نظرية فيت-تومسون

يُعدّ هذا الأمر سهلاً في حالة CA لأن العلاقة " a يتبادل مع b " هي علاقة تكافؤ على العناصر غير المحايدّة. لذا، تنقسم العناصر إلى فئات تكافؤ، بحيث تكون كل فئة تكافؤ هي مجموعة العناصر غير المحايدّة لزمرة أبيلية قصوى. وتُصبح مُعَيِّرات هذه الزمر الأبيلية القصوى هي بالضبط الزمر الجزئية القصوى الفعلية لـ G. هذه المُعَيِّرات هي زمر فروبينيوس التي تتميز نظرية خصائصها بالشفافية المعقولة، وهي مناسبة تمامًا للعمليات التي تتضمن استقراء الخصائص . كذلك، تُقسَّم مجموعة القواسم الأولية لـ | G | وفقًا للأعداد الأولية التي تقسم رتب فئات الترافق المختلفة للزمر الأبيلية القصوى لـ | G |. هذا النمط من تقسيم القواسم الأولية لـ | G | وفقًا لفئات الاقتران لبعض المجموعات الفرعية لهول (المجموعة الفرعية لهول هي مجموعة يكون ترتيبها ومؤشرها أوليين نسبيًا) والتي تتوافق مع المجموعات الفرعية القصوى لـ G (حتى الاقتران) يتم تكرارها في كل من برهان نظرية Feit–Hall–Thompson CN وفي برهان نظرية Feit–Thompson ذات الترتيب الفردي.

تحتوي كل زمرة جزئية عظمى M على زمرة هول نيلبوتنت معينة M _σ ذات مُعَيِّر مُحتواة في M ، ورتبتها قابلة للقسمة على أعداد أولية معينة تُشكِّل مجموعة σ( M ). تكون زمرتان جزئيتان عظميتان مترافقتين إذا وفقط إذا كانت المجموعتان σ( M ) متطابقتين، وإذا لم تكونا مترافقتين فإن المجموعتين σ( M ) تكونان منفصلتين. كل عدد أولي يقسم رتبة G موجود في مجموعة ما σ( M ). لذلك، تُقسَّم الأعداد الأولية التي تقسم رتبة G إلى فئات تكافؤ تُقابل فئات الترافق للزمر الجزئية العظمى.

يُعدّ برهان حالة CN أصعب بكثير من برهان حالة CA: تكمن المشكلة الإضافية الرئيسية في إثبات تقاطع مجموعتين فرعيتين مختلفتين من مجموعات سيلو في المجموعة المحايدّة. يستغرق هذا الجزء من برهان نظرية الرتبة الفردية أكثر من 100 صفحة في المجلة. وتتمثل إحدى الخطوات الأساسية في برهان نظرية تفرد طومسون ، التي تنص على أن المجموعات الفرعية الأبيلية ذات الرتبة الطبيعية 3 على الأقل تقع ضمن مجموعة فرعية عظمى فريدة ، مما يعني ضرورة دراسة الأعداد الأولية p التي تكون فيها الرتب الطبيعية لمجموعات سيلو p الفرعية 2 على الأكثر بشكل منفصل. وقد قام بندر لاحقًا بتبسيط برهان نظرية التفرد باستخدام طريقة بندر . بينما في حالة CN، فإن المجموعات الفرعية القصوى الناتجة M لا تزال مجموعات فروبينيوس، فإن المجموعات الفرعية القصوى التي تظهر في برهان نظرية الترتيب الفردي لم تعد بحاجة إلى هذا الهيكل، وينتج عن تحليل هيكلها وتفاعلها 5 أنواع ممكنة من المجموعات الفرعية القصوى، تسمى الأنواع I و II و III و IV و V.

