الدوائر الأبولونية

في الهندسة ، تُعرف الدوائر الأبولونية بأنها مجموعتان ( حزمتان ) من الدوائر بحيث تتقاطع كل دائرة في المجموعة الأولى مع كل دائرة في المجموعة الثانية بشكل متعامد ، والعكس صحيح. تُشكل هذه الدوائر أساس الإحداثيات ثنائية القطب . وقد اكتشفها أبولونيوس البرغي ، وهو عالم هندسة يوناني قديم شهير .

يتم تعريف الدوائر الأبولونية بطريقتين مختلفتين بواسطة قطعة مستقيمة يرمز لها بـ CD .

ترتبط كل دائرة في المجموعة الأولى (الدوائر الزرقاء في الشكل) بعدد حقيقي موجب r ، وتُعرَّف بأنها موضع النقاط X بحيث تكون نسبة المسافات من X إلى C وإلى D مساوية لـ r . $${\displaystyle \left\{X\ {\Biggl |}\ {\frac {d(X,C)}{d(X,D)}}=r\right\}.}$$ بالنسبة لقيم r القريبة من الصفر، تكون الدائرة المقابلة قريبة من النقطة C ، بينما بالنسبة لقيم r القريبة من اللانهاية ، تكون الدائرة المقابلة قريبة من النقطة D ؛ أما بالنسبة للقيمة المتوسطة r = 1 ، فتتحول الدائرة إلى خط مستقيم، وهو المنصف العمودي للنقطة CD . ويمكن تعميم المعادلة التي تُعرّف هذه الدوائر كموقع هندسي لتعريف دوائر فيرما-أبولونيوس لمجموعات أكبر من النقاط الموزونة.

ترتبط كل دائرة في المجموعة الثانية (الدوائر الحمراء في الشكل) بزاوية θ ، وتُعرَّف بأنها موضع النقاط X التي تساوي فيها الزاوية المحيطية ∠ CXD الزاوية θ . $${\displaystyle \left\{X\ {\Bigl |}\ C{\hat {X}}D=\theta \right\}.}$$

يؤدي مسح θ من 0 إلى π إلى توليد مجموعة جميع الدوائر التي تمر عبر النقطتين C و D.

النقطتان اللتان تتقاطع فيهما جميع الدوائر الحمراء هما النقطتان الحديتان لأزواج الدوائر في المجموعة الزرقاء.

تتقاطع دائرتان، إحداهما زرقاء والأخرى حمراء، في نقطتين. وللحصول على الإحداثيات ثنائية القطب ، يلزم تحديد النقطة الصحيحة. القوس المتساوي الرؤية هو المحل الهندسي للنقاط X الذي يرى النقطتين C وD بزاوية اتجاه معينة للمتجهات. $${\displaystyle \operatorname {isopt} (\theta )=\left\{X\ {\Biggl |}\ \measuredangle {\biggl (}{\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}}{\biggr )}=\theta +2k\pi \right\}.}$$ يقع هذا القوس داخل دائرة حمراء، ويحده النقطتان C وD. الجزء المتبقي من الدائرة الحمراء المقابلة هو دالة تساوي الزاوية ( θ + π ) . عندما نريد الدائرة الحمراء كاملةً، يجب استخدام وصف يعتمد على زوايا الخطوط المستقيمة الموجهة. $${\displaystyle {\text{دائرة حمراء كاملة}}=\left\{X\ {\Biggl |}\ \measuredangle {\biggl (}{\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}}{\biggr )}=\theta +k\pi \right\}}$$

كلتا مجموعتي دوائر أبولو عبارة عن حزم من الدوائر . تُحدد كل مجموعة باثنين من عناصرها، يُطلق عليهما مولدات الحزمة. تحديدًا، إحداهما حزمة إهليلجية (مجموعة الدوائر الحمراء في الشكل) تُحدد بمولدين يمران ببعضهما في نقطتين فقط ( C ، D ). والأخرى حزمة زائدية (مجموعة الدوائر الزرقاء في الشكل) تُحدد بمولدين لا يتقاطعان في أي نقطة. ^{[ 1 ]}

يُحوّل انعكاس الدائرة المستوى بطريقة تُحوّل الدوائر إلى دوائر، وحزم الدوائر إلى حزم دوائر. ويُحافظ على نوع الحزمة: فانعكاس حزمة إهليلجية يُنتج حزمة إهليلجية أخرى، وانعكاس حزمة زائدية يُنتج حزمة زائدية أخرى، وانعكاس حزمة مكافئة يُنتج حزمة مكافئة أخرى.

