مقارنة بين الجبر المتجهي والجبر الهندسي

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$عمودي على المستوى الذي يحتوي${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$. ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }$هو تمثيل موجه لنفس المستوى.

لدينا الكمية شبه القياسية${\displaystyle I=e_{1}e_{2}e_{3}}$( إطار متعامد يميني ) وهكذا

${\displaystyle e_{1}I=Ie_{1}=e_{2}e_{3}}$يُعيد متجهًا ثنائيًا و

${\displaystyle I(e_{2}\wedge e_{3})=Ie_{2}e_{3}=-e_{1}}$تُعيد هذه الدالة متجهًا عموديًا على${\displaystyle e_{2}\wedge e_{3}}$طائرة.

وهذا يُعطي تعريفًا مناسبًا للضرب الاتجاهي في الجبر المتجهي التقليدي:

${\displaystyle {u}\times {v}=-I({u}\wedge {v})}$

(هذا غير متناظر). ومن المهم التمييز بين المتجهات القطبية والمحورية في الجبر المتجهي، وهو أمر طبيعي في الجبر الهندسي مثل التمييز بين المتجهات والمتجهات الثنائية (عناصر الصف الثاني).

ال${\displaystyle I}$هذا هو شبه قياسي وحدوي للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، والذي يُرسي ازدواجية بين المتجهات والمتجهات الثنائية، وقد سُمي بذلك بسبب الخاصية المتوقعة.

${\displaystyle أنا ^ {2}=(e_{1}e_{2}e_{3})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{1}e_{2}e_{3}=-e_{1}e_{2}e_{ 1}e_{3}e_{2}e_{3}=e_{1}e_{1}e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2}e_{2}e_{3}=-1}$

تكافؤ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يمكن تأكيد تعبير الضرب الاتجاهي والضرب الخارجي المذكور أعلاه عن طريق الضرب المباشر لـ${\displaystyle -I=-{e_{1}}{e_{2}}{e_{3}}}$مع توسع محدد للمنتج الخارجي

${\displaystyle u\wedge v=\sum _{1\leq i<j\leq 3}(u_{i}v_{j}-v_{i}u_{j}){e_{i}}\wedge {e_{j}}=\sum _{1\leq i<j\leq 3}(u_{i}v_{j}-v_{i}u_{j}){e_{i}}{e_{j}}}$

انظر أيضًا إلى الضرب الاتجاهي كضرب خارجي . في الأساس، يوفر الضرب الهندسي لمتجه ثنائي والكمية الزائفة القياسية للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد طريقة لحساب ثنائية هودج .

تشكل الجبر الجزئي للمتجهات الزائفة / المتجهات الثنائية للجبر الهندسي للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد فضاءً متجهيًا ثلاثي الأبعاد بحد ذاتها. ولتكن المتجهات الزائفة/المتجهات الثنائية القياسية للجبر الجزئي هي${\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} }$،${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} }$، و${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} }$ويمكن تعريف حاصل ضرب المبدل المضاد للتبديل على النحو التالي:${\displaystyle A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)}$، أين${\displaystyle AB}$هو حاصل الضرب الهندسي . حاصل الضرب التبادلي توزيعي على الجمع والخطية ، كما أن حاصل الضرب الهندسي توزيعي على الجمع والخطية.

انطلاقاً من تعريف حاصل ضرب المبدل،${\displaystyle \mathbf {i} }$،${\displaystyle \mathbf {j} }$و${\displaystyle \mathbf {k} }$تحقق المساواة التالية: $${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {i} \mathbf {j} -\mathbf {j} \mathbf {i} )={\tfrac {1}{2}}((\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} )=\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} =\mathbf {k} }$$$${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {k} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {j} \mathbf {k} -\mathbf {k} \mathbf {j} )={\tfrac {1}{2}}((\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} -\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} +\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} +\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} +\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} )=\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} =\mathbf {i} }$$$${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {i} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {k} \mathbf {i} -\mathbf {i} \mathbf {k} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} )=\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} =\mathbf {j} }$$ مما يعني، من خلال خاصية عدم التبادلية لحاصل الضرب التبادلي، أن $${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {i} =-\mathbf {k} }$$$${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {j} =-\mathbf {i} }$$$${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j} }$$

