الفضاء الخشن (التحليل العددي)

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في التحليل العددي ، تُعرف المسألة التقريبية بأنها نظام معادلات مساعد يُستخدم في طريقة تكرارية لحل نظام معادلات أكبر. المسألة التقريبية هي في الأساس نسخة من المسألة نفسها بدقة أقل، مع الاحتفاظ بخصائصها الأساسية، ولكن بعدد أقل من المتغيرات. والغرض من المسألة التقريبية هو نشر المعلومات في جميع أنحاء المسألة بشكل شامل.

في طرق الشبكات المتعددة للمعادلات التفاضلية الجزئية ، تُحسب المسألة الخشنة عادةً بتقسيم المعادلة نفسها على شبكة أكثر خشونة (عادةً في طرق الفروق المحدودة ) أو بتقريب غاليركين على فضاء جزئي يُسمى الفضاء الخشن . في طرق العناصر المحدودة ، يُستخدم تقريب غاليركين عادةً، حيث يُولّد الفضاء الخشن بعناصر أكبر على نفس المجال . عادةً، تتوافق المسألة الخشنة مع شبكة أكثر خشونة بمرتين أو ثلاث مرات.

تُشكّل الفضاءات الخشنة (النموذج الخشن، النموذج البديل ) الركيزة الأساسية للخوارزميات والمنهجيات التي تستغل مفهوم رسم الخرائط المكانية لحلّ مشاكل النمذجة والتصميم الهندسي التي تتطلب حسابات مكثفة. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] في رسم الخرائط المكانية ، يُستخدم نموذج دقيق أو عالي الدقة (عالي الوضوح، يتطلب حسابات مكثفة) لمعايرة أو إعادة معايرة - أو تحديث فوري، كما هو الحال في رسم الخرائط المكانية المتقدم - نموذج خشن مناسب. يُشار غالبًا إلى النموذج الخشن المُحدّث بالنموذج البديل أو النموذج الخشن المُرسم. وهو يسمح بالاستخدام السريع، ولكن الأكثر دقة، للنموذج الخشن الأساسي في استكشاف التصاميم أو في تحسين التصميم.

في طرق تجزئة المجال ، يتبع بناء المسألة التقريبية نفس مبادئ طرق الشبكة المتعددة، ولكن المسألة التقريبية تحتوي على عدد أقل بكثير من المجاهيل، عادةً مجاهيل واحدة أو بضعة مجاهيل فقط لكل مجال فرعي أو بنية فرعية، ويمكن أن يكون الفضاء التقريبي من نوع مختلف تمامًا عن فضاء العناصر المحدودة الأصلي، مثل الثوابت القطعية مع المتوسط ​​في تجزئة المجال المتوازنة أو المبنية من دوال الطاقة الدنيا في تجزئة المجال المتوازنة . ومع ذلك، فإن بناء المسألة التقريبية في تجزئة المجال المحدودة غير معتاد لأنه لا يتم الحصول عليه كتقريب غاليركين للمسألة الأصلية.

In Algebraic Multigrid Methods and in iterative aggregation methods in mathematical economics and Markov chains, the coarse problem is generally obtained by the Galerkin approximation on a subspace. In mathematical economics, the coarse problem may be obtained by the aggregation of products or industries into a coarse description with fewer variables. In Markov chains, a coarse Markov chain may be obtained by aggregating states.

The speed of convergence of multigrid and domain decomposition methods for elliptic partial differential equations without a coarse problem deteriorates with decreasing mesh step (or decreasing element size, or increasing number of subdomains or substructures), thus making a coarse problem necessary for a scalable algorithm.

References

  1. ↑J.W. Bandler, R.M. Biernacki, S.H. Chen, P.A. Grobelny, and R.H. Hemmers, “Space mapping technique for electromagnetic optimization,”IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 42, no. 12, pp. 2536–2544, Dec. 1994.
  2. ↑J.W. Bandler, R.M. Biernacki, S.H. Chen, R.H. Hemmers, and K. Madsen, “Electromagnetic optimization exploiting aggressive space mapping,”IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 43, no. 12, pp. 2874–2882, Dec. 1995.
  3. ↑A.J. Booker, J.E. Dennis, Jr., P.D. Frank, D.B. Serafini, V. Torczon, and M.W. Trosset,"A rigorous framework for optimization of expensive functions by surrogates,"Structural Optimization, vol. 17, no. 1, pp. 1–13, Feb. 1999.
  4. ↑J.W. Bandler, Q. Cheng, S.A. Dakroury, A.S. Mohamed, M.H. Bakr, K. Madsen and J. Søndergaard, "Space mapping: the state of the art,"IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 52, no. 1, pp. 337–361, Jan. 2004.
  5. ↑T.D. Robinson, M.S. Eldred, K.E. Willcox, and R. Haimes, "Surrogate-Based Optimization Using Multifidelity Models with Variable Parameterization and Corrected Space Mapping,"AIAA Journal, vol. 46, no. 11, November 2008.
  6. ↑M. Redhe and L. Nilsson, “Optimization of the new Saab 9–3 exposed to impact load using a space mapping technique,” Structural and Multidisciplinary Optimization, vol. 27, no. 5, pp. 411–420, July 2004.
  7. ↑J.E. Rayas-Sanchez, "Power in simplicity with ASM: tracing the aggressive space mapping algorithm over two decades of development and engineering applications", IEEE Microwave Magazine, vol. 17, no. 4, pp. 64–76, April 2016.
  8. ↑ JW Bandler و S. Koziel "التقدم في تحسين التصميم القائم على الكهرومغناطيسية" ، IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Digest (سان فرانسيسكو، كاليفورنيا، 2016).

انظر أيضاً