تُصنف الزمر الفرعية من النوع الأول ضمن "زمر فروبينيوس"، وهي تعميم طفيف لزمرة فروبينيوس، وفي الواقع، سيُبين لاحقًا في البرهان أنها زمر فروبينيوس. لها البنية M_{_F} ⋊ U، حيث M _{_F} هي أكبر زمرة هول طبيعية عديمة القوة، و U لها زمرة فرعية U _₀ لها نفس الأس، بحيث تكون M _{_F} ⋊ U _₀ زمرة فروبينيوس بنواة M _{_F} . أما الأنواع الثاني والثالث والرابع والخامس فهي زمر ثلاثية الخطوات ذات البنية M _{_F} ⋊ U ⋊ W _₁ ، حيث M _{_F} ⋊ U هي الزمرة الفرعية المشتقة من M. ويعتمد التقسيم إلى الأنواع الثاني والثالث والرابع والخامس على بنية وتضمين الزمرة الفرعية U كما يلي:

• النوع الثاني: U عبارة عن مجموعة أبيلية غير تافهة ومعيارها غير موجود في M.
• النوع الثالث: U عبارة عن مجموعة أبيلية غير تافهة ومعيارها موجود في M.
• النوع الرابع: U غير تبديلي.
• النوع الخامس: U تافه.

جميع فئات المجموعات الفرعية القصوى باستثناء فئتين هي من النوع الأول، ولكن قد يكون هناك أيضًا فئتان إضافيتان من المجموعات الفرعية القصوى، واحدة من النوع الثاني، وواحدة من النوع الثاني أو الثالث أو الرابع أو الخامس.

إذا كان X خاصية غير قابلة للاختزال للمُعَيِّر H للمجموعة الجزئية الأبيلية القصوى A من مجموعة CA G ، والتي لا تحتوي A في نواتها، فيمكننا استنباط خاصية Y من X إلى G ، وهي ليست بالضرورة غير قابلة للاختزال. نظرًا لبنية G المعروفة ، يسهل إيجاد قيم الخاصية Y على جميع عناصر G باستثناء العنصر المحايد . هذا يعني أنه إذا كان X1 _و X2 _{خاصيتين} غير قابلتين للاختزال من H ، وكان _Y1 وY2 _هما الخاصيتان المستنبطتان المناظرتان، فإن Y1 _- Y2 _يكون محددًا تمامًا، وحساب معياره يُظهر أنه الفرق بين خاصيتين غير قابلتين للاختزال من G (تُعرفان أحيانًا بالخاصيتين الاستثنائيتين لـ G بالنسبة إلى H ). تُظهر حجة العد أن كل خاصية غير قابلة للاختزال غير تافهة من G تظهر مرة واحدة فقط كخاصية استثنائية مرتبطة بمُعَيِّر مجموعة جزئية أبيلية قصوى من G.

يُستخدم استدلال مشابه (مع استبدال زمر هول الأبيلية بزمر هول العديمة القوة) في برهان نظرية CN. مع ذلك، في برهان نظرية الرتبة الفردية، تكون الاستدلالات لبناء خصائص G من خصائص الزمر أكثر دقة، وتستخدم تماثل ديد بين حلقات الخصائص بدلًا من استقراء الخصائص، نظرًا لأن الزمر القصوى لها بنية أكثر تعقيدًا ومضمنة بطريقة أقل وضوحًا. تُستبدل نظرية الخصائص الاستثنائية بنظرية مجموعة متماسكة من الخصائص لتوسيع تماثل ديد. باختصار، تنص هذه النظرية على إمكانية توسيع تماثل ديد ما لم تكن للزمر المعنية بنية محددة بدقة. ^{[ 13 ]}

في الخطوة الثانية، نحصل على وصف كامل ودقيق لجدول خصائص مجموعة CA G. انطلاقًا من هذا الوصف، وباستخدام حقيقة أن G ذات رتبة فردية، تتوفر لدينا معلومات كافية للحصول على تقديرات لـ | G |، مما يُناقض فرضية أن G بسيطة. وينطبق هذا الجزء من الحجة بشكل مماثل على حالة مجموعة CN.