كما أن خاصية عدم التبادلية في ناتج التبادل تعني أيضاً أن $${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =0}$$

تكفي هذه المعادلات والخصائص لتحديد حاصل الضرب التبادلي لأي متجهين زائفين/متجهين ثنائيين${\displaystyle \mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {B} }$بما أن المتجهات الزائفة/المتجهات الثنائية تشكل فضاءً متجهيًا، يمكن تعريف كل متجه زائف/متجه ثنائي على أنه مجموع ثلاثة مكونات متعامدة موازية للمتجهات الزائفة/المتجهات الثنائية الأساسية القياسية: $${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1}\mathbf {i} +A_{2}\mathbf {j} +A_{3}\mathbf {k} )}$$$${\displaystyle \mathbf {B} =(B_{1}\mathbf {i} +B_{2}\mathbf {j} +B_{3}\mathbf {k} )}$$

منتج المبدل الخاص بهم${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} }$يمكن توسيعها باستخدام خاصية التوزيع الخاصة بها: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \times \mathbf {B} &=(A_{1}\mathbf {i} +A_{2}\mathbf {j} +A_{3}\mathbf {k} )\times (B_{1}\mathbf {i} +B_{2}\mathbf {j} +B_{3}\mathbf {k} )\\&=A_{1}B_{1}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{1}B_{2}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{1}B_{3}\mathbf {i} \times \mathbf {k} +A_{2}B_{1}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{2}B_{2}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{2}B_{3}\mathbf {j} \times \mathbf {k} +A_{3}B_{1}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{3}B_{2}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{3}B_{3}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\&=A_{1}B_{2}\mathbf {k} -A_{1}B_{3}\mathbf {j} -A_{2}B_{1}\mathbf {k} +A_{2}B_{3}\mathbf {i} +A_{3}B_{1}\mathbf {j} -A_{3}B_{2}\mathbf {i} =(A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})\mathbf {i} +(A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})\mathbf {j} +(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})\mathbf {k} \end{aligned}}}$$ وهو بالضبط الضرب الاتجاهي في الجبر المتجهي للمتجهات الزائفة.

عادة،

${\displaystyle {\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }$

بالاستفادة من الضرب الهندسي وحقيقة أن الضرب الخارجي لمتجه مع نفسه يساوي صفرًا:

${\displaystyle \mathbf {u} \,\mathbf {u} ={\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}={\mathbf {u} }^{2}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }$

في ثلاثة أبعاد، يمكن التعبير عن حاصل ضرب طولي متجهين بدلالة الضرب القياسي والضرب الاتجاهي.

${\displaystyle {\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}{\Vert \mathbf {v} \Vert }^{2}=({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} })^{2}+{\Vert \mathbf {u} \times \mathbf {v} \Vert }^{2}}$

التعميم المقابل المعبر عنه باستخدام الضرب الهندسي هو

${\displaystyle {\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}{\Vert \mathbf {v} \Vert }^{2}=({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} })^{2}-(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )^{2}}$

ينتج هذا عن توسيع حاصل الضرب الهندسي لزوج من المتجهات مع معكوسه.

${\displaystyle (\mathbf {u} \mathbf {v} )(\mathbf {v} \mathbf {u} )=({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }+{\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} })({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }-{\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} })}$

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\sum _{i<j}{{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}{\mathbf {e} }_{i}\times {\mathbf {e} }_{j}}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =\sum _{i<j}{{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}{\mathbf {e} }_{i}\wedge {\mathbf {e} }_{j}}}$

غالباً ما تستخدم كتب الجبر الخطي المحدد لحل الأنظمة الخطية باستخدام قاعدة كرامر أو لعكس المصفوفة.

يتمثل أحد الحلول البديلة في إدخال مفهوم الضرب الخارجي بشكل بديهي، ثم إثبات إمكانية استخدامه مباشرةً لحل الأنظمة الخطية. يُوضح ذلك أدناه، ولا يتطلب فهمه مهارات رياضية متقدمة.

عندئذٍ، يمكن تعريف المحددات على أنها مجرد معاملات الضرب الخارجي بدلالة "متجهات الوحدة k " (${\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}\wedge {\mathbf {e} }_{j}}$(المصطلحات) التوسعات كما هو مذكور أعلاه.

