تمثيل بوراو

في الرياضيات، يُعد تمثيل بوراو تمثيلاً لمجموعات الجدائل ، وقد سُمي على اسم عالم الرياضيات الألماني فيرنر بوراو ^{[ 1 ]} الذي درسه في الأصل خلال ثلاثينيات القرن العشرين. يحتوي تمثيل بوراو على صيغتين شائعتين ومتكافئتين تقريبًا، وهما تمثيل بوراو المختزل وتمثيل بوراو غير المختزل .

لنفترض أن زمرة الجدائل Bₙ هي زمرة فئات التطبيقات لقرص ذي n نقطة مميزة Dₙ _. زمرة التماثل H₁ ( Dₙ ₎ هي زمرة تبديلية حرة من الرتبة n . علاوة على ذلك، فإن الفضاء الجزئي الثابت لـ H₁ _{( Dₙ} ) ₍ تحت تأثير Bₙ _{) هو فضاء} أولي ودوري لانهائي. ليكن π  : H₁ ( Dₙ ) → Z هو الإسقاط على هذا الفضاء الجزئي الثابت. عندئذٍ يوجد فضاء تغطية Cₙ يناظر خريطة الإسقاط هذه. وكما هو الحال في بناء _{متعددة حدود ألكسندر، نعتبر H₁ ( Cₙ} ) وحدة نمطية فوق حلقة _زمرة تحويلات التغطية Z [ _Z ] ، وهي متماثلة مع حلقة متعددات حدود لوران Z [ t , t ^-1 ] . وباعتبارها وحدة نمطية Z [ t , t ^-1 ] ، فإن H₁ ₍ Cₙ ₎ حرة من الرتبة n  -  1 . بحسب النظرية الأساسية للفضاءات المغطاة ، فإن B _n يؤثر على H ₁ ( C _n ) ، ويسمى هذا التمثيل تمثيل بوراو المختزل .

يُعرَّف تمثيل بوراو غير المُختزل تعريفًا مشابهًا، حيث يُستبدل D_{_n} بعملية النفخ (الحقيقية والموجهة) عند النقاط المحددة. ثم، بدلًا من النظر في H _₁ ( C_{_n} ) ، يُنظر في التماثل النسبي H _₁ ( C _{_n} , Γ) ، حيث γ ⊂ D _{_n} هو جزء من حدود D _{_n} يُقابل عملية النفخ مع نقطة واحدة على حدود القرص. Γ تُشير إلى رفع γ إلى C_{_n} . وباعتباره وحدة نمطية Z [ t , t ^-1 ]، فإن هذا التمثيل خالٍ من الرتبة n .

بحسب التماثل ، فإن تمثيلات بوراو تتناسب مع تسلسل دقيق قصير

0 → V _r → V _u → D ⊕ Z [ t , t ⁻¹ ] → 0,

حيث V _r (على التوالي V _u ) هو وحدة Burau B _n المختزلة (على التوالي غير المختزلة) و D ⊂ Z ⁿ هو مكمل الفضاء الفرعي القطري، بعبارة أخرى:

${\displaystyle D=\left\{\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbf {Z} ^{n}:x_{1}+\cdots +x_{n}=0\right\},}$

وتؤثر B _n على Z ⁿ من خلال تمثيل التبديل.

لنفترض أن σ _i ترمز إلى المولدات القياسية لمجموعة الجدائل B _n . عندئذٍ، يمكن إعطاء تمثيل بوراو غير المختزل بشكل صريح عن طريق التعيين

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc|c}I_{i-1}&0&0&0\\\hline 0&1-t&t&0\\0&1&0&0\\\hline 0&0&0&I_{ni-1}\end{array}}\right),}$

لـ 1 ≤ i ≤ n − 1 ، حيث I _k تُمثل مصفوفة الوحدة من الرتبة k × k . وبالمثل، بالنسبة لـ n ≥ 3، يُعطى تمثيل بوراو المُختزل بالصيغة التالية:

