان لهما نفس العناصر هما نفس المجموعة، أي${\displaystyle \forall yz.(\mathrm {set} (y)\wedge \mathrm {set} (z)\wedge (\forall x.x\in y\leftrightarrow x\in z))\to y=z.}$
• الفهم: المجموعة${\displaystyle \{x\mid \phi (x)\}}$يوجد لكل صيغة طبقية${\displaystyle \phi (x)}$، أي${\displaystyle \exists A.\mathrm {set} (A)\wedge (\forall x.x\in A\leftrightarrow \phi (x)).}$

يمثل NF ₃ جزءًا من NF يتمتع بامتداد كامل (بدون عناصر أولية) ويشمل حالات الفهم التي يمكن تصنيفها باستخدام ثلاثة أنواع على الأكثر. أما NF ₄ فهو نفس نظرية NF.

المنطق الرياضي (ML) هو امتداد للمنطق الطبيعي (NF) يشمل الفئات المناسبة بالإضافة إلى المجموعات. اقترح كواين المنطق الرياضي ونقحه هاو وانغ، الذي أثبت أن المنطق الطبيعي والمنطق الرياضي المنقح متسقان بالتساوي. ^{[ 37 ]}

تُعرَّف العلاقات والدوال في نظرية شجرة الأنواع (وكذلك في نظريتي NF وNFU) كمجموعات من الأزواج المرتبة بالطريقة المعتادة. ولأغراض التراتبية، يُفضَّل أن يكون نوع العلاقة أو الدالة أعلى بنوع واحد فقط من نوع عناصر حقلها. ويتطلب هذا تعريف الزوج المرتب بحيث يكون نوعه مطابقًا لنوع وسائطه (مما ينتج عنه زوج مرتب على مستوى النوع ). التعريف المعتاد للزوج المرتب هو:${\displaystyle (a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}}$ينتج عن ذلك نوع أعلى بنوعين من نوع وسيطيه a و b . لذا، ولأغراض تحديد التقسيم الطبقي، تكون الدالة أعلى بثلاثة أنواع من عناصر حقلها. عادةً ما تستخدم نظرية NF والنظريات ذات الصلة تعريف كواين للزوج المرتب في نظرية المجموعات، والذي ينتج عنه زوج مرتب على مستوى النوع. مع ذلك، يعتمد تعريف كواين على عمليات المجموعات على كل من العنصرين a و b ، وبالتالي لا يعمل مباشرةً في NFU.

كنهج بديل، يعتبر هولمز ^{[ 4 ]} الزوج المرتب (أ، ب) مفهومًا أوليًا ، بالإضافة إلى إسقاطاته اليسرى واليمنى.${\displaystyle \pi _{1}}$و${\displaystyle \pi _{2}}$أي، الدوال التي بحيث${\displaystyle \pi _{1}((a,b))=a}$و${\displaystyle \pi _{2}((a,b))=b}$(في صياغة هولمز البديهية لنظرية الفهم غير المشروط، مخطط الفهم الذي يؤكد وجود${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$لأي صيغة طبقية${\displaystyle \phi }$يُعتبر هذا مبدأً نظرياً ولا يتم إثباته إلا لاحقاً، لذا فإن تعابير مثل${\displaystyle \pi _{1}=\{((a,b),a)\mid a,b\in V\}}$(لا تُعتبر هذه تعريفات صحيحة). لحسن الحظ، لا يهم عادةً ما إذا كان الزوج المرتب على مستوى النوع بحكم التعريف أو بالافتراض (أي، يُؤخذ كنوع أولي).

يعتمد الشكل المعتاد لبديهية اللانهاية على بناء فون نيومان للأعداد الطبيعية ، وهو غير مناسب لنظرية الأعداد الطبيعية، لأن وصف عملية التالي (والعديد من الجوانب الأخرى لأعداد فون نيومان) يكون بالضرورة غير مُصنَّف. يتبع الشكل المعتاد للأعداد الطبيعية المستخدم في نظرية الأعداد الطبيعية تعريف فريجه ، أي أن العدد الطبيعي n يُمثَّل بمجموعة جميع المجموعات التي تحتوي على n عنصرًا. وفقًا لهذا التعريف، يُمكن تعريف الصفر بسهولة على النحو التالي:${\displaystyle \{\varnothing \}}$ويمكن تعريف العملية اللاحقة بطريقة طبقية:${\displaystyle S(A)=\{a\cup \{x\}\mid a\in A\wedge x\notin a\}.}$وفقًا لهذا التعريف، يمكن صياغة عبارة مماثلة للشكل المعتاد لبديهية اللانهاية. ومع ذلك، ستكون هذه العبارة صحيحة بشكل بديهي، لأن المجموعة الشاملة${\displaystyle V}$ستكون مجموعة استقرائية .

بما أن المجموعات الاستقرائية موجودة دائمًا، فإن مجموعة الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbf {N} }$يمكن تعريفها بأنها تقاطع جميع المجموعات الاستقرائية. يُمكّن هذا التعريف من الاستقراء الرياضي للعبارات الطبقية${\displaystyle P(n)}$لأن المجموعة${\displaystyle \{n\in \mathbf {N} \mid P(n)\}}$يمكن بناؤها، وعندما${\displaystyle P(n)}$إذا استوفت هذه المجموعة شروط الاستقراء الرياضي، فهي مجموعة استقرائية.

