شكل نصف دائري

في الرياضيات ، يُعدّ الشكل شبه الخطي تعميمًا للجداء الداخلي للفضاءات المتجهة المركبة ، وهو الشكل الأكثر شيوعًا بين الأشكال شبه الخطية. يكون الشكل الثنائي الخطي خطيًا في كلٍّ من وسيطيه، بينما يسمح الشكل شبه الخطي بـ"لف" أحد الوسيطين بطريقة شبه خطية ، ومن هنا جاءت التسمية؛ المشتقة من البادئة العددية اللاتينية sesqui- التي تعني "واحد ونصف". يمكن تعميم المفهوم الأساسي للجداء الداخلي - وهو إنتاج كمية قياسية من زوج من المتجهات - من خلال السماح بنطاق أوسع من القيم القياسية، وربما في الوقت نفسه، من خلال توسيع تعريف المتجه.

من الحالات الخاصة المحفزة الشكل شبه الخطي على فضاء متجهي عقدي ، V. وهو عبارة عن دالة V × V → C خطية في أحد وسيطيها، وتُغير خطية الوسيط الآخر بواسطة المرافق العقدي (ويُشار إليها بأنها مضادة للخطية في الوسيط الآخر). تظهر هذه الحالة بشكل طبيعي في تطبيقات الفيزياء الرياضية. وهناك حالة أخرى مهمة تسمح بأن تأتي الكميات العددية من أي حقل ، ويتم توفير التغيير بواسطة تشاكل حقلي .

يتطلب تطبيق في الهندسة الإسقاطية أن تأتي الكميات العددية من حلقة قسمة (حقل منحرف)، K ، وهذا يعني أنه يجب استبدال "المتجهات" بعناصر من وحدة K. في سياق عام جدًا، يمكن تعريف الأشكال شبه الخطية على وحدات R لحلقات R عشوائية .

تُجرّد الأشكال شبه الخطية وتُعمّم المفهوم الأساسي للشكل الهرميتي على الفضاء المتجهي المركب . وتُستخدم الأشكال الهرميتية بشكل شائع في الفيزياء ، باعتبارها الضرب الداخلي على فضاء هيلبرت المركب . في هذه الحالات، يُعطى الشكل الهرميتي القياسي على Cⁿ بالصيغة التالية ^:

${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$

أين${\displaystyle {\overline {w}}_{i}}$يرمز إلى المرافق المعقد لـ${\displaystyle w_{i}~.}$يمكن تعميم هذا المنتج ليشمل الحالات التي لا يتم فيها استخدام أساس متعامد لـ C ⁿ ، أو حتى أي أساس على الإطلاق. وذلك بإدخال عامل إضافي من${\displaystyle i}$بإدخال هذا الناتج، نحصل على الصيغة الهرميتية المعكوسة ، المعرّفة بدقة أكبر أدناه. لا يوجد سبب محدد لحصر التعريف بالأعداد المركبة؛ إذ يمكن تعريفه لأي حلقة تحمل تشاكلًا مضادًا ، والذي يُفهم بشكل غير رسمي على أنه مفهوم معمّم لـ "الاقتران المركب" للحلقة.

تختلف الاصطلاحات فيما يتعلق بتحديد الوسيط الخطي. في الحالة التبادلية، نعتبر الوسيط الأول خطيًا، كما هو شائع في الأدبيات الرياضية، باستثناء القسم المخصص للأشكال الخطية المتقطعة على فضاءات المتجهات المركبة. هناك، نستخدم الاصطلاح الآخر ونعتبر الوسيط الأول مترافقًا خطيًا (أي مضادًا للخطية) والثاني خطيًا. هذا هو الاصطلاح الذي يستخدمه الفيزيائيون في الغالب ^{[ 1 ]} ، وهو مستمد من تدوين برا-كيت لديراك في ميكانيكا الكم . كما أنه يتوافق مع تعريف الضرب الإقليدي المعتاد لـ${\displaystyle w,z\in \mathbb {C} ^{n}}$مثل${\displaystyle w^{*}z}$.

