الاقتصاد الرياضي

📅 آخر تحديث: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 25 صور
الموسوعة الحرة

الاقتصاد الرياضي هو تطبيق الأساليب الرياضية لتمثيل النظريات وتحليل المشكلات في الاقتصاد . غالبًا ما تتجاوز هذه الأساليب التطبيقية الهندسة البسيطة، وقد تشمل حساب التفاضل والتكامل ، والمعادلات التفاضلية والفرق ، وجبر المصفوفات ، والتحسين الرياضي ، أو غيرها من الأساليب الحسابية . [ 1 ] [ 2 ] ويزعم مؤيدو هذا النهج أنه يسمح بصياغة العلاقات النظرية بدقة وعمومية وبساطة. [ 3 ]

تُمكّن الرياضيات الاقتصاديين من صياغة افتراضات ذات مغزى وقابلة للاختبار حول مواضيع واسعة النطاق ومعقدة، يصعب التعبير عنها بلغة غير رسمية. علاوة على ذلك، تُمكّن لغة الرياضيات الاقتصاديين من تقديم ادعاءات محددة وإيجابية حول مواضيع مثيرة للجدل، وهو أمر مستحيل بدونها. [ 4 ] يُقدّم جزء كبير من النظرية الاقتصادية حاليًا في صورة نماذج اقتصادية رياضية ، وهي مجموعة من العلاقات الرياضية المُبسّطة والمُنمّقة التي تُستخدم لتوضيح الافتراضات والآثار المترتبة. [ 5 ]

تشمل التطبيقات الواسعة ما يلي:

بدأ النمذجة الاقتصادية الرسمية في القرن التاسع عشر باستخدام حساب التفاضل والتكامل لتمثيل السلوك الاقتصادي وتفسيره، مثل تعظيم المنفعة ، وهو تطبيق اقتصادي مبكر للتحسين الرياضي . وازدادت الجوانب الرياضية في علم الاقتصاد خلال النصف الأول من القرن العشرين، إلا أن ظهور تقنيات جديدة ومعممة في الفترة المحيطة بالحرب العالمية الثانية ، كما في نظرية الألعاب ، وسّع بشكل كبير نطاق استخدام الصيغ الرياضية في الاقتصاد. [ 8 ] [ 7 ]

أثار هذا التطور السريع في منهجية علم الاقتصاد قلق منتقدي هذا العلم، فضلاً عن بعض الاقتصاديين البارزين. فقد انتقد جون ماينارد كينز ، وروبرت هايلبرونر ، وفريدريك هايك ، وغيرهم، الاستخدام الواسع للنماذج الرياضية في تفسير السلوك البشري، بحجة أن بعض الخيارات البشرية لا يمكن اختزالها إلى الرياضيات.

تاريخ

يعود استخدام الرياضيات في خدمة التحليل الاجتماعي والاقتصادي إلى القرن السابع عشر. حينها، وبشكل رئيسي في الجامعات الألمانية ، ظهر أسلوب تدريس يركز على العرض التفصيلي للبيانات المتعلقة بالإدارة العامة. وقد حاضر غوتفريد أشنوال بهذا الأسلوب، وهو من صاغ مصطلح الإحصاء . في الوقت نفسه، أسست مجموعة صغيرة من الأساتذة في إنجلترا طريقة "للاستدلال بالأرقام في الأمور المتعلقة بالحكومة"، وأطلقوا على هذه الممارسة اسم الحساب السياسي . [ 9 ] كتب السير ويليام بيتي بإسهاب عن قضايا ستشغل بال الاقتصاديين لاحقًا، مثل الضرائب وسرعة تداول النقود والدخل القومي ، ولكن على الرغم من أن تحليله كان رقميًا، إلا أنه رفض المنهجية الرياضية المجردة. وقد أثر استخدام بيتي للبيانات الرقمية التفصيلية (إلى جانب جون غرانت ) على الإحصائيين والاقتصاديين لبعض الوقت، على الرغم من أن الباحثين الإنجليز تجاهلوا أعمال بيتي إلى حد كبير. [ 10 ]

بدأ استخدام الرياضيات في علم الاقتصاد بشكل جدي في القرن التاسع عشر. كان معظم التحليل الاقتصادي في ذلك الوقت يُعرف لاحقًا بالاقتصاد الكلاسيكي . كانت المواضيع تُناقش وتُحل باستخدام الوسائل الجبرية ، دون استخدام حساب التفاضل والتكامل. والأهم من ذلك، أنه حتى صدور كتاب يوهان هاينريش فون ثونين " الدولة المعزولة" عام ١٨٢٦، لم يطور الاقتصاديون نماذج سلوكية صريحة ومجردة يمكن تطبيق الأدوات الرياضية عليها. يُعد نموذج ثونين لاستخدام الأراضي الزراعية أول مثال على التحليل الهامشي. [ ١١ ] كان عمل ثونين نظريًا في معظمه، ولكنه استند أيضًا إلى بيانات تجريبية في محاولة لدعم تعميماته. بالمقارنة مع معاصريه، طور ثونين نماذج وأدوات اقتصادية بدلًا من تطبيق النماذج والأدوات الموجودة على مشاكل جديدة. [ ١٢ ]

في غضون ذلك، اتجهت مجموعة جديدة من الباحثين المُدرَّبين على الأساليب الرياضية للعلوم الفيزيائية نحو علم الاقتصاد، داعين إلى تطبيق تلك الأساليب في مجال تخصصهم، [ 13 ] ويُوصَف هذا الانتقال اليوم بأنه انتقال من الهندسة إلى الميكانيكا . [ 14 ] ومن بين هؤلاء و. س. جيفونز ، الذي قدّم ورقة بحثية حول "نظرية رياضية عامة للاقتصاد السياسي" عام 1862، مُقدِّمًا مخططًا لتطبيق نظرية المنفعة الحدية على الاقتصاد السياسي. [ 15 ] وفي عام 1871، نشر جيفونز كتاب "مبادئ الاقتصاد السياسي" ، مُعلنًا أن هذا العلم "يجب أن يكون رياضيًا لمجرد أنه يتعامل مع الكميات". وتوقع جيفونز أن جمع الإحصاءات المتعلقة بالأسعار والكميات هو وحده الكفيل بجعل هذا العلم، كما هو مُقدَّم، علمًا دقيقًا. [ 16 ] وقد سبقه آخرون وتبعوه في توسيع التمثيلات الرياضية للمشكلات الاقتصادية . [ 17 ]

أصحاب النظرية الحدية وجذور الاقتصاد الكلاسيكي الجديد

كميات التوازن كحل لدالتين للتفاعل في نموذج احتكار القلة من نوع كورنو. تُعبّر كل دالة تفاعل عن نفسها كمعادلة خطية تعتمد على الكمية المطلوبة.

بنى أوغستين كورنو وليون والراس أدوات هذا التخصص بشكل بديهي حول المنفعة، مُجادلين بأن الأفراد يسعون إلى تعظيم منفعتهم عبر الخيارات بطريقة يُمكن وصفها رياضيًا. [ 18 ] في ذلك الوقت، كان يُعتقد أن المنفعة قابلة للقياس الكمي، بوحدات تُعرف باسم وحدات المنفعة . [ 19 ] يُعتبر كورنو ووالراس وفرانسيس يسيدرو إيدجوورث رواد الاقتصاد الرياضي الحديث. [ 20 ]

أوغستين كورنو

قام كورنو، أستاذ الرياضيات، بتطوير معالجة رياضية عام 1838 لظاهرة الاحتكار الثنائي ، وهي حالة سوقية تُعرَّف بالمنافسة بين بائعين اثنين. [ 20 ] تُعرف هذه المعالجة للمنافسة، التي نُشرت لأول مرة في كتاب "أبحاث في المبادئ الرياضية للثروة" ، [ 21 ] باسم احتكار كورنو الثنائي . يفترض هذا النموذج أن كلا البائعين يتمتعان بإمكانية متساوية للوصول إلى السوق، وأنهما قادران على إنتاج سلعهم دون تكلفة. كما يفترض أن السلعتين متجانستان . يقوم كل بائع بتغيير إنتاجه بناءً على إنتاج الآخر، ويُحدد سعر السوق بناءً على إجمالي الكمية المعروضة. يُحدد ربح كل شركة بضرب إنتاجها في سعر السوق للوحدة الواحدة . يؤدي اشتقاق دالة الربح بالنسبة للكمية المعروضة لكل شركة إلى نظام من المعادلات الخطية، ويُعطي حلها المتزامن كمية التوازن والسعر والأرباح. [ 22 ] تم تجاهل إسهامات كورنو في إضفاء الطابع الرياضي على علم الاقتصاد لعقود، لكنها أثرت في نهاية المطاف على العديد من أنصار نظرية الحدية . [ 22 ] [ 23 ] كما تمثل نماذج كورنو للاحتكار الثنائي واحتكار القلة إحدى أولى صياغات الألعاب غير التعاونية . اليوم، يمكن تقديم الحل على شكل توازن ناش ، لكن عمل كورنو سبق نظرية الألعاب الحديثة بأكثر من 100 عام. [ 24 ]

ليون والراس

بينما قدّم كورنو حلاً لما سيُعرف لاحقاً بالتوازن الجزئي، سعى ليون والراس إلى صياغة نقاش الاقتصاد ككل من خلال نظرية التوازن التنافسي العام . ويُؤخذ سلوك كل فاعل اقتصادي في الاعتبار من جانبي الإنتاج والاستهلاك. قدّم والراس في الأصل أربعة نماذج منفصلة للتبادل، يُدمج كل منها بشكل متكرر في النموذج الذي يليه. ويُمثل حل نظام المعادلات الناتج (الخطية وغير الخطية) التوازن العام. [ 25 ] في ذلك الوقت، لم يكن من الممكن التعبير عن حل عام لنظام من المعادلات مهما كان عددها، لكن محاولات والراس أسفرت عن نتيجتين شهيرتين في علم الاقتصاد. الأولى هي قانون والراس، والثانية هي مبدأ التاتونمان . واعتُبرت طريقة والراس رياضية للغاية في ذلك الوقت، وقد علّق إيدجوورث بإسهاب على هذه الحقيقة في مراجعته لكتاب "عناصر الاقتصاد السياسي البحت". [ 26 ]

طُرح قانون والراس كإجابة نظرية لمشكلة تحديد الحلول في حالة التوازن العام. تختلف رموزه عن الرموز الحديثة، لكن يمكن التعبير عنه باستخدام رموز الجمع الحديثة. افترض والراس أنه في حالة التوازن، تُنفق جميع الأموال على جميع السلع: تُباع كل سلعة بسعر السوق الخاص بها، وينفق كل مشترٍ آخر دولار لديه على سلة من السلع. انطلاقًا من هذا الافتراض، استطاع والراس أن يُثبت أنه إذا كان هناك n سوقًا، ووصلت n-1 سوقًا منها إلى حالة توازن، فإن السوق رقم n سيصل إلى حالة توازن أيضًا. يسهل تصور ذلك من خلال سوقين (كما هو مُبين في معظم النصوص: سوق السلع وسوق النقد). إذا وصل أحد السوقين إلى حالة توازن، فلا يمكن لأي سلع إضافية (أو على العكس، أموال) أن تدخل أو تخرج من السوق الثاني، لذا يجب أن يكون في حالة توازن أيضًا. استخدم والراس هذا البيان لتقديم برهان على وجود حلول التوازن العام، ولكنه يُستخدم بشكل شائع اليوم في المرحلة الجامعية الأولى لتوضيح توازن السوق في أسواق المال. [ 27 ]

كان مفهوم "التاتونمان" (وهو مصطلح فرنسي يعني تقريبًا " التحسس نحو ") بمثابة التعبير العملي عن التوازن العام عند والراس. وقد صوّر والراس السوق على أنه مزاد للسلع، حيث يعلن البائع عن الأسعار، وينتظر المشاركون في السوق حتى يتمكن كل منهم من تلبية سعر الحجز الشخصي للكمية المطلوبة (مع الأخذ في الاعتبار أن هذا مزاد على جميع السلع، لذا فإن لكل شخص سعر حجز لسلة السلع التي يرغب بها). [ 28 ]