يمكن تعريف المجموعات المنتهية بأنها مجموعات تنتمي إلى عدد طبيعي. ومع ذلك، ليس من السهل إثبات ذلك.${\displaystyle V}$ليس "مجموعة منتهية"، أي أن حجم الكون${\displaystyle |V|}$ليس عددًا طبيعيًا. لنفترض أن${\displaystyle |V|=n\in \mathbf {N} }$. ثم${\displaystyle n=\{V\}}$(يمكن إثبات بالاستقراء أن المجموعة المنتهية لا تتساوى في عدد عناصرها مع أي من مجموعاتها الجزئية الفعلية)،${\displaystyle n+1=S(n)=\varnothing }$وسيكون كل عدد طبيعي لاحق هو${\displaystyle \varnothing }$كما أنه يتسبب في خلل في العمليات الحسابية. ولمنع ذلك، يمكن إدخال بديهية اللانهاية لـ NF:${\displaystyle \varnothing \notin \mathbf {N} .}$^{[ 38 ]}

قد يبدو بديهيًا أنه ينبغي للمرء أن يكون قادرًا على إثبات اللانهاية في NF(U) عن طريق إنشاء أي سلسلة من المجموعات اللانهائية "خارجيًا"، مثل${\displaystyle \varnothing ,\{\varnothing \},\{\{{\varnothing }\}\},\ldots }$ومع ذلك، لا يمكن بناء مثل هذا التسلسل إلا من خلال عمليات بناء غير طبقية (ويتضح ذلك من حقيقة أن نظرية حالة النص نفسها لها نماذج محدودة)، لذا لا يمكن إجراء مثل هذا البرهان في NF(U). في الواقع، اللانهاية مستقلة منطقيًا عن NFU: توجد نماذج لـ NFU ​​حيث${\displaystyle |V|}$هو عدد طبيعي غير قياسي . في مثل هذه النماذج، يمكن للاستقراء الرياضي إثبات عبارات حول${\displaystyle |V|}$مما يجعل من المستحيل "التمييز"${\displaystyle |V|}$من الأعداد الطبيعية القياسية.

ومع ذلك، هناك بعض الحالات التي يمكن فيها إثبات اللانهاية (وفي هذه الحالات قد يُشار إليها باسم نظرية اللانهاية ):

• في نظرية NF (بدون عناصر urelements )، أثبت سبيكر ^{[ 39 ]} أن بديهية الاختيار خاطئة. وبما أنه يمكن إثبات، بالاستقراء، أن لكل مجموعة منتهية دالة اختيار (شرط طبقي)، فإنه يترتب على ذلك أن${\displaystyle V}$لا نهائي.
• في NFU مع بديهيات تؤكد وجود زوج مرتب على مستوى النوع،${\displaystyle V}$مكافئ في العدد مع مجموعته الجزئية المناسبة${\displaystyle V\times \{0\}}$وهذا يستلزم اللانهاية . ^{[ 40 ]} في المقابل، تُثبت نظرية NFU + اللانهاية + الاختيار وجود زوج مرتب على مستوى النوع. تُفسر نظرية NFU + اللانهاية نظرية NFU + "يوجد زوج مرتب على مستوى النوع" (ليست النظريتان متطابقتين تمامًا، لكن الاختلافات غير جوهرية). ^{[ 41 ]}

توجد بديهيات أقوى للانهائية، مثل أن مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة كانتورية قوية، أو NFUM = NFU + اللانهاية + الأعداد الترتيبية الكبيرة + الأعداد الترتيبية الصغيرة ، وهو ما يكافئ نظرية مجموعة مورس-كيلي بالإضافة إلى محمول على الفئات المناسبة وهو مرشح فائق غير رئيسي كامل من النوع κ على الترتيبية κ للفئة المناسبة . ^{[ 42 ]}

تسمح نظرية NF (و NFU + Infinity + Choice ، الموصوفة أدناه والمعروفة باتساقها) بإنشاء نوعين من المجموعات التي لا تسمح بها نظرية ZFC وامتداداتها المناسبة لأنها "كبيرة جدًا" (تقبل بعض نظريات المجموعات هذه الكيانات تحت عنوان الفئات المناسبة ):

• المجموعة الشاملة V. لأن${\displaystyle x=x}$إذا كانت الصيغة طبقية ، فإن المجموعة الشاملة V = { x | x=x } موجودة بالاستنتاج . ومن النتائج المباشرة لذلك أن جميع المجموعات لها مكملات ، وأن الكون النظري للمجموعات بأكمله تحت الصيغة الطبقية له بنية منطقية .
• الأعداد الأصلية والترتيبية . في نظرية العدد الطبيعي (ونظرية شجرة القرار)، توجد مجموعة جميع المجموعات التي تحتوي على n عنصرًا ( الاستدلال الدائري هنا ظاهري فقط). لذا، فإن تعريف فريجه للأعداد الأصلية ينطبق على نظرية العدد الطبيعي ونظرية العدد الطبيعي المكافئ: العدد الأصلي هو فئة تكافؤ للمجموعات تحت علاقة التكافؤ العددي : تكون المجموعتان A و B متكافئتين عدديًا إذا وُجد تقابل بينهما، وفي هذه الحالة نكتب${\displaystyle A\sim B}$وبالمثل، فإن العدد الترتيبي هو فئة تكافؤ للمجموعات المرتبة ترتيباً جيداً .