في الإطار غير التبادلي الأكثر عمومية، مع الوحدات النمطية اليمنى نأخذ الوسيط الثاني على أنه خطي ومع الوحدات النمطية اليسرى نأخذ الوسيط الأول على أنه خطي.

الافتراض : في هذا القسم، تكون الأشكال شبه الخطية مضادة للخطية في وسيطها الأول وخطية في وسيطها الثاني.

على فضاء متجهي معقد${\displaystyle V}$خريطة${\displaystyle \varphi :V\times V\to \mathbb {C} }$يكون خطيًا متساويًا إذا

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\&\varphi (ax,by)={\overline {a}}b\,\varphi (x,y)\end{محاذاة}}}$

للجميع${\displaystyle x,y,z,w\in V}$وكل شيء${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} .}$هنا،${\displaystyle {\overline {a}}}$هو المرافق المعقد لعدد قياسي${\displaystyle a.}$

يمكن أيضًا النظر إلى الشكل الخطي المزدوج المعقد على أنه خريطة ثنائية الخطوط معقدة$${\displaystyle {\overline {V}}\times V\to \mathbb {C} }$$ أين${\displaystyle {\overline {V}}}$الفضاء المتجهي المترافق المركب لـ${\displaystyle V.}$بفضل الخاصية العامة لحاصل الضرب الموتري، فإن هذه الدوال تتطابق تطابقًا تامًا مع التحويلات الخطية المركبة. $${\displaystyle {\overline {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .}$$

مقابل مبلغ ثابت${\displaystyle z\in V}$الخريطة${\displaystyle w\mapsto \varphi (z,w)}$دالة خطية على${\displaystyle V}$(أي عنصر من الفضاء الثنائي)${\displaystyle V^{*}}$). وبالمثل، الخريطة${\displaystyle w\mapsto \varphi (w,z)}$دالة خطية مترافقة على${\displaystyle V.}$

بالنظر إلى أي شكل معقد من الأشكال الخطية المزدوجة${\displaystyle \varphi }$على${\displaystyle V}$يمكننا تعريف شكل ثانٍ معقد ذو خطوط متساوية${\displaystyle \psi }$عن طريق النقل المترافق : $${\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.}$$ على العموم،${\displaystyle \psi }$و${\displaystyle \varphi }$سيكونان مختلفين. أما إذا كانا متطابقين، فـ${\displaystyle \varphi }$يُقال إنها هيرميتية . إذا كانتا نقيضين لبعضهما البعض، فإن${\displaystyle \varphi }$يُقال إنها هيرميتية مائلة . يمكن كتابة كل شكل سداسي عشري كمجموع شكل هيرميتي وشكل هيرميتي مائل.

ينطبق هذا القسم دون تغيير عندما تكون حلقة القسمة K تبديلية . وينطبق حينها مصطلحات أكثر تحديدًا: حلقة القسمة هي حقل، والتشاكل العكسي هو أيضًا تشاكل ذاتي، والوحدة النمطية اليمنى هي فضاء متجهي. وينطبق ما يلي على وحدة نمطية يسرى مع إعادة ترتيب مناسبة للتعبيرات.

الافتراض : في هذا القسم، تكون الأشكال شبه الخطية مضادة للخطية (على التوالي خطية ) في وسيطها الثاني (على التوالي الأول).

في الهندسة الإسقاطية G ، التبديل δ للفضاءات الجزئية الذي يعكس التضمين، أي

S ⊆ T ⇒ T ^δ ⊆ S ^δ لجميع الفضاءات الجزئية S و T من G ،

يُطلق عليه اسم الارتباط . تُظهر نتيجة بيركوف وفون نيومان (1936) ^{[ 7 ]} أن ارتباطات الهندسات الإسقاطية ديسارغيس تُقابل الأشكال السسكويلينية غير المنحلة على الفضاء المتجهي الأساسي. ^{[ 5 ]} يكون الشكل السسكويليني φ غير منحل إذا كان φ ( x , y ) = 0 لجميع قيم y في V (إذا و) فقط إذا كان x = 0 .

