ملخص سيزارو

الموسوعة الحرة

في التحليل الرياضي ، تُسند عملية جمع سيزارو قيمًا لبعض المجاميع اللانهائية التي لا تكون بالضرورة متقاربة بالمعنى المعتاد. يُعرَّف مجموع سيزارو ، المعروف أيضًا باسم متوسط ​​سيزارو [ 1 ] [ 2 ] أو نهاية سيزارو [ 3 ] ، بأنه نهاية متتالية المتوسطات الحسابية لأول n مجموع جزئي من المتسلسلة عندما يؤول n إلى اللانهاية.

هذه الحالة الخاصة من طريقة جمع المصفوفات سميت على اسم المحلل الإيطالي إرنستو سيزارو (1859-1906).

قد يكون مصطلح "المجموع" مُضللاً، إذ يُمكن القول إن بعض العبارات والبراهين المتعلقة بمجموع سيزارو تُشير إلى خدعة إيلنبرغ-مازور . على سبيل المثال، يُطبّق هذا المصطلح عادةً على متسلسلة غراندي، مع استنتاج أن مجموع تلك المتسلسلة يساوي 1/2.

تعريف

يترك(أن)ن=1∞{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}لتكن متتالية ، ولتكن

sك=أ1+⋯+أك=∑ن=1كأن{\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}

ليكن مجموعها الجزئي رقم k .

تُسمى المتتالية ( a n ) قابلة للجمع وفقًا لقاعدة سيزارو ، حيث يكون مجموع سيزارو A ∈R{\displaystyle \mathbb {R} }، إذا كان المتوسط ​​الحسابي لأول n مجموع جزئي لها s1 ، s2 ، ...، sn يؤول إلى A عندما يؤول n إلى اللانهاية :

ليمن→∞1ن∑ك=1نsك=أ.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.}

تُسمى قيمة النهاية الناتجة مجموع سيزارو للمتسلسلة∑ن=1∞أن.{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty}a_{n}.} إذا كانت هذه المتسلسلة متقاربة، فإنها قابلة للجمع وفقًا لمعادلة سيزارو، ويكون مجموع سيزارو الخاص بها هو المجموع المعتاد.

أمثلة

المثال الأول

ليكن a n = (−1) n لـ n ≥ 0. أي،(أن)ن=0∞{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}التسلسل

(1،-1،1،-1،...).{\displaystyle (1,-1,1,-1,\ldots ).}

لنرمز بـ G إلى المتسلسلة

جي=∑ن=0∞أن=1-1+1-1+1-⋯{\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots }

تُعرف السلسلة G باسم سلسلة غراندي .

يترك(sك)ك=0∞{\displaystyle (s_{k})_{k=0}^{\infty }}لنرمز إلى متتالية المجاميع الجزئية لـ G :

sك=∑ن=0كأن(sك)=(1،0،1،0،...).{\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\\(s_{k})&=(1,0,1,0,\ldots ).\end{aligned}}}

لا تتقارب هذه المتتالية من المجاميع الجزئية، لذا فإن المتسلسلة G متباعدة. ومع ذلك، فإن G قابلة للجمع وفقًا لطريقة سيزارو. ليكن(تن)ن=1∞{\displaystyle (t_{n})_{n=1}^{\infty }}لتكن سلسلة المتوسطات الحسابية لأول n مجموع جزئي:

تن=1ن∑ك=0ن-1sك(تن)=(11،12،23،24،35،36،47،48،...).\begin{aligned}t_{n}&=\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}\\(t_{n})&=\left(\frac {1}{1}},\frac {1}{2}},\frac {2}{3}},\frac {2}{4}},\frac {3}{5}},\frac {3}{6}},\frac {4}{7}},\frac {4}{8}},\ldots \right).\end{aligned}}}

ثم

ليمن→∞تن=1/2،{\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2,}

وبالتالي، فإن مجموع سيزارو للمتسلسلة G هو 1/2 .

المثال الثاني

كمثال آخر، لنفترض أن a n = n لـ n ≥ 1. أي،(أن)ن=1∞{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}التسلسل

(1،2،3،4،...).{\displaystyle (1,2,3,4,\ldots ).}

لنرمز الآن إلى المتسلسلة G

جي=∑ن=1∞أن=1+2+3+4+⋯{\displaystyle G=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1+2+3+4+\cdots }

ثم سلسلة المجاميع الجزئية(sك)ك=1∞{\displaystyle (s_{k})_{k=1}^{\infty }}يكون

(1،3،6،10،...).{\displaystyle (1,3,6,10,\ldots ).}

بما أن متتالية المجاميع الجزئية تنمو بلا حدود، فإن المتسلسلة G تتباعد إلى ما لا نهاية. متتالية ( t n ) لمتوسطات المجاميع الجزئية لـ G هي

(11،42،103،204،...).{\displaystyle \left({\frac {1}{1}},{\frac {4}{2}},{\frac {10}{3}},{\frac {20}{4}},\ldots \right).}

تتباعد هذه المتتالية إلى ما لا نهاية أيضًا، لذا فإن G ليست قابلة للجمع وفقًا لطريقة سيزارو. في الواقع، بالنسبة لمتسلسلة أي متتالية تتباعد إلى ما لا نهاية (موجبة أو سالبة)، فإن طريقة سيزارو تؤدي أيضًا إلى متسلسلة متتالية تتباعد بالمثل، وبالتالي فإن هذه المتسلسلة ليست قابلة للجمع وفقًا لطريقة سيزارو.