عامل الكاري ، ⁠${\displaystyle {\mbox{curry}}:[(X\times Y)\to Z]\to (X\to [Y\to Z])}$لا يمكن تعريف ⁠ كدالة في NF بهذا الشكل (وبشكل أدق، فإن رسمها البياني ليس مجموعة NF)، لأن صيغتها التعريفية لا يمكن جعلها طبقية. على سبيل المثال، مع زوج مرتب على مستوى النوع، يكون الجانب الأيسر أعلى بنوع واحد من كل من ⁠${\displaystyle X}$،​​${\displaystyle Y}$و​​${\displaystyle Z}$لكن الجانب الأيمن أعلى بنوع واحد من${\displaystyle X}$لكن نوعين أعلى من${\displaystyle Y}$و​​${\displaystyle Z}$النموذج المكتوب بشكل صحيح هو${\displaystyle \iota ''[(X\times Y)\to Z]\to (\iota ''X\to [Y\to Z])}$، حيث​${\displaystyle \iota ''A}$يدل على​${\displaystyle \{\{a\}\mid a\in A\}}$، الصورة الوحيدة لـ​${\displaystyle A}$⁠ .

ونتيجة لذلك، فإن فئة المجموعات في NF ليست مغلقة ديكارتية . ^{[ 43 ]}

إن حل مفارقة راسل أمر بسيط:${\displaystyle x\not \in x}$ليست صيغة طبقية، لذا فإن وجود${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$لا يتم تأكيد ذلك من خلال أي مثال على الفهم . قال كواين إنه بنى نظرية NF مع وضع هذه المفارقة في الاعتبار بشكل أساسي. ^{[ 44 ]}

تتلخص مفارقة كانتور في السؤال عما إذا كان هناك عدد أصلي أكبر ، أو بصورة مكافئة، ما إذا كانت هناك مجموعة ذات أكبر عدد أصلي . في نظرية العدد الطبيعي، المجموعة الشاملة${\displaystyle V}$من الواضح أن المجموعة ذات أكبر عدد من العناصر. ومع ذلك، تنص نظرية كانتور (بالنظر إلى ZFC) على أن مجموعة القوى${\displaystyle P(A)}$من أي مجموعة${\displaystyle A}$أكبر من${\displaystyle A}$(لا يمكن إجراء حقن (خريطة واحد لواحد) من${\displaystyle P(A)}$داخل${\displaystyle A}$)، وهو ما يبدو أنه ينطوي على تناقض عندما${\displaystyle A=V}$.

بالطبع هناك حقنة من${\displaystyle P(V)}$داخل${\displaystyle V}$منذ${\displaystyle V}$بما أن هي المجموعة الشاملة، فلا بد أن نظرية كانتور (بصيغتها الأصلية) لا تنطبق في NF. في الواقع، يستخدم برهان نظرية كانتور حجة القطرية من خلال النظر إلى المجموعة${\displaystyle B=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}}$في NF،${\displaystyle x}$و${\displaystyle f(x)}$ينبغي أن يتم تعيين نفس النوع، لذا فإن تعريف${\displaystyle B}$لا يوجد تصنيف طبقي. في الواقع، إذا${\displaystyle f:P(V)\to V}$الحقنة البسيطة${\displaystyle x\mapsto x}$، ثم${\displaystyle B}$هي نفس المجموعة (غير المحددة جيدًا) في مفارقة راسل.

هذا الفشل ليس مفاجئاً لأن${\displaystyle |A|<|P(A)|}$لا معنى له في TST: نوع${\displaystyle P(A)}$هو أعلى بواحد من نوع${\displaystyle A}$في NF،${\displaystyle |A|<|P(A)|}$هي جملة نحوية بسبب دمج جميع الأنواع، ولكن من غير المرجح أن ينجح أي برهان عام يتضمن الفهم .

الطريقة المعتادة لتصحيح مثل هذه المشكلة النوعية هي الاستبدال${\displaystyle A}$مع${\displaystyle P_{1}(A)}$، مجموعة المجموعات الفرعية المكونة من عنصر واحد من${\displaystyle A}$في الواقع، النسخة المكتوبة بشكل صحيح من نظرية كانتور${\displaystyle |P_{1}(A)|<|P(A)|}$هي نظرية في نظرية حالة الانتقال (بفضل حجة القطرية)، وبالتالي فهي أيضاً نظرية في نظرية الحدود الطبيعية. على وجه الخصوص،${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|}$يوجد عدد أقل من المجموعات ذات العنصر الواحد مقارنةً بالمجموعات (وبالتالي يوجد عدد أقل من المجموعات ذات العنصر الواحد مقارنةً بالكائنات العامة، إذا كنا في NFU). التناظر "الواضح".${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$إن الانتقال من الكون إلى المجموعات ذات العنصر الواحد ليس مجموعة؛ فهو ليس مجموعة لأن تعريفه غير مُصنَّف. لاحظ أنه في جميع نماذج NFU + Choice، يكون الأمر كذلك.${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|}$يُمكّن الاختيار المرء ليس فقط من إثبات وجود العناصر الأساسية، بل أيضًا من إثبات وجود العديد من الأعداد الأصلية بينها.${\displaystyle |P(V)|}$و${\displaystyle |V|}$.

لكن على عكس ما يحدث في تسيم شا تسوي،${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|}$هي جملة نحوية في NF(U)، وكما هو موضح أعلاه، يمكن الحديث عن قيمتها المنطقية لقيم محددة من${\displaystyle A}$(مثلاً عندما)${\displaystyle A=V}$(هذا خطأ). مجموعة${\displaystyle A}$وهو ما يرضي الجاذبية البديهية${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|}$يُقال إنها مجموعة كانتورية : المجموعة الكانتورية تحقق الشكل المعتاد لنظرية كانتور .${\displaystyle A}$وهو ما يحقق الشرط الإضافي الذي${\displaystyle (x\mapsto \{x\})\lceil A}$إن تقييد الخريطة المفردة على A ، هو مجموعة ليست فقط مجموعة كانتورية ولكنها كانتورية بقوة . ^{[ 45 ]}

تُحل مفارقة بورالي -فورتي المتعلقة بأكبر عدد ترتيبي بطريقة معاكسة: في NF، لا يسمح الوصول إلى مجموعة الأعداد الترتيبية بإنشاء "أكبر عدد ترتيبي". يمكن إنشاء العدد الترتيبي${\displaystyle \Omega }$يتوافق ذلك مع الترتيب الطبيعي الجيد لجميع الأعداد الترتيبية، لكن هذا لا يعني أن${\displaystyle \Omega }$أكبر من كل تلك الأعداد الترتيبية.