المحدد الواحد هو معامل${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$متجه 1.

المحدد ذو الرتبة 2×2 هو معامل${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}}$لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$متجه ثنائي

المحدد ذو الأبعاد 3×3 هو معامل${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$متجه ثلاثي

...

عندما يتم إدخال حل النظام الخطي عبر الضرب الخارجي، فإن قاعدة كرامر تتبع كأثر جانبي، ولا حاجة للوصول إلى النتائج النهائية بتعريفات المحددات الصغرى، والمصفوفات، وقابلية عكس المصفوفة، والمرافقات، والعوامل المرافقة، وتوسعات لابلاس، ونظريات ضرب المحددات وتبديل الصفوف والأعمدة، وما إلى ذلك.

يمكن التعبير عن معكوس المصفوفة (قاعدة كرامر) والمحددات بشكل طبيعي من حيث الضرب الخارجي.

يمكن أن يكون استخدام الضرب الخارجي في حل المعادلات الخطية مفيدًا جدًا لحسابات الضرب الهندسي المختلفة.

تقليديًا، بدلاً من استخدام الضرب الخارجي، تُعرض قاعدة كرامر عادةً كخوارزمية عامة يمكن استخدامها لحل المعادلات الخطية من الشكل التالي:${\displaystyle Ax=b}$(أو ما يعادل ذلك، عكس المصفوفة). أي

${\displaystyle x={\frac {1}{|A|}}\operatorname {adj} (A)b.}$

هذه نتيجة نظرية مفيدة. أما بالنسبة للمسائل العددية، فإن اختزال الصفوف باستخدام المحاور وغيرها من الطرق أكثر استقرارًا وكفاءة.

عندما يقترن ضرب الإسفين بضرب كليفورد ويوضع في سياق هندسي طبيعي، فإن حقيقة استخدام المحددات في التعبير عن${\displaystyle {\mathbb {R} }^{N}}$كما أن مساحة متوازي الأضلاع وأحجام متوازي المستطيلات (والتعميمات ذات الأبعاد الأعلى منها) تأتي كأثر جانبي جيد.

كما هو موضح أدناه، فإن نتائج مثل قاعدة كرامر تنبع مباشرةً من اختيار العناصر غير المتطابقة في ضرب الإسفين. وبالتالي، تكون النتيجة بسيطة بما يكفي لاستنتاجها بسهولة عند الحاجة، بدلاً من الاضطرار إلى تذكر قاعدة أو البحث عنها.

مثال على متغيرين

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=ax+by=c.}$

الضرب قبل وبعد${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$،

${\displaystyle (ax+by)\wedge b=(a\wedge b)x=c\wedge b}$

${\displaystyle a\wedge (ax+by)=(a\wedge b)y=a\wedge c}$

متاح${\displaystyle a\wedge b\neq 0}$الحل هو

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\frac {1}{a\wedge b}}{\begin{bmatrix}c\wedge b\\a\wedge c\end{bmatrix}}.}$

ل${\displaystyle a,b\in {\mathbb {R} }^{2}}$هذه هي قاعدة كريمر منذ ذلك الحين${\displaystyle {e}_{1}\wedge {e}_{2}}$عوامل نواتج الوتد

${\displaystyle u\wedge v={\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}{e}_{1}\wedge {e}_{2}}$

قسم على.

وبالمثل، بالنسبة لثلاثة متغيرات، أو N متغير، تنطبق نفس الأفكار

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=d}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {1}{a\wedge b\wedge c}}{\begin{bmatrix}d\wedge b\wedge c\\a\wedge d\wedge c\\a\wedge b\wedge d\end{bmatrix}}}$

مرة أخرى، بالنسبة لحالة المعادلات الثلاث ذات المتغيرات الثلاثة، فإن هذه هي قاعدة كرامر لأن${\displaystyle {e}_{1}\wedge {e}_{2}\wedge {e}_{3}}$تنقسم عوامل جميع منتجات الوتد، تاركةً المحددات المألوفة.

مثال عددي بثلاث معادلات ومجهولين: في حالة وجود معادلات أكثر من المتغيرات والمعادلات لها حل، فإن كل من نواتج قسمة المتجهات k ستكون كميات قياسية.

