الخط (الهندسة)

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، تُعرّف معادلة من الدرجة الأولى بدلالة المتغيرات س ، ص ، ع مستوىً ، وبالتالي فإن معادلتين من هذا النوع، بشرط ألا يكون المستويان الناتجين عنهما متوازيين، تُعرّفان خطًا مستقيمًا يُمثل نقطة تقاطع هذين المستويين. وبشكل أعم، في الفضاء ذي الأبعاد ن، تُعرّف ن - ١ معادلة من الدرجة الأولى بدلالة المتغيرات الإحداثية ن خطًا مستقيمًا في ظل شروط مناسبة.

في الفضاء الإقليدي بشكل عام ،${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$( وبالمثل في كل فضاء أفيني آخر )، فإن الخط L الذي يمر بنقطتين مختلفتين a و b هو المجموعة الجزئية $${\displaystyle L=\left\{(1-t)\,a+tb\mid t\in \mathbb {R} \right\}.}$$يُشير اتجاه الخط الموجه أعلاه إلى اتجاه الخط الموجه من نقطة مرجعية a (عند الزمن t = 0 ) إلى نقطة هدف b ( عند الزمن t = 1 )، أو بعبارة أخرى، في اتجاه المتجه النسبي b - a . يُسمى الخط الموجه أيضًا محورًا ، خاصةً إذا كان له دور مميز (مثل محور الدوران ). ^{[ 3 ]} يؤدي تبديل النقطتين a و b إلى الحصول على الخط الموجه المعاكس .

في الهندسة الإقليدية، جميع الخطوط متطابقة ، أي أنه يمكن الحصول على أي خط بتحريك خط معين. مع ذلك، قد تؤدي الخطوط أدوارًا خاصة بالنسبة للأشكال الهندسية الأخرى ، ويمكن تصنيفها وفقًا لهذه العلاقة.

على سبيل المثال، بالنسبة للمخروط ( دائرة ، أو قطع ناقص ، أو قطع مكافئ ، أو قطع زائد )، يمكن أن تكون الخطوط كالتالي:

• الخطوط المماسية التي تلامس القطع المخروطي عند نقطة واحدة؛
• الخطوط القاطعة التي تتقاطع مع القطع المخروطي عند نقطتين وتمر عبر داخله؛ ^{[ 6 ]}
• الخطوط الخارجية التي لا تلتقي بالقطع المخروطي في أي نقطة من المستوى الإقليدي؛ أو
• دليل ، تساعد المسافة التي تقطعها النقطة على تحديد ما إذا كانت النقطة تقع على القطع المخروطي.
• خط إحداثي ، بُعد إحداثي خطي

في سياق تحديد التوازي في الهندسة الإقليدية، فإن القاطع هو خط يتقاطع مع خطين آخرين قد يكونان متوازيين أو غير متوازيين.

بالنسبة للمنحنيات الجبرية الأكثر عمومية ، يمكن أن تكون الخطوط أيضًا:

• خطوط القاطع من الرتبة i ، التي تلتقي بالمنحنى في i نقطة محسوبة بدون تكرار، أو
• الخطوط المقاربة ، التي يقترب منها المنحنى بشكل دقيق للغاية دون أن يلامسها. ^{[ 7 ]}

فيما يتعلق بالمثلثات لدينا:

• خط أويلر ،
• خطوط سيمسون ، و
• الخطوط المركزية .

بالنسبة للشكل الرباعي المحدب الذي يحتوي على ضلعين متوازيين على الأكثر، فإن خط نيوتن هو الخط الذي يربط بين منتصفي القطرين . ^{[ 8 ]}

بالنسبة لسداسي الأضلاع ذي رؤوس تقع على قطع مخروطي، لدينا خط باسكال ، وفي الحالة الخاصة حيث يكون القطع المخروطي عبارة عن زوج من الخطوط، لدينا خط بابوس .