لن تتم المعاملات إلا عندما يرضى جميع المشترين بسعر السوق المحدد. عند هذا السعر، سيستقر السوق، فلا يكون هناك فائض أو نقص. يُستخدم مصطلح " التوازن " لوصف سعي السوق نحو التوازن، حيث يستقر على أسعار مرتفعة أو منخفضة للسلع المختلفة حتى يتم الاتفاق على سعر لجميع السلع. مع أن العملية تبدو ديناميكية، إلا أن والراس قدّم نموذجًا ثابتًا فقط، إذ لن تتم أي معاملات حتى تستقر جميع الأسواق. عمليًا، قليلٌ جدًا من الأسواق تعمل بهذه الطريقة. [ 29 ]

فرانسيس يسيدرو إيدجوورث

أدخل إيدجوورث العناصر الرياضية إلى علم الاقتصاد بشكل صريح في كتابه "علم النفس الرياضي: مقال في تطبيق الرياضيات على العلوم الأخلاقية" ، الذي نُشر عام 1881. [ 30 ] وقد اعتمد حساب جيريمي بنثام للتفاضل والتكامل على السلوك الاقتصادي، مما يسمح بتحويل نتيجة كل قرار إلى تغيير في المنفعة. [ 31 ] وانطلاقًا من هذا الافتراض، بنى إيدجوورث نموذجًا للتبادل قائمًا على ثلاثة افتراضات: أن الأفراد يسعون لتحقيق مصالحهم الذاتية، وأنهم يتصرفون لتعظيم منفعتهم، وأنهم "أحرار في إعادة التعاقد مع الآخرين بشكل مستقل عن أي طرف ثالث". [ 32 ]

صندوق إيدجوورث يعرض منحنى العقد في اقتصاد ذي مشاركين اثنين. يُشار إليه في المصطلحات الحديثة باسم "جوهر" الاقتصاد، وهناك عدد لا نهائي من الحلول على طول المنحنى للاقتصادات ذات المشاركين الاثنين [ 33 ].

في حالة وجود شخصين، تُوصف مجموعة الحلول التي تُمكّن كليهما من تحقيق أقصى منفعة بمنحنى العقد فيما يُعرف الآن باسم " مربع إيدجوورث" . من الناحية الفنية، لم يتم تطوير بناء حل الشخصين لمسألة إيدجوورث بيانيًا إلا في عام 1924 على يد آرثر ليون باولي . [ 34 ] يُشار إلى منحنى العقد لمربع إيدجوورث (أو بشكل أعم على أي مجموعة حلول لمسألة إيدجوورث لعدد أكبر من الفاعلين) باسم جوهر الاقتصاد. [ 35 ]

كرّس إيدجوورث جهودًا كبيرة للإصرار على أن البراهين الرياضية مناسبة لجميع المدارس الفكرية في علم الاقتصاد. وخلال فترة رئاسته لمجلة "ذا إيكونوميك جورنال" ، نشر عدة مقالات ينتقد فيها الدقة الرياضية للباحثين المنافسين، بمن فيهم إدوين روبرت أندرسون سيليغمان ، وهو من أبرز المشككين في الاقتصاد الرياضي. [ 36 ] ركزت المقالات على جدلٍ حول أثر الضرائب وردود فعل المنتجين. لاحظ إيدجوورث أن احتكار إنتاج سلعة ذات عرض مشترك ولكن ليس طلب مشترك (مثل الدرجة الأولى والدرجة السياحية في الطائرة، فإذا حلّقت الطائرة، فإن كلا المقعدين سيسافران معها) قد يؤدي في الواقع إلى خفض السعر الذي يراه المستهلك لإحدى السلعتين إذا طُبقت ضريبة. بدا المنطق السليم والتحليل العددي التقليدي يشيران إلى أن هذا الأمر غير منطقي. أصرّ سيليغمان على أن النتائج التي توصل إليها إيدجوورث كانت نتيجةً لخلل في صياغته الرياضية. واقترح أن افتراض دالة طلب مستمرة وتغيير طفيف للغاية في الضريبة أدى إلى هذه التنبؤات المتناقضة. أثبت هارولد هوتلينج لاحقًا صحة رأي إيدجوورث، وأن النتيجة نفسها (انخفاض السعر نتيجة للضريبة) يمكن أن تحدث مع دالة طلب غير متصلة وتغيرات كبيرة في معدل الضريبة. [ 37 ]

الاقتصاد الرياضي الحديث

منذ أواخر ثلاثينيات القرن العشرين، استُخدمت مجموعة من الأدوات الرياضية الجديدة، بما في ذلك حساب التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية، والمجموعات المحدبة ، ونظرية المخططات ، للنهوض بالنظرية الاقتصادية بطريقة مشابهة للأساليب الرياضية الجديدة التي طُبقت سابقًا على الفيزياء. [ 8 ] [ 38 ] ووُصفت هذه العملية لاحقًا بأنها انتقال من الميكانيكا إلى البديهيات . [ 39 ]

حساب التفاضل

حلل فيلفريدو باريتو الاقتصاد الجزئي من خلال اعتبار قرارات الفاعلين الاقتصاديين محاولات لتغيير حصة معينة من السلع إلى حصة أخرى أكثر تفضيلًا. ويمكن اعتبار مجموعات الحصص كفؤة وفقًا لمبدأ باريتو (أو الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو) عندما لا يمكن أن تحدث أي تبادلات بين الفاعلين من شأنها أن تُحسّن وضع فرد واحد على الأقل دون الإضرار بوضع أي فرد آخر. [ 40 ] غالبًا ما يُخلط بين برهان باريتو وتوازن والراس، أو يُنسب بشكل غير رسمي إلى فرضية اليد الخفية لآدم سميث . [ 41 ] في الواقع، كان بيان باريتو أول تأكيد رسمي لما سيُعرف لاحقًا بأنه النظرية الأساسية الأولى لاقتصاديات الرفاه . [ 42 ]

في كتابه الرائد "أسس التحليل الاقتصادي" (1947)، حدد بول سامويلسون نموذجًا مشتركًا وبنية رياضية موحدة عبر مجالات متعددة في هذا العلم، مستندًا إلى أعمال سابقة لألفريد مارشال . استقى كتاب "أسس التحليل الاقتصادي" مفاهيم رياضية من الفيزياء وطبقها على المشكلات الاقتصادية. هذه النظرة الشاملة (على سبيل المثال، مقارنة مبدأ لو شاتيليه بمفهوم "التوازن ") تُشكل الفرضية الأساسية للاقتصاد الرياضي: إمكانية نمذجة أنظمة الفاعلين الاقتصاديين ووصف سلوكها تمامًا كما هو الحال مع أي نظام آخر. جاء هذا التوسع استكمالًا لأعمال أصحاب نظرية الحدية في القرن السابق، ووسع نطاقها بشكل ملحوظ. تناول سامويلسون مشكلة تطبيق تعظيم المنفعة الفردية على المجموعات الكلية باستخدام التحليل المقارن ، الذي يقارن حالتي توازن بعد تغيير خارجي في متغير ما. هذه الطريقة، إلى جانب طرق أخرى في الكتاب، أرست الأساس للاقتصاد الرياضي في القرن العشرين. [ 7 ] [ 43 ]

النماذج الخطية

صاغ جون فون نيومان نماذج مقيدة للتوازن العام عام 1937. [ 44 ] وعلى عكس النماذج السابقة، تضمنت نماذج فون نيومان قيودًا على المتباينات. وفي نموذجه للاقتصاد المتنامي، أثبت فون نيومان وجود توازن فريد باستخدام تعميمه لنظرية النقطة الثابتة لبروير . وقد اعتمد نموذج فون نيومان للاقتصاد المتنامي على حزمة المصفوفات. أ-λب{\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {B} }مع المصفوفات غير السالبةأ{\displaystyle \mathbf {A} }وب{\displaystyle \mathbf {B} }سعى فون نيومان إلى إيجاد متجهات الاحتماليةص→{\displaystyle {\vec {p}}}وq→{\displaystyle {\vec {q}}}وعدد موجبλ{\displaystyle \lambda }من شأن ذلك أن يحل معادلة التكامليةصتي(أ-λب)q=0،{\displaystyle p^{\mathrm {T} }(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {B})q=0,} إلى جانب نظامين من المتباينات يعبران عن الكفاءة الاقتصادية. في هذا النموذج، متجه الاحتمال ( المُبدَّل )ص→{\displaystyle {\vec {p}}}يمثل أسعار السلع، بينما يمثل متجه الاحتماليةq→{\displaystyle {\vec {q}}}يمثل هذا "المستوى" الذي ستعمل به عملية الإنتاج. الحل الفريدλ{\displaystyle \lambda }يمثل معدل نمو الاقتصاد، والذي يساوي سعر الفائدة . وقد كان إثبات وجود معدل نمو إيجابي وإثبات أن معدل النمو يساوي سعر الفائدة إنجازين بارزين، حتى بالنسبة لفون نيومان. [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] وقد نُظر إلى نتائج فون نيومان على أنها حالة خاصة من البرمجة الخطية ، حيث يستخدم نموذج فون نيومان المصفوفات غير السالبة فقط. [ 48 ] ولا تزال دراسة نموذج فون نيومان للاقتصاد المتنامي تثير اهتمام الاقتصاديين الرياضيين المهتمين بالاقتصاد الحسابي. [ 49 ] [ 50 ] [ 51 ]

اقتصاديات المدخلات والمخرجات

في عام 1936، بنى الاقتصادي الروسي المولد فاسيلي ليونتيف نموذجه لتحليل المدخلات والمخرجات انطلاقًا من جداول "التوازن المادي" التي وضعها الاقتصاديون السوفييت، والتي بدورها استندت إلى أعمال سابقة للفيزيوقراطيين . وصف ليونتيف، من خلال نموذجه الذي يصف نظام عمليات الإنتاج والطلب، كيف تؤثر التغيرات في الطلب في قطاع اقتصادي ما على الإنتاج في قطاع آخر. [ 52 ] عمليًا، قدّر ليونتيف معاملات نماذجه البسيطة لمعالجة مسائل ذات أهمية اقتصادية. في اقتصاديات الإنتاج ، تُنتج "تقنيات ليونتيف" مخرجات باستخدام نسب ثابتة من المدخلات، بغض النظر عن سعرها، مما يقلل من قيمة نماذج ليونتيف في فهم الاقتصادات، ولكنه يسمح بتقدير معاييرها بسهولة نسبية. في المقابل، يسمح نموذج فون نيومان للاقتصاد المتنامي باختيار التقنيات ، ولكن يجب تقدير المعاملات لكل تقنية على حدة. [ 53 ] [ 54 ]

التحسين الرياضي

النقطة الحمراء في اتجاه المحور z تمثل القيمة القصوى لدالة القطع المكافئ للمدخلات (x، y).

