تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية

في الرياضيات ، يُعدّ تصنيف الزمر البسيطة المنتهية (المعروفة شعبياً بنظرية الزمر الهائلة ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} ) نتيجةً لنظرية الزمر، حيث تنصّ على أن كل زمرة بسيطة منتهية إما دورية ، أو متناوبة ، أو تنتمي إلى فئة لانهائية واسعة تُسمى زمر لي ، أو أنها واحدة من ستة وعشرين استثناءً تُسمى الزمر المتفرقة ( تُعتبر زمرة تيتس أحياناً زمرة متفرقة لأنها ليست زمرة لي بالمعنى الدقيق للكلمة ^{[ 3 ]،} وفي هذه الحالة سيكون هناك 27 زمرة متفرقة). ويتألف البرهان من عشرات الآلاف من الصفحات في مئات المقالات المنشورة في دوريات علمية، كتبها نحو 100 مؤلف، ونُشرت في الغالب بين عامي 1955 و2004.

يمكن اعتبار الزمر البسيطة بمثابة اللبنات الأساسية لجميع الزمر المنتهية ، تمامًا كما تُعدّ الأعداد الأولية اللبنات الأساسية للأعداد الطبيعية . تُقدّم نظرية جوردان-هولدر طريقةً أكثر دقةً للتعبير عن هذه الحقيقة المتعلقة بالزمر المنتهية. مع ذلك، يكمن الاختلاف الجوهري عن تحليل الأعداد الصحيحة في أن هذه "اللبنات الأساسية" لا تُحدّد بالضرورة زمرةً وحيدة، إذ قد توجد العديد من الزمر غير المتماثلة التي لها نفس سلسلة التركيب ، أو بعبارة أخرى، لا يوجد حلّ وحيد لمسألة التمديد .

يقوم كل من دانيال غورنشتاين (1923-1992) وريتشارد ليونز ورونالد سولومون بنشر نسخة مبسطة ومنقحة من البرهان تدريجياً.

بيان نظرية التصنيف

نظرية — كل مجموعة بسيطة منتهية ، حتى التشاكل ، هي واحدة من المجموعات التالية:

عضو في 18 عائلة لانهائية محددة من المجموعات البسيطة، وهي:
- المجموعات الدورية ذات الرتبة الأولية،
- مجموعات متناوبة من الدرجة الخامسة على الأقل،
- 16 عائلة لانهائية أخرى تُعرف باسم المجموعات البسيطة من نوع لي ،
أو واحدة من 26 مجموعة محددة تسمى " المجموعات المتفرقة ".

تُستخدم نظرية التصنيف في العديد من فروع الرياضيات، إذ يمكن أحيانًا اختزال الأسئلة المتعلقة ببنية الزمر المنتهية (وتأثيرها على الكائنات الرياضية الأخرى) إلى أسئلة حول الزمر البسيطة المنتهية. وبفضل هذه النظرية، يُمكن أحيانًا الإجابة عن هذه الأسئلة بفحص كل عائلة من الزمر البسيطة وكل زمرة متفرقة.

أعلن دانيال غورنشتاين في عام 1983 عن تصنيف جميع الزمر البسيطة المنتهية، لكن هذا الإعلان كان سابقًا لأوانه نظرًا لمعلومات خاطئة لديه حول برهان تصنيف الزمر شبه الرقيقة . وقد أعلن آشباخر (2004) عن البرهان الكامل لهذا التصنيف بعد أن نشر هو وسميث برهانًا من 1221 صفحة للحالة المفقودة للزمر شبه الرقيقة.

نظرة عامة على برهان نظرية التصنيف

كتب غورنشتاين ( 1982 ، 1983 ) مجلدين يُلخصان الجزء المتعلق بالرتبة المنخفضة والخاصية الفردية من البرهان، وكتب مايكل أشباخر وريتشارد ليونز وستيفن د. سميث وآخرون ( 2011 ) مجلدًا ثالثًا يُغطي الحالة المتبقية ذات الخاصية 2. ويمكن تقسيم البرهان إلى عدة أجزاء رئيسية كما يلي:

مجموعات من رتبتين صغيرتين

تتكون المجموعات البسيطة ذات الرتبة 2 المنخفضة في الغالب من مجموعات من نوع Lie ذات رتبة صغيرة على حقول ذات خصائص فردية، إلى جانب خمس مجموعات متناوبة وسبع مجموعات من النوع 2 المميز وتسع مجموعات متفرقة.

تتضمن المجموعات البسيطة ذات الرتبتين الصغيرتين ما يلي:

مجموعات من الرتبة 2-0، أو بعبارة أخرى مجموعات من الرتبة الفردية، والتي يمكن حلها جميعًا بواسطة نظرية فيت-تومسون .
مجموعات من الرتبة 2-1. مجموعات سيلو الفرعية من الرتبة 2 إما دورية، والتي يسهل التعامل معها باستخدام خريطة النقل، أو رباعية معممة ، والتي يتم التعامل معها باستخدام نظرية براور-سوزوكي : على وجه الخصوص، لا توجد مجموعات بسيطة من الرتبة 2-1 باستثناء المجموعة الدورية من الرتبة الثانية.
أظهرت ألبيرين أن الزمرة الفرعية سيلو يجب أن تكون ثنائية السطوح، أو شبه ثنائية السطوح، أو حلقية، أو زمرة فرعية سيلو من الرتبة 2 من U ₃ (4). تم إثبات الحالة الأولى باستخدام نظرية غورنشتاين-والتر التي بينت أن الزمر البسيطة الوحيدة هي المتماثلة مع L ₂ ( q ) عندما يكون q فرديًا أو A _7. أما الحالتان الثانية والثالثة، فقد تم إثباتهما باستخدام نظرية ألبيرين-براور-غورنشتاين التي تشير إلى أن الزمر البسيطة الوحيدة هي المتماثلة مع L ₃ ( q ) أو U ₃ ( q ) عندما يكون q فرديًا أو M _11. أما الحالة الأخيرة، فقد تم إثباتها بواسطة ليونز الذي بين أن U ₃ (4) هي الاحتمال البسيط الوحيد.
مجموعات من الرتبة القطاعية 2 على الأكثر 4، مصنفة وفقًا لنظرية غورنشتاين-هارادا .