الخطوط المتوازية هي خطوط تقع في نفس المستوى ولا تتقاطع أبدًا. الخطوط المتقاطعة تشترك في نقطة واحدة. الخطوط المتطابقة تتطابق تمامًا، فكل نقطة تقع على أي منهما تقع أيضًا على الآخر.

الخطوط المتعامدة هي خطوط تتقاطع بزوايا قائمة . ^{[ 9 ]}

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، الخطوط المائلة هي خطوط لا تقع في نفس المستوى وبالتالي لا تتقاطع مع بعضها البعض.

في الهندسة التركيبية ، يُعتبر مفهوم الخط في كثير من الأحيان مفهوماً أولياً ، ^{[ 1 ] : 95} بمعنى أنه لا يُعرَّف باستخدام مفاهيم أخرى، بل يُعرَّف بالخصائص التي تُسمى بديهيات ، والتي يجب أن يستوفيها. ^{[ 10 ]}

مع ذلك، فإن التعريف البديهي للخط لا يُوضح أهمية المفهوم، وغالبًا ما يكون مُجردًا للغاية بالنسبة للمبتدئين. لذا، يُستبدل التعريف أو يُستكمل بصورة ذهنية أو وصف بديهي يُتيح فهم ماهية الخط. تُسمى هذه الأوصاف أحيانًا بالتعريفات، لكنها ليست تعريفات حقيقية لأنها لا تُستخدم في البراهين الرياضية . يندرج "تعريف" الخط في كتاب الأصول لإقليدس ضمن هذه الفئة؛ ^{[ 1 ] : 95} ، ولا يُستخدم أبدًا في براهين النظريات.

تتميز الخطوط في المستوى الديكارتي، أو بشكل أعم، في الإحداثيات الأفينية ، بمعادلات خطية. وبشكل أدق، فإن كل خط L (بما في ذلك الخطوط الرأسية) هو مجموعة جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها ( x ، y ) معادلة خطية؛ أي $${\displaystyle L=\{(x,y)\mid ax+by=c\},}$$ حيث a و b و c أعداد حقيقية ثابتة (تسمى معاملات ) بحيث لا يكون كل من a و b مساوياً للصفر. باستخدام هذا الشكل، تتوافق الخطوط الرأسية مع المعادلات التي يكون فيها b = 0 .

يمكن للمرء أن يفترض أيضًا إما c = 1 أو c = 0 ، عن طريق قسمة كل شيء على c إذا لم يكن صفرًا.

توجد طرق عديدة لكتابة معادلة الخط المستقيم، ويمكن تحويلها جميعًا من صيغة إلى أخرى باستخدام العمليات الجبرية. تُسمى الصيغة المذكورة أعلاه أحيانًا بالصيغة القياسية . إذا وُضع الحد الثابت على اليسار، تصبح المعادلة $${\displaystyle ax+by-c=0,}$$ ويُطلق على هذا أحيانًا اسم الصيغة العامة للمعادلة. ومع ذلك، فإن هذا المصطلح ليس مقبولًا عالميًا، ولا يُميّز العديد من المؤلفين بين هاتين الصيغتين.

تُسمى هذه الأشكال عمومًا بنوع المعلومات (البيانات) المتعلقة بالخط والتي يلزم كتابتها. ومن أهم بيانات الخط ميله، ومقطعه مع المحور السيني ، والنقاط المعروفة عليه، ومقطعه مع المحور الصادي .

_يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم المار بنقطتين مختلفتين P₀ ₍ x₀ , y₀ ) و P₁ ( x₁ , y₁ _{) على النحو} التالي _:$${\displaystyle (y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0}).}$$ إذا كانت _x₀ ≠ x₁ ، فيمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على النحو التالي _:$${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}\\[4pt]&=x{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\end{aligned}}}$$ في بعدين ، غالباً ما تُعطى معادلة الخطوط غير الرأسية في شكل الميل والمقطع :

$${\displaystyle y=mx+b}$$ أين

يمثل m ميل الخط أو انحداره .

b هو نقطة تقاطع الخط مع المحور الصادي.

x هو المتغير المستقل للدالة y = f ( x ) .

ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين A ( x _{_a} , y_{_a} ) و B ( x _{_b} , y_{_b} ) ، عندما x _{_a} ≠ x_{_b}، يُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle m={\frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$$ويمكن كتابة معادلة هذا الخط $${\displaystyle y=m(x-x_{a})+y_{a}.}$$

ملاحظة: يمكن أيضًا وصف الخطوط في ثلاثة أبعاد بأنها الحلول المتزامنة لمعادلتين خطيتين$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}&=0\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}&=0\end{aligned}}}$$ بحيث لا تكون ( a₁ _, b₁ _, c₁ ) و ( a₂ , b₂ , c₂ ₎ متناسبتين ( العلاقات _a₁ = _ta₂ ، b₁ = _{tb₂ ، c₁} = tc₂ تعني أن _t = 0 ) . ويعود ذلك إلى أنه في ثلاثة أبعاد ، عادةً ما _{تصف معادلة} خطية واحدة مستوىً ، والخط هو ما يربط بين مستويين متقاطعين مختلفين _.

تُستخدم المعادلات البارامترية أيضًا لتحديد الخطوط، وخاصة تلك الموجودة في ثلاثة أبعاد أو أكثر، لأنه في أكثر من بعدين لا يمكن وصف الخطوط بمعادلة خطية واحدة.

في ثلاثة أبعاد، غالباً ما يتم وصف الخطوط بواسطة معادلات بارامترية: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$ أين:

• x و y و z كلها دوال للمتغير المستقل t الذي يتراوح على الأعداد الحقيقية.
• ( x0 _, y0 , _{z0 )} هي أي نقطة على الخط.
• ترتبط a و b و c بميل الخط، بحيث يكون متجه الاتجاه ( a و b و c ) موازياً للخط.

تتشابه المعادلات البارامترية للخطوط في الأبعاد الأعلى من حيث أنها تعتمد على تحديد نقطة واحدة على الخط ومتجه الاتجاه.

تعتمد الصيغة المعيارية (وتُسمى أيضًا صيغة هيس المعيارية، [11] نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني لودفيج أوتو هيس) على القطعة المستقيمة العمودية على خط ^{مستقيم مُعطى ،} وهي القطعة المستقيمة المرسومة من نقطة الأصل عموديًا على الخط. تصل هذه القطعة المستقيمة نقطة الأصل بأقرب نقطة على الخط إليها. تُعطى الصيغة المعيارية لمعادلة الخط المستقيم في المستوى بالصيغة التالية: $${\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0,}$$ حيث φ هي زاوية ميل القطعة العمودية (الزاوية الموجهة من متجه الوحدة للمحور x إلى هذه القطعة)، و p هو طول القطعة العمودية (الموجب). ويمكن اشتقاق الشكل العمودي من الشكل القياسي.${\displaystyle ax+by=c}$بقسمة جميع المعاملات على $${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$$ وكذلك الضرب في -1 إذا كانت قيمة c < 0 .

بخلاف صيغتي الميل والمقطع، يمكن لهذه الصيغة تمثيل أي خط مستقيم، ولكنها لا تتطلب سوى تحديد معلَمين محدودين، هما φ و p. إذا كان p > 0 ، فإن φ تُعرَّف بشكل فريد بتردد 2π . من جهة أخرى، إذا كان الخط يمر بنقطة الأصل ( c = p = 0 )، يُحذف الحد c / | c | لحساب sin φ و cos φ ، وبالتالي فإن φ تُعرَّف فقط بتردد π .

معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين A و B هي:${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB} }$(حيث λ كمية قياسية ).

إذا كان a هو المتجه OA و b هو المتجه OB ، فيمكن كتابة معادلة الخط على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )}$$

يُوصَف الشعاع الذي يبدأ من النقطة A بنهاية λ . يُحصل على شعاع واحد إذا كانت λ ≥ 0 ، ويأتي الشعاع المعاكس من λ ≤ 0 .