لصياغة مفارقة بورالي-فورتي في نظرية المجموعات الساذجة، من الضروري أولاً صياغة مفهوم الأعداد الترتيبية. في هذه النظرية، تُعرَّف الأعداد الترتيبية (بنفس طريقة تعريفها في نظرية المجموعات الساذجة ) على أنها فئات تكافؤ للترتيبات الجيدة تحت التشاكل . هذا تعريف مُصنَّف، لذا فإن مجموعة الأعداد الترتيبية${\displaystyle \mathrm {Ord} }$يمكن تعريفها دون أي مشكلة. يعمل الاستقراء المتسامي على العبارات الطبقية، مما يسمح بإثبات أن الترتيب الطبيعي للأعداد الترتيبية (${\displaystyle \alpha \leq \beta }$إذا وُجدت ترتيبات جيدة${\displaystyle R\in \alpha ,S\in \beta }$بحيث${\displaystyle S}$هو استمرار لـ${\displaystyle R}$) هو ترتيب جيد لـ${\displaystyle \mathrm {Ord} }$بحسب تعريف الأعداد الترتيبية، فإن هذا الترتيب الجيد ينتمي أيضاً إلى عدد ترتيبي.${\displaystyle \Omega \in \mathrm {Ord} }$في نظرية المجموعات البسيطة، يمكن للمرء أن يثبت بالاستقراء المتسامي أن كل عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha }$هو نوع الترتيب الطبيعي على الأعداد الترتيبية الأقل من${\displaystyle \alpha }$وهذا من شأنه أن يؤدي إلى تناقض لأن${\displaystyle \Omega }$بحسب التعريف، فإن الترتيب هو نوع الترتيب لجميع الأعداد الترتيبية، وليس أي جزء أولي مناسب منها.

ومع ذلك، فإن البيان "${\displaystyle \alpha }$هو نوع الترتيب الطبيعي على الأعداد الترتيبية الأقل من${\displaystyle \alpha }$"ليست مُرتبة طبقيًا، لذا فإن حجة الاستقراء المتجاوزة لا تعمل في NF. في الواقع، "نوع الترتيب${\displaystyle \beta }$من النظام الطبيعي${\displaystyle R_{\alpha }}$على الأعداد الترتيبية الأقل من${\displaystyle \alpha }$"أعلى بنوعين على الأقل من"${\displaystyle \alpha }$علاقات الترتيب${\displaystyle R_{\alpha }=\{(x,y)\mid x\leq y<\alpha \}}$هو نوع واحد أعلى من${\displaystyle \alpha }$بافتراض أن${\displaystyle (x,y)}$هو زوج مرتب على مستوى النوع ، ونوع الترتيب (فئة التكافؤ)${\displaystyle \beta =\{S\mid S\sim R_{\alpha }\}}$هو نوع واحد أعلى من${\displaystyle R_{\alpha }}$. لو${\displaystyle (x,y)}$هو الزوج المرتب المعتاد لكوراتوفسكي (نوعان أعلى من${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$)، ثم${\displaystyle \beta }$سيكون أعلى بأربعة أنواع من${\displaystyle \alpha }$.

لتصحيح مثل هذه المشكلة النوعية، يحتاج المرء إلى عملية T ،${\displaystyle T(\alpha )}$، الذي "يرفع نوع" الترتيبي${\displaystyle \alpha }$تمامًا مثل كيف${\displaystyle P_{1}(A)}$"يرفع نوع" المجموعة${\displaystyle A}$تُعرَّف عملية T على النحو التالي: إذا${\displaystyle W\in \alpha }$، ثم${\displaystyle T(\alpha )}$نوع الطلب${\displaystyle W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}}$والآن، يمكن إعادة صياغة اللمة المتعلقة بأنواع الترتيب بطريقة طبقية:

نوع الترتيب الطبيعي على الأعداد الترتيبية${\displaystyle <\alpha }$يكون${\displaystyle T^{2}(\alpha )}$أو${\displaystyle T^{4}(\alpha )}$، وذلك بحسب الزوج المرتب المستخدم.

يمكن إثبات كلا نسختي هذه العبارة بالاستقراء المتسامي؛ وسنفترض فيما يلي زوجًا من النوع على المستوى. وهذا يعني أن${\displaystyle T^{2}(\alpha )}$دائماً أقل من${\displaystyle \Omega }$، وهو نوع ترتيب جميع الأعداد الترتيبية. على وجه الخصوص،${\displaystyle T^{2}(\Omega )<\Omega }$.