يعتمد تصنيف المجموعات الصغيرة ذات الرتبة 2، وخاصة الرتب التي لا تتجاوز 2، بشكل كبير على نظرية الخصائص العادية والنمطية، والتي نادراً ما يتم استخدامها بشكل مباشر في أي مكان آخر في التصنيف.

يمكن تقسيم جميع الزمر التي لا تقل رتبتها عن 2 إلى فئتين رئيسيتين: زمر من النوع المكون وزمر من النوع المميز 2. وذلك لأنه إذا كانت رتبة الزمرة القطاعية 2 تساوي 5 على الأقل، فقد أثبت ماك ويليامز أن زمرها الفرعية من النوع 2-سيلو متصلة، وتنص نظرية التوازن على أن أي زمرة بسيطة ذات زمر فرعية متصلة من النوع 2-سيلو هي إما من النوع المكون أو من النوع المميز 2. (أما بالنسبة للزمر ذات الرتبة المنخفضة 2، فإن برهان ذلك لا ينطبق، لأن نظريات مثل نظرية دالة الإشارة لا تعمل إلا مع الزمر ذات الزمر الفرعية الأبيلية الأولية التي لا تقل رتبتها عن 3).

مجموعات من نوع المكون

يُقال إن المجموعة من نوع المكونات إذا كان لمركز C لعملية الانعكاس مكونٌ ما (حيث O( C ) هو نواة C ، وهي المجموعة الجزئية الطبيعية القصوى ذات الرتبة الفردية). وتشمل هذه المجموعات ، بشكل أو بآخر ، مجموعات لي ذات الخاصية الفردية ذات الرتبة الكبيرة، والمجموعات المتناوبة، بالإضافة إلى بعض المجموعات المتفرقة. وتتمثل الخطوة الرئيسية في هذه الحالة في إزالة عائق نواة عملية الانعكاس. ويتحقق ذلك من خلال نظرية B ، التي تنص على أن كل مكون من مكونات C / O ( C ) هو صورة لمكون من مكونات C.

الفكرة هي أن هذه الزمر تمتلك مركزًا لعملية انعكاسية ذات مكون عبارة عن زمرة شبه بسيطة أصغر، والتي يُفترض أنها معروفة مسبقًا بالاستقراء. لذا، لتصنيف هذه الزمر، نأخذ كل امتداد مركزي لكل زمرة بسيطة منتهية معروفة، ونجد جميع الزمر البسيطة التي تمتلك مركزًا لعملية انعكاسية يكون هذا الامتداد مكونًا لها. ينتج عن ذلك عدد كبير من الحالات المختلفة التي يجب فحصها: لا يقتصر الأمر على وجود 26 زمرة متفرقة و16 عائلة من زمر نوع لي والزمر المتناوبة، بل إن العديد من الزمر ذات الرتبة الصغيرة أو تلك التي تعمل على حقول صغيرة تتصرف بشكل مختلف عن الحالة العامة، ويجب التعامل معها بشكل منفصل، كما أن زمر نوع لي ذات الخاصية الزوجية والفردية تختلف اختلافًا كبيرًا أيضًا.

مجموعات من النوع المميز 2

تُصنَّف المجموعة على أنها من النوع ذي الخاصية 2 إذا كانت المجموعة الجزئية المعممة F *( Y ) لكل مجموعة جزئية محلية ثنائية Y هي مجموعة ثنائية. وكما يوحي الاسم، فإن هذه المجموعات هي تقريبًا مجموعات من نوع لي على حقول ذات خاصية 2، بالإضافة إلى عدد قليل من المجموعات الأخرى المتناوبة أو المتفرقة أو ذات الخاصية الفردية. وينقسم تصنيفها إلى حالتي الرتبة الصغيرة والكبيرة، حيث تكون الرتبة هي أكبر رتبة لمجموعة جزئية أبيلية فردية تُعَيِّر مجموعة جزئية ثنائية غير تافهة، والتي غالبًا (ولكن ليس دائمًا) ما تكون هي نفسها رتبة جبر كارتان الجزئي عندما تكون المجموعة من نوع لي في الخاصية 2.

تُعرف المجموعات من الرتبة الأولى بالمجموعات الرقيقة، التي صنفها آشباخر، أما المجموعات من الرتبة الثانية فهي المجموعات شبه الرقيقة سيئة السمعة، التي صنفها آشباخر وسميث. وتُقابل هذه المجموعات تقريبًا مجموعات من نوع لي من الرتبتين الأولى أو الثانية على حقول ذات خاصية 2.

تُقسّم الزمر ذات الرتبة 3 أو أعلى إلى ثلاث فئات فرعية وفقًا لنظرية التثليث ، التي أثبتها آشباخر للرتبة 3، وغورنشتاين وليونز للرتبة 4 أو أعلى. الفئات الثلاث هي: زمر من نوع GF(2) (صنفها تيمسفيلد بشكل أساسي)، وزمر من "النوع القياسي" لعدد أولي فردي (صنفتها نظرية غيلمان-غريس وأعمال أخرى)، وزمر من نوع التفرد، حيث تشير نتيجة لآشباخر إلى عدم وجود زمر بسيطة. أما الحالة العامة ذات الرتبة الأعلى فتتألف في الغالب من زمر من نوع لي على حقول ذات خاصية 2 ورتبة 3 أو 4 أو أعلى.