${\displaystyle \sigma _{1}\mapsto \left({\begin{array}{cc|c}-t&1&0\\0&1&0\\\hline 0&0&I_{n-3}\end{array}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|ccc|c}I_{i-2}&0&0&0&0\\\hline 0&1&0&0&0\\0&t&-t&1&0\\0&0&0&1&0\\\hline 0&0&0&0&I_{ni-2}\end{array}}\right),\quad 2\leq i\leq n-2,}$

${\displaystyle \sigma _{n-1}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc}I_{n-3}&0&0\\\hline 0&1&0\\0&t&-t\end{array}}\right),}$

أما بالنسبة لـ n = 2 ، فإنه يرسم

${\displaystyle \sigma _{1}\mapsto \left(-t\right).}$

إذا كانت العقدة K هي إغلاق جديلة f في B _n ، فإن متعددة حدود ألكسندر Δ _K ( t ) للعقدة K ، حتى الضرب بوحدة في Z [ t , t ⁻¹ ] ، تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*}),}$

حيث f _∗ هو تمثيل بوراو المختزل للضفيرة f .

على سبيل المثال، إذا كانت f = σ ₁ σ ₂ في B ₃ ، فسيجد المرء باستخدام المصفوفات الصريحة أعلاه أن

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*})=1,}$

وإغلاق f _* هو العقدة غير المكتملة التي تكون متعددة حدود ألكسندر الخاصة بها 1 .

تم اكتشاف أول تمثيلات بوراو غير الأمينة بواسطة جون أ. مودي دون استخدام الحاسوب، وذلك باستخدام مفهوم عدد اللف أو التكامل الكفافي. ^{[ 3 ]} ويُفسر فهمٌ أكثر تجريدًا، بفضل دارين د. لونغ ومارك باتون ^{[ 4 ]،} الربط أو اللف على أنه ناتج عن ازدواجية بوانكاريه في علم التماثل الأول بالنسبة إلى نقطة الأساس لفضاء التغطية، ويستخدم شكل التقاطع (المعروف تقليديًا باسم شكل سكواير لأن كريغ سكواير كان أول من استكشف خصائصه). ^{[ 5 ]} جمع ستيفن بيغلو بين تقنيات الحاسوب ونظرية لونغ-باتون لإثبات أن تمثيل بوراو ليس أمينًا لـ n ≥ 5. [ ^{6 ] [ 7 ] [ 8 ] علاوة} على ذلك، يُقدم بيغلو عنصرًا صريحًا غير تافه في النواة ككلمة في المولدات القياسية لمجموعة الجدائل: ليكن

${\displaystyle \psi _{1}=\sigma _{3}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{4}^{3}\sigma _{3}\sigma _{2},\quad \psi _{2}=\sigma _{4}^{-1}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}\sigma _{4}^{5}.}$

ثم يُعطى عنصر من النواة بواسطة المُبدِّل

${\displaystyle [\psi _{1}^{-1}\sigma _{4}\psi _{1},\psi _{2}^{-1}\sigma _{4}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{4}\psi _{2}].}$

من المعروف منذ فترة أن تمثيل بوراو عندما n = 2 أو  3 يتميز بالأمانة. أما أمانة تمثيل بوراو عندما n = 4 فهي مسألة مفتوحة . يظهر تمثيل بوراو كمجموع لتمثيل جونز ، وعندما n = 4 ، تكون أمانة تمثيل بوراو مكافئة لأمانة تمثيل جونز، وهو ما يرتبط بدوره بمسألة ما إذا كانت متعددة حدود جونز كاشفًا للعقد غير المكتملة أم لا . ^{[ 9 ]}

أظهر كريج سكواير أن تمثيل بوراو يحافظ على شكل خطي مزدوج . ^{[ 5 ]} علاوة على ذلك، عندما يُختار المتغير t ليكون عددًا عقديًا متساميًا قريبًا من ₁ ، فإنه يكون اقترانًا هيرميتيًا موجبًا . وبالتالي، يمكن اعتبار تمثيل بوراو لمجموعة الجدائل Bn بمثابة خريطة إلى المجموعة الوحدوية U( n ).

• " نظرية بوراو "، أطلس العقدة .