الضرورة والكفاية

في المنطق والرياضيات ، يُستخدم مصطلحا الضرورة والكفاية لوصف علاقة شرطية أو ضمنية بين عبارتين . على سبيل المثال، في العبارة الشرطية : "إذا كان P فإن Q " ، فإن Q ضرورية لـ P ، لأن صحة Q مضمونة "بالضرورة" بصحة P. (وبالمثل، يستحيل وجود P بدون Q ، أو أن خطأ Q يضمن خطأ P ) . ^{[ 1 ]} وبالمثل، فإن P كافية لـ Q ، لأن كون P صحيحة دائمًا أو "بشكل كافٍ " يستلزم صحة Q ، ولكن عدم صحة P لا يستلزم بالضرورة عدم صحة Q. ^{[ 2 ]}

بشكل عام، الشرط الضروري هو شرط (أو ربما أحد عدة شروط) يجب توافره لحدوث شرط آخر، بينما الشرط الكافي هو الشرط الذي يُنتج الشرط المذكور. ^{[ 3 ]} والقول بأن عبارة ما شرط "ضروري وكافٍ " لعبارة أخرى يعني أن العبارة الأولى صحيحة إذا وفقط إذا كانت العبارة الثانية صحيحة. أي أن العبارتين إما أن تكونا صحيحتين في آن واحد، أو خاطئتين في آن واحد. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

في اللغة الإنجليزية الدارجة ( واللغة الطبيعية أيضاً )، غالباً ما تشير كلمتا "ضروري" و"كافٍ" إلى علاقات بين شروط أو حالات، لا إلى عبارات. على سبيل المثال، كون الشكل دائرياً شرط ضروري لكي يكون دائرة، ولكنه ليس شرطاً كافياً لأن الأشكال البيضاوية والقطع الناقصة دائرية وليست دوائر – بينما كون الشكل دائرياً شرط كافٍ لكي يكون دائرياً. أي عبارة شرطية تتكون من شرط كافٍ واحد على الأقل وشرط ضروري واحد على الأقل.

في تحليل البيانات ، يمكن أن تشير الضرورة والكفاية إلى منطق سببي مختلف، ^{[ 7 ]} حيث يمكن استخدام تحليل الشرط الضروري والتحليل المقارن النوعي كتقنيات تحليلية لفحص ضرورة وكفاية الشروط لنتيجة معينة ذات أهمية.

في العبارة الشرطية "إذا كان S ، فإن N " ، يُسمى التعبير الذي يمثله S بالسابقة ، ويُسمى التعبير الذي يمثله N بالنتيجة . يمكن كتابة هذه العبارة الشرطية بعدة طرق متكافئة، مثل " N إذا كان S " ، و" S فقط إذا كان N " ، و" S يستلزم N " ، و" N مُستنتج من S " ، و S → N ، و S ⇒ N ، و" N كلما كان S " . ^{[ 8 ]}

في الحالة المذكورة أعلاه "N كلما S " ، يُقال إن N شرط ضروري لـ S. بعبارة أخرى، إذا كانت العبارة الشرطية صحيحة، فلا بد أن تكون النتيجة N صحيحة أيضًا، حتى تكون S صحيحة (انظر العمود الثالث من " جدول الصواب " أدناه). بعبارة أخرى، لا يمكن أن تكون المقدمة S صحيحة دون أن تكون N صحيحة. على سبيل المثال، لكي يُطلق على شخص ما اسم S سقراط، يجب أن يُطلق عليه اسم N. وبالمثل، لكي يعيش الإنسان، يجب أن يحصل على الهواء. ^{[ 9 ]}

يمكن القول أيضًا أن S شرط كافٍ لـ N (راجع العمود الثالث من جدول الصواب أدناه). إذا كانت العبارة الشرطية صحيحة، فإذا كانت S صحيحة، فلا بد أن تكون N صحيحة؛ أما إذا كانت العبارة الشرطية صحيحة وN صحيحة، فقد تكون S صحيحة أو خاطئة. بعبارة أخرى، "صحة S تضمن صحة N " . ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، استكمالًا للمثال السابق، يمكن القول إن معرفة أن شخصًا ما يُدعى S سقراط كافية لمعرفة أن له اسمًا N.