في المستوى الديكارتي ، ترتبط الإحداثيات القطبية ( r ، θ ) بالإحداثيات الديكارتية من خلال المعادلات البارامترية: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .}$$

في الإحداثيات القطبية، يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم الذي لا يمر بنقطة الأصل - النقطة ذات الإحداثيات (0، 0) - على النحو التالي:$${\displaystyle r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},}$$ مع r > 0 و${\displaystyle \varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.}$هنا، p هو الطول (الموجب) للقطعة المستقيمة العمودية على الخط والمحددة بنقطة الأصل والخط، و φ هي الزاوية (الموجهة) من المحور x إلى هذه القطعة.

قد يكون من المفيد التعبير عن المعادلة بدلالة الزاوية${\displaystyle \alpha =\varphi +\pi /2}$بين المحور السيني والخط. في هذه الحالة، تصبح المعادلة $${\displaystyle r={\frac {p}{\sin(\theta -\alpha )}},}$$ مع r > 0 و 0 < θ < α + π .

يمكن اشتقاق هذه المعادلات من الشكل الطبيعي لمعادلة الخط عن طريق وضع $${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta ,}$$ ثم تطبيق متطابقة فرق الزاوية للجيب أو جيب التمام.

ويمكن أيضًا إثبات هذه المعادلات هندسيًا عن طريق تطبيق تعريفات المثلث القائم الزاوية للجيب وجيب التمام على المثلث القائم الزاوية الذي تكون نقطة الخط ونقطة الأصل رؤوسه، والخط وعموده المار بنقطة الأصل أضلاعه.

لا تنطبق الصيغ السابقة على خط يمر بنقطة الأصل، ولكن يمكن كتابة صيغة أبسط: الإحداثيات القطبية ( r ، θ ) لنقاط خط يمر بنقطة الأصل ويصنع زاوية${\displaystyle \alpha }$مع المحور السيني ، تكون الأزواج${\displaystyle (r,\theta )}$بحيث $${\displaystyle r\geq 0,\qquad {\text{and}}\quad \theta =\alpha \quad {\text{or}}\quad \theta =\alpha +\pi .}$$

في العديد من نماذج الهندسة الإسقاطية ، نادرًا ما يتوافق تمثيل الخط مع مفهوم "المنحنى المستقيم" كما هو مُصوَّر في الهندسة الإقليدية. نرى مثالًا نموذجيًا على ذلك في الهندسة الإهليلجية . ^{[ 1 ] : 108} في التمثيل الكروي للهندسة الإهليلجية، تُمثَّل الخطوط بدوائر عظمى على سطح كرة، حيث تُحدَّد النقاط المتقابلة قطريًا. في نموذج آخر للهندسة الإهليلجية، تُمثَّل الخطوط بمستويات إقليدية تمر بنقطة الأصل. على الرغم من اختلاف هذه التمثيلات ظاهريًا، إلا أنها تُحقق جميع الخصائص (مثل تحديد نقطتين لخط واحد) التي تجعلها تمثيلات مناسبة للخطوط في هذه الهندسة.

يمكن تعميم "قصر" و "استقامة" الخط، والتي تفسر على أنها خاصية تقليل المسافة على طول الخط بين أي نقطتين منه (انظر متباينة المثلث )، وتؤدي إلى مفهوم الجيوديسيات في الفضاءات المترية .

بفرض وجود خط مستقيم ونقطة A عليه، يمكننا اعتبار A بمثابة تقسيم لهذا الخط إلى جزأين. يُسمى كل جزء من هذين الجزأين شعاعًا (أو نصف خط مستقيم )، وتُسمى النقطة A نقطة بدايته . يُطلق عليه أحيانًا نصف محور إذا كان له دور مميز، مثل نصفي المحور الموجب والسالب لمحور إحداثي . وهو نصف فضاء أحادي البعد . تُعتبر النقطة A جزءًا من الشعاع. ^{[ أ ]} بشكل بديهي، يتكون الشعاع من النقاط الواقعة على خط مستقيم يمر بالنقطة A ويمتد إلى ما لا نهاية، بدءًا من A ، في اتجاه واحد فقط على طول الخط. مع ذلك، يتطلب استخدام مفهوم الشعاع هذا في البراهين تعريفًا أكثر دقة.