ولتوضيح ذلك، إليكم حل مثال بسيط بثلاث معادلات ومجهولين.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}y={\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}}}$

المنتج المناسب على شكل إسفين مع${\displaystyle (1,1,1)}$يحلّ لـ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}x={\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}}$

ومنتج إسفيني يساري مع${\displaystyle (1,1,0)}$يحلّ لـ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}y={\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}}.}$

لاحظ أن كلا المعادلتين لهما نفس العامل، لذلك يمكن حساب هذا مرة واحدة فقط (إذا كان هذا يساوي صفرًا، فسيشير ذلك إلى أن نظام المعادلات ليس له حل).

مجموعة نتائج لـ ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$ينتج عنه شكل يشبه قاعدة كرامر:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\frac {1}{(1,1,0)\wedge (1,1,1)}}{\begin{bmatrix}(1,1,2)\wedge (1,1,1)\\(1,1,0)\wedge (1,1,2)\end{bmatrix}}.}$

كتابة${\displaystyle {e}_{i}\wedge {e}_{j}={e}_{ij}}$، وهكذا نحصل على النتيجة:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\frac {1}{{e}_{13}+{e}_{23}}}{\begin{bmatrix}{-{e}_{13}-{e}_{23}}\\{2{e}_{13}+2{e}_{23}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}.}$

بالنسبة لمستوى جميع النقاط${\displaystyle {\mathbf {r} }}$عبر المستوى الذي يمر بثلاث نقاط مستقلة${\displaystyle {\mathbf {r} }_{0}}$،${\displaystyle {\mathbf {r} }_{1}}$، و${\displaystyle {\mathbf {r} }_{2}}$، الصيغة الطبيعية للمعادلة هي

${\displaystyle (({\mathbf {r} }_{2}-{\mathbf {r} }_{0})\times ({\mathbf {r} }_{1}-{\mathbf {r} }_{0}))\cdot ({\mathbf {r} }-{\mathbf {r} }_{0})=0.}$

معادلة الضرب الإسفيني المكافئ هي

${\displaystyle ({\mathbf {r} }_{2}-{\mathbf {r} }_{0})\wedge ({\mathbf {r} }_{1}-{\mathbf {r} }_{0})\wedge ({\mathbf {r} }-{\mathbf {r} }_{0})=0.}$

باستخدام عملية غرام-شميدت، يمكن تحليل متجه واحد إلى مكونين بالنسبة لمتجه مرجعي، وهما الإسقاط على متجه وحدة في اتجاه مرجعي، والفرق بين المتجه وهذا الإسقاط.

مع${\displaystyle {\hat {u}}=u/{\Vert u\Vert }}$إسقاط${\displaystyle v}$على${\displaystyle {\hat {u}}}$يكون

${\displaystyle \mathrm {Proj} _{\hat {u}}\,{v}={\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)}$

المتعامد مع ذلك المتجه هو الفرق، والذي يُسمى الرفض.

${\displaystyle v-{\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)={\frac {1}{{\Vert u\Vert }^{2}}}({\Vert u\Vert }^{2}v-u(u\cdot v))}$

يمكن التعبير عن الرفض كحاصل ضرب جبري هندسي واحد بعدة طرق مختلفة

${\displaystyle {\frac {u}{{u}^{2}}}(uv-u\cdot v)={\frac {1}{u}}(u\wedge v)={\hat {u}}({\hat {u}}\wedge v)=(v\wedge {\hat {u}}){\hat {u}}}$

إن التشابه في الشكل بين الإسقاط والرفض ملحوظ. ومجموعهما يعيد المتجه الأصلي.

${\displaystyle v={\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)+{\hat {u}}({\hat {u}}\wedge v)}$

هنا، يكون الإسقاط في شكله المتجهي المعتاد. من الممكن صياغة بديلة تضع الإسقاط في شكل يختلف عن الصيغة المتجهة المعتادة.

${\displaystyle v={\frac {1}{u}}({u}\cdot v)+{\frac {1}{u}}({u}\wedge v)=({v}\cdot u){\frac {1}{u}}+(v\wedge u){\frac {1}{u}}}$

وبالعمل عكسياً انطلاقاً من النتيجة، يمكن ملاحظة أن نتيجة التفكيك المتعامد هذه يمكن أن تتبع في الواقع بشكل مباشر من تعريف المنتج الهندسي نفسه.