يشترط الشرط الضروري والكافي أن يكون كلا النتيجتين${\displaystyle S\Rightarrow N}$و${\displaystyle N\Rightarrow S}$(ويمكن كتابة الأخير أيضًا على النحو التالي)${\displaystyle S\Leftarrow N}$) تحقق. يشير الاستلزام الأول إلى أن S شرط كافٍ لـ N ، بينما يشير الاستلزام الثاني إلى أن S شرط ضروري لـ N. ويُعبَّر عن ذلك بـ " S شرط ضروري وكافٍ لـ N "، أو " S إذا وفقط إذا كان N " ، أو${\displaystyle S\Leftrightarrow N}$.

جدول الحقيقة

S	شمال	${\displaystyle S\Rightarrow N}$	${\displaystyle S\Leftarrow N}$	${\displaystyle S\Leftrightarrow N}$
تي	تي	تي	تي	تي
تي	F	F	تي	F
F	تي	تي	F	F
F	F	تي	تي	تي

إن القول بأن Q ضروري لـ P يُعادل في اللغة الدارجة عبارة " لا يمكن أن تكون P صحيحة إلا إذا كانت Q صحيحة" أو "إذا كانت Q خاطئة، فإن P خاطئة". ^{[ 9 ] [ 1 ]} وبالعكس ، فإن هذا يُعادل عبارة "كلما كانت P صحيحة، كانت Q صحيحة أيضًا " .

تُعبّر العلاقة المنطقية بين P و Q عن نفسها بعبارة "إذا كان P ، فإن Q " ، ويُرمز لها بـ " P ⇒ Q " ( حيث P يستلزم Q ). ويمكن التعبير عنها أيضًا بأي من العبارات التالية: " P فقط إذا كان Q " ، أو " Q إذا كان P " ، أو " Q كلما كان P " ، أو " Q عندما يكون P " . وكثيرًا ما نجد، في النصوص الرياضية على سبيل المثال، عدة شروط ضرورية تُشكّل مجتمعةً شرطًا كافيًا (أي أنها ضرورية منفردةً وكافية مجتمعةً ^{[ 9 ]} )، كما هو موضح في المثال 5.

المثال 1

لكي يكون صحيحاً أن "جون أعزب"، فمن الضروري أيضاً أن يكون صحيحاً أنه

1. غير متزوج،
2. ذكر،
3. بالغ،

لأن القول بأن "جون أعزب" يعني أن جون يمتلك كلًا من تلك الصفات الثلاث الإضافية .

المثال 2

بالنسبة للأعداد الصحيحة الأكبر من اثنين، فإن كون العدد فرديًا ضروري ليكون أوليًا، لأن اثنين هو العدد الصحيح الوحيد الذي يكون زوجيًا وأوليًا في نفس الوقت.

المثال 3

لنأخذ الرعد مثالاً، وهو الصوت الناتج عن البرق. يُقال إن الرعد ضروري للبرق، إذ لا يحدث البرق إلا بوجود الرعد. فكلما وُجد البرق، وُجد الرعد. لا يُسبب الرعد البرق (لأن البرق يُسبب الرعد)، ولكن لأن البرق يصاحبه الرعد دائمًا، نقول إن الرعد ضروري للبرق. (أي أن الضرورة، بالمعنى الدقيق، لا تعني السببية).

المثال 4

يشترط بلوغ سن الثلاثين على الأقل للترشح لعضوية مجلس الشيوخ الأمريكي. فإذا كان عمرك أقل من ثلاثين عامًا، فلا يمكنك أن تصبح عضوًا في مجلس الشيوخ. أي أنه إذا كنت عضوًا في مجلس الشيوخ، فمن الضروري أن تبلغ من العمر ثلاثين عامًا على الأقل.

المثال 5

في الجبر ، بالنسبة لمجموعة S معينة، بالإضافة إلى عملية${\displaystyle \star }$لتشكيل مجموعة ، من الضروري أن${\displaystyle \star }$يجب أن تكون المجموعة S تجميعية . ومن الضروري أيضًا أن تتضمن S عنصرًا خاصًا e بحيث يكون لكل x في S ، يكون e${\displaystyle \star }$x و x${\displaystyle \star }$كلاهما يساوي x . من الضروري أيضًا أنه لكل x في S يوجد عنصر مناظر x ″ ، بحيث يكون كلا x${\displaystyle \star }$x ″ و x ″${\displaystyle \star }$x يساوي العنصر الخاص e . لا يكفي أي من هذه الشروط الثلاثة الضرورية بمفرده، ولكن اجتماعها معًا كافٍ.