في الرياضيات، يشير التحسين الرياضي (أو التحسين أو البرمجة الرياضية) إلى اختيار أفضل عنصر من بين مجموعة من البدائل المتاحة. [ 55 ] في أبسط الحالات، تتضمن مسألة التحسين تعظيم أو تصغير دالة حقيقية عن طريق اختيار قيم مُدخلة للدالة وحساب القيم المُقابلة لها. تتضمن عملية الحل استيفاء الشروط العامة اللازمة والكافية للأمثلية . في مسائل التحسين، قد تُستخدم رموز خاصة للدالة ومدخلاتها. وبشكل أعم، يشمل التحسين إيجاد أفضل عنصر مُتاح لدالة ما ضمن نطاق مُحدد ، وقد يستخدم مجموعة متنوعة من تقنيات التحسين الحسابية المختلفة . [ 56 ]

يرتبط علم الاقتصاد ارتباطًا وثيقًا بتحقيق الأمثلية من قِبل الفاعلين الاقتصاديين، لدرجة أن أحد التعريفات المؤثرة يصف علم الاقتصاد، بوصفه علمًا ، بأنه "دراسة السلوك البشري كعلاقة بين الغايات والوسائل النادرة " مع وجود استخدامات بديلة. [ 57 ] تتخلل مسائل الأمثلية علم الاقتصاد الحديث، وكثير منها يخضع لقيود اقتصادية أو تقنية صريحة. في الاقتصاد الجزئي، تُعدّ مسألة تعظيم المنفعة ومسألتها الثنائية ، مسألة تقليل الإنفاق لمستوى معين من المنفعة، من مسائل الأمثلية الاقتصادية. [ 58 ] تفترض النظرية أن المستهلكين يُعظّمون منفعتهم ، في حدود قيود ميزانيتهم ، وأن الشركات تُعظّم أرباحها ، في حدود دوال إنتاجها وتكاليف مدخلاتها وطلب السوق . [ 59 ]

يُدرس التوازن الاقتصادي في نظرية التحسين باعتباره عنصرًا أساسيًا في النظريات الاقتصادية التي يمكن، من حيث المبدأ، اختبارها باستخدام البيانات التجريبية. [ 7 ] [ 60 ] وقد طرأت تطورات حديثة في البرمجة الديناميكية ونمذجة التحسين مع مراعاة المخاطر وعدم اليقين ، بما في ذلك تطبيقات في نظرية المحفظة ، واقتصاديات المعلومات ، ونظرية البحث . [ 59 ]

يمكن التعبير عن خصائص الأمثلية لنظام سوقي كامل بمصطلحات رياضية، كما في صياغة النظريتين الأساسيتين لاقتصاديات الرفاه [ 61 ] وفي نموذج آرو-ديبرو للتوازن العام (الذي سيتم تناوله لاحقًا ). [62] وبشكل أكثر تحديدًا، فإن العديد من المشكلات قابلة للحل التحليلي (الصيغي). وقد تكون مشكلات أخرى معقدة بما يكفي لتتطلب طرقًا عددية للحل، بمساعدة البرمجيات. [ 56 ] بينما توجد مشكلات أخرى معقدة ولكنها قابلة للمعالجة بما يكفي للسماح باستخدام طرق حسابية للحل، ولا سيما نماذج التوازن العام القابلة للحساب للاقتصاد بأكمله. [ 63 ]

لقد أثرت البرمجة الخطية وغير الخطية بشكل كبير على الاقتصاد الجزئي، الذي كان يُنظر إليه سابقًا فقط من منظور قيود المساواة. [ 64 ] وقد أجرى العديد من الاقتصاديين الرياضيين الحائزين على جوائز نوبل في الاقتصاد أبحاثًا بارزة باستخدام البرمجة الخطية، ومنهم: ليونيد كانتوروفيتش ، وليونيد هورويتش ، وتجالينج كوبمانز ، وكينيث ج. آرو ، وروبرت دورفمان ، وبول سامويلسون ، وروبرت سولو . [ 65 ]

التحسين الخطي

طُوِّرت البرمجة الخطية للمساعدة في تخصيص الموارد في الشركات والصناعات خلال ثلاثينيات القرن العشرين في روسيا، وخلال أربعينيات القرن العشرين في الولايات المتحدة. وخلال عملية الإمداد الجوي لبرلين (1948) ، استُخدمت البرمجة الخطية لتخطيط شحن الإمدادات لمنع برلين من المجاعة بعد الحصار السوفيتي. [ 66 ] [ 67 ]

البرمجة غير الخطية

تم تحقيق امتدادات للتحسين غير الخطي مع قيود عدم المساواة في عام 1951 بواسطة ألبرت دبليو تاكر وهارولد كون ، اللذين درسا مشكلة التحسين غير الخطي :

التقليلو(x){\displaystyle f(x)}رهناً بـزأنا(x)≤0{\displaystyle g_{i}(x)\leq 0}وحج(x)=0{\displaystyle h_{j}(x)=0}أين
و(⋅){\displaystyle f(\cdot )}هي الدالة التي يجب تقليلها
زأنا(⋅){\displaystyle g_{i}(\cdot )}هي وظائفم{\displaystyle m}قيود عدم المساواة حيثأنا=1،...،م{\displaystyle i=1,\dots ,m}
حج(⋅){\displaystyle h_{j}(\cdot )}هي وظائفل{\displaystyle l}قيود المساواة حيثج=1،...،ل{\displaystyle j=1,\dots ,l}.

من خلال السماح بقيود المتباينات، عمّم منهج كون-تاكر الطريقة الكلاسيكية لمضاعفات لاغرانج ، التي كانت (حتى ذلك الحين) تسمح فقط بقيود المساواة. [ 68 ] وقد ألهم منهج كون-تاكر المزيد من الأبحاث حول ازدواجية لاغرانج، بما في ذلك معالجة قيود المتباينات. [ 69 ] [ 70 ] وتُعدّ نظرية الازدواجية في البرمجة غير الخطية مُرضية بشكل خاص عند تطبيقها على مسائل التصغير المحدب ، التي تتمتع بنظرية الازدواجية المحدبة التحليلية لفينشل وروكافيلر ؛ وتكون هذه الازدواجية المحدبة قوية بشكل خاص للدوال المحدبة متعددة السطوح ، مثل تلك التي تظهر في البرمجة الخطية . وتُستخدم ازدواجية لاغرانج والتحليل المحدب يوميًا في بحوث العمليات ، وفي جدولة محطات الطاقة، وتخطيط جداول الإنتاج للمصانع، وتوجيه شركات الطيران (المسارات، والرحلات، والطائرات، والأطقم). [ 70 ]

حساب التفاضل والتكامل التغيري والتحكم الأمثل

تشير الديناميكيات الاقتصادية إلى التغيرات في المتغيرات الاقتصادية بمرور الوقت، بما في ذلك داخل الأنظمة الديناميكية . وتُدرس مشكلة إيجاد الدوال المثلى لمثل هذه التغيرات في حساب التفاضل والتكامل التغيري ونظرية التحكم الأمثل . قبل الحرب العالمية الثانية، استخدم فرانك رامزي وهارولد هوتلينج حساب التفاضل والتكامل التغيري لهذا الغرض. بعد عمل ريتشارد بيلمان في البرمجة الديناميكية والترجمة الإنجليزية عام 1962 لعمل ل . بونترياجين وآخرين السابق، [ 71 ] استُخدمت نظرية التحكم الأمثل على نطاق أوسع في الاقتصاد لمعالجة المشكلات الديناميكية، لا سيما فيما يتعلق بتوازن النمو الاقتصادي واستقرار الأنظمة الاقتصادية، [ 72 ] ومن الأمثلة النموذجية على ذلك الاستهلاك والادخار الأمثل . [ 73 ] ويكمن أحد الفروق الجوهرية بين نماذج التحكم الحتمية والعشوائية. [ 74 ] وتشمل التطبيقات الأخرى لنظرية التحكم الأمثل مجالات التمويل والمخزونات والإنتاج، على سبيل المثال. [ 75 ]

التحليل الوظيفي

أثناء محاولته إثبات وجود توازن أمثل في نموذجه للنمو الاقتصادي عام 1937 ، أدخل جون فون نيومان أساليب التحليل الوظيفي لإدراج الطوبولوجيا في النظرية الاقتصادية، وتحديدًا نظرية النقطة الثابتة من خلال تعميمه لنظرية براور للنقطة الثابتة . [ 8 ] [ 44 ] [ 76 ] وباتباع برنامج فون نيومان، صاغ كينيث آرو وجيرار ديبرو نماذج مجردة للتوازنات الاقتصادية باستخدام المجموعات المحدبة ونظرية النقطة الثابتة. وعند تقديمهما نموذج آرو-ديبرو عام 1954، أثبتا وجود التوازن (وليس تفرده)، كما أثبتا أن كل توازن والراس هو توازن باريتو فعال ؛ وبشكل عام، لا يشترط أن تكون التوازنات فريدة. [ 77 ] في نماذجهما، يمثل فضاء المتجهات ("الأولي") الكميات، بينما يمثل فضاء المتجهات "الثنائي" الأسعار . [ 78 ]

في روسيا، طوّر عالم الرياضيات ليونيد كانتوروفيتش نماذج اقتصادية في فضاءات متجهة مرتبة جزئيًا ، مؤكدًا على الازدواجية بين الكميات والأسعار. [ 79 ] أعاد كانتوروفيتش تسمية الأسعار إلى "تقييمات محددة موضوعيًا"، والتي اختُصرت في اللغة الروسية إلى "o.  o.  o."، في إشارة إلى صعوبة مناقشة الأسعار في الاتحاد السوفيتي. [ 78 ] [ 80 ] [ 81 ]

حتى في الأبعاد المحدودة، أسهمت مفاهيم التحليل الوظيفي في إثراء النظرية الاقتصادية، لا سيما من خلال توضيح دور الأسعار كمتجهات عمودية على مستوى فائق داعم لمجموعة محدبة تمثل إمكانيات الإنتاج أو الاستهلاك. مع ذلك، تتطلب مسائل وصف التحسين الأمثل بمرور الوقت أو في ظل عدم اليقين استخدام فضاءات وظيفية لا نهائية الأبعاد، لأن الفاعلين يختارون بين وظائف أو عمليات عشوائية . [ 78 ] [ 82 ] [ 83 ] [ 84 ]

نظرية الألعاب

حقق جون فون نيومان، بالتعاون مع أوسكار مورغنسترن في نظرية الألعاب ، إنجازاً رياضياً جديداً في عام 1944 من خلال توسيع نطاق أساليب التحليل الوظيفي المتعلقة بالمجموعات المحدبة ونظرية النقطة الثابتة الطوبولوجية لتشمل التحليل الاقتصادي. [ 8 ] [ 85 ]

كانت النظرية الكلاسيكية الجديدة السابقة تحدد نطاق نتائج المساومة فقط، وفي حالات خاصة، مثل الاحتكار الثنائي أو على طول منحنى العقد في صندوق إيدجوورث . [ 86 ] وكانت نتائج فون نيومان ومورغنسترن ضعيفة بالمثل. ومع ذلك، وباتباع برنامج فون نيومان، استخدم جون ناش نظرية النقطة الثابتة لإثبات الشروط التي يمكن في ظلها لمشكلة المساومة والألعاب غير التعاونية أن تولد حلاً توازنياً فريداً . [ 87 ] وقد تم اعتماد نظرية الألعاب غير التعاونية كجانب أساسي من الاقتصاد التجريبي ، [ 88 ] والاقتصاد السلوكي ، [ 89 ] واقتصاد المعلومات ، [ 90 ] والتنظيم الصناعي ، [ 91 ] والاقتصاد السياسي . [ 92 ] كما أدت إلى ظهور موضوع تصميم الآليات (الذي يُسمى أحيانًا نظرية الألعاب العكسية)، والذي له تطبيقات في السياسة الخاصة والعامة فيما يتعلق بطرق تحسين الكفاءة الاقتصادية من خلال حوافز تبادل المعلومات. [ 93 ]

في عام 1994، حصل كل من ناش، وجون هارساني ، وراينهارد سيلتن على جائزة نوبل التذكارية في العلوم الاقتصادية لأبحاثهم في مجال الألعاب غير التعاونية. وقد مُنحت الجائزة لهارساني وسيلتن لأبحاثهما في مجال الألعاب المتكررة . وفي وقت لاحق، وسّعت أبحاثهما نطاق نتائجهما لتشمل الأساليب الحسابية للنمذجة. [ 94 ]

الاقتصاد الحسابي القائم على الوكلاء

يُعدّ علم الاقتصاد الحسابي القائم على الوكلاء (ACE)، كمجال مُسمى، حديثًا نسبيًا، إذ يعود تاريخه إلى تسعينيات القرن الماضي في الدراسات المنشورة. يدرس هذا العلم العمليات الاقتصادية، بما في ذلك الاقتصادات ككل ، باعتبارها أنظمة ديناميكية من الوكلاء المتفاعلين عبر الزمن. وبذلك، يندرج ضمن نموذج الأنظمة التكيفية المعقدة . [ 95 ] في النماذج القائمة على الوكلاء ، لا يُمثل الوكلاء أشخاصًا حقيقيين، بل "كائنات حسابية مُصممة على أنها تتفاعل وفقًا لقواعد" ... "تُنشئ تفاعلاتها على المستوى الجزئي أنماطًا ناشئة" في المكان والزمان. [ 96 ] تُصاغ هذه القواعد للتنبؤ بالسلوك والتفاعلات الاجتماعية بناءً على الحوافز والمعلومات. ويُستبدل الافتراض النظري للتحسين الرياضي بواسطة أسواق الوكلاء بفرضية أقل تقييدًا، وهي أن الوكلاء ذوي العقلانية المحدودة يتكيفون مع قوى السوق. [ 97 ]