من السهل نسبيًا إثبات، باستخدام الانعكاس، أنه في دوائر أبولو، تتقاطع كل دائرة زرقاء مع كل دائرة حمراء بشكل متعامد، أي بزاوية قائمة . ينتج عن انعكاس دوائر أبولو الزرقاء بالنسبة لدائرة مركزها النقطة C حزمة من الدوائر متحدة المركز مركزها صورة النقطة D. ويحول الانعكاس نفسه الدوائر الحمراء إلى مجموعة من الخطوط المستقيمة التي تحتوي جميعها على صورة النقطة D. وبالتالي، يحول هذا الانعكاس نظام الإحداثيات ثنائي القطب المحدد بدوائر أبولو إلى نظام إحداثيات قطبي . من الواضح أن الحزم المحولة تتقاطع بزوايا قائمة. ولأن الانعكاس تحويل متطابق ، فإنه يحافظ على الزوايا بين المنحنيات التي يحولها، لذا فإن دوائر أبولو الأصلية تتقاطع أيضًا بزوايا قائمة.

بدلاً من ذلك، ^{[ 3 ]} تنبع خاصية التعامد للحزمتين من الخاصية المميزة للمحور الجذري، وهي أنه من أي نقطة X على المحور الجذري لحزمة P، تكون أطوال المماسات من X إلى كل دائرة في P متساوية. ويترتب على ذلك أن الدائرة التي مركزها X وطولها يساوي طول هذه المماسات تقطع جميع دوائر P عمودياً. ويمكن تطبيق نفس الإنشاء لكل X على المحور الجذري لـ P ، لتشكيل حزمة دوائر أخرى عمودية على P.

بشكلٍ أعم، لكل حزمة دوائر توجد حزمة فريدة تتكون من الدوائر العمودية على الحزمة الأولى. إذا كانت إحدى الحزم إهليلجية، فإن الحزمة العمودية عليها تكون زائدية، والعكس صحيح؛ في هذه الحالة، تُشكّل الحزمتان مجموعة من الدوائر الأبولونية. حزمة الدوائر العمودية على حزمة مكافئة هي أيضًا مكافئة؛ فهي تتكون من الدوائر التي لها نفس نقطة التماس المشتركة ولكن بخط مماس عمودي عند تلك النقطة. ^{[ 4 ]}

لقد ثبت أن مسارات أبولو تتبعها في حركتها مراكز الدوامات أو حالات الدوران الزائف المحددة الأخرى في بعض الأنظمة الفيزيائية التي تتضمن مجالات تداخلية أو مقترنة، مثل موجات الفوتون أو موجات البولاريتون المقترنة . ^{[ 5 ]} تنشأ هذه المسارات من دوران رابي لكرة بلوخ وإسقاطها المجسم على الفضاء الحقيقي حيث تتم الملاحظة.

• شكل أبولونيوس الرباعي

• أكوبيان، أ. ف.؛ زاسلافسكي، أ. أ. (2007)، هندسة القطوع المخروطية ، العالم الرياضي، المجلد  26، الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 57-62 ، ISBN  978-0-8218-4323-9.
• شويردتفيغر، هانز (1962)، هندسة الأعداد المركبة ، مطبعة جامعة تورنتوطبعة دوفر المعاد طباعتها، 1979، رقم ISBN 0-486-63830-8.

• بفايفر، ريتشارد إي؛ فان هوك، كاثلين (1993)، "الدوائر والمتجهات والجبر الخطي"، مجلة الرياضيات ، 66 (2): 75-86 ، doi : 10.2307/2691113 ، JSTOR 2691113 .
• صموئيل، بيير ( 1988)، الهندسة الإسقاطية ، سبرينغر، ص 40-43 .
• أوجيلفي، سي. ستانلي (1969)، رحلات في الهندسة ، مطبعة جامعة أكسفورد، وخاصة الفصل 2 "القسمة التوافقية والدوائر الأبولونية"، الصفحات  13-23طبعة دوفر المعاد طباعتها، 1990، رقم ISBN 0-486-26530-7.

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "دوائر متحدة المحور" ، عالم الرياضيات
• ديفيد ب. سوروفسكي: الرياضيات المتقدمة للمرحلة الثانوية . ص 31