وجود وتفرد المجموعات البسيطة

يُنتج الجزء الرئيسي من التصنيف توصيفًا لكل مجموعة بسيطة. ثم من الضروري التحقق من وجود مجموعة بسيطة لكل توصيف، وأنها فريدة. ينتج عن ذلك عدد كبير من المسائل المنفصلة؛ فعلى سبيل المثال، بلغ مجموع البراهين الأصلية لوجود وتفرد مجموعة الوحش حوالي 200 صفحة، وكان تحديد مجموعات ري بواسطة طومسون وبومبيري من أصعب أجزاء التصنيف. استخدمت العديد من براهين الوجود وبعض براهين التفرد للمجموعات المتفرقة في الأصل حسابات حاسوبية، وقد استُبدل معظمها منذ ذلك الحين ببراهين يدوية أقصر.

تاريخ البرهان

برنامج غورنشتاين

في عام 1972 أعلن غورنشتاين (1979 ، الملحق) عن برنامج لإكمال تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية، ويتكون من الخطوات الـ 16 التالية:

مجموعات ذات رتبة منخفضة من الدرجة الثانية. وقد قام بذلك بشكل أساسي غورنشتاين وهارادا، اللذان صنّفا المجموعات ذات الرتبة القطاعية من الدرجة الثانية بحد أقصى 4. وقد تم إنجاز معظم حالات الرتبة من الدرجة الثانية بحد أقصى 2 بحلول الوقت الذي أعلن فيه غورنشتاين عن برنامجه.
شبه البساطة للطبقتين. تكمن المشكلة في إثبات أن الطبقة الثانية من مركزية الانعكاس في زمرة بسيطة هي شبه بسيطة.
الشكل القياسي في الخاصية الفردية. إذا كانت لمجموعة ما عملية انعكاس ذات مكون ثنائي، وهي مجموعة من نوع لي ذات خاصية فردية، فإن الهدف هو إثبات أن لها مركزية انعكاس في "الشكل القياسي"، أي أن مركزية الانعكاس لها مكون من نوع لي في الخاصية الفردية، ولها أيضًا مركزية من الرتبة الثانية 1.
تصنيف الزمر ذات النوع الفردي. تكمن المشكلة في إثبات أنه إذا كانت للزمرة مركزية انعكاسية في "الصيغة القياسية"، فإنها تكون زمرة من نوع لي ذات خاصية فردية. وقد حُلّت هذه المسألة بواسطة نظرية الانعكاس الكلاسيكية لآشباخر .
الشكل شبه القياسي
الالتفافات المركزية
تصنيف المجموعات المتناوبة.
بعض المجموعات المتفرقة
الزمر الرقيقة. الزمر الرقيقة البسيطة المنتهية ، وهي تلك التي يكون رتبتها المحلية من الرتبة p على الأكثر 1 للأعداد الأولية الفردية p ، تم تصنيفها بواسطة آشباخر في عام 1978
مجموعات ذات زمرة فرعية مضمنة بقوة من النوع p عندما يكون p فرديًا
طريقة دالة الإشارة للأعداد الأولية الفردية. تكمن المشكلة الرئيسية في إثبات نظرية دالة الإشارة لدوال الإشارة غير القابلة للحل. وقد حلّها ماكبرايد عام ١٩٨٢.
مجموعات من النوع المميز p . هذه هي مشكلة المجموعات ذات المجموعة الفرعية المحلية 2 المضمنة بقوة p والتي يكون فيها p فرديًا، والتي تناولها آشباخر.
الزمر شبه الرقيقة. الزمرة شبه الرقيقة هي زمرة يكون رتبة زمرها الجزئية المحلية من الرتبة 2 على الأكثر 2 لجميع الأعداد الأولية الفردية p ، وتكمن المشكلة في تصنيف الزمر البسيطة من النوع المميز 2. وقد أنجز آشباخر وسميث هذه المهمة في عام 2004.
مجموعات ذات رتبة 3-محلية ثنائية منخفضة. وقد تم حل هذه المشكلة بشكل أساسي بواسطة نظرية أشباخر الثلاثية للمجموعات التي يكون فيها e ( G ) = 3. التغيير الرئيسي هو استبدال الرتبة 3-المحلية الثنائية بالرتبة p- المحلية الثنائية للأعداد الأولية الفردية.
مركزات العناصر الثلاثة في الصيغة القياسية. وقد تم ذلك أساسًا بواسطة نظرية التثليث .
تصنيف المجموعات البسيطة من النوع المميز 2. وقد تم التعامل مع هذا الأمر بواسطة نظرية جيلمان-غريس ، حيث تم استبدال العناصر المكونة من 3 عناصر بعناصر مكونة من p عنصر للأعداد الأولية الفردية.

الجدول الزمني للإثبات

العديد من العناصر الواردة في الجدول أدناه مأخوذة من سولومون (2001) . التاريخ المذكور عادةً ما يكون تاريخ نشر البرهان الكامل للنتيجة، والذي قد يكون لاحقاً بعدة سنوات من تاريخ البرهان أو الإعلان الأول عن النتيجة، ولذلك تظهر بعض العناصر بترتيب غير صحيح.