تُطبّق نماذج ACE أساليب التحليل العددي على عمليات المحاكاة الحاسوبية للمشكلات الديناميكية المعقدة التي قد لا تكون الأساليب التقليدية، مثل صياغة النظريات، قابلة للتطبيق عليها بسهولة. [ 98 ] انطلاقًا من شروط ابتدائية محددة، يُنمذج النظام الاقتصادي الحاسوبي على أنه يتطور مع تفاعل عناصره المكونة له بشكل متكرر. من هذا المنطلق، وُصفت ACE بأنها منهجية تصاعدية لدراسة الاقتصاد. [ 99 ] على عكس أساليب النمذجة القياسية الأخرى، فإن أحداث ACE مدفوعة فقط بالشروط الابتدائية، سواء وُجدت حالات توازن أم لا، وسواء كانت قابلة للمعالجة حسابيًا أم لا. مع ذلك، تتضمن نمذجة ACE تكيف العناصر واستقلاليتها وتعلمها. [ 100 ] وهي تتشابه مع نظرية الألعاب وتتداخل معها، باعتبارها طريقة قائمة على العناصر لنمذجة التفاعلات الاجتماعية. [ 94 ] تشمل الأبعاد الأخرى لهذا النهج مواضيع اقتصادية قياسية مثل المنافسة والتعاون ، [ 101 ] وهيكل السوق والتنظيم الصناعي ، [ 102 ] وتكاليف المعاملات ، [ 103 ] واقتصاديات الرفاه ، [ 104 ] وتصميم الآليات ، [ 93 ] والمعلومات وعدم اليقين ، [ 105 ] والاقتصاد الكلي . [ 106 ] [ 107 ]

يُقال إن هذه الطريقة تستفيد من التحسينات المستمرة في تقنيات النمذجة في علوم الحاسوب ، ومن زيادة قدرات الحواسيب. وتشمل القضايا تلك المشتركة في الاقتصاد التجريبي عمومًا [ 108 ] وبالمقارنة [ 109 ] ، بالإضافة إلى تطوير إطار عمل مشترك للتحقق التجريبي وحل المسائل العالقة في النمذجة القائمة على الوكلاء [ 110 ] . وقد وُصف الهدف العلمي النهائي لهذه الطريقة بأنه "اختبار النتائج النظرية مقابل بيانات العالم الحقيقي بطرق تسمح بتراكم النظريات المدعومة تجريبيًا بمرور الوقت، بحيث يبني عمل كل باحث بشكل مناسب على العمل السابق" [ 111 ] .

إضفاء الطابع الرياضي على الاقتصاد

سطح منحنى التقلب هو سطح ثلاثي الأبعاد، حيث يتم رسم التقلب الضمني الحالي للسوق (المحور Z) لجميع الخيارات على الأصل الأساسي مقابل سعر التنفيذ والوقت حتى تاريخ الاستحقاق (المحوران X وY). [ 112 ]

على مدار القرن العشرين، كُتبت المقالات في "المجلات الأساسية" [ 113 ] في مجال الاقتصاد بشكل شبه حصري من قِبل اقتصاديين أكاديميين. ونتيجةً لذلك، فإن معظم المواد المنشورة في تلك المجلات تتعلق بالنظرية الاقتصادية، وقد أصبحت "النظرية الاقتصادية نفسها أكثر تجريدًا ورياضية باستمرار". [ 114 ] أظهر تقييم ذاتي للتقنيات الرياضية [ 115 ] المستخدمة في هذه المجلات الأساسية انخفاضًا في نسبة المقالات التي لا تستخدم التمثيلات الهندسية ولا الرموز الرياضية من 95% عام 1892 إلى 5.3% عام 1990. [ 116 ] ووجد مسح أُجري عام 2007 على عشر من أبرز المجلات الاقتصادية أن  5.8% فقط من المقالات المنشورة في عامي 2003 و2004 افتقرت إلى كلٍ من التحليل الإحصائي للبيانات والتعبيرات الرياضية المفهرسة بأرقام على هامش الصفحة. [ 117 ]

الاقتصاد القياسي

صاغ راجنار فريش مصطلح " الاقتصاد القياسي " وساهم في تأسيس كلٍ من الجمعية الاقتصادية القياسية عام 1930 ومجلة "إيكونومتريكا" عام 1933. [ 118 ] [ 119 ] نشر تريغفه هافلمو ، أحد طلاب فريش، كتاب "النهج الاحتمالي في الاقتصاد القياسي" عام 1944، حيث أكد فيه إمكانية استخدام التحليل الإحصائي الدقيق كأداة للتحقق من صحة النظريات الرياضية المتعلقة بالفاعلين الاقتصاديين باستخدام بيانات من مصادر معقدة. [ 120 ] كما روجت لجنة كاولز ( مؤسسة كاولز حاليًا ) لهذا الربط بين التحليل الإحصائي للأنظمة والنظرية الاقتصادية طوال ثلاثينيات وأربعينيات القرن العشرين. [ 121 ]

يمكن تتبع جذور الاقتصاد القياسي الحديث إلى الاقتصادي الأمريكي هنري ل. مور . درس مور الإنتاجية الزراعية وحاول مطابقة قيم الإنتاجية المتغيرة لحقول الذرة وغيرها من المحاصيل مع منحنى باستخدام قيم مرونة مختلفة. ارتكب مور عدة أخطاء في عمله، بعضها بسبب اختياره للنماذج وبعضها بسبب محدودية استخدامه للرياضيات. كما أن دقة نماذج مور كانت محدودة بسبب ضعف البيانات المتاحة للحسابات القومية في الولايات المتحدة آنذاك. في حين أن نماذجه الأولى للإنتاج كانت ثابتة، فقد نشر في عام 1925 نموذجًا ديناميكيًا لـ"التوازن المتحرك" مصممًا لشرح الدورات الاقتصادية - يُعرف هذا التغير الدوري الناتج عن التصحيح المفرط في منحنيات العرض والطلب الآن باسم نموذج شبكة العنكبوت . وقد قام نيكولاس كالدور لاحقًا باشتقاق أكثر رسمية لهذا النموذج ، ويُنسب إليه الفضل الأكبر في شرحه. [ 122 ]

طلب

يُعدّ نموذج IS/LM نموذجًا اقتصاديًا كليًا كينزيًا مصممًا للتنبؤ بتقاطع النشاط الاقتصادي "الحقيقي" (مثل الإنفاق والدخل ومعدلات الادخار) مع القرارات المتخذة في الأسواق المالية ( عرض النقود وتفضيل السيولة ). لم يعد هذا النموذج يُدرّس على نطاق واسع في الدراسات العليا، ولكنه شائع في مقررات الاقتصاد الكلي لطلاب البكالوريوس. [ 123 ]

يمكن عرض جزء كبير من الاقتصاد الكلاسيكي بمصطلحات هندسية بسيطة أو رموز رياضية أولية. مع ذلك، يعتمد الاقتصاد الرياضي تقليديًا على حساب التفاضل والتكامل وجبر المصفوفات في التحليل الاقتصادي لتقديم ادعاءات قوية يصعب التوصل إليها بدون هذه الأدوات الرياضية. تُعد هذه الأدوات متطلبات أساسية للدراسة الأكاديمية، ليس فقط في الاقتصاد الرياضي، بل في النظرية الاقتصادية المعاصرة عمومًا. غالبًا ما تنطوي المشكلات الاقتصادية على العديد من المتغيرات، ما يجعل الرياضيات الوسيلة العملية الوحيدة لمعالجتها وحلها. وقد جادل ألفريد مارشال بأن كل مشكلة اقتصادية يمكن قياسها كميًا والتعبير عنها تحليليًا وحلها، ينبغي معالجتها باستخدام الرياضيات. [ 124 ]

أصبح علم الاقتصاد يعتمد بشكل متزايد على الأساليب الرياضية، وتطورت الأدوات التي يستخدمها. ونتيجة لذلك، اكتسبت الرياضيات أهمية بالغة للمختصين في الاقتصاد والتمويل. تتطلب برامج الدراسات العليا في كل من الاقتصاد والتمويل إعدادًا قويًا في الرياضيات على مستوى البكالوريوس للقبول، ولهذا السبب، تجذب عددًا متزايدًا من علماء الرياضيات . يطبق علماء الرياضيات التطبيقية المبادئ الرياضية على المشكلات العملية، مثل التحليل الاقتصادي وغيره من القضايا ذات الصلة بالاقتصاد، وغالبًا ما تُعرَّف العديد من المشكلات الاقتصادية بأنها جزء لا يتجزأ من نطاق الرياضيات التطبيقية. [ 18 ]

بشكل عام، يمكن تصنيف النماذج الاقتصادية الرسمية إلى نماذج احتمالية أو حتمية ، وإلى نماذج منفصلة أو متصلة. وعلى الصعيد العملي، يُطبَّق النمذجة الكمية في العديد من مجالات الاقتصاد، وقد تطورت عدة منهجيات بشكل مستقل إلى حد كبير عن بعضها البعض. [ 125 ]

مناقشات حول الصلاحية

رغم أن المدرسة النمساوية تطرح العديد من الحجج الاقتصادية المعيارية نفسها التي يطرحها الاقتصاديون السائدون من التقاليد الحدية، مثل مدرسة شيكاغو ، إلا أنها اختلفت منهجياً عن مدارس الاقتصاد الكلاسيكية الجديدة السائدة، لا سيما في انتقاداتها اللاذعة لإضفاء الطابع الرياضي على علم الاقتصاد. [ 126 ] [ 127 ] وفي مقابلة أجريت عام 1999، صرّح المؤرخ الاقتصادي روبرت هايلبرونر بأن استخدام التحليل الرياضي في الاقتصاد قد أوحى بأنه "علمٌ مُثقلٌ بالبيانات"، وهو ما لا يعني بالضرورة أنه علمٌ حقيقي. [ 128 ] وأضاف أن "بعض/كثير من فروع الاقتصاد ليس كمياً بطبيعته، وبالتالي لا يُناسب العرض الرياضي". [ 129 ]

جادل الفيلسوف كارل بوبر بأن الاقتصاد الرياضي تحصيل حاصل، أي أنه يتألف من الرياضيات فحسب دون أي صلة بالعالم الواقعي. بعبارة أخرى، بقدر ما أصبح علم الاقتصاد نظرية رياضية، توقف الاقتصاد الرياضي عن الاعتماد على الدحض التجريبي، واعتمد بدلاً من ذلك على البراهين الرياضية . [ 130 ] ووفقًا لبوبر، يمكن اختبار الافتراضات القابلة للتفنيد من خلال التجربة والملاحظة، بينما يمكن استكشاف الافتراضات غير القابلة للتفنيد رياضيًا لمعرفة نتائجها ومدى اتساقها مع الافتراضات الأخرى. [ 131 ] صرّح ميلتون فريدمان بأن "جميع الافتراضات غير واقعية". واقترح فريدمان الحكم على النماذج الاقتصادية بناءً على أدائها التنبؤي بدلاً من مدى تطابق افتراضاتها مع الواقع . [ 132 ]

كتب جون ماينارد كينز في كتابه "النظرية العامة" أن افتراض الاستقلال التام بين العوامل كان إشكالياً وغير واقعي، نظراً لترابطها في العالم الحقيقي؛ وقد أدى ذلك إلى تقويض الكثير من الأبحاث في الاقتصاد الرياضي. [ 133 ]

