الاكتمال (الإحصاءات)

يُتيح نموذج برنولي إحصائية كاملة. ^{[ 1 ]} ليكن X عينة عشوائية بحجم n بحيث يكون لكل _Xᵢ نفس توزيع برنولي بمعامل p . وليكن T عدد الآحاد الملاحظة في العينة، أي${\displaystyle \textstyle T=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$T إحصائية للمتغير العشوائي X الذي يتبع التوزيع الثنائي بمعاملات ( n , p ) . إذا كانت فضاء المعاملات لـ p هو (0,1)، فإن T إحصائية كاملة. ولتوضيح ذلك، لاحظ أن

${\displaystyle \operatorname {E} _{p}(g(T))=\sum _{t=0}^{n}{g(t){n \choose t}p^{t}(1-p)^{nt}}=(1-p)^{n}\sum _{t=0}^{n}{g(t){n \choose t}\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{t}}.}$

لاحظ أيضًا أنه لا يمكن أن يكون كل من p و 1 − p مساويًا للصفر. وبالتالي  ${\displaystyle E_{p}(g(T))=0}$إذا وفقط إذا:

${\displaystyle \sum _{t=0}^{n}g(t){n \choose t}\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{t}=0.}$

عند الإشارة إلى p /(1 − p ) بالرمز r ، نحصل على:  

${\displaystyle \sum _{t=0}^{n}g(t){n \choose t}r^{t}=0.}$

أولاً، لاحظ أن مدى r هو الأعداد الحقيقية الموجبة . كذلك، فإن E( g ( T )) هي دالة متعددة الحدود في r ، وبالتالي، لا يمكن أن تساوي صفرًا إلا إذا كانت جميع المعاملات تساوي صفرًا، أي أن g ( t )  =  0 لجميع قيم t . 

من المهم ملاحظة أن النتيجة التي تنص على أن جميع المعاملات يجب أن تساوي صفرًا قد تم التوصل إليها بسبب نطاق r . فلو كانت فضاءات المعاملات محدودة، وعدد عناصرها أقل من أو يساوي n ، لكان من الممكن حل المعادلات الخطية في g ( t ) الناتجة عن استبدال قيم r والحصول على حلول مختلفة عن الصفر. على سبيل المثال، إذا كان n = 1 وفضاء المعاملات هو {0.5}، أي بملاحظة واحدة وقيمة معامل واحدة، فإن T غير مكتملة. لاحظ أنه وفقًا للتعريف:

${\displaystyle g(t)=2(t-0.5),\,}$

ثم، E( g ( T )) = 0 على الرغم من أن g ( t ) لا يساوي 0 بالنسبة لـ t = 0 ولا بالنسبة لـ t = 1.

سيوضح هذا المثال أنه في عينة X1 و X2 بحجم 2 من _توزيع طبيعي ذي تباين _{معلوم ، فإن} الإحصائية X1 + X2 كاملة وكافية. لنفترض أن _X1 و _X2 متغيران عشوائيان مستقلان ومتطابقان في التوزيع، يتبعان التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​θ وتباين _1. المجموع   

${\displaystyle s((X_{1},X_{2}))=X_{1}+X_{2}}$

هي إحصائية كاملة لـ θ .

ولإثبات ذلك، يكفي أن نبرهن على عدم وجود دالة غير صفرية${\displaystyle g}$بحيث يكون التوقع

${\displaystyle g(s(X_{1},X_{2}))=g(X_{1}+X_{2})}$

تبقى القيمة صفرًا بغض النظر عن قيمة θ .

يمكن توضيح هذه الحقيقة على النحو التالي: التوزيع الاحتمالي لـ X1 + X2 هو _توزيع طبيعي بمتوسط ​​2θ وتباين 2. دالة كثافة الاحتمال الخاصة به _في  ${\displaystyle x}$وبالتالي فهو يتناسب مع

${\displaystyle \exp \left(-(x-2\theta )^{2}/4\right).}$

وبالتالي، فإن القيمة المتوقعة لـ g أعلاه ستكون ثابتة مضروبة في

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x)\exp \left(-(x-2\theta )^{2}/4\right)\,dx.}$

يمكن اختزال هذا إلى بعض العمليات الجبرية.