هناك عبارة أخرى (طبقية) يمكن إثباتها بالاستقراء المتسامي، وهي أن T عملية رتيبة تمامًا (تحافظ على الترتيب) على الأعداد الترتيبية، أي${\displaystyle T(\alpha )<T(\beta )}$إذا${\displaystyle \alpha <\beta }$وبالتالي فإن عملية T ليست دالة: مجموعة الأعداد الترتيبية${\displaystyle \{\alpha \mid T(\alpha )<\alpha \}}$لا يمكن أن يكون لها أصغر عنصر، وبالتالي لا يمكن أن تكون مجموعة. وبشكل أكثر تحديدًا، فإن رتابة T تعني${\displaystyle \Omega >T^{2}(\Omega )>T^{4}(\Omega )\ldots }$، وهو "تسلسل تنازلي" في الأعداد الترتيبية والذي لا يمكن أن يكون مجموعة أيضًا.

قد يُزعم أن هذه النتيجة تُظهر أنه لا يوجد نموذج لـ NF(U) " قياسي "، لأن الأعداد الترتيبية في أي نموذج لـ NFU ​​ليست مرتبة ترتيبًا جيدًا من الناحية الخارجية. هذه مسألة فلسفية، وليست مسألة ما يمكن إثباته ضمن النظرية الرسمية. تجدر الإشارة إلى أنه حتى ضمن NFU، يمكن إثبات أن أي نموذج مجموعة لـ NFU ​​يحتوي على "أعداد ترتيبية" غير مرتبة ترتيبًا جيدًا؛ لا يستنتج NFU أن الكون${\displaystyle V}$يُعد نموذجًا للزراعة الوطنية، على الرغم من${\displaystyle V}$كونها مجموعة، لأن علاقة العضوية ليست علاقة مجموعة.

على الرغم من أن نظرية NFU تحل المفارقات بطريقة مشابهة لنظرية NF، إلا أن برهان اتساقها أبسط بكثير. يمكن صياغة هذا البرهان ضمن حساب بيانو (PA)، وهي نظرية أضعف من نظرية ZF، يقبلها معظم علماء الرياضيات دون نقاش. لا يتعارض هذا مع نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل، لأن NFU لا تتضمن بديهية اللانهاية ، وبالتالي لا يمكن نمذجة PA ضمن NFU، مما يتجنب التناقض. كما يثبت PA أن NFU مع اللانهاية، وNFU مع كل من اللانهاية والاختيار، متسقة مع نظرية TST مع اللانهاية، وTST مع كل من اللانهاية والاختيار، على التوالي. لذلك، فإن نظرية أقوى مثل ZFC، التي تثبت اتساق TST، ستثبت أيضًا اتساق NFU مع هذه الإضافات. ^{[ 36 ]} بعبارة أبسط، يُنظر إلى NFU بشكل عام على أنه أضعف من NF لأنه في NFU، يمكن أن تكون مجموعة جميع المجموعات (مجموعة القوى للكون) أصغر من الكون نفسه، خاصة عند تضمين العناصر الأولية، كما هو مطلوب من NFU مع الاختيار.

يقدم بوفا طريقة بسيطة نسبيًا لإنتاج نماذج NFU بكميات كبيرة. باستخدام تقنيات معروفة في نظرية النماذج ، يمكن بناء نموذج غير قياسي لنظرية مجموعات زيرميلو (لا يتطلب الأمر شيئًا بقوة ZFC الكاملة للتقنية الأساسية) حيث يوجد عليه تشاكل خارجي j (ليس مجموعة من النموذج) يُغير رتبة واحدة.${\displaystyle V_{\alpha }}$^{[ أ ]} منالتسلسل الهرمي التراكميللمجموعات. يمكننا أن نفترض دون فقدان للعمومية أن${\displaystyle j(\alpha )<\alpha }$.

سيكون مجال نموذج NFU هو الرتبة غير القياسية${\displaystyle V_{\alpha }}$الفكرة الأساسية هي أن التشاكل الذاتي j يرمز إلى "مجموعة القوى".${\displaystyle V_{\alpha +1}}$من "كوننا"${\displaystyle V_{\alpha }}$إلى نسختها المتماثلة خارجيا${\displaystyle V_{j(\alpha )+1}}$داخل "كوننا". تُعامل الكائنات المتبقية التي لا تُمثل مجموعات فرعية من الكون كعناصر أولية . رسميًا، ستكون علاقة الانتماء لنموذج NFU كما يلي:${\displaystyle x\in _{NFU}y\equiv _{def}j(x)\in y\wedge y\in V_{j(\alpha )+1}.}$

يمكن الآن إثبات أن هذا في الواقع نموذج لـ NFU. لنفترض${\displaystyle \phi }$ليكن لدينا صيغة طبقية بلغة NFU. اختر مجموعة من الأنواع لجميع المتغيرات في الصيغة بحيث تؤكد أنها طبقية. اختر عددًا طبيعيًا N أكبر من جميع الأنواع المخصصة للمتغيرات بواسطة هذا التصنيف. قم بتوسيع الصيغة.${\displaystyle \phi }$في صيغة${\displaystyle \phi _{1}}$بلغة النموذج غير القياسي لنظرية مجموعات زيرميلو مع التماثل الذاتي j باستخدام تعريف الانتماء في نموذج NFU. تطبيق أي قوة من قوى j على طرفي معادلة أو عبارة انتماء يحافظ على قيمتها الصحيحة لأن j تماثل ذاتي. قم بتطبيق هذا على كل صيغة ذرية في${\displaystyle \phi _{1}}$بحيث يظهر كل متغير x من النوع i بالضبط${\displaystyle N-i}$تطبيقات j . هذا ممكن بفضل شكل عبارات العضوية الذرية المشتقة من عبارات عضوية NFU، وبفضل الصيغة الطبقية. كل جملة كمية${\displaystyle (\forall x\in V_{\alpha }.\psi (j^{N-i}(x)))}$يمكن تحويلها إلى الشكل${\displaystyle (\forall x\in j^{N-i}(V_{\alpha }).\psi (x))}$(وينطبق الأمر نفسه على المحددات الوجودية ). قم بإجراء هذا التحويل في كل مكان واحصل على صيغة.${\displaystyle \phi _{2}}$حيث لا يتم تطبيق j على متغير مقيد. اختر أي متغير حر y في${\displaystyle \phi }$تم تعيين النوع i . تطبيق${\displaystyle j^{i-N}}$بشكل موحد على الصيغة بأكملها للحصول على صيغة${\displaystyle \phi _{3}}$حيث يظهر y دون أي تطبيق لـ j . الآن${\displaystyle \{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\}}$موجود (لأن j يبدو أنه ينطبق فقط على المتغيرات الحرة والثوابت)، ينتمي إلى${\displaystyle V_{\alpha +1}}$، وتحتوي تحديدًا على قيم y التي تحقق الصيغة الأصلية ${\displaystyle \phi }$على غرار نموذج NFU.${\displaystyle j(\{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\})}$يتضمن نموذج NFU هذا الامتداد (حيث يُصحح تطبيق j التعريف المختلف للعضوية في نموذج NFU). وهذا يُثبت صحة الفهم الطبقي في نموذج NFU.