ردًا على هذه الانتقادات، جادل بول سامويلسون بأن الرياضيات لغة، مُكررًا بذلك أطروحة جوزيا ويلارد جيبس . في علم الاقتصاد، تُعد لغة الرياضيات ضرورية أحيانًا لتمثيل المشكلات الجوهرية. علاوة على ذلك، أدى علم الاقتصاد الرياضي إلى تطورات مفاهيمية في علم الاقتصاد. [ 134 ] وعلى وجه الخصوص، ضرب سامويلسون مثالًا بعلم الاقتصاد الجزئي ، فكتب أن "قلة من الناس يتمتعون بالذكاء الكافي لفهم أجزائه الأكثر تعقيدًا... دون اللجوء إلى لغة الرياضيات، بينما يستطيع معظم الأفراد العاديين القيام بذلك بسهولة نسبية بمساعدة الرياضيات". [ 135 ] وكتب روبرت م. سولو أن علم الاقتصاد الرياضي هو " البنية التحتية " الأساسية لعلم الاقتصاد المعاصر، وموضوع تقني قائم بذاته. [ 136 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ تم تفصيلها في رموز تصنيف JEL ، الأساليب الرياضية والكمية JEL: الفئات الفرعية C.
  2. 1 2 تشيانغ، ألفا سي .؛ كيفن وينرايت (2005). الأساليب الأساسية للاقتصاد الرياضي . ماكجرو هيل إروين. ص 3-4 . ISBN  978-0-07-010910-0.جدول المحتويات. مؤرشف بتاريخ 8 مارس 2012 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
  3. ↑ ديبرو، جيرار ([1987] 2008). "الاقتصاد الرياضي"، القسم الثاني، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص. مؤرشف بتاريخ 16-05-2013 في أرشيف الإنترنت . أعيد نشره مع تنقيحات من عام 1986، "النماذج النظرية: الشكل الرياضي والمحتوى الاقتصادي"، Econometrica ، 54(6)، ص 1259. مؤرشف بتاريخ 05-08-2017 في أرشيف الإنترنت -1270.
  4. ↑ فاريان، هال (1997). "ما فائدة النظرية الاقتصادية؟" في كتاب : هل يتحول علم الاقتصاد إلى علم دقيق؟ ​​(تحرير: أ. دوتوم وج. كارتيليه)، إدوارد إلجار. نسخة PDF قبل النشر . مؤرشفة بتاريخ 25 يونيو 2006 على موقع Wayback Machine . تم الاطلاع عليها بتاريخ 1 أبريل 2008.
  5. ↑تم أرشفة الوصف بتاريخ 2023-07-01 في Wayback Machine وتم أرشفة المحتويات بتاريخ 2023-07-01 في Wayback Machine .
    • مايكل كارتر (2001). أسس الاقتصاد الرياضي ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . تم أرشفة الوصف والمحتويات في 1 يوليو 2023 على موقع Wayback Machine .
  6. ↑ تشيانغ، ألفا سي. (1992). عناصر التحسين الديناميكي ، ويفلاند. رابط جدول المحتويات وأمازون.كوم مؤرشف بتاريخ 2016-03-03 في Wayback Machine للداخل، الصفحات الأولى.
  7. 1 2 3 4 سامويلسون، بول (1947) [1983]. أسس التحليل الاقتصادي . مطبعة جامعة هارفارد. ISBN 978-0-674-31301-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  8. 1 2 3 4
  9. ↑ شومبيتر، جيه إيه (1954). إليزابيث ب. شومبيتر (محررة). تاريخ التحليل الاقتصادي . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 209-212 . ISBN  978-0-04-330086-2OCLC 13498913. مؤرشف من الأصل بتاريخ 2023-07-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-05-28 . {{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  10. ↑ شومبيتر (1954) ص 212-215
  11. ^ شنايدر ، إريك (1934). "يوهان هاينريش فون ثونن". الاقتصاد القياسي . 2 (1): 1– 12. دوي : 10.2307/1907947 . ISSN 0012-9682 . جستور 1907947 . او سي ال سي 35705710 .   
  12. ↑ شومبيتر (1954) ص 465-468
  13. ↑ فيليب ميروفسكي ، 1991. "متى وكيف ولماذا التعبير الرياضي في تاريخ التحليل الاقتصادي"، مجلة وجهات النظر الاقتصادية ، 5(1) ص 145-157.
  14. ↑ وينتروب، إي. روي (2008). "الرياضيات والاقتصاد"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 16-05-2013 في أرشيف الإنترنت .
  15. ↑ جيفونز، دبليو إس (1866). "عرض موجز لنظرية رياضية عامة للاقتصاد السياسي"، مجلة الجمعية الإحصائية الملكية ، المجلد التاسع والعشرون (يونيو)، الصفحات 282-287. نُشر في القسم F من الجمعية البريطانية، 1862. ملف PDF.
  16. ↑ جيفونز، دبليو. ستانلي (1871). مبادئ الاقتصاد السياسي، ص 4، 25. ماكميلان. نظرية الاقتصاد السياسي، جيفونز 1871.
  17. ↑ انظر المقدمة المؤرشفة في 2023-07-01 في Wayback Machine إلى عمل إيرفينغ فيشر لعام 1897، مقدمة موجزة لحساب التفاضل والتكامل: مصممة خصيصًا للمساعدة في قراءة الاقتصاد الرياضي والإحصاء .
  18. 1 2 شيلا سي. داو (21 مايو 1999). "استخدام الرياضيات في الاقتصاد" . ندوة مجلس البحوث الاقتصادية والاجتماعية لفهم الرياضيات للجمهور . برمنغهام : مجلس البحوث الاقتصادية والاجتماعية. مؤرشف من الأصل في 17 فبراير 2008. تم الاسترجاع في 6 يوليو 2008 .
  19. ↑ في حين أن مفهوم العددية قد فقد شعبيته في الاقتصاد الكلاسيكي الجديد ، فإن الاختلافات بين المنفعة العددية والمنفعة الترتيبية طفيفة بالنسبة لمعظم التطبيقات.
  20. 1 2 نيكولا، بييركارلو (2000). الاقتصاد الرياضي السائد في القرن العشرين . سبرينغر. ص 4. ISBN  978-3-540-67084-1أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 2023-07-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2008-08-21 .
  21. ↑ أوغستين كورنو (1838، ترجمة 1897) أبحاث في المبادئ الرياضية للثروة . روابط إلى الوصف والفصول . مؤرشف بتاريخ 1 يوليو 2023 في Wayback Machine . مؤرشف بتاريخ 1 يوليو 2023 في Wayback Machine
  22. 1 2 هوتلينج، هارولد (1990). "الاستقرار في المنافسة" . في دارنيل، أدريان سي. (محرر). المقالات الاقتصادية المجمعة لهارولد هوتلينج . سبرينغر. ص 51، 52. ISBN  978-3-540-97011-8OCLC 20217006. مؤرشف من الأصل بتاريخ 2023-07-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2008-08-21 . 
  23. ↑ «أنطوان أوغستان كورنو، 1801-1877» . موقع تاريخ الفكر الاقتصادي . المدرسة الجديدة للبحوث الاجتماعية. مؤرشف من الأصل بتاريخ 9 يوليو 2000. تاريخ الاطلاع: 21 أغسطس 2008 .
  24. ↑ جيبونز، روبرت (1992). نظرية الألعاب للاقتصاديين التطبيقيين . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ص 14، 15. ISBN  978-0-691-00395-5.
  25. ↑ نيكولا، ص 9-12
  26. ↑ إيدجوورث، فرانسيس يسيدرو (5 سبتمبر 1889). "النظرية الرياضية للاقتصاد السياسي: مراجعة لكتاب ليون والراس، عناصر الاقتصاد السياسي البحت" (ملف PDF) . مجلة نيتشر . 40 (1036): 434-436 . doi : 10.1038/040434a0 . ISSN 0028-0836 . S2CID 21004543. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) في 11 أبريل 2003. تاريخ الاسترجاع: 21 أغسطس 2008 .  
  27. ↑ نيكلسون، والتر؛ سنايدر، كريستوفر، ص 350-353.
  28. ↑ ديكسون، روبرت. "قانون والراس والاقتصاد الكلي" . دليل قانون والراس . قسم الاقتصاد، جامعة ملبورن. مؤرشف من الأصل في 17 أبريل 2008. تم الاطلاع عليه في 28 سبتمبر 2008 .
  29. ↑ ديكسون، روبرت. "برهان رسمي لقانون والراس" . دليل قانون والراس . قسم الاقتصاد، جامعة ملبورن. مؤرشف من الأصل في 30 أبريل 2008. تم الاطلاع عليه في 28 سبتمبر 2008 .
  30. ↑ ريما، إنغريد هـ. (1977). "الكلاسيكية الجديدة والمعارضة 1890-1930" . في: وينتروب، سيدني (محرر). الفكر الاقتصادي الحديث . مطبعة جامعة بنسلفانيا. ص 10، 11. ISBN  978-0-8122-7712-8أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 1 يوليو 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 مايو 2021 .
  31. ↑ هيلبرونر، روبرت ل. (1999) [1953]. الفلاسفة الدنيويون ( الطبعة السابعة). نيويورك: سيمون وشوستر. الصفحات 172-175 ، 313. ISBN   978-0-684-86214-9أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 2023-07-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-05-28 .
  32. ↑ إيدجوورث، فرانسيس يسيدرو (1961) [1881]. علماء النفس الرياضيون . لندن: كيغان بول [إيه إم كيلي]. الصفحات 15-19 . مؤرشف من الأصل في 1 يوليو 2023. تم الاطلاع عليه في 28 مايو 2020 . 
  33. ^ نيكولا، ص. 14، 15، 258-261
  34. ↑ باولي، آرثر ليون (1960) [1924]. الأسس الرياضية للاقتصاد: دراسة تمهيدية . أكسفورد: مطبعة كلارندون [كيلي]. مؤرشف من الأصل في 1 يوليو 2023. تم الاطلاع عليه في 28 مايو 2020 .
  35. ↑ جيليس، د.ب. (1969). "حلول لألعاب المحصلة غير الصفرية العامة" . في: تاكر، أ.و.؛ لوس، ر.د. (محرران). مساهمات في نظرية الألعاب . حوليات الرياضيات . المجلد 40. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون . الصفحات 47-85 . ISBN   978-0-691-07937-0أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 2023-07-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-05-28 .
  36. ↑ موس، لورانس س. (2003). "جدل سيليغمان-إيدجوورث حول تحليل أثر الضرائب: ظهور الاقتصاد الرياضي، 1892-1910". تاريخ الاقتصاد السياسي . 35 (2): 207، 212، 219، 234-237 . doi : 10.1215/00182702-35-2-205 . ISSN 0018-2702 . 
  37. ↑ هوتلينج، هارولد (1990). "ملاحظة حول ظاهرة الضرائب عند إيدجوورث وشرط البروفيسور جارفر الإضافي على دوال الطلب" . في دارنيل، أدريان سي. (محرر). المقالات الاقتصادية المجمعة لهارولد هوتلينج . سبرينغر. ص 94-122 . ISBN  978-3-540-97011-8OCLC 20217006. مؤرشف من الأصل بتاريخ 2023-07-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2008-08-26 . 
  38. ↑ هيرستين، إنديانا (أكتوبر 1953). "بعض الأساليب والتقنيات الرياضية في الاقتصاد" . مجلة الرياضيات التطبيقية الفصلية . 11 (3): 249-262 . doi : 10.1090/qam/60205 . ISSN 1552-4485 . [الصفحات 249-262 ]
  39. ↑
    • وينتروب، إي. روي (2008). "الرياضيات والاقتصاد"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 16 مايو 2013 على موقع Wayback Machine .
    • _____ (2002). كيف أصبح علم الاقتصاد علمًا رياضيًا . مطبعة جامعة ديوك. الوصف والمعاينة مؤرشفان بتاريخ 4 يونيو 2023 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine ).
  40. ↑ نيكلسون، والتر؛ سنايدر، كريستوفر (2007). "التوازن العام والرفاهية". الاقتصاد الجزئي المتوسط ​​وتطبيقاته ( الطبعة العاشرة). طومسون. ص 364، 365. ISBN   978-0-324-31968-2.
  41. ↑
    • جولينك، ألبرت (2006). "ما الخطأ الذي حدث مع والراس؟". في: باكهاوس، يورغن ج.؛ ماكس، ج. أ. هانز (محرران). من والراس إلى باريتو . التراث الأوروبي في الاقتصاد والعلوم الاجتماعية. المجلد  الرابع. سبرينغر. الصفحات 69-80 . doi : 10.1007/978-0-387-33757-9_6 . ISBN  978-0-387-33756-2.
    • بلاوغ، مارك (2007). "النظريات الأساسية لاقتصاديات الرفاه الحديثة، من منظور تاريخي". تاريخ الاقتصاد السياسي . 39 (2): 186-188 . doi : 10.1215/00182702-2007-001 . ISSN 0018-2702 . S2CID 154074343 .  
  42. ↑ بلاوغ (2007)، ص 185، 187
  43. ↑ ميتزلر، لويد (1948). "مراجعة أسس التحليل الاقتصادي ". المجلة الاقتصادية الأمريكية . 38 (5): 905-910 . ISSN 0002-8282 . JSTOR 1811704 .  
  44. 1 2 نيومان، ج. فون (1937).Über ein ökonomisches Gleichungssystem und ein Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes"، Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums ، 8، ص 73-83، تمت ترجمته ونشره في 1945-1946، باسم "نموذجمراجعة الدراسات الاقتصادية، 13، ص 1-9.
  45. ↑ لكي يكون لهذه المسألة حل وحيد، يكفي أن تكون المصفوفات غير سالبة.أ{\displaystyle \mathbf {A} }وب{\displaystyle \mathbf {B} }تحقق شرط عدم الاختزال ، وهو تعميم لشرط نظرية بيرون-فروبينيوس للمصفوفات غير السالبة، والتي تأخذ في الاعتبار مسألة القيم الذاتية (المبسطة).أ-λأناq=0،{\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} q=0,} حيث المصفوفة غير السالبةأ{\displaystyle \mathbf {A} }يجب أن تكون مربعة وحيث تكون المصفوفة القطريةأنا{\displaystyle \mathbf {I} }هي مصفوفة الوحدة . أطلق ديفيد تشامبرنون على شرط عدم الاختزال لفون نيومان اسم "فرضية الحيتان ورعاة البقر "، وقدّم تعليقًا لفظيًا واقتصاديًا على الترجمة الإنجليزية لمقال فون نيومان. افترضت فرضية فون نيومان أن كل عملية اقتصادية تستخدم كمية موجبة من كل سلعة اقتصادية. وقدّم ديفيد غيل وجون كيميني وأوسكار مورغنسترن وجيرالد إل. طومسون شروطًا أضعف لـ"عدم الاختزال" في خمسينيات القرن العشرين ، ثم ستيفن إم. روبنسون في  سبعينيات القرن العشرين.
  46. ↑ ديفيد غيل. نظرية النماذج الاقتصادية الخطية . ماكجرو هيل، نيويورك، 1960.
  47. ↑ مورغنسترن، أوسكار ؛ طومسون، جيرالد ل. (1976). النظرية الرياضية للاقتصادات المتوسعة والمتقلصة . كتب ليكسينغتون. ليكسينغتون، ماساتشوستس: شركة دي سي هيث. الصفحات: 18+277. 
  48. ^ ألكسندر شريفر ، نظرية البرمجة الخطية والأعداد الصحيحة . جون وايلي وأولاده، 1998، ISBN 0-471-98232-6.
  49. ↑