إذا كان P كافياً لـ Q ، فإن معرفة أن P صحيح تعتبر أساساً كافياً للاستنتاج بأن Q صحيح؛ ومع ذلك، فإن معرفة أن P خاطئ لا يفي بالحد الأدنى من الحاجة للاستنتاج بأن Q خاطئ.

تُعبَّر العلاقة المنطقية، كما في السابق، بالصيغة "إذا كان P ، فإن Q " أو " P ⇒ Q " . ويمكن التعبير عنها أيضًا بالصيغة " P فقط إذا كان Q " ، أو " P يستلزم Q " ، أو غيرها من الصيغ. وقد يكون من الممكن أن تُشكِّل عدة شروط كافية، عند جمعها، شرطًا ضروريًا واحدًا (أي، شرط كافٍ منفردًا وشرط ضروري مجتمعًا)، كما هو موضح في المثال 5.

المثال 1

عبارة "جون ملك" تعني ضمناً أن جون ذكر. لذا، فإن معرفة أن جون ملك تكفي لمعرفة أنه ذكر.

المثال 2

إن كون العدد قابلاً للقسمة على 4 يكفي (ولكن ليس ضرورياً) ليكون زوجياً، ولكن كونه قابلاً للقسمة على 2 يكفي ويلزم ليكون زوجياً.

المثال 3

إن حدوث الرعد هو شرط كافٍ لحدوث البرق بمعنى أن سماع الرعد، والتعرف عليه بشكل لا لبس فيه، يبرر الاستنتاج بأنه قد حدث صاعقة برق.

المثال 4

إذا أقرّ الكونغرس الأمريكي مشروع قانون، فإن توقيع الرئيس عليه يكفي لجعله قانونًا نافذًا. تجدر الإشارة إلى أن عدم توقيع الرئيس على مشروع القانون، مثلاً باستخدام حق النقض الرئاسي ، لا يعني بالضرورة عدم سريان القانون (على سبيل المثال، قد يصبح قانونًا نافذًا حتى بعد نقض الكونغرس لحق النقض ).

المثال 5

يكفي أن يكون مركز ورقة اللعب مُعلَّمًا برمز البستوني الكبير (♠) لتكون الورقة آسًا. وهناك ثلاثة شروط كافية أخرى، وهي أن يكون مركز الورقة مُعلَّمًا برمز الماس (♦) أو القلب (♥) أو النادي (♣). لا يُشترط وجود أي من هذه الشروط لتكون الورقة آسًا، ولكن عدم وجودها ضروري ، إذ لا يمكن أن تكون الورقة آسًا دون استيفاء شرط واحد على الأقل (بل شرط واحد فقط).

يمكن أن يكون الشرط ضروريًا أو كافيًا دون أن يكون الآخر. على سبيل المثال، كون الشخص من الثدييات ( N ) شرط ضروري ولكنه غير كافٍ ليكون إنسانًا ( S )، وأن عددًا من${\displaystyle x}$إن كون ( S ) عقلانيًا أمر كافٍ ولكنه ليس ضروريًا.${\displaystyle x}$كونه عددًا حقيقيًا ( N ) (لأن هناك أعدادًا حقيقية ليست نسبية).

يمكن أن يكون الشرط ضروريًا وكافيًا في آنٍ واحد. على سبيل المثال، يُعدّ كون اليوم هو الرابع من يوليو شرطًا ضروريًا وكافيًا لكون اليوم هو عيد الاستقلال في الولايات المتحدة . وبالمثل ، فإن الشرط الضروري والكافي لقابلية عكس المصفوفة M هو أن يكون لمحددها قيمة غير صفرية .