بفرض وجود نقطتين مختلفتين A و B ، فإنهما تحددان شعاعًا فريدًا يبدأ من النقطة A. وبما أن نقطتين تحددان خطًا مستقيمًا فريدًا، فإن هذا الشعاع يتكون من جميع النقاط الواقعة بين A و B ( بما في ذلك A و B ) وجميع النقاط C على الخط المار بـ A و B بحيث تقع B بين A و C. ^{[ 13 ]} ويُعبَّر عن ذلك أحيانًا أيضًا بمجموعة جميع النقاط C على الخط المحدد بواسطة A و B بحيث لا تقع A بين B و C. ^{[ 14} ] أما النقطة D ، الواقعة على الخط المحدد بواسطة A و B ولكنها ليست على الشعاع الذي يبدأ من النقطة A والمحدد بواسطة B ، فستحدد شعاعًا آخر يبدأ من النقطة ^A. وبالنسبة للشعاع AB ، يُسمى الشعاع AD بالشعاع المقابل .

وبالتالي، يمكننا القول إن نقطتين مختلفتين، A و B ، تُحددان خطًا مستقيمًا، وتفكيكًا لهذا الخط إلى اتحاد منفصل لقطعة مستقيمة مفتوحة ( A , B ) وشعاعين، BC و AD (النقطة D غير مرسومة في الرسم، ولكنها تقع على يسار A على الخط AB ). وهذان الشعاعان ليسا متعاكسين لأنهما يبدآن من نقطتين مختلفتين.

في الهندسة الإقليدية، يشكل شعاعان لهما نقطة نهاية مشتركة زاوية . ^{[ 15 ]}

يعتمد تعريف الشعاع على مفهوم التوسط بين النقاط الواقعة على خط مستقيم. وعليه، فإن الأشعة لا توجد إلا في الهندسات التي يتوفر فيها هذا المفهوم، كالهندسة الإقليدية أو الهندسة الأفينية على حقل مرتب . في المقابل، لا توجد الأشعة في الهندسة الإسقاطية ولا في الهندسة على حقل غير مرتب، كالأعداد المركبة أو أي حقل منتهٍ .

القطعة المستقيمة هي جزء من خط مستقيم محدد بنقطتي نهاية مختلفتين، وتحتوي على كل نقطة تقع على الخط بين هاتين النقطتين. وبحسب تعريف القطعة المستقيمة، قد تكون إحدى نقطتي النهاية جزءًا منها أو لا. قد تشترك قطعتان مستقيمتان أو أكثر في بعض العلاقات مع الخطوط المستقيمة، كأن تكونا متوازيتين أو متقاطعتين أو متخالفتين، ولكن على عكس الخطوط المستقيمة، قد لا تشتركان في أي من هذه العلاقات، إذا كانتا تقعان في مستوى واحد ولا تتقاطعان أو تقعان على استقامة واحدة .

تُقابل كل نقطة على خط الأعداد عددًا حقيقيًا ، والعكس صحيح. ^{[ 16 ]} عادةً ما تكون الأعداد الصحيحة موزعة بانتظام على الخط، حيث تقع الأعداد الموجبة على اليمين والأعداد السالبة على اليسار. وكامتداد لهذا المفهوم، يمكن رسم خط وهمي يُمثل الأعداد التخيلية عموديًا على خط الأعداد عند الصفر. ^{[ 17 ]} يُشكل هذان الخطان المستوى المركب ، وهو تمثيل هندسي لمجموعة الأعداد المركبة .