    • روكافيلر، ر. تيريل (1967). العمليات الرتيبة من النوع المحدب والمقعر . مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص.  1+74.
    • روكافيلر، آر تي (1974). "الجبر المحدب والازدواجية في النماذج الديناميكية للإنتاج". في جوزيف لوز؛ ماريا لوز (محرران). النماذج الرياضية في الاقتصاد (وقائع ندوة ومؤتمر نماذج فون نيومان، وارسو، 1972) . أمستردام: نورث هولاند والأكاديمية البولندية للعلوم. ص 351-378 . 
    • روكافيلر، آر تي (1997) [1970]. التحليل المحدب . برينستون، نيو جيرسي: مطبعة جامعة برينستون.
  50. ↑ آرو، كينيث ؛ سامويلسون، بول ؛ هارساني، جون ؛ أفريات، سيدني ؛ طومسون، جيرالد ل .؛ كالدور، نيكولاس (1989). محمد دوري؛ سوخاموي تشاكرافارتي؛ ريتشارد جودوين (محررون). جون فون نيومان والاقتصاد الحديث . أكسفورد: كلارندون. ص 261. {{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )
  51. ↑ الفصل 9.1 "نموذج فون نيومان للنمو" (الصفحات 277-299): يينيو يي . خوارزميات النقطة الداخلية: النظرية والتحليل . وايلي. 1997.
  52. ↑ سكريبانتي، إرنستو؛ زاماني، ستيفانو (1993). موجز لتاريخ الفكر الاقتصادي . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد . ص 288-290 . ISBN  978-0-19-828370-6. OCLC 57281275 . 
  53. ↑ ديفيد غيل . نظرية النماذج الاقتصادية الخطية . ماكجرو هيل، نيويورك، 1960.
  54. ↑ مورغنسترن، أوسكار ؛ طومسون، جيرالد ل. (1976). النظرية الرياضية للاقتصادات المتوسعة والمتقلصة . كتب ليكسينغتون. ليكسينغتون، ماساتشوستس: شركة دي سي هيث. ص. 18+277.    
  55. ↑ " طبيعة البرمجة الرياضية "، مسرد البرمجة الرياضية ، جمعية الحوسبة INFORMS.
  56. 1 2 شميدرز، كارل (2008). "أساليب التحسين العددي في الاقتصاد"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية، المجلد 6، الصفحات 138-157. ملخص. مؤرشف بتاريخ 11 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
  57. ↑ روبنز، ليونيل (1935، الطبعة الثانية). مقال عن طبيعة وأهمية علم الاقتصاد ، ماكميلان، ص 16.
  58. ↑ بلوم، لورانس إي. (2008). "الازدواجية"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص. مؤرشف بتاريخ 2017-02-02 في أرشيف الإنترنت
  59. 1 2 ديكسيت، أ.ك. ([1976] 1990). الأمثلية في النظرية الاقتصادية ، الطبعة الثانية، أكسفورد. الوصف مؤرشف في 1 يوليو 2023 على موقع Wayback Machine ومعاينة المحتويات مؤرشف في 1 يوليو 2023 على موقع Wayback Machine .
  60. ↑
  61. ↑
  62. ↑
    • جياناكوبولوس، جون ([1987] 2008). "نموذج آرو-ديبرو للتوازن العام"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 11 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت .
    • آرو، كينيث جيه، وجيرار ديبرو (1954). "وجود توازن لاقتصاد تنافسي"، Econometrica 22(3)، ص 265-290 .
  63. ↑ 
    • كوبلر، فيليكس (2008). "حساب التوازنات العامة (تطورات جديدة)"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص. مؤرشف بتاريخ 11 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
  64. ↑ نيكولا، ص 133
  65. ↑ دورفمان، روبرت، وبول أ. سامويلسون، وروبرت م. سولو (1958). البرمجة الخطية والتحليل الاقتصادي . ماكجرو هيل. روابط معاينة الفصول . مؤرشف في 1 يوليو 2023 على موقع Wayback Machine.
  66. ↑ م. بادبيرج، التحسين الخطي والامتدادات ، الطبعة الثانية، سبرينغر-فيرلاغ، 1999.
  67. ↑ دانتزيج، جورج ب. ([1987] 2008). "البرمجة الخطية"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 11 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت .
  68. ↑
    • إنتريليغاتور، مايكل د. (2008). "البرمجة غير الخطية"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. تم أرشفة جدول المحتويات في 4 مارس 2016 على موقع Wayback Machine .
    • بلوم، لورانس إي. (2008). "البرمجة المحدبة"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية.
    تم أرشفة الملخص بتاريخ 18-10-2017 في موقع Wayback Machine .
  69. ↑
    • بيرتسيكاس، ديمتري ب. (1999). البرمجة غير الخطية (  الطبعة الثانية). كامبريدج، ماساتشوستس: أثينا ساينتيفيك. ISBN 978-1-886529-00-7.
    • فابنيارسكي، آي بي (2001) [1994]، "مضاعفات لاغرانج" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس.
    • لاسدون، ليون  س. (1970). نظرية التحسين للأنظمة الكبيرة . سلسلة ماكميلان في بحوث العمليات. نيويورك: شركة ماكميلان. الصفحات:  523 صفحة + 11 صفحة تمهيدية. MR 0337317 . 
    • لاسدون، ليون  س. (2002). نظرية التحسين للأنظمة الكبيرة (إعادة طبع طبعة ماكميلان لعام 1970  ). مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، ص.  13+523. MR 1888251 . 
    • هيريارت-أوروتي، جان-باتيست؛ ليمارشال، كلود (1993). "  الازدواجية المجردة للممارسين (12). التحليل المحدب وخوارزميات التصغير، المجلد  الثاني: النظرية المتقدمة وطرق الحزم . المبادئ الأساسية للعلوم الرياضية. المجلد  306. برلين: سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات  136-193 (مع تعليقات ببليوغرافية في الصفحات 334-335). ISBN 978-3-540-56852-0MR 1295240 .​ 
  70. 1 2 ليمارشال، كلود (2001). "استرخاء لاغرانج". في مايكل جونجر؛ دينيس نادف (محرران). التحسين التوافقي الحسابي: أوراق من مدرسة الربيع التي عقدت في شلوس داغستوهل، 15-19 مايو 2000 . ملاحظات محاضرة في علوم الكمبيوتر. المجلد. 2241. برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ص 112 – 156. دوى : 10.1007 / 3-540-45586-8_4 . رقم ISBN     978-3-540-42877-0MR 1900016 . S2CID 9048698 .​  
  71. ↑ بونترياغين، إل إس؛ بولتيانسكي، في جي؛ غامكريليدزه، آر في؛ ميشينكو، إي إف (1962). النظرية الرياضية للعمليات المثلى . نيويورك: وايلي. ISBN 9782881240775أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 2023-07-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2015-06-27 .{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) صيانة CS1 : أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  72. ↑
    • زيلكين، إم آي ([1987] 2008). "مبدأ بونترياجين الأمثلية"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. رابط المعاينة مؤرشف بتاريخ 11 أغسطس 2017 على موقع Wayback Machine .
    • مارتوس، بيلا (1987). "التحكم والتنسيق في النشاط الاقتصادي"، قاموس بالغراف الجديد: قاموس الاقتصاد . رابط الوصف. مؤرشف بتاريخ 6 مارس 2016 في أرشيف الإنترنت .
    • بروك، واشنطن (1987). "التحكم الأمثل والديناميكيات الاقتصادية"، قاموس نيو بالغراف: قاموس الاقتصاد . ملخص مؤرشف بتاريخ 11 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت .
    • شيل، ك.، محرر. (1967). مقالات في نظرية النمو الاقتصادي الأمثل . كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 978-0-262-19036-7.]
  73. ↑ ستوكي، نانسي ل. وروبرت إي. لوكاس مع إدوارد بريسكوت (1989). الأساليب التكرارية في الديناميات الاقتصادية ، مطبعة جامعة هارفارد، الفصل 5. تم أرشفة الوصف في 11 أغسطس 2017 على موقع Wayback Machine ، وروابط معاينة الفصل مؤرشفة في 1 يوليو 2023 على موقع Wayback Machine .
  74. ↑ مالياريس، أ. ج. (2008). "التحكم الأمثل العشوائي"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 18-10-2017 في أرشيف الإنترنت .
  75. ↑
  76. ↑ أندرو ماكلينان، 2008. "نظريات النقطة الثابتة"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 2016-03-06 في أرشيف الإنترنت .
  77. ↑ وينتروب، إي. روي (1977). "نظرية التوازن العام" . في وينتروب، سيدني (محرر). الفكر الاقتصادي الحديث . مطبعة جامعة بنسلفانيا. ص 107-109 . ISBN  978-0-8122-7712-8أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 2023-07-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-05-28 .
  78. 1 2 3 كانتوروفيتش، ليونيد، وفيكتور بولتروفيتش (2008). "التحليل الوظيفي"، في: إس. دورلاف ول. بلوم، محرران، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص. مؤرشف بتاريخ 3 مارس 2016 في أرشيف الإنترنت ، بالغراف ماكميلان.
  79. ^ كانتوروفيتش، إل في (1990). " «رحلتي في العلوم (تقرير مُفترض إلى جمعية موسكو الرياضية)» [توسيعًا لمجلة الدراسات الرياضية الروسية  42 (1987)، العدد  2، الصفحات  233-270]. في: ليف ج. ليفمان (محرر). التحليل الوظيفي، والتحسين، والاقتصاد الرياضي: مجموعة أوراق مُهداة إلى ذكرى ليونيد فيتاليفيتش كانتوروفيتش . نيويورك: مطبعة كلارندون، مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 8-45 . ISBN  978-0-19-505729-4MR 0898626 .​ 
  80. ↑ الصفحة 406: بولياك، ب. ت. (2002). "تاريخ البرمجة الرياضية في الاتحاد السوفيتي: تحليل الظاهرة (الفصل 3: الرائد: ل . ف. كانتوروفيتش، 1912-1986، الصفحات 405-407)". البرمجة الرياضية . السلسلة ب . 91 (ISMP 2000، الجزء 1 (أتلانتا، جورجيا)، العدد 3): 401-416 . doi : 10.1007 /s101070100258 . MR 1888984. S2CID 13089965 .        
  81. ↑ «ليونيد فيتالييفيتش كانتوروفيتش - محاضرة الجائزة (الرياضيات في الاقتصاد: الإنجازات، والصعوبات، والآفاق))» . Nobelprize.org . مؤرشف من الأصل في 14 ديسمبر 2010. تم الاطلاع عليه في 12 ديسمبر 2010 . 
  82. ^ أليبرانتيس، شارالامبوس د . براون، دونالد ج. بوركينشو، أوين (1990). وجود وأمثلية التوازنات التنافسية . برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ص.ثاني عشر+284. رقم ISBN    978-3-540-52866-1MR 1075992 .​ 
  83. ↑ روكافيلر، ر. تيريل . الازدواجية المترافقة والتحسين . محاضرات ألقيت في جامعة جونز هوبكنز، بالتيمور، ماريلاند، يونيو 1973. سلسلة المؤتمرات الإقليمية لعلوم الرياضيات التطبيقية، رقم 16. جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، فيلادلفيا، بنسلفانيا، 1974. 74 صفحة + 6 صفحات تمهيدية.
  84. ↑ ليستر ج. تيلسر وروبرت ل. غريفز ، التحليل الوظيفي في الاقتصاد الرياضي: الأمثلية على مدى آفاق لا نهائية ، 1972. مطبعة جامعة شيكاغو، 1972، رقم ISBN 978-0-226-79190-6.
  85. ↑ نيومان، جون فون، وأوسكار مورجنسترن (1944) نظرية الألعاب والسلوك الاقتصادي ، برينستون.
  86. ↑ كريدي، جون (2008). "فرانسيس يسيدرو (1845-1926)"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 11 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت .
  87. ↑
    • ناش، جون ف.، الابن (1950). "مشكلة المساومة"، Econometrica ، 18(2)، ص 155-162 . مؤرشف في 2016-03-04 في Wayback Machine .
    • سيرانو، روبرتو (2008). "المساومة"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 11 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت .
  88. ↑
    • سميث، فيرنون ل. (1992). "نظرية الألعاب والاقتصاد التجريبي: البدايات والتأثيرات المبكرة"، في إي آر وينتروب، محرر، نحو تاريخ نظرية الألعاب ، ص 241- مؤرشف في 2023-07-01 في Wayback Machine 282.
    • _____ (2001). "الاقتصاد التجريبي"، الموسوعة الدولية للعلوم الاجتماعية والسلوكية ، ص  5100-5108. ملخص مؤرشف بتاريخ 14-10-2018 في Wayback Machine وفقًا للقسمين 1.1 و2.1.
    • بلوت، تشارلز ر. ، وفيرنون ل. سميث، محرران (2008). دليل نتائج الاقتصاد التجريبي ، المجلد 1، إلسيفير، الجزء 4، الألعاب، الفصل 45-66 روابط المعاينة .
    • شوبيك، مارتن (2002). "نظرية الألعاب والألعاب التجريبية"، في ر. أومان وس. هارت، محررين، دليل نظرية الألعاب مع التطبيقات الاقتصادية ، إلسيفير، المجلد 3، الصفحات  2327-2351. ملخص مؤرشف بتاريخ 2018-11-07 في أرشيف الإنترنت .
  89. ↑ من قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد (2008)، الطبعة الثانية:
  90. ↑
    • راسموسن، إريك (2007). الألعاب والمعلومات ، الطبعة الرابعة. الوصف مؤرشف بتاريخ 24 يونيو 2017 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) وروابط معاينة الفصول . مؤرشف بتاريخ 1 يوليو 2023 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
    • أومان، ر.، وهارت، س.، محرران. (1992، 2002). دليل نظرية الألعاب مع التطبيقات الاقتصادية ، المجلد 1، الروابط في الفصول 3-6، مؤرشف في 16 أغسطس 2017 على موقع Wayback Machine ، والمجلد 3، الفصل 43، مؤرشف في 14 أكتوبر 2018 على موقع Wayback Machine .
  91. ↑
    • تيرول، جان (1988). نظرية التنظيم الصناعي ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. وصف وروابط معاينة الفصول، الصفحات من 7 إلى 9 ، "التنظيم العام"، الصفحات من 5 إلى 6 ، و"نظرية الألعاب غير التعاونية: دليل المستخدم"، الفصل 11، الصفحات من 423 إلى 459 .