(ج، α ) المجموع

في عام 1890، وضع إرنستو سيزارو مجموعة أوسع من طرق الجمع التي تُعرف منذ ذلك الحين باسم (C, α ) للأعداد الصحيحة غير السالبة α . طريقة (C, 0) هي مجرد جمع عادي، وطريقة (C, 1) هي جمع سيزارو كما هو موضح أعلاه.

يمكن وصف الطرق ذات الرتبة الأعلى على النحو التالي: بالنظر إلى سلسلة Σ a n ، حدد الكميات

أن-1=أنأنα=∑ك=0نأكα-1{\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}^{-1}&=a_{n}\\A_{n}^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}\end{aligned}}}

(حيث لا تشير المؤشرات العليا إلى الأسس) ونُعرّف E α n على أنها A α n للمتسلسلة 1 + 0 + 0 + 0 + ... . عندئذٍ ، يُرمز إلى مجموع (C, α ) لـ Σ a n بالرمز (C, α )-Σ a n ويكون له القيمة

(ج،α)-∑ج=0∞أج=ليمن→∞أنαهـنα//

إذا وُجد ( شاوير وواتسون 1994 ، ص 16-17) . يُمثل هذا الوصف تطبيقًا مُكررًا α مرة لطريقة الجمع الأولي، ويمكن إعادة صياغته على النحو التالي:

(ج،α)-∑ج=0∞أج=ليمن→∞∑ج=0ن(نج)(ن+αج)أج=ليمن→∞∑ج=0ن(ن-ج+1)α(ن+1)αأج.{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\binom {n}{j}}{\binom {n+\alpha }{j}}}a_{j}\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\left(n-j+1\right)_{\alpha }}{\left(n+1\right)_{\alpha }}}a_{j}{\text{.}}\end{aligned}}}

وبشكل أعم، بالنسبة لـ α ∈R{\displaystyle \mathbb {R} }\Z{\displaystyle \mathbb {Z} }− ، ليكن A α n معطاة ضمنيًا بواسطة معاملات المتسلسلة

∑ن=0∞أنαxن=∑ن=0∞أنxن(1-x)1+α،{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}

و E α n كما سبق. على وجه الخصوص، E α n هي معاملات ذات الحدين ذات القوة −1 − α . عندئذٍ يُعرَّف مجموع (C, α ) لـ Σ a n كما سبق.

إذا كان لـ Σ a n مجموع (C, α ) ، فإنه يحتوي أيضًا على مجموع (C, β ) لكل β > α ، وتتفق المجاميع؛ علاوة على ذلك، لدينا a n = o ( n α ) إذا كان α > −1 (انظر رمز o الصغير ).

قابلية جمع التكامل وفقًا لطريقة سيزارو

ليكن α ≥ 0. التكامل∫0∞و(x)دx{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}تكون (C, α ) قابلة للجمع إذا

ليمλ→∞∫0λ(1-xλ)αو(x)دx{\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\,dx}

موجودة ومحدودة ( تيتشمارش 1948 ، §1.15) . قيمة هذه النهاية، إن وُجدت، هي مجموع التكامل (C, α ) . وبالمثل لحالة مجموع متسلسلة، إذا كانت α = 0 ، فإن النتيجة هي تقارب التكامل المعتل . في حالة α = 1 ، يكون التقارب (C, 1) مكافئًا لوجود النهاية.

ليمλ→∞1λ∫0λ∫0xو(y)دyدx{\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\int _{0}^{x}f(y)\,dy\,dx}

وهو حد متوسطات التكاملات الجزئية.

كما هو الحال مع المتسلسلات، إذا كان التكامل قابلاً للجمع (C، α ) لبعض قيم α ≥ 0 ، فإنه يكون قابلاً للجمع (C، β ) لجميع β > α ، وقيمة النهاية الناتجة هي نفسها.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ هاردي، جي إتش (1992). المتسلسلات المتباعدة . بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-2649-2.
  2. ↑ كاتزنيلسون، يتسحاق (1976). مقدمة في التحليل التوافقي . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-63331-2.
  3. ↑ هينك سي. تيمز (2003). مدخل إلى النماذج العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 439. ISBN  978-0-471-49880-3.

فهرس