رياضيًا، الضرورة والكفاية متلازمتان . فبالنسبة لأي عبارتين S و N ، فإن القول بأن " N ضرورية لـ S " يكافئ القول بأن " S كافية لـ N " . ومن جوانب هذه الازدواجية، كما هو موضح أعلاه، أن الربط (باستخدام "و") بين الشروط الضرورية قد يحقق الكفاية، بينما الفصل (باستخدام "أو") بين الشروط الكافية قد يحقق الضرورة. أما الجانب الثالث، فهو تعريف كل محمول رياضي N بمجموعة T ( N ) من الأشياء أو الأحداث أو العبارات التي تكون N صحيحة بالنسبة لها؛ عندئذٍ، فإن التأكيد على ضرورة N لـ S يكافئ الادعاء بأن T ( N ) هي مجموعة شاملة لـ T ( S )، بينما التأكيد على كفاية S لـ N يكافئ الادعاء بأن T ( S ) هي مجموعة جزئية من T ( N ).

من الناحية النفسية، يُعدّ كلٌّ من الضرورة والكفاية جانبين أساسيين في النظرة الكلاسيكية للمفاهيم. فبحسب هذه النظرية، تُنشئ كيفية تمثيل العقل البشري لفئةٍ ما (س) مجموعةً من الشروط الضرورية الفردية التي تُعرّف (س). وتُشكّل هذه الشروط الضرورية الفردية مجتمعةً ما يكفي لاعتبار (س). ^{[ 10 ]} وهذا يُخالف النظرية الاحتمالية للمفاهيم التي تنصّ على عدم وجود سمة تعريفية ضرورية أو كافية، بل إنّ الفئات تُشبه بنية شجرة العائلة.

القول بأن P شرط ضروري وكافٍ لـ Q يعني قول أمرين:

1. أن P ضروري لـ Q ،${\displaystyle P\Leftarrow Q}$وأن P كافية لـ Q ،${\displaystyle P\Rightarrow Q}$.
2. وبعبارة أخرى، يمكن فهم ذلك على أنه القول بأن P و Q ضروريان لبعضهما البعض،${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$، والتي يمكن التعبير عنها أيضاً بأن كل منهما كافٍ للآخر أو يستلزم الآخر.

يمكن تلخيص أي من هذه الحالات، وبالتالي جميعها، بالعبارة " P إذا وفقط إذا Q " ، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$بينما تخبرنا الحالات أن${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$هو نفسه${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$.

على سبيل المثال، في نظرية المخططات، يُطلق على المخطط G اسم "ثنائي الأجزاء" إذا كان من الممكن تخصيص اللون الأسود أو الأبيض لكل رأس من رؤوسه ، بحيث يكون لكل ضلع من أضلاع G نقطة نهاية واحدة من كل لون. ولكي يكون أي مخطط ثنائي الأجزاء، فمن الضروري والكافي ألا يحتوي على دورات فردية الطول . وبالتالي، فإن معرفة ما إذا كان المخطط يحتوي على أي دورات فردية تُحدد ما إذا كان ثنائي الأجزاء أم لا، والعكس صحيح. وقد يصف أحد الفلاسفة ^{[ 11 ]} هذه الحالة على النحو التالي: "على الرغم من اختلاف مفهومي ثنائية الأجزاء وغياب الدورات الفردية في المضمون ، إلا أنهما متطابقان في الامتداد . " ^{[ 12 ]}

في الرياضيات، غالباً ما تُصاغ النظريات على شكل " P صحيحة إذا وفقط إذا كانت Q صحيحة".

لأنه، كما هو موضح في القسم السابق، فإن ضرورة أحدهما للآخر تعادل كفاية الآخر للأول، على سبيل المثال${\displaystyle P\Leftarrow Q}$يعادل​${\displaystyle Q\Rightarrow P}$إذا كان P شرطًا ضروريًا وكافيًا لـ Q ، فإن Q شرط ضروري وكافٍ لـ P. يمكننا كتابة${\displaystyle P\Leftrightarrow Q\equiv Q\Leftrightarrow P}$ونقول إن العبارتين " P صحيحة إذا وفقط إذا كانت Q صحيحة" و " Q صحيحة إذا وفقط إذا كانت P صحيحة" متكافئتان.

• برنامج تعليمي عبر الإنترنت حول التفكير النقدي: الشروط الضرورية والكافية
• جامعة سيمون فريزر: مفاهيم مع أمثلة