    • باجويل، كايل، وآشر وولينسكي (2002). "نظرية الألعاب والتنظيم الصناعي"، الفصل 49، دليل نظرية الألعاب مع التطبيقات الاقتصادية ،
    المجلد 3، الصفحات 1851 مؤرشف في 2016-01-02 في Wayback Machine -1895.
  92. ↑
    • شوبيك، مارتن (1981). "نماذج وأساليب نظرية الألعاب في الاقتصاد السياسي"، في كتيب الاقتصاد الرياضي ، المجلد 1، الصفحات 285-330. doi : 10.1016/S1573-4382(81)01011-4 .
  93. 1 2
    • قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد (2008)، الطبعة الثانية: مايرسون، روجر ب. "تصميم الآليات". ملخص. مؤرشف بتاريخ 23-11-2011 في أرشيف الإنترنت _____. "مبدأ الوحي". ملخص. مؤرشف بتاريخ 16-05-2013 في أرشيف الإنترنت ساندولم، توماس. "الحوسبة في تصميم الآليات". ملخص. مؤرشف بتاريخ 23-11-2011 في أرشيف الإنترنت            
    • نيسان، نوام، وأمير رونين (2001). "تصميم الآليات الخوارزمية"، الألعاب والسلوك الاقتصادي ، 35(1-2)، ص 166-196 . مؤرشف في 14-10-2018 على موقع Wayback Machine .
    • نيسان، نوام، وآخرون ، محررون (2007). نظرية الألعاب الخوارزمية ، مطبعة جامعة كامبريدج. الوصف مؤرشف بتاريخ 5 مايو 2012 على موقع Wayback Machine .
  94. 1 2
    • هالبرن، جوزيف ي. (2008). "علوم الحاسوب ونظرية الألعاب"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 5 نوفمبر 2017 في أرشيف الإنترنت .        
    • شوهام، يوآف (2008). "علوم الحاسوب ونظرية الألعاب"، اتصالات ACM ، 51(8)، ص.
    75-79 مؤرشفة بتاريخ 2012-04-26 في Wayback Machine .        
    • روث، ألفين إي. (2002). "الاقتصادي كمهندس: نظرية الألعاب والتجريب والحساب كأدوات لاقتصاديات التصميم"، Econometrica ، 70(4)، ص 1341-1378 .
  95. ↑
    • كيرمان، آلان (2008). "الاقتصاد كنظام معقد"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 11 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت .
    • تيسفاتسيون، لي (2003). "الاقتصاد الحسابي القائم على الوكلاء: نمذجة الاقتصادات كنظم تكيفية معقدة"، علوم المعلومات ، 149(4)، ص 262-268 .
  96. ↑ سكوت إي. بيج (2008)، "النماذج القائمة على الوكلاء"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 10 فبراير 2018 في أرشيف الإنترنت .
  97. ↑
  98. ↑
    • جود، كينيث ل. (2006). "التحليلات المكثفة حسابيًا في الاقتصاد"، دليل الاقتصاد الحسابي ، المجلد 2، الفصل 17، مقدمة، ص 883. الصفحات 881-893 . نسخة PDF قبل النشر، مؤرشفة بتاريخ 21 يناير 2022 على موقع Wayback Machine . • _____ (1998). الأساليب العددية في الاقتصاد ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. روابط لوصف الكتاب ومعاينات الفصول .  
  99. ↑
    • تيسفاتسيون، لي (2002). "الاقتصاد الحسابي القائم على الوكلاء: تنمية الاقتصادات من القاعدة إلى القمة"، الحياة الاصطناعية ، 8(1)، ص 55-82. ملخص مؤرشف بتاريخ 6 مارس 2020 على موقع Wayback Machine ، ونسخة PDF قبل النشر . • _____ (1997). "كيف يمكن للاقتصاديين أن ينعموا بحياة أفضل؟"، في: دبليو بي آرثر، إس. دورلاف، ودي. لين (محررون)، الاقتصاد كنظام معقد متطور، الجزء الثاني ، ص 533-564. أديسون-ويسلي. نسخة PDF قبل النشر، مؤرشف بتاريخ 15 أبريل 2012 على موقع Wayback Machine .   
  100. ↑ تيسفاتسيون، لي (2006)، "الاقتصاد الحسابي القائم على الوكلاء: منهج بنائي للنظرية الاقتصادية"، الفصل 16، دليل الاقتصاد الحسابي ، المجلد 2، الجزء 2، دراسة ACE للنظام الاقتصادي. ملخص مؤرشف بتاريخ 9 أغسطس 2018 في Wayback Machine ، ونسخة PDF قبل النشر مؤرشفة بتاريخ 11 أغسطس 2017 في Wayback Machine .
  101. ↑ أكسلرود، روبرت (1997). تعقيد التعاون: نماذج قائمة على الوكلاء للمنافسة والتعاون ، برينستون. الوصف مؤرشف بتاريخ 2018-01-02 في Wayback Machine ، والمحتويات مؤرشفة بتاريخ 2018-01-02 في Wayback Machine ، والمعاينة مؤرشفة بتاريخ 2023-07-01 في Wayback Machine .
  102. ↑
  103. ↑ كلوسا، توماس ب.، وبارت نوتيبوم ، 2001. "اقتصاديات تكلفة المعاملات الحسابية القائمة على الوكلاء"، مجلة ديناميكيات الاقتصاد والتحكم 25(3-4)، ص 503-552. ملخص. مؤرشف بتاريخ 22-06-2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
  104. ↑ أكسل، روبرت (2005). "تعقيد التبادل"، المجلة الاقتصادية ، 115 (504، مقالات)، ص. F193-F210. مؤرشف في 2017-08-08 على موقع Wayback Machine .
  105. ↑ ساندولم، توماس دبليو، وفيكتور آر ليسر (2001). "عقود الالتزام المتدرج والخرق الاستراتيجي"، الألعاب والسلوك الاقتصادي ، 35 (1-2)، ص 212-270 . مؤرشف في 2020-12-04 في Wayback Machine .
  106. ↑
  107. ↑ تيسفاتسيون، لي (2006)، "الاقتصاد الحسابي القائم على الوكلاء: منهج بنائي للنظرية الاقتصادية"، الفصل 16، دليل الاقتصاد الحسابي ، المجلد 2، الصفحات 832-865. ملخص مؤرشف بتاريخ 9 أغسطس 2018 في أرشيف الإنترنت ، ونسخة PDF قبل النشر مؤرشفة بتاريخ 11 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت .
  108. ↑ سميث، فيرنون ل. (2008). "الاقتصاد التجريبي"، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، الطبعة الثانية. ملخص مؤرشف بتاريخ 19 يناير 2012 في أرشيف الإنترنت .
  109. ↑ دافي، جون (2006). "النماذج القائمة على الوكلاء وتجارب البشر"، الفصل 19، دليل الاقتصاد الحسابي ، المجلد 2، الصفحات 949-101. ملخص مؤرشف بتاريخ 24-09-2015 في أرشيف الإنترنت .
  110. ↑
    • ناماتامي، أكيرا، وتاكاو تيرانو (2002). "الأرنب والسلحفاة: التقدم التراكمي في المحاكاة القائمة على الوكلاء"، في كتاب " المناهج القائمة على الوكلاء في الأنظمة الاقتصادية والاجتماعية المعقدة "، الصفحات 3-14 ، دار نشر IOS. تمت أرشفة الوصف بتاريخ 5 أبريل 2012 على موقع Wayback Machine .
    • فاجيولو، جورجيو، أليسيو مونيتا، وبول ويندروم (2007). "دليل نقدي للتحقق التجريبي من صحة النماذج القائمة على الوكلاء في الاقتصاد: المنهجيات والإجراءات والمشاكل المفتوحة"، الاقتصاد الحسابي ، 30، ص 195. مؤرشف في 2023-07-01 في Wayback Machine –226.
  111. ↑
    • تيسفاتسيون، لي (2006). "الاقتصاد الحسابي القائم على الوكلاء: منهج بنائي للنظرية الاقتصادية"، الفصل 16، دليل الاقتصاد الحسابي ، المجلد 2، [الصفحات  831-880] القسم 5. ملخص مؤرشف بتاريخ 9 أغسطس 2018 في أرشيف الإنترنت ، ونسخة PDF قبل النشر مؤرشفة بتاريخ 11 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت .
    • جود، كينيث ل. (2006). "التحليلات المكثفة حسابيًا في الاقتصاد"، دليل الاقتصاد الحسابي ، المجلد 2، الفصل 17، الصفحات 881-893 . نسخة PDF قبل النشر، مؤرشفة بتاريخ 21 يناير 2022 على موقع Wayback Machine .
    • تيسفاتسيون، لي، وكينيث ل. جود، محررين (2006). دليل الاقتصاد الحسابي ، المجلد 2. الوصف مؤرشف بتاريخ 6 مارس 2012 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) ومعاينة الفصل
    روابط.
  112. ↑ بروكهاوس، أوليفر؛ فاركاس، مايكل؛ فيراريس، أندرو؛ لونغ، دوغلاس؛ أوفرهاوس، ماركوس (2000). مشتقات الأسهم ونماذج مخاطر السوق . كتب المخاطر. الصفحات 13-17 . ISBN  978-1-899332-87-8أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 2023-07-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2008-08-17 .{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  113. ↑ لينر، غينز هـ. (2002). "المجلات الأساسية في الاقتصاد". البحث الاقتصادي . 40 (1): 140. doi : 10.1093/ei/40.1.138 .
  114. ↑ ستيجلر، جورج ج .؛ ستيجلر، ستيفن ج.؛ فريدلاند، كلير (أبريل 1995). "مجلات الاقتصاد". مجلة الاقتصاد السياسي . 103 (2): 331-359 . doi : 10.1086/261986 . ISSN 0022-3808 . JSTOR 2138643. S2CID 154780520 .   
  115. قام ستيجلر وزملاؤه بمراجعة مقالات منشورة في دوريات اقتصادية أساسية (كما حددها المؤلفون، ولكنها تعني عمومًا الدوريات غير المتخصصة) على مدار القرن العشرين. وتمّ تصنيف المقالات التي استخدمت التمثيل الهندسي أو الرموز الرياضية في أي وقت على أنها تستخدم هذا المستوى من الرياضيات باعتباره "أعلى مستوى من التقنيات الرياضية". ويشير المؤلفون إلى "التقنيات اللفظية" بأنها تلك التي تنقل موضوع المقال دون استخدام رموز من الهندسة أو الجبر أو التفاضل والتكامل .
  116. ↑ ستيجلر وآخرون، ص 342
  117. ↑ ساتر، دانيال وريكس بيسكي. "أين سينشر آدم سميث اليوم؟: شبه انعدام الأبحاث الخالية من الرياضيات في المجلات الرائدة" (مايو 2007).أُرشف بتاريخ 10 أكتوبر 2017 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
  118. ↑ آرو، كينيث ج. (أبريل 1960). "أعمال راجنار فريش، عالم الاقتصاد القياسي". مجلة Econometrica . 28 (2): 175-192 . doi : 10.2307/1907716 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1907716 .  
  119. ^ بجرخولت، أولاف (يوليو 1995). “راجنار فريش، محرر مجلة إيكونوميتريكا 1933-1954”. الاقتصاد القياسي . 63 (4): 755-765 . دوى : 10.2307/2171799 . ISSN 0012-9682 . جستور 1906940 .  
  120. ↑ لانج، أوسكار (1945). " نطاق ومنهج علم الاقتصاد". مراجعة الدراسات الاقتصادية . 13 (1): 19-32 . doi : 10.2307/2296113 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2296113. S2CID 4140287 .   
  121. ↑ ألدريتش، جون (يناير 1989). "الاستقلالية". أوراق أكسفورد الاقتصادية . 41 (1، تاريخ ومنهجية الاقتصاد القياسي): 15-34 . doi : 10.1093/oxfordjournals.oep.a041889 . ISSN 0030-7653 . JSTOR 2663180 .  
  122. ↑ إبستين، روي ج. (1987). تاريخ الاقتصاد القياسي . مساهمات في التحليل الاقتصادي. نورث هولاند. ص 13-19 . ISBN  978-0-444-70267-8. OCLC 230844893 . 
  123. ↑ كولاندر، ديفيد سي. (2004). "الاستمرار الغريب لنموذج IS-LM". تاريخ الاقتصاد السياسي . 36 (ملحق سنوي): 305-322 . CiteSeerX 10.1.1.692.6446 . doi : 10.1215/00182702-36-Suppl_1-305 . ISSN 0018-2702 . S2CID 6705939 .   
  124. ↑ بريمز، هانز (أكتوبر 1975). " مارشال في الرياضيات". مجلة القانون والاقتصاد . 18 (2): 583-585 . doi : 10.1086/466825 . ISSN 0022-2186 . JSTOR 725308. S2CID 154881432 .   
  125. ↑ فريج، ر.؛ هارتمان، س. (27 فبراير 2006). إدوارد ن. زالتا (محرر). النماذج في العلوم . موسوعة ستانفورد للفلسفة. ستانفورد، كاليفورنيا: مختبر أبحاث الميتافيزيقا. ISSN 1095-5054 . مؤرشف من الأصل في 9 يونيو 2007. تم الاطلاع عليه في 16 أغسطس 2008 . 
  126. ↑ إيكلوند، روبرت؛ هيبيرت، روبرت (2014). تاريخ النظرية والمنهج الاقتصادي ( الطبعة السادسة). لونغ غروف، إلينوي: دار نشر ويفلاند. الصفحات 574-575 .  
  127. ↑ هايك، فريدريك (سبتمبر 1945). "استخدام المعرفة في المجتمع". المجلة الاقتصادية الأمريكية . 35 (4): 519-530 . JSTOR 1809376 . 
  128. ↑ هيلبرونر، روبرت (مايو-يونيو 1999). "نهاية العلم الكئيب؟" . مجلة تشالنج . مؤرشف من الأصل بتاريخ 10-12-2008.
  129. ↑ بيد وأوين، 584
  130. ↑ بولاند، ل. أ. (2007). "سبعة عقود من المنهجية الاقتصادية" . في: ج. س. جارفي؛ ك. ميلفورد؛ د. و. ميلر (محررون). كارل بوبر: تقييم الذكرى المئوية . لندن: دار نشر أشغيت. ص 219. ISBN  978-0-7546-5375-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 10-06-2008 .
  131. ↑ بيد، كلايف؛ كين، أوين (1991). "ما هو نقد إضفاء الطابع الرياضي على الاقتصاد؟". كيكلوس . 44 (4): 581-612 . doi : 10.1111/j.1467-6435.1991.tb01798.x .
  132. ↑ فريدمان، ميلتون (1953). مقالات في الاقتصاد الوضعي . شيكاغو: مطبعة جامعة شيكاغو. الصفحات 30 ، 33، 41. ISBN  978-0-226-26403-5.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  133. ↑ كينز، جون ماينارد (1936). النظرية العامة للتوظيف والفائدة والنقود . كامبريدج: ماكميلان. ص 297. ISBN  978-0-333-10729-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 28 مايو 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 أبريل 2009 .{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  134. ↑ بول أ. سامويلسون (1952). "النظرية الاقتصادية والرياضيات - تقييم"، المجلة الاقتصادية الأمريكية ، 42(2)، ص 56، 64-65 (مطبعة + ).
  135. ↑ د. و. بوشاو و ر. و. كلاور (1957). مقدمة في الاقتصاد الرياضي ، ص. 7. مؤرشف بتاريخ 18-03-2022 في أرشيف الإنترنت
  136. ↑ سولو، روبرت م. (20 مارس 1988). "عالم الثروة الواسع" ( بالجريف الجديد: قاموس الاقتصاد . حرره جون إيتويل، وموراي ميلجيت، وبيتر نيومان. أربعة مجلدات. 4103 صفحة. نيويورك: مطبعة ستوكتون. 650 دولارًا أمريكيًا) . نيويورك تايمز . مؤرشف من الأصل في 1 أغسطس 2017. تم الاطلاع عليه في 11 فبراير 2017 .