تاريخ	تطوير
1832	يقدم غالوا المجموعات الفرعية العادية ويجد المجموعات البسيطة A _n ( n ≥ 5) و PSL ₂ ( F _p ) ( p ≥ 5)
1854	يُعرّف كايلي المجموعات المجردة
1861	يصف ماثيو أول مجموعتين من مجموعات ماثيو M ₁₁ و M ₁₂ ، وأول مجموعات بسيطة متفرقة، ويعلن عن وجود M ₂₄ .
1870	يسرد جوردان بعض المجموعات البسيطة: المجموعات الخطية الخاصة المتناوبة والإسقاطية، ويؤكد على أهمية المجموعات البسيطة.
1872	يثبت سيلو نظريات سيلو
1873	يقدم ماثيو ثلاث مجموعات ماثيو أخرى M ₂₂ و M ₂₃ و M ₂₄ .
1892	يثبت هولدر أن رتبة أي مجموعة بسيطة منتهية غير تبديلية يجب أن تكون ناتجًا عن أربعة أعداد أولية على الأقل (ليس بالضرورة مختلفة)، ويطلب تصنيفًا للمجموعات البسيطة المنتهية.
1893	يصنف كول مجموعات بسيطة من الرتبة حتى 660
1896	بدأ فروبينيوس وبيرنسايد دراسة نظرية الخصائص للمجموعات المنتهية.
1899	يصنف بيرنسايد المجموعات البسيطة بحيث يكون مركز كل عملية انعكاس عبارة عن مجموعة أبيلية أولية غير تافهة من الدرجة الثانية.
1901	يثبت فروبينيوس أن مجموعة فروبينيوس لها نواة فروبينيوس، وبالتالي فهي ليست بسيطة على وجه الخصوص.
1901	يُعرّف ديكسون المجموعات الكلاسيكية على الحقول المنتهية التعسفية، والمجموعات الاستثنائية من النوع G ₂ على الحقول ذات الخاصية الفردية.
1901	يقدم ديكسون المجموعات البسيطة المنتهية الاستثنائية من النوع E ₆ .
1904	يستخدم بيرنسايد نظرية الخصائص لإثبات نظرية بيرنسايد التي تنص على أن رتبة أي مجموعة بسيطة منتهية غير تبديلية يجب أن تكون قابلة للقسمة على 3 أعداد أولية مختلفة على الأقل.
1905	يقدم ديكسون مجموعات بسيطة من النوع G ₂ على حقول ذات خصائص زوجية
1911	يفترض بيرنسايد أن كل زمرة بسيطة منتهية غير تبديلية لها رتبة زوجية
1928	يثبت هول وجود مجموعات هول الفرعية للمجموعات القابلة للحل
1933	يبدأ هول دراسته للمجموعات p
1935	بدأ براور دراسة الخصائص النمطية .
1936	يصنف زاسنهاوس مجموعات التبديل المنتهية ذات الانتقال الحاد من الدرجة 3
1938	يقدم فيتينغ المجموعة الفرعية فيتينغ ويثبت نظرية فيتينغ التي تنص على أن المجموعة الفرعية فيتينغ تحتوي على مركزها بالنسبة للمجموعات القابلة للحل.
1942	يصف براور الخصائص النمطية لمجموعة قابلة للقسمة على عدد أولي مرفوع للقوة الأولى.
1954	يصنف براور المجموعات البسيطة التي يكون فيها GL ₂ ( F _q ) بمثابة مركزية للانقلاب.
1955	تشير نظرية براور -فاولر إلى أن عدد المجموعات البسيطة المنتهية ذات مركزية الالتفاف المعطاة هو عدد محدود، مما يوحي بهجوم على التصنيف باستخدام مركزيات الالتفاف.
1955	يقدم شيڤالي مجموعات شيڤالي ، وعلى وجه الخصوص يقدم مجموعات بسيطة استثنائية من الأنواع F ₄ و E ₇ و E ₈ .
1956	تصف نظرية هول -هيغمان إمكانيات الحد الأدنى لكثير الحدود لعنصر من رتبة قوة أولية لتمثيل مجموعة قابلة للحل من الرتبة p .
1957	يوضح سوزوكي أن جميع مجموعات CA البسيطة المنتهية ذات الرتبة الفردية هي دورية.
1958	تُحدد نظرية براور -سوزوكي-وول المجموعات الخطية الخاصة الإسقاطية من الرتبة 1، وتصنف مجموعات CA البسيطة .
1959	يقدم شتاينبرغ مجموعات شتاينبرغ ، مما يعطي بعض المجموعات البسيطة المنتهية الجديدة، من النوعين ³D ₄ و ²E ₆ (تم العثور على الأخيرة بشكل مستقل في نفس الوقت تقريبًا بواسطة تيتس).
1959	تُظهر نظرية براور -سوزوكي حول المجموعات ذات الزمر الفرعية سيلو 2-الرباعية المعممة على وجه الخصوص أن أياً منها ليس بسيطاً.
1960	يثبت تومسون أن المجموعة التي تحتوي على تشاكل ذاتي خالٍ من النقاط الثابتة من الرتبة الأولية هي مجموعة عديمة القوة.
1960	أظهر كل من فيت ومارشال هول وتومسون أن جميع مجموعات CN البسيطة المنتهية ذات الرتبة الفردية هي دورية.
1960	تقدم سوزوكي مجموعات سوزوكي ، مع النوعين ^2B2_.
1961	يقدم ري مجموعات ري ، مع الأنواع ²F ₄ و ²G ₂ .
1963	أثبت فيت وتومسون نظرية الترتيب الفردي .
1964	يقدم تيتس أزواج BN لمجموعات من نوع الكذب ويجد مجموعة تيتس
1965	تصنف نظرية غورنشتاين -والتر المجموعات التي تحتوي على مجموعة فرعية ثنائية السطوح من نوع سيلو 2.
1966	يثبت غلاوبرمان نظرية Z*
1966	تقدم شركة Janko مجموعة Janko J1 ، وهي أول مجموعة متفرقة جديدة منذ حوالي قرن.
1968	يُثبت غلاوبرمان نظرية ZJ
1968	يقدم هيغمان وسيمز مجموعة هيغمان-سيمز
1968	يقدم كونواي مجموعات كونواي
1969	تصنف نظرية والتر المجموعات ذات الزمر الفرعية من نوع سيلو 2 الأبيلية.
1969	تقديم مجموعة سوزوكي المتفرقة ، ومجموعة جانكو J2 ، ومجموعة جانكو J3 ، ومجموعة ماكلوغلين ، ومجموعة هيلد .
1969	يقدم غورنشتاين دوال الإشارة بناءً على أفكار طومسون.