لتحقيق التعميم الكامل لهذا البيان، ولأن كل هندسة إسقاطية ديسارغيسية يمكن تحديد إحداثياتها بواسطة حلقة قسمة ، قام راينهولد باير بتوسيع تعريف الشكل شبه الخطي ليشمل حلقة القسمة، الأمر الذي يتطلب استبدال الفضاءات المتجهة بوحدات R. ^{[ 8 ]} (في الأدبيات الهندسية ، لا تزال هذه تُشار إليها إما كفضاءات متجهة يسارية أو يمينية فوق حقول مائلة.) ^{[ 9 ]}

إن تخصيص القسم المذكور أعلاه للحقول المائلة كان نتيجةً لتطبيقه على الهندسة الإسقاطية، وليس جزءًا أصيلًا من طبيعة الأشكال شبه الخطية. ولا يتطلب تعميم صيغة الحقل العشوائي للتعريف ليشمل الحلقات العشوائية سوى تعديلات طفيفة لمراعاة عدم تبادلية الضرب.

ليكن R حلقة ، و V وحدة نمطية R ، و σ تماثلًا مضادًا لـ R.​

تكون الدالة φ  : V × V → R خطية σ- إذا

${\displaystyle \varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)}$

${\displaystyle \varphi (cx,dy)=c\,\varphi (x,y)\,\sigma (d)}$

لكل x و y و z و w في V ولكل c و d في R.​

يكون العنصر x متعامدًا مع عنصر آخر y بالنسبة للصيغة الخطية φ (المكتوبة x ⊥ y ) إذا كان φ ( x , y ) = 0. ولا يشترط أن تكون هذه العلاقة متناظرة، أي أن x ⊥ y لا يعني بالضرورة أن y ⊥ x .

يكون الشكل شبه الخطي φ  : V × V → R انعكاسيًا (أو متناظرًا ) إذا كان φ ( x , y ) = 0 يستلزم φ ( y , x ) = 0 لجميع x , y في V.

يكون الشكل شبه الخطي φ  : V × V → R هيرميتيًا إذا وُجد σ بحيث ^{[ 10 ] : 325}

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))}$

لكل x و y في V. الشكل الهرميتي انعكاسي بالضرورة، وإذا كان غير صفري، فإن التشاكل المضاد المرتبط به σ هو انعكاس (أي من الرتبة 2).

بما أنَّ σ ( st ) = σ ( t ) σ ( s ) لكل s و t في R ، إذا كان σ = id ، فإنَّ R يجب أن يكون تبديليًا و φ شكلًا ثنائي الخطية. على وجه الخصوص، إذا كان R حقلًا معكوسًا في هذه الحالة، فإنَّ R حقل و V فضاء متجهي ذو شكل ثنائي الخطية.

يمكن أيضًا اعتبار التشاكل العكسي σ  : R → R تشاكلًا R → R ^op ، حيث R ^op هي الحلقة المقابلة لـ R ، والتي لها نفس المجموعة الأساسية ونفس عملية الجمع، ولكن عملية الضرب فيها ( * ) مُعرَّفة بالعلاقة a * b = ba ، حيث يكون الناتج على اليمين هو الناتج في R. ويترتب على ذلك أنه يمكن تحويل وحدة R اليمنى (اليسرى) V إلى وحدة R ^op اليسرى (اليمنى) ، V ^o . ^{[ 11 ]} وبالتالي ، يمكن اعتبار الشكل شبه الخطي φ  : V × V → R شكلًا ثنائي الخطية φ ′  : V × V ^o → R.

• *-جرس

• ديمبوفسكي ، بيتر (1968)، الهندسة المحدودة ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ، الفرقة 44، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 3-540-61786-8، MR 0233275 
• غرونبيرغ، ك. و.؛ وير، أ. ج. (1977)، الهندسة الخطية (  الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-90227-9
• جاكوبسون، ناثان ج. (2009) [1985]، الجبر الأساسي 1 (الطبعة الثانية  )، دوفر، ISBN 978-0-486-47189-1

• "الشكل شبه الخطي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]