${\displaystyle v={\hat {u}}{\hat {u}}v={\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v+{\hat {u}}\wedge v)}$

بهذا النهج، لا يكون الاعتبار الهندسي الأصلي واضحًا بالضرورة، ولكنه طريقة أسرع بكثير للوصول إلى نفس النتيجة الجبرية.

ومع ذلك، فإن التلميح إلى إمكانية العمل بشكل عكسي، إلى جانب معرفة أن الضرب الخارجي يمكن استخدامه لحل مجموعات من المعادلات الخطية (انظر:)، يمكن طرح مشكلة التفكيك المتعامد بشكل مباشر،

يترك${\displaystyle v=au+x}$، أين${\displaystyle u\cdot x=0}$للتخلص من أجزاء${\displaystyle v}$التي تقع على خط مستقيم واحد مع${\displaystyle u}$خذ المنتج الخارجي

${\displaystyle u\wedge v=u\wedge (au+x)=u\wedge x}$

هنا يمكن استخدام الضرب الهندسي

${\displaystyle u\wedge v=u\wedge x=ux-u\cdot x=ux}$

بما أن الضرب الهندسي قابل للعكس، يمكن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة x :

${\displaystyle x={\frac {1}{u}}(u\wedge v).}$

يمكن تطبيق نفس التقنيات على مشاكل مماثلة، مثل حساب مركبة المتجه في مستوى وعمودي على المستوى.

في ثلاثة أبعاد، يمكن التعبير عن المكونات الإسقاطية والرفضية لمتجه بالنسبة لمتجه وحدة غير صفري عشوائي، بدلالة الضرب القياسي والضرب الاتجاهي.

${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {u} }}){\hat {\mathbf {u} }}+{\hat {\mathbf {u} }}\times (\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {u} }}).}$

في الحالة العامة، يمكن كتابة النتيجة نفسها بدلالة الضرب النقطي والضرب الإسفيني والضرب الهندسي لذلك مع متجه الوحدة

${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {u} }}){\hat {\mathbf {u} }}+(\mathbf {v} \wedge {\hat {\mathbf {u} }}){\hat {\mathbf {u} }}.}$

ومن الجدير بالذكر أيضاً أنه يمكن التعبير عن هذه النتيجة باستخدام قسمة المتجهات من اليمين أو اليسار كما هو محدد في الضرب الهندسي:

${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ){\frac {1}{\mathbf {u} }}+(\mathbf {v} \wedge \mathbf {u} ){\frac {1}{\mathbf {u} }}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\mathbf {u} }}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+{\frac {1}{\mathbf {u} }}(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} ).}$

ومثل إسقاط المتجهات ورفضها، فإن النظائر ذات الأبعاد الأعلى لهذا الحساب ممكنة أيضًا باستخدام المنتج الهندسي.

على سبيل المثال، يمكن للمرء حساب مركبة متجه عمودية على مستوى وإسقاط ذلك المتجه على المستوى.

يترك${\displaystyle w=au+bv+x}$، أين${\displaystyle u\cdot x=v\cdot x=0}$كما سبق، للتخلص من أجزاء${\displaystyle w}$التي تقع على خط مستقيم واحد مع${\displaystyle u}$أو${\displaystyle v}$خذ ناتج الوتد

${\displaystyle w\wedge u\wedge v=(au+bv+x)\wedge u\wedge v=x\wedge u\wedge v.}$

بعد إجراء هذه الحسابات باستخدام الإسقاط المتجهي، يمكن للمرء أن يخمن أن هذه الكمية تساوي${\displaystyle x(u\wedge v)}$يمكن أيضًا التكهن بوجود كمية مشابهة للضرب النقطي بين متجه ومتجه ثنائي ، بحيث تسمح بحساب مركبة المتجه التي تقع في "اتجاه المستوى". كلا التكهنين صحيحان، والتحقق من صحتهما أمرٌ جدير بالاهتمام. مع ذلك، وبالانتقال إلى الأمام قليلًا، فإن هذه الحقيقة التي لم تُثبت بعد تسمح بحلٍّ رياضيٍّ مُغلقٍ وبسيطٍ لمركبة المتجه خارج المستوى.