1970	يوضح ماك ويليامز أن المجموعات الثنائية التي لا تحتوي على مجموعة فرعية أبيلية طبيعية من الرتبة 3 لها رتبة قطاعية ثنائية على الأكثر 4. (تم تصنيف المجموعات البسيطة ذات المجموعات الفرعية سيلو التي تستوفي الشرط الأخير لاحقًا بواسطة جورنشتاين وهارادا.)
1970	قدم بندر المجموعة الفرعية المعممة فيتينغ
1970	تُصنِّف نظرية ألبيرين -براور-غورنشتاين المجموعات ذات الزمر الفرعية شبه ثنائية السطوح أو الملتفة من نوع سيلو 2، مُكمِّلةً بذلك تصنيف المجموعات البسيطة ذات الرتبة 2 على الأكثر 2
1971	يقدم فيشر مجموعات فيشر الثلاث
1971	يصنف تومسون الأزواج التربيعية
1971	يصنف بندر المجموعة التي تحتوي على مجموعة فرعية مضمنة بقوة
1972	يقترح غورنشتاين برنامجًا من 16 خطوة لتصنيف المجموعات البسيطة المنتهية؛ ويتبع التصنيف النهائي مخططه بشكل وثيق للغاية.
1972	ليونز تقدم مجموعة ليونز
1973	يقدم رودفاليس مجموعة رودفاليس
1973	يكتشف فيشر مجموعة الوحوش الصغيرة (غير المنشورة)، والتي يستخدمها فيشر وجريس لاكتشاف مجموعة الوحوش ، والتي بدورها تقود طومسون إلى مجموعة طومسون المتفرقة ونورتون إلى مجموعة هارادا-نورتون (التي تم العثور عليها أيضًا بطريقة مختلفة بواسطة هارادا).
1974	يصنف تومسون المجموعات N ، وهي مجموعات تكون جميع مجموعاتها الفرعية المحلية قابلة للحل.
1974	تصنف نظرية غورنشتاين -هارادا المجموعات البسيطة ذات الرتبة القطاعية 2 على الأكثر 4، وتقسم المجموعات البسيطة المنتهية المتبقية إلى مجموعات من النوع المكون ومجموعات من النوع المميز 2.
1974	تُظهر النتائج أن المجموعات التي تحتوي على أزواج BN من الرتبة 3 على الأقل هي مجموعات من نوع Lie
1974	يصنف أشباخر المجموعات ذات النواة المولدة بشكل صحيح من الدرجة الثانية
1975	أثبت غورنشتاين ووالتر نظرية التوازن L
1976	يثبت غلاوبرمان نظرية دالة الإشارة القابلة للحل
1976	أثبت آشباخر نظرية المكونات ، موضحًا بشكل تقريبي أن الزمر من النوع الفردي التي تحقق بعض الشروط لها مكون في الصورة القياسية. وقد صُنفت الزمر التي لها مكون في الصورة القياسية في مجموعة كبيرة من الأبحاث التي نشرها العديد من المؤلفين.
1976	يقدم أونان مجموعة أونان
1976	يقدم جانكو مجموعة جانكو J4 ، وهي آخر مجموعة متفرقة تم اكتشافها
1977	يُعرّف آشباخر مجموعات لي ذات الخاصية الفردية في نظريته الكلاسيكية للالتفاف . بعد هذه النظرية، التي تتناول إلى حد ما "معظم" المجموعات البسيطة، ساد الاعتقاد بأن نهاية التصنيف باتت وشيكة.
1978	يثبت تيمسفيلد نظرية O ₂ الخاصة الإضافية، مما يؤدي إلى تقسيم تصنيف مجموعات من النوع GF(2) إلى عدة مشاكل أصغر.
1978	يصنف آشباخر المجموعات المنتهية الرقيقة ، والتي هي في الغالب مجموعات من الرتبة 1 من نوع لي على حقول ذات خصائص زوجية.
1981	يستخدم بومبيري نظرية الحذف لإكمال عمل طومسون حول توصيف مجموعات ري ، وهي إحدى أصعب خطوات التصنيف.
1982	يثبت ماكبرايد نظرية دالة الإشارة لجميع المجموعات المنتهية.
1982	يقوم غريس ببناء مجموعة الوحوش يدويًا
1983	تصنف نظرية جيلمان -غريس المجموعات ذات النوع المميز 2 والرتبة 4 على الأقل مع المكونات القياسية، وهي إحدى الحالات الثلاث لنظرية التثليث.
1983	يثبت أشباخر أنه لا توجد مجموعة منتهية تحقق فرضية حالة التفرد ، وهي إحدى الحالات الثلاث التي تحددها نظرية التثليث للمجموعات من النوع المميز 2.
1983	أثبت غورنشتاين وليونز نظرية التثليث للمجموعات ذات النوع المميز 2 والرتبة 4 على الأقل، بينما قام أشباخر بإثبات حالة الرتبة 3. وهذا يقسم هذه المجموعات إلى 3 حالات فرعية: حالة التفرد، والمجموعات من النوع GF(2)، والمجموعات ذات المكون القياسي.
1983	أعلن غورنشتاين أن إثبات التصنيف قد اكتمل، قبل الأوان إلى حد ما لأن إثبات حالة شبه الرقيقة كان غير مكتمل.
1985	قام كل من كونواي، وكورتيس، ونورتون، وباركر، وويلسون، وثاكراي بنشر أطلس المجموعات المنتهية مع معلومات أساسية حول 93 مجموعة بسيطة منتهية.
1994	بدأ كل من غورنشتاين وليونز وسولومون بنشر التصنيف المنقح
2004	نشر آشباخر وسميث عملهما حول مجموعات شبه الرقيقة (وهي في الغالب مجموعات من نوع لي من الرتبة 2 على الأكثر على حقول ذات خصائص زوجية)، مما يسد الفجوة الأخيرة في التصنيف المعروف في ذلك الوقت.
2008	يسد هارادا وسولومون ثغرة صغيرة في التصنيف من خلال وصف المجموعات ذات المكون القياسي الذي يمثل غطاءً لمجموعة ماثيو M ₂₂ ، وهي حالة تم حذفها عن طريق الخطأ من برهان التصنيف بسبب خطأ في حساب مضاعف شور لـ M ₂₂ .
2012	أعلن غونتييه وزملاؤه عن نسخة تم التحقق منها بواسطة الكمبيوتر من نظرية فيت-تومسون باستخدام مساعد البرهان Rocq (ثم: Coq ) . ^[⁴^]