للمزيد من القراءة

  • ألفا سي. تشيانغ وكيفن واينرايت، [1967] 2005. الأساليب الأساسية للاقتصاد الرياضي ، ماكجرو هيل إروين. المحتويات.
  • إي. روي وينتروب ، 1982. الرياضيات للاقتصاديين ، كامبريدج. المحتويات .
  • ستيفن جلايستر ، 1984. الأساليب الرياضية للاقتصاديين ، الطبعة الثالثة، بلاكويل. المحتويات.
  • أكيرا تاكاياما، 1985. الاقتصاد الرياضي ، الطبعة الثانية. كامبريدج. المحتويات .
  • نانسي ل. ستوكي وروبرت إي. لوكاس مع إدوارد بريسكوت ، 1989. الأساليب التكرارية في الديناميات الاقتصادية ، مطبعة جامعة هارفارد. وصف وروابط معاينة الفصول .
  • أ. ك. ديكسيت ، [1976] 1990. الأمثلية في النظرية الاقتصادية ، الطبعة الثانية، أكسفورد. وصف ومعاينة المحتويات .
  • كينيث إل. جود ، 1998. الأساليب العددية في الاقتصاد ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. وصف وروابط لمعاينة الفصول .
  • مايكل كارتر، 2001. أسس الاقتصاد الرياضي ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. المحتويات .
  • فيرينك سيداروفسكي وساندور مولنار، 2002. مقدمة في نظرية المصفوفات: مع تطبيقات في الأعمال والاقتصاد ، دار النشر العالمية العلمية. وصف ومعاينة .
  • د. ويد هاندز، 2004. الاقتصاد الرياضي التمهيدي ، الطبعة الثانية. أكسفورد. المحتويات .
  • فلاديمير بوكروفسكي ، 2018. الديناميات الاقتصادية. نظرية الإنتاج الاجتماعي ، الطبعة الثالثة، سبرينغر.
  • جيانكارلو غاندولفو، [ 1997] 2009. الديناميات الاقتصادية ، الطبعة الرابعة، سبرينغر. الوصف والمعاينة .
  • جون ستاشورسكي، 2009. الديناميكيات الاقتصادية: النظرية والحساب ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . الوصف والمعاينة .