${\displaystyle x=(w\wedge u\wedge v){\frac {1}{u\wedge v}}={\frac {1}{u\wedge v}}(u\wedge v\wedge w).}$

لاحظ أوجه التشابه بين نتيجة رفض المتجهات في المستوى ونتيجة رفض المتجهات. لحساب مركبة متجه خارج مستوى، نأخذ الحجم الذي تشكله ثلاثة متجهات (متجه ثلاثي) ونقسم المستوى عليه.

بغض النظر عن أي استخدام للضرب الهندسي، يمكن إثبات أن هذا الرفض من حيث الأساس القياسي هو

${\displaystyle x={\frac {1}{(A_{u,v})^{2}}}\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\{e}_{i}&{e}_{j}&{e}_{k}\\\end{vmatrix}}}$

أين

${\displaystyle (A_{u,v})^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}=-(u\wedge v)^{2}}$

هي المساحة المربعة لمتوازي الأضلاع المتكون من${\displaystyle u}$، و${\displaystyle v}$.

مقدار (مربع)${\displaystyle x}$يكون

${\displaystyle {\Vert x\Vert }^{2}=x\cdot w={\frac {1}{(A_{u,v})^{2}}}\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}^{2}}$

وبالتالي، فإن حجم متوازي المستطيلات (مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع العمودي) هو

${\displaystyle \sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}^{2}}$

لاحظ التشابه في الشكل مع المتجه الثلاثي w و u و v نفسه

${\displaystyle \sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}{e}_{i}\wedge {e}_{j}\wedge {e}_{k},}$

والتي، إذا أخذت مجموعة${\displaystyle {e}_{i}\wedge {e}_{j}\wedge {e}_{k}}$باعتبارها أساسًا لفضاء المتجهات الثلاثية، تشير هذه النظرية إلى أن هذه هي الطريقة الطبيعية لتعريف قياس المتجه الثلاثي. وبشكل عام، قياس المتجه هو طوله، وقياس المتجه الثنائي هو مساحته، وقياس المتجه الثلاثي هو حجمه.

إذا تم تحليل متجه مباشرة إلى حدود إسقاطية ورفضية باستخدام الضرب الهندسي${\displaystyle v={\frac {1}{u}}(u\cdot v+u\wedge v)}$إذا كان الأمر كذلك، فليس من الواضح بالضرورة أن حد الرفض، وهو حاصل ضرب متجه ومتجه ثنائي، هو متجه. ويكون توسيع حاصل ضرب المتجه والمتجه الثنائي بدلالة متجهات الأساس القياسية على النحو التالي

يترك${\displaystyle r={\frac {1}{u}}(u\wedge v)={\frac {u}{u^{2}}}(u\wedge v)={\frac {1}{{\Vert u\Vert }^{2}}}u(u\wedge v)}$

يمكن إثبات ذلك

${\displaystyle r={\frac {1}{{\Vert {u}\Vert }^{2}}}\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\e_{i}&e_{j}\end{vmatrix}}}$

(نتيجة يمكن عرضها بسهولة أكبر مباشرة من${\displaystyle r=v-{\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)}$).

يكون الحد المرفوض عموديًا على${\displaystyle u}$، منذ${\displaystyle {\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\u_{i}&u_{j}\end{vmatrix}}=0}$يشير إلى${\displaystyle r\cdot u=0}$.

حجم${\displaystyle r}$يكون

${\displaystyle {\Vert r\Vert }^{2}=r\cdot v={\frac {1}{{\Vert {u}\Vert }^{2}}}\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2}.}$

إذن، الكمية

${\displaystyle {\Vert r\Vert }^{2}{\Vert {u}\Vert }^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2}}$

هي المساحة المربعة لمتوازي الأضلاع المتكون من${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$.

ومن الجدير بالذكر أيضاً أنه يمكن التعبير عن المتجه الثنائي على النحو التالي:

${\displaystyle u\wedge v=\sum _{i<j}{{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}e_{i}\wedge e_{j}}.}$

وهكذا يكون الأمر طبيعياً، إذا نظرنا إلى كل مصطلح${\displaystyle e_{i}\wedge e_{j}}$كـ متجه أساسي لفضاء المتجهات الثنائية، لتحديد "طول" هذا المتجه الثنائي (المربع) على أنه المساحة (المربعة).