إن إثبات صحة خاصية التمديد الضعيف أمرٌ واضح: كل عنصر غير فارغ من${\displaystyle V_{j(\alpha )+1}}$يرث امتدادًا فريدًا من النموذج غير القياسي، وترث المجموعة الفارغة امتدادها المعتاد أيضًا، وجميع الكائنات الأخرى هي عناصر غير قياسية.

لو${\displaystyle \alpha }$إذا كان n عددًا طبيعيًا ، فسيحصل المرء على نموذج NFU الذي يدعي أن الكون محدود (وهو غير محدود خارجيًا، بالطبع).${\displaystyle \alpha }$إذا كانت لانهائية وكان الاختيار صحيحًا في النموذج غير القياسي لـ ZFC، فإن المرء يحصل على نموذج NFU + اللانهاية + الاختيار .

لأسباب فلسفية، من المهم الإشارة إلى أنه ليس من الضروري العمل في ZFC أو أي نظام مشابه لإجراء هذا البرهان. من الحجج الشائعة ضد استخدام NFU كأساس للرياضيات أن أسباب الاعتماد عليه تتعلق بالحدس القائل بصحة ZFC. يكفي قبول TST (في الواقع TSTU). باختصار: نأخذ نظرية النوع TSTU (التي تسمح بوجود عناصر غير موجبة في كل نوع موجب) كنظرية فوقية، ونعتبر نظرية نماذج المجموعات لـ TSTU في TSTU (ستكون هذه النماذج عبارة عن متواليات من المجموعات).${\displaystyle T_{i}}$(جميعها من نفس النوع في النظرية الميتافيزيقية) مع تضمينات لكل منها${\displaystyle P(T_{i})}$داخل${\displaystyle P_{1}(T_{i+1})}$تضمينات الترميز لمجموعة القوى لـ${\displaystyle T_{i}}$داخل${\displaystyle T_{i+1}}$بطريقة تحترم نوع البيانات). بالنظر إلى تضمين لـ${\displaystyle T_{0}}$داخل${\displaystyle T_{1}}$(بتحديد عناصر "النوع" الأساسي بمجموعات فرعية من النوع الأساسي)، يمكن تعريف التضمينات من كل "نوع" إلى النوع الذي يليه بطريقة طبيعية. ويمكن تعميم ذلك على المتتاليات المتسامية.${\displaystyle T_{\alpha }}$بعناية.

لاحظ أن بناء مثل هذه المتتاليات من المجموعات محدود بحجم النوع الذي تُبنى فيه؛ وهذا يمنع TSTU من إثبات اتساقها الذاتي (يمكن لـ TSTU + Infinity إثبات اتساق TSTU؛ لإثبات اتساق TSTU + Infinity ، نحتاج إلى نوع يحتوي على مجموعة من العناصر ذات عدد عناصر محدد).${\displaystyle \beth _{\omega }}$(والتي لا يمكن إثبات وجودها في TSTU+ Infinity بدون افتراضات أقوى). الآن، يمكن استخدام نفس نتائج نظرية النماذج لبناء نموذج لـ NFU ​​والتحقق من أنه نموذج لـ NFU ​​بنفس الطريقة تقريبًا، مع${\displaystyle T_{\alpha }}$يتم استخدام 's بدلاً من${\displaystyle V_{\alpha }}$في البناء المعتاد. الخطوة الأخيرة هي ملاحظة أنه بما أن NFU متسق، فيمكننا التخلي عن استخدام الأنواع المطلقة في نظريتنا الفوقية، وإعادة بناء النظرية الفوقية من TSTU إلى NFU.

يرتبط التشاكل الذاتي j لنموذج من هذا النوع ارتباطًا وثيقًا بعمليات طبيعية معينة في نظرية المجموعات غير القياسية (NFU). على سبيل المثال، إذا كان W ترتيبًا جيدًا في النموذج غير القياسي (نفترض هنا أننا نستخدم أزواج كوراتوفسكي بحيث يتفق ترميز الدوال في النظريتين إلى حد ما) وهو أيضًا ترتيب جيد في NFU (جميع الترتيبات الجيدة في NFU هي ترتيبات جيدة في النموذج غير القياسي لنظرية مجموعات زيرميلو، ولكن ليس العكس، نظرًا لتكوين العناصر الأولية في بناء النموذج)، وكان W من النوع α في NFU، فإن j ( W ) سيكون ترتيبًا جيدًا من النوع T (α) في NFU.