تصنيف الجيل الثاني

يمكن تسمية برهان النظرية، كما كان عليه الحال في عام 1985 تقريبًا، بالجيل الأول . ونظرًا لطول برهان الجيل الأول، بُذلت جهودٌ كبيرة لإيجاد برهانٍ أبسط، يُسمى برهان تصنيف الجيل الثاني . وقد قاد هذه الجهود، التي تُعرف باسم "المراجعة"، دانيال غورنشتاين في الأصل ، وشارك في تأليفها ريتشارد ليونز ورونالد سولومون .

اعتبارًا من عام 2023نُشرت عشرة مجلدات من برهان الجيل الثاني (غورنشتاين، ليونز، وسولومون 1994، 1996، 1998، 1999، 2002، 2005، 2018أ، 2018ب؛ وإينا كابديبوسك ، 2021، 2023). في عام 2012، قدّر سولومون أن المشروع سيحتاج إلى خمسة مجلدات أخرى، لكنه أشار إلى أن التقدم فيها كان بطيئًا. يُقدّر أن البرهان الجديد سيبلغ في نهاية المطاف حوالي 5000 صفحة. (يعود هذا الطول جزئيًا إلى كتابة برهان الجيل الثاني بأسلوب أكثر مرونة). مع ذلك، ومع نشر المجلد التاسع من سلسلة GLS، بما في ذلك مساهمة آشباخر-سميث، فقد تم الوصول إلى هذا التقدير بالفعل، مع وجود عدة مجلدات أخرى قيد الإعداد (بقية ما كان مُخططًا له في الأصل للمجلد التاسع، بالإضافة إلى المجلدين العاشر والحادي عشر المُتوقعين). كتب آشباخر وسميث مجلديهما المخصصين لحالة شبه الرقيقة بطريقة تجعل هذين المجلدين جزءًا من برهان الجيل الثاني.

قدم غورنشتاين وزملاؤه عدة أسباب تجعل البرهان أبسط.

الأهم من ذلك كله هو أننا نعرف الآن الصيغة النهائية الصحيحة للنظرية. يمكن تطبيق تقنيات أبسط معروفة بكفاءتها لأنواع الزمر التي نعرف أنها زمر بسيطة منتهية. في المقابل، لم يكن من عملوا على برهان الجيل الأول على دراية بعدد الزمر المتفرقة، بل إن بعض هذه الزمر (مثل زمر جانكو ) اكتُشفت أثناء إثبات حالات أخرى من نظرية التصنيف. ونتيجة لذلك، تم إثبات العديد من أجزاء النظرية باستخدام تقنيات عامة للغاية.
نظرًا لعدم معرفة النتيجة، يتألف برهان الجيل الأول من العديد من النظريات المستقلة، التي تتناول حالات خاصة مهمة. وقد كُرِّس جزء كبير من العمل لإثبات هذه النظريات لتحليل العديد من هذه الحالات الخاصة. وبالنظر إلى برهان أوسع وأكثر شمولًا، يمكن تأجيل معالجة العديد من هذه الحالات الخاصة إلى حين تطبيق أقوى الافتراضات. ويكمن ثمن هذه الاستراتيجية المُعدَّلة في أن براهين نظريات الجيل الأول لم تعد قصيرة نسبيًا، بل تعتمد بدلًا من ذلك على التصنيف الكامل.
تتداخل العديد من نظريات الجيل الأول، مما يؤدي إلى تقسيم الحالات الممكنة بطرق غير فعالة. ونتيجة لذلك، تم تحديد عائلات وعائلات فرعية من المجموعات البسيطة المنتهية عدة مرات. يزيل البرهان المنقح هذه التكرارات بالاعتماد على تقسيم فرعي مختلف للحالات.
يتمتع علماء نظرية المجموعات المنتهية بخبرة أكبر في هذا النوع من التمارين، ولديهم تقنيات جديدة تحت تصرفهم.

وصف آشباخر (2004) العمل الذي قام به أولريش مايرفرانكنفيلد، وبيرند ستيلماخر، وجيرنوت ستروث، وآخرون، حول مشكلة التصنيف، بأنه برنامج من الجيل الثالث . ويتمثل أحد أهداف هذا البرنامج في معالجة جميع المجموعات ذات الخاصية 2 بشكل موحد باستخدام طريقة الدمج.

طول البرهان

وقد ناقش غورنشتاين بعض الأسباب التي قد تجعل من المستحيل وجود برهان قصير للتصنيف مشابه لتصنيف مجموعات لي المدمجة .

السبب الأوضح هو أن قائمة الزمر البسيطة معقدة للغاية: فمع وجود 26 زمرة متفرقة، من المرجح وجود العديد من الحالات الخاصة التي يجب مراعاتها في أي برهان. وحتى الآن، لم يجد أحد وصفًا موحدًا وواضحًا للزمر البسيطة المنتهية، مشابهًا لتمثيل زمر لي المدمجة بواسطة مخططات دينكين .
اقترح عطية وآخرون تبسيط التصنيف من خلال إنشاء شكل هندسي تؤثر عليه المجموعات، ثم تصنيف هذه الأشكال الهندسية. تكمن المشكلة في عدم وجود طريقة سهلة لإيجاد مثل هذا الشكل الهندسي المرتبط بمجموعة بسيطة. صحيح أن التصنيف يُجدي نفعًا إلى حد ما من خلال إيجاد أشكال هندسية مثل أزواج BN ، إلا أن هذا لا يتحقق إلا بعد تحليل مطول ومعقد لبنية مجموعة بسيطة منتهية.
من الاقتراحات الأخرى لتبسيط البرهان، التوسع في استخدام نظرية التمثيل . تكمن المشكلة هنا في أن نظرية التمثيل تتطلب تحكمًا دقيقًا للغاية في المجموعات الفرعية للمجموعة لكي تعمل بكفاءة. بالنسبة للمجموعات ذات الرتب الصغيرة، يتوفر هذا التحكم وتعمل نظرية التمثيل بشكل ممتاز، ولكن بالنسبة للمجموعات ذات الرتب الأكبر، لم ينجح أحد في استخدامها لتبسيط التصنيف. في بدايات التصنيف، بُذلت جهود كبيرة لاستخدام نظرية التمثيل، لكنها لم تحقق نجاحًا يُذكر في حالة الرتب الأعلى.