بالعودة إلى تعبير الضرب الهندسي لطول منطقة الرفض${\displaystyle {\frac {1}{u}}(u\wedge v)}$نرى أن طول الناتج، وهو متجه، في هذه الحالة هو "طول" المتجه الثنائي مقسومًا على طول المقسوم عليه.

قد لا تكون هذه نتيجة عامة لطول حاصل ضرب متجهين من الرتبة k ، إلا أنها نتيجة قد تساعد في بناء بعض الحدس حول أهمية العمليات الجبرية. أي،

عندما يتم تقسيم متجه من المستوى (امتداد متوازي الأضلاع) المتكون منه ومتجه آخر، فإن ما يتبقى هو المكون العمودي للمتجه المتبقي، وطوله هو مساحة المستوى مقسومة على طول المتجه الذي تم تقسيمه.

إذا كانت A هي مساحة متوازي الأضلاع المحدد بواسطة u و v ، فإن

${\displaystyle A^{2}={\Vert \mathbf {u} \times \mathbf {v} \Vert }^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2},}$

و

${\displaystyle A^{2}=-(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2}.}$

لاحظ أن هذا المتجه الثنائي المربع هو ضرب هندسي؛ ويمكن صياغة هذه العملية الحسابية بشكل بديل على أنها محدد غرام للمتجهين.

${\displaystyle ({\sin \theta })^{2}={\frac {{\Vert \mathbf {u} \times \mathbf {v} \Vert }^{2}}{{\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}{\Vert \mathbf {v} \Vert }^{2}}}}$

${\displaystyle ({\sin \theta })^{2}=-{\frac {(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )^{2}}{{\mathbf {u} }^{2}{\mathbf {v} }^{2}}}}$

في الجبر المتجهي، يُعطى حجم متوازي السطوح بالجذر التربيعي لمعيار مربع الضرب الثلاثي القياسي : $${\displaystyle V^{2}={\Vert (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} \Vert }^{2}={\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\\\end{vmatrix}}^{2}}$$$${\displaystyle V^{2}=-(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} )^{2}=-\left(\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\w_{i}&w_{j}&w_{k}\\\end{vmatrix}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\right)^{2}=\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\w_{i}&w_{j}&w_{k}\\\end{vmatrix}}^{2}}$$

يمكن إثبات أن مشتقة متجه الوحدة يمكن التعبير عنها باستخدام الضرب الاتجاهي

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{\Vert \mathbf {r} \Vert }}\right)={\frac {1}{{\Vert \mathbf {r} \Vert }^{3}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times \mathbf {r} =\left({\hat {\mathbf {r} }}\times {\frac {1}{\Vert \mathbf {r} \Vert }}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times {\hat {\mathbf {r} }}}$

التعميم المكافئ للضرب الهندسي هو

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{\Vert \mathbf {r} \Vert }}\right)={\frac {1}{{\Vert \mathbf {r} \Vert }^{3}}}\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \wedge {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)={\frac {1}{\mathbf {r} }}\left({\hat {\mathbf {r} }}\wedge {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)}$

وبالتالي فإن هذا المشتق هو أحد مكونات${\displaystyle {\frac {1}{\Vert \mathbf {r} \Vert }}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$في الاتجاه العمودي على${\displaystyle \mathbf {r} }$بمعنى آخر، هذا هو${\displaystyle {\frac {1}{\Vert \mathbf {r} \Vert }}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$ناقص إسقاط ذلك المتجه على${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$.

هذا منطقي بديهيًا (لكن صورة توضيحية ستكون مفيدة) لأن متجه الوحدة مقيد بالحركة الدائرية، وأي تغيير يطرأ على متجه الوحدة نتيجة لتغير في متجه توليده يجب أن يكون في اتجاه رفض${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$من${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$. يجب تعديل هذا الرفض بضربه في 1/|r| للحصول على النتيجة النهائية.

عندما لا يكون الهدف هو المقارنة بالضرب الاتجاهي، تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه يمكن كتابة مشتق متجه الوحدة هذا على النحو التالي

${\displaystyle {\mathbf {r} }{\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\hat {\mathbf {r} }}\wedge {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$