في الواقع، يتم ترميز j بواسطة دالة في نموذج NFU. الدالة في النموذج غير القياسي التي ترسل القيمة الوحيدة لأي عنصر من${\displaystyle V_{j(\alpha )}}$في NFU، تُصبح الدالة `{x}`، التي تُمثل أي عنصر في الكون، دالة تُرسل كل عنصر منفرد { x }، حيث x أي عنصر في الكون، إلى j ( x ). لنُسمِّ هذه الدالة Endo ، ولنجعلها تتمتع بالخصائص التالية: Endo هي دالة حقن من مجموعة العناصر المنفردة إلى مجموعة المجموعات، بحيث يكون Endo ({ x }) = { Endo ({ y }) | y ∈ x } لكل مجموعة x . يمكن لهذه الدالة تعريف علاقة "عضوية" على مستوى النوع في الكون، وهي علاقة تُعيد إنتاج علاقة العضوية في النموذج غير القياسي الأصلي.

هذه قائمة بالرموز المستخدمة في هذا الجدول:

• ${\displaystyle A\triangleleft \ B}$يمثل${\displaystyle B\vdash {\text{Con}}(A)}$.
• ${\displaystyle A\trianglelefteq B}$يمثل${\displaystyle {\text{Con}}(B)\to {\text{Con}}(A)}$.
• ${\displaystyle {\mathsf {Inf}}}$يشير هذا الجدول فقط إلى "وجود مجموعة ديديكيند اللانهائية".

جميع النظريات التي لا تتوفر عنها معلومات كافية لاستنتاج ترتيب قوة اتساقها، ولكن براهين اتساقها واضحة، ملونة باللون الأصفر. أما جميع النظريات التي لا تتوفر عنها براهين اتساق، فملونة باللون البرتقالي.

هذه قائمة بالاختصارات المستخدمة في هذا الجدول:

• نظرية المجموعات على نمط NF
  • ${\displaystyle {\mathsf {KF}}}$هو نظام فرعي من كليهما${\displaystyle {\mathsf {NF}}}$و${\displaystyle {\mathsf {Z}}^{-}}$، مُعَدَّةٌ كـ: الامتدادية، ومجموعة الأزواج، ومجموعة القوى، ومجموعة المجموع، والطبقية${\displaystyle \Delta _{0}^{\mathcal {P}}}$الانفصال.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFI}}}$هو نظام فرعي من${\displaystyle {\mathsf {NF}}}$، مُعَدَّةٌ كـ غير مُصنَّفة${\displaystyle {\mathsf {TTI}}}$.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFP}}}$هو نظام فرعي من${\displaystyle {\mathsf {NF}}}$يحب${\displaystyle {\mathsf {NFI}}}$، مُعَدَّةٌ كـ غير مُصنَّفة${\displaystyle {\mathsf {TTP}}}$.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NF}}_{3}}$هو نظام فرعي من${\displaystyle {\mathsf {NF}}}$، حيث يقتصر الفهم فقط على تلك الصيغ التي يمكن تصنيفها باستخدام ثلاثة أنواع كحد أقصى. ليس من الواضح ما إذا كان من المناسب وضع${\displaystyle {\mathsf {NF}}_{3}}$في هذا الصف.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFU}}}$انظر NF مع العناصر اليوريلية .
  • ${\displaystyle {\mathsf {MLU}}}$يكون${\displaystyle {\mathsf {ML}}}$مع العناصر الأساسية.
  • ${\displaystyle {\mathsf {iNF}}}$نظام نظرية المجموعات الذي يمتلك نفس البديهيات غير المنطقية مثل${\displaystyle {\mathsf {NF}}}$لكنها متأصلة في منطق حدسي.${\displaystyle {\mathsf {INF}}}$،${\displaystyle {\mathsf {iNF}}}$،${\displaystyle i{\mathsf {NF}}}$، و${\displaystyle {\mathsf {constructive\ NF}}}$هي نفس النظرية.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NF}}}$انظر الأسس الجديدة#التعريف .
  • ${\displaystyle {\mathsf {ML}}}$هي النظرية التي تم الحصول عليها بإضافة مفهوم الفئة إلى${\displaystyle {\mathsf {NF}}}$[ ^{68 ]} اتساقها ^مع${\displaystyle {\mathsf {NF}}}$هذا يعني أنه لا يمكننا إثبات أي شيء عن الفئات التي ليست${\displaystyle {\mathsf {NF}}}$مجموعات.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NF(U)+DC}}(\alpha )}$تم وضع البديهيات على النحو التالي${\displaystyle {\mathsf {NF}}}$أو${\displaystyle {\mathsf {NFU}}}$زائد${\displaystyle {\mathsf {DC}}(\alpha )}$.
  • ${\displaystyle {\mathsf {DC}}(\alpha )}$يُعرَّف على النحو التالي: لتكن S مجموعة غير فارغة، ولتكن R علاقة ثنائية بحيث يكون لكل${\displaystyle \alpha }$-تسلسل${\displaystyle s=\langle x_{\gamma }:\gamma <\alpha \rangle }$يوجد عدد من عناصر S${\displaystyle y\in S}$بحيث${\displaystyle sRy}$إذن، توجد دالة f بحيث يكون لكل${\displaystyle \gamma <\alpha ,f(|\gamma )Rf(\gamma )}$تُعدّ هذه البديهية تعزيزًا لبديهية الاختيار التابع القياسية لأنها تضمن وجود سلسلة اختيار كاملة بطول${\displaystyle \alpha }$، حيث تمثل كل خطوة في التسلسل خيارًا صحيحًا بناءً على جميع الاختيارات السابقة.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NF}}+V}$مرتبة خطيًا ، ولا يوجد حاليًا أي دليل على اتساقها.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NF+PIT}}}$انظر نظرية المثالي الأولي البولياني . لا يوجد حاليًا أي دليل على اتساقها.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NF}}+{\mathcal {L}}_{\omega _{1},\omega }(\omega )}$يكون${\displaystyle {\mathsf {NF}}}$+ فهم الصيغ المتدرجة للغة${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\omega _{1},\omega }}$باستخدام عدد محدود من الأنواع فقط. نماذجها هي بالضبط النماذج التي تمثلها مجموعة NF${\displaystyle \mathbb {N} \land {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$هم الخارجيون الحقيقيون.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFUR}}}$تم وضع البديهيات على النحو التالي${\displaystyle {\mathsf {NFU+Inf}}+\mathbb {N} {\mathsf {\ is\ SC}}}$.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFU*}}}$تم وضع البديهيات على النحو التالي${\displaystyle {\mathsf {NFU+SCS}}+\mathbb {N} {\mathsf {\ is\ SC}}}$.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFUA}}}$تم وضع البديهيات على النحو التالي${\displaystyle {\mathsf {NFU+Inf}}+{\mathsf {C\ is\ SC}}}$.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFUB}}}$تم وضع البديهيات على النحو التالي${\displaystyle {\mathsf {NFUA+SO}}}$.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFUB}}^{-}}$تم وضع البديهيات على النحو التالي${\displaystyle {\mathsf {NFU+Inf}}+{\mathsf {C\ is\ SC}}+{\mathsf {SO}}}$.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFUM}}}$تم وضع البديهيات على النحو التالي${\displaystyle {\mathsf {NFUB}}^{-}+{\mathsf {LO}}}$.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFU}}^{-\infty }}$تم وضع البديهيات على النحو التالي${\displaystyle {\mathsf {NFU}}+V}$محدود.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFUA}}^{-\infty }}$تم وضع البديهيات على النحو التالي${\displaystyle {\mathsf {NFU}}^{-\infty }+{\mathsf {C\ is\ SC}}}$.
  • ${\displaystyle {\mathsf {NFUB}}^{-\infty }}$تم وضع البديهيات على النحو التالي${\displaystyle {\mathsf {NFUA}}^{-\infty }+{\mathsf {SO}}}$.