عواقب التصنيف

يسرد هذا القسم بعض النتائج التي تم إثباتها باستخدام تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية.

تحقيق اختراق في أفضل خوارزمية نظرية معروفة لمشكلة تماثل الرسم البياني في عام 1982 ^{[ 5 ]}
تخمين شراير
نظرية دالة الإشارة
التخمين ب
نظرية شور -زاسنهاوس لجميع المجموعات (على الرغم من أن هذا يستخدم فقط نظرية فيت-تومسون ).
تحتوي مجموعة التبديلات المتعدية على مجموعة منتهية تحتوي على أكثر من عنصر واحد على عنصر خالٍ من النقاط الثابتة من رتبة قوة أولية.
تصنيف مجموعات التبديل المتعدية من الدرجة الثانية .
تصنيف مجموعات التبديل من الرتبة 3 .
فرضية سيمز ^{[ 6 ]}
تخمين فروبينيوس حول عدد حلول x ⁿ = 1 .
تتميز المجموعات البسيطة المنتهية غير التبديلية برسومها البيانية التبادلية . ^{[ 7 ]}

انظر أيضاً

نظرية أونان-سكوت

الاقتباسات

↑ روز إيفليث (9 ديسمبر 2011). "أطرف النظريات في الفيزياء" . livescience.com . تاريخ الاسترجاع: 16 نوفمبر 2024 .
↑ "الباحثون يسابقون الزمن لإنقاذ النظرية الضخمة قبل أن يختفي برهانها العملاق" . مجلة ساينتفك أمريكان . 1 يوليو 2015. تاريخ الاطلاع: 16 نوفمبر 2024 .
^ كونواي وآخرون. (1985 ، ص. الثامن)
↑ «تم التحقق من صحة نظرية فيت-تومسون بالكامل في Coq» . Msr-inria.inria.fr. ٢٠١٢-٠٩-٢٠. مؤرشف من الأصل في ٢٠١٦-١١-١٩ . تم الاطلاع عليه في ٢٠١٢-٠٩-٢٥ .
↑ لوكس، يوجين م. (1982-08-01). "يمكن اختبار تماثل الرسوم البيانية ذات التكافؤ المحدود في وقت متعدد الحدود" . مجلة علوم الحاسوب والنظم . 25 (1): 42-65 . doi : 10.1016/0022-0000(82)90009-5 . ISSN 0022-0000 .
↑ كاميرون، بي جيه ؛ براغر، سي إي ؛ ساكسل، جيه ؛ سيتز، جي إم (1983). "حول حدسية سيمز والرسوم البيانية المتعدية للمسافة". نشرة جمعية لندن الرياضية 15 (5): 499-506 . doi : 10.1112/blms/15.5.499 .
↑ سولومون، رونالد م.؛ وولدار، أندرو ج. (1 نوفمبر 2013). "تتميز المجموعات البسيطة برسومها البيانية غير التبادلية". مجلة نظرية المجموعات . 16 (6): 793-824 . doi : 10.1515/jgt-2013-0021 .