في برهان نظرية فيت-تومسون، تكون هذه الخطوة (كالعادة) أكثر تعقيدًا بكثير. لا تُزيل نظرية الخصائص سوى بعض التكوينات الممكنة المتبقية بعد الخطوة الأولى. أولًا، تُبين أن جميع الزمر الجزئية القصوى من النوع الأول هي زمر فروبينيوس. إذا كانت جميع الزمر الجزئية القصوى من النوع الأول، فإن حجة مشابهة لحالة CN تُظهر أن الزمرة G لا يمكن أن تكون زمرة بسيطة دنيا من رتبة فردية، وبالتالي يوجد فئتان فقط من الزمر الجزئية القصوى من الأنواع الثاني والثالث والرابع والخامس. يركز الجزء الأكبر المتبقي من البرهان الآن على هذين النوعين من الزمر الجزئية القصوى S و T والعلاقة بينهما. تُظهر المزيد من الحجج القائمة على نظرية الخصائص أنهما لا يمكن أن يكونا من النوعين الرابع أو الخامس. للمجموعتين الفرعيتين بنية دقيقة: المجموعة الفرعية S من الرتبة p ^q × q × ( p ^q – 1)/( p – 1) وتتألف من جميع التشاكلات الذاتية للمجموعة الأساسية للحقل المنتهي من الرتبة p ^q على الصورة x → ax ^σ + b ، حيث a معيارها 1 و σ تشاكل ذاتي للحقل المنتهي، و p و q عددان أوليان مختلفان. للمجموعة الفرعية القصوى T بنية مماثلة مع عكس p و q . المجموعتان الفرعيتان S و T مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا. بأخذ p > q ، يمكن إثبات أن المجموعة الفرعية الدورية من S من الرتبة ( p ^q – 1)/( p – 1) مترافقة مع مجموعة فرعية من المجموعة الفرعية الدورية من T من الرتبة ( q ^p – 1)/( q – 1). (على وجه الخصوص، يقسم العدد الأول العدد الثاني، لذلك إذا كانت حدسية فيت-تومسون صحيحة، فإنها ستؤكد أن هذا لا يمكن أن يحدث، ويمكن استخدام هذا لإنهاء البرهان عند هذه النقطة. ومع ذلك، لا تزال الحدسية غير مثبتة. ^{[ 14 ]} )

يُستنتج من تطبيق نظرية الخصائص على المجموعة G أن G لها البنية التالية: توجد أعداد أولية p > q بحيث يكون ( pq - ¹ )/( p -1) أوليًا نسبيًا مع p -1، ولدى G زمرة جزئية معطاة بالضرب شبه المباشر PU، حيث P هي الزمرة الجمعية لحقل منتهٍ من الرتبة pq ^، و U هي عناصرها ذات المعيار 1. علاوة على ذلك، لدى G زمرة جزئية أبيلية Q من الرتبة الأولية لـ p تحتوي على العنصر y بحيث يُعَيِّر P₀ الزمرة Q، _{ويُعَيِّر} ( P₀ ₎ y الزمرة U ، حيث P₀ هي الزمرة الجمعية للحقل المنتهي من الرتبة p . (بالنسبة لـ p = 2 _، يوجد تكوين مشابه في المجموعة SL₂ ₍ 2q ⁾ ، حيث PU هي زمرة بوريل جزئية من المصفوفات المثلثية العلوية، و ^Q هي الزمرة الجزئية من الرتبة 3 المولدة بواسطة${\displaystyle \scriptstyle y=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)}$للتخلص من هذه الحالة الأخيرة، استخدم طومسون بعض العمليات المعقدة للغاية مع المولدات والعلاقات ، والتي بسّطها لاحقًا بيترفالفي (1984) ^{[ 15 ]} . يفحص البرهان مجموعة العناصر a في الحقل المنتهي من الرتبة p ^q بحيث يكون لكل من a و 2–a معيار يساوي 1. يتم التحقق أولًا من أن هذه المجموعة تحتوي على عنصر واحد على الأقل غير 1. ثم تُظهر حجة صعبة نوعًا ما باستخدام المولدات والعلاقات في المجموعة G أن المجموعة مغلقة تحت أخذ المعكوسات. إذا كان a في المجموعة ولا يساوي 1، فإن متعددة الحدود N((1– a ) x +1)–1 لها درجة q ولها على الأقل p جذرًا مختلفًا معطاة بالعناصر x في F _p ، باستخدام حقيقة أن x →1/(2– x ) تُسقط المجموعة على نفسها، لذا p ≤ q ، وهو ما يناقض الافتراض p > q .