البديهيات المذكورة أدناه هي بديهيات لانهائية عليا خاصة بنظرية المجموعات من نمط NF، وهي تنطبق أيضًا على نظرية الأنواع من نمط NF. عند استخدامها بشكل فردي، فإنها ليست بالضرورة قوية جدًا بالمعنى التقليدي (مثل${\displaystyle \trianglerighteq {\text{Con}}({\textsf {ZFC}})}$)، ولكن عند استخدامها مجتمعة، فإنها تكون قوية للغاية بالفعل.

• أسلوب NF اللانهائي الأعلى
  • ${\displaystyle \mathbb {N} {\mathsf {\ is\ SC}}}$أو${\displaystyle {\mathsf {Count}}}$هي بديهية روسر للعد ، والتي تؤكد أن مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة كانتورية قوية.
  • ${\displaystyle {\mathsf {SCS}}}$هي بديهية الفصل الكانتوري القوي ، والتي تنص على أنه لأي مجموعة كانتورية قوية A وأي صيغة${\displaystyle \phi }$(ليس بالضرورة أن تكون مصنفة) المجموعة${\displaystyle \{x\in A|\;\phi \}}$موجود.
  • ${\displaystyle {\mathsf {C\ is\ SC}}}$هي بديهية مجموعات كانتورية ، والتي تؤكد أن كل مجموعة كانتورية هي مجموعة كانتورية قوية.
  • ${\displaystyle {\mathsf {LO}}}$هي بديهية الأعداد الترتيبية الكبيرة ، التي تنص على أنه لكل عدد ترتيبي غير كانتوري${\displaystyle \alpha }$يوجد عدد طبيعي n بحيث${\displaystyle T^{n}(\Omega )<\alpha }$.
  • ${\displaystyle {\mathsf {SO}}}$هي بديهية الأعداد الترتيبية الصغيرة ، التي تنص على أنه لأي صيغة${\displaystyle \phi }$(ليس بالضرورة أن تكون مرتبة طبقياً)، توجد مجموعة A بحيث تكون عناصر A التي هي أعداد ترتيبية كانتورية قوية هي بالضبط الأعداد الترتيبية الكانتورية القوية التي${\displaystyle \phi }$.
• نظرية المجموعات على نمط ZF
  • ${\displaystyle {\mathsf {MAC}}}$انظر نظرية المجموعات لماك لين .
  • ${\displaystyle {\mathsf {MACQ}}}$مثل${\displaystyle {\mathsf {MAC}}}$مع إضعاف الأساس للسماح بذرات كوين ومخطط بديهي يؤكد وجود شجرة من الأعداد الأصلية لكل عدد طبيعي محدد n.
  • شبكة متشابكة من الكرادلة هي شبكة متشابكة من كرادلة النظام${\displaystyle \tau }$لأي عدد ترتيبي لانهائي${\displaystyle \alpha }$شبكة متشابكة من رموز النظام${\displaystyle \alpha }$هي دالة${\displaystyle \tau }$من مجموعة المجموعات غير الفارغة من الأعداد الترتيبية التي${\displaystyle \alpha }$كحد أقصى للكاردينالات بحيث