مراجع

أشباخر، مايكل (2004). "وضع تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . المجلد 51، العدد 7. الصفحات 736-740 .
أشباخر، مايكل ؛ ليونز، ريتشارد؛ سميث، ستيفن د.؛ سولومون، رونالد (2011)، تصنيف الزمر البسيطة المنتهية: زمر النوع المميز 2 ، دراسات وبحوث رياضية، المجلد 172، ISBN 978-0-8218-5336-8
كونواي، جون هورتون ؛ كورتيس، روبرت تيرنر؛ نورتون، سيمون فيليبس ؛ باركر، ريتشارد أ ؛ ويلسون، روبرت أرنوت (1985)، أطلس الزمر المنتهية: الزمر الجزئية القصوى والخصائص العادية للزمر البسيطة ، مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 978-0-19-853199-9
غورنشتاين، د. (1979)، "تصنيف الزمر البسيطة المنتهية. الجزء الأول: الزمر البسيطة والتحليل المحلي"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 1 (1): 43-199 ، doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14551-8 ، ISSN 0002-9904 ، MR 0513750
غورنشتاين، د. (1982)، الزمر البسيطة المنتهية ، سلسلة الجامعة في الرياضيات، نيويورك: شركة بلينوم للنشر، ISBN 978-0-306-40779-6، MR 0698782
غورنشتاين، د. (1983)، تصنيف الزمر البسيطة المنتهية. المجلد 1. زمر من النوع غير المميز 2 ، سلسلة الجامعة في الرياضيات، مطبعة بلينوم، ISBN 978-0-306-41305-6، MR 0746470
دانيال غورنشتاين (1985)، "النظرية الهائلة"، مجلة ساينتفك أمريكان ، 1 ديسمبر 1985، المجلد 253، العدد 6، الصفحات 104-115.
غورنشتاين، د. (1986)، "تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 14 (1): 1-98 ، doi : 10.1090/S0273-0979-1986-15392-9 ، ISSN 0002-9904 ، MR 0818060
غورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (1994)، تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية ، دراسات ودراسات رياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-0334-9MR 1303592
- غورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (1996)، تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية، العدد 2 ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-0390-5MR 1358135
- غورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (1998)، تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية، العدد 3 ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-0391-2MR 1490581
- غورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (1999)، تصنيف الزمر البسيطة المنتهية، العدد 4. الجزء الثاني، الفصول 1-4: نظريات التفرد ، دراسات وأبحاث رياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-1379-9MR 1675976
- غورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2002)، تصنيف الزمر البسيطة المنتهية، العدد 5 ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-2776-5، MR 1923000
- غورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2005)، تصنيف الزمر البسيطة المنتهية، العدد 6: الجزء الرابع: الحالة الشاذة الخاصة ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-2777-2MR 2104668
- غورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2018)، تصنيف الزمر البسيطة المنتهية، العدد 7: الجزء الثالث، الفصول 7-11: الحالة العامة، المرحلتان 3ب و4أ ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-4069-6MR 3752626
- غورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2018)، تصنيف الزمر البسيطة المنتهية، العدد 8: الجزء الثالث، الفصول 12-17: الحالة العامة، مكتملة ، دراسات وبحوث رياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-1-4704-4189-0، MR 3887657
- كابديبوسك، إينا ؛ غورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2021)، تصنيف الزمر البسيطة المنتهية، العدد 9: الجزء الخامس، الفصول 1-8: نظرية $C_{5}$ والنظرية $C_{6}$ المرحلة 1 ، الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-1-4704-6437-0، MR 4244365
- كابديبوسك، إينا ؛ غورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2023)، تصنيف الزمر البسيطة المنتهية، العدد 10: الجزء الخامس، الفصول 9-17: نظرية $C_{6}$ والنظرية $C_{4}^{*}$ ، الحالة أ ، الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-1-4704-7553-6MR 4656413
مارك رونان ، التناظر والوحش ، رقم ISBN 978-0-19-280723-6مطبعة جامعة أكسفورد، 2006. (مقدمة موجزة للقارئ العادي)
ماركوس دو سوتوي ، العثور على لغو ، السلطة الرابعة، 2008، ISBN 978-0-00-721461-7(مقدمة أخرى للقارئ العادي. نُشرت الطبعة الأمريكية عام 2009 بعنوان "التناظر: رحلة في أنماط الطبيعة").
رون سولومون (1995) " حول المجموعات البسيطة المنتهية وتصنيفها "، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . (ليست معقدة للغاية، وتتميز بمعلومات تاريخية وافية. نُشرت النسخة الأمريكية عام 2009 بعنوان "التناظر: رحلة في أنماط الطبيعة").
سولومون، رونالد (2001)، "تاريخ موجز لتصنيف الزمر البسيطة المنتهية" (ملف PDF) ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 38 (3): 315-352 ، doi : 10.1090/S0273-0979-01-00909-0 ، ISSN 0002-9904 ، MR 1824893 ، مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 15 يونيو 2001 – فازت المقالة بجائزة ليفي إل. كونانت للعرض
تومسون، جون ج. (1984)، "المجموعات المنتهية غير القابلة للحل"، في غرونبيرغ، ك. و.؛ روزبليد، ج. إ. (محرران)، نظرية المجموعات. مقالات لفيليب هول ، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس ، ص 1-12 ، ISBN 978-0-12-304880-6، MR 0780566
ويلسون، روبرت أ. (2009)، الزمر البسيطة المنتهية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات 251، المجلد 251، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 ، ISBN 978-1-84800-987-5Zbl 1203.20012

روابط خارجية

أطلس تمثيلات المجموعات المنتهية. قاعدة بيانات قابلة للبحث تحتوي على تمثيلات وبيانات أخرى للعديد من المجموعات البسيطة المنتهية.
إيلويس، ريتشارد، " نظرية هائلة: تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية "، مجلة بلس ، العدد 41، ديسمبر 2006. لغير المتخصصين.
مادور، ديفيد (2003) رتب الزمر البسيطة غير التبديلية. مؤرشف بتاريخ 2005-04-04 في Wayback Machine. يتضمن قائمة بجميع الزمر البسيطة غير التبديلية حتى الرتبة 10 ¹⁰ .
بأي معنى يكون تصنيف جميع المجموعات المنتهية "مستحيلاً"؟
أورنيس، ستيفن (2015). "الباحثون يسابقون الزمن لإنقاذ النظرية الضخمة قبل أن يختفي برهانها العملاق" . مجلة ساينتفك أمريكان . 313 (1): 68-75 . doi : 10.1038/scientificamerican0715-68 . PMID 26204718 .
"أين وصلت براهين الجيل الثاني (والثالث) لتصنيف المجموعات البسيطة المنتهية؟" . MathOverflow .(آخر تحديث في فبراير 2024)

[1] روز إيفليث (9 ديسمبر 2011). "أطرف النظريات في الفيزياء" . livescience.com . تاريخ الاسترجاع: 16 نوفمبر 2024 .

[2] "الباحثون يسابقون الزمن لإنقاذ النظرية الضخمة قبل أن يختفي برهانها العملاق" . مجلة ساينتفك أمريكان . 1 يوليو 2015. تاريخ الاطلاع: 16 نوفمبر 2024 .

[Conway-3] كونواي وآخرون. (1985 ، ص. الثامن)

[4] «تم التحقق من صحة نظرية فيت-تومسون بالكامل في Coq» . Msr-inria.inria.fr. ٢٠١٢-٠٩-٢٠. مؤرشف من الأصل في ٢٠١٦-١١-١٩ . تم الاطلاع عليه في ٢٠١٢-٠٩-٢٥ .

[5] لوكس، يوجين م. (1982-08-01). "يمكن اختبار تماثل الرسوم البيانية ذات التكافؤ المحدود في وقت متعدد الحدود" . مجلة علوم الحاسوب والنظم . 25 (1): 42-65 . doi : 10.1016/0022-0000(82)90009-5 . ISSN 0022-0000 .

[6] كاميرون، بي جيه ؛ براغر، سي إي ؛ ساكسل، جيه ؛ سيتز، جي إم (1983). "حول حدسية سيمز والرسوم البيانية المتعدية للمسافة". نشرة جمعية لندن الرياضية 15 (5): 499-506 . doi : 10.1112/blms/15.5.499 .

[7] سولومون، رونالد م.؛ وولدار، أندرو ج. (1 نوفمبر 2013). "تتميز المجموعات البسيطة برسومها البيانية غير التبادلية". مجلة نظرية المجموعات . 16 (6): 793-824 . doi : 10.1515/jgt-2013-0021 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]،

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