${\displaystyle k(\theta )\int _{-\infty }^{\infty }h(x)e^{x\theta }\,dx,}$

حيث لا يساوي k ( θ ) الصفر في أي مكان و

${\displaystyle h(x)=g(x)e^{-x^{2}/4}.}$

كدالة لـ θ، تُعدّ هذه الدالة تحويل لابلاس ثنائي الجانب لـ h ، ولا يمكن أن تساوي صفرًا إلا إذا كانت h تساوي صفرًا في كل مكان تقريبًا. ^{[ 2 ]} الدالة الأسية لا تساوي صفرًا، لذا لا يمكن أن يحدث هذا إلا إذا كانت g تساوي صفرًا في كل مكان تقريبًا.

وعلى النقيض من ذلك، فإن الإحصائية${\textstyle (X_{1},X_{2})}$كافية ولكنها غير كاملة. فهي تقبل مقدرًا غير متحيز غير صفري يساوي الصفر، وهو${\textstyle X_{1}-X_{2}}$.

تحتوي معظم النماذج البارامترية على إحصائية كافية غير مكتملة. وهذا أمر مهم لأن نظرية ليمان-شيفيه لا يمكن تطبيقها على هذه النماذج. يقترح جاليلي وميليجسون (2016) ^{[ 3 ]} المثال التعليمي التالي.

يعتبر${\displaystyle n}$عينات مستقلة من التوزيع المنتظم:

${\displaystyle X_{i}\sim U{\big (}(1-k)\theta ,(1+k)\theta {\big )}\qquad \qquad 0<k<1}$

${\displaystyle k}$هو مُعامل تصميم معروف. هذا النموذج هو نموذج عائلة المقياس (حالة خاصة من نموذج عائلة الموقع والمقياس ): يتم فيه تغيير حجم العينات بواسطة مُضاعِف.${\displaystyle c}$يضرب المعامل${\displaystyle \theta }$.

يُظهر كل من جاليلي وميليجسون أن الحد الأدنى والحد الأقصى للعينات يشكلان معًا إحصائية كافية:${\displaystyle X_{(1)},X_{(n)}}$(باستخدام الترميز المعتاد لإحصاءات الترتيب ). في الواقع، بالنظر إلى هاتين القيمتين، يكون توزيع بقية العينة منتظمًا ببساطة على النطاق الذي تحددانه:${\displaystyle \left[X_{(1)},X_{(n)}\right]}$.

ومع ذلك، فإن نسبتهم لها توزيع لا يعتمد على${\displaystyle \theta }$وينتج هذا عن كون هذه عائلة مقاييس: فأي تغيير في المقياس يؤثر على كلا المتغيرين بشكل متطابق. طرح المتوسط${\displaystyle m}$ومن هذا التوزيع، نحصل على:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\frac {X_{(n)}}{X_{(1)}}}\right]-m=0}$

وبذلك نكون قد أثبتنا وجود دالة${\displaystyle g\left(X_{(1)},X_{(n)}\right)}$وهو ليس كذلك${\displaystyle 0}$في كل مكان إلا الذي يتوقع${\displaystyle 0}$وبالتالي، فإن الزوج غير مكتمل.

تتجلى الاكتمالية في نظرية ليمان-شيفيه ، ^{[ 1 ]} التي تنص على أنه بالنظر إلى إحصائية كاملة وكافية${\displaystyle T}$، مُقدِّر غير متحيز للمعامل θ على النحو التالي:${\displaystyle g(T)}$، لبعض الدوال القابلة للقياس${\displaystyle g}$، هو أفضل مُقدِّر غير متحيز للمتوسط ​​لـ θ . بعبارة أخرى، المُقدِّر ${\displaystyle g(T)}$يتمتع بأقل خسارة متوقعة لأي دالة خسارة محدبة ؛ في العديد من التطبيقات العملية مع دالة الخسارة التربيعية، يكون متوسط ​​الخطأ التربيعي أصغر بين أي مقدرات لها نفس القيمة المتوقعة .

توجد أمثلة لا تكون فيها الإحصائية الكافية الدنيا كاملة، وتوجد فيها عدة إحصائيات بديلة لتقدير θ بشكل غير متحيز ، في حين أن بعضها يتميز بتباين أقل من غيرها. ^{[ 3 ]}

انظر أيضًا إلى المقدر غير المتحيز ذي التباين الأدنى .

يحدث الاكتمال المحدود في نظرية باسو ، ^{[ 1 ]} التي تنص على أن الإحصائية التي تكون مكتملة بشكل محدود وكافية مستقلة عن أي إحصائية مساعدة .

يظهر الاكتمال المحدود أيضًا في نظرية بهادور. ففي حالة وجود إحصائية كافية دنيا واحدة على الأقل ، فإن الإحصائية الكافية والمكتملة بشكل محدود تكون بالضرورة كافية دنيا. ^{[ 4 ]}