المرافق المركب لفضاء متجهي

في الرياضيات ، المرافق المركب لفضاء متجهي مركب${\displaystyle V\,}$هو فضاء متجهي معقد${\displaystyle {\overline {V}}}$التي لها نفس العناصر وبنية المجموعة الإضافية مثل${\displaystyle V,}$لكن عملية الضرب القياسي التي تتضمن مرافقة الأعداد القياسية. بعبارة أخرى، فإن الضرب القياسي لـ${\displaystyle {\overline {V}}}$يرضي $${\displaystyle \alpha \,*\,v={\,{\overline {\alpha }}\cdot \,v\,}}$$ أين${\displaystyle *}$هو الضرب القياسي لـ${\displaystyle {\overline {V}}}$و${\displaystyle \cdot }$هو الضرب القياسي لـ${\displaystyle V.}$ الرسالة${\displaystyle v}$يرمز إلى متجه في${\displaystyle V,}$${\displaystyle \alpha }$هو عدد مركب، و${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$يرمز إلى المرافق المعقد لـ${\displaystyle \alpha .}$^{[ 1 ]}

وبشكل أكثر تحديدًا، فإن فضاء المتجهات المترافق المعقد هو نفس فضاء المتجهات الحقيقي الأساسي (نفس مجموعة النقاط، ونفس عملية جمع المتجهات وضرب الأعداد الحقيقية) مع البنية الخطية المترافقة المعقدة${\displaystyle J}$(عمليات ضرب مختلفة بواسطة${\displaystyle i}$).

لو${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$هي فضاءات متجهة معقدة، دالة${\displaystyle f:V\to W}$يكون مضادًا للخطية إذا $${\displaystyle f(v+w)=f(v)+f(w)\quad {\text{ و }}\quad f(\alpha v)={\overline {\alpha }}\,f(v)}$$ باستخدام فضاء المتجهات المترافقة${\displaystyle {\overline {V}}}$، خريطة مضادة للخطية${\displaystyle f:V\to W}$يمكن اعتبارها خريطة خطية عادية من النوع${\displaystyle {\overline {V}}\to W.}$يتم التحقق من الخطية من خلال ملاحظة ما يلي: $${\displaystyle f(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\overline {\alpha }}}\cdot f(v)=\alpha \cdot f(v)}$$ وعلى العكس من ذلك، فإن أي خريطة خطية معرفة على${\displaystyle {\overline {V}}}$ينتج عنه خريطة مضادة للخطية على${\displaystyle V.}$

هذا هو نفس المبدأ الأساسي كما هو الحال في تعريف الحلقة المقابلة بحيث يكون اليمين${\displaystyle R}$- يمكن اعتبار الوحدة بمثابة اليسار${\displaystyle R^{op}}$-وحدة، أو تلك الخاصة بفئة معاكسة بحيث يكون المؤثر المتغاير${\displaystyle C\to D}$يمكن اعتبارها دالة عادية من النوع${\displaystyle C^{op}\to D.}$

خريطة خطية${\displaystyle f:V\to W\,}$ينتج عنه خريطة خطية مقابلة${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {V}}\to {\overline {W}}}$له نفس التأثير مثل${\displaystyle f.}$لاحظ أن${\displaystyle {\overline {f}}}$يحافظ على الضرب القياسي لأن $${\displaystyle {\overline {f}}(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\alpha }}\cdot f(v)=\alpha *{\overline {f}}(v)}$$ وبالتالي، الاقتران المعقد${\displaystyle V\mapsto {\overline {V}}}$و${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$تعريف دالة من فئة فضاءات المتجهات المعقدة إلى نفسها.

لو${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$هي ذات أبعاد محدودة والخريطة${\displaystyle f}$يتم وصفها بواسطة المصفوفة المعقدة${\displaystyle A}$فيما يتعلق بالأسس${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ل${\displaystyle V}$و${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle W,}$ثم الخريطة${\displaystyle {\overline {f}}}$يتم وصفها بواسطة المرافق المعقد لـ${\displaystyle A}$فيما يتعلق بالأسس ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ل ${\displaystyle {\overline {V}}}$و${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}}$ل${\displaystyle {\overline {W}}.}$

الفضاءات المتجهة${\displaystyle V}$و${\displaystyle {\overline {V}}}$لها نفس البعد على الأعداد المركبة، وبالتالي فهي متماثلة مثل فضاءات المتجهات المركبة. ومع ذلك، لا يوجد تماثل طبيعي من ${\displaystyle V}$ل${\displaystyle {\overline {V}}.}$

المرافق المزدوج${\displaystyle {\overline {\overline {V}}}}$هو نفسه${\displaystyle V.}$

بالنظر إلى فضاء هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {H}}}$(سواء كانت ذات أبعاد محدودة أو غير محدودة)، ومرافقها المركب${\displaystyle {\overline {\mathcal {H}}}}$هو نفس الفضاء المتجهي مثل فضاءه الثنائي المتصل${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }.}$ توجد علاقة تناظرية عكسية أحادية بين الدوال الخطية المتصلة والمتجهات. بعبارة أخرى، أي دالة خطية متصلة على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$هو عملية ضرب داخلية لمتجه ثابت، والعكس صحيح.

وبالتالي، فإن المركب المرافق للمتجه${\displaystyle v,}$خاصة في حالة الأبعاد المحدودة، يمكن الإشارة إليها على النحو التالي:${\displaystyle v^{\dagger }}$(v-dagger، متجه صف هو المنقول المرافق لمتجه عمودي)${\displaystyle v}$في ميكانيكا الكم ، المرافق لمتجه الكيت  ${\displaystyle \,|\psi \rangle }$يُشار إليه بـ${\displaystyle \langle \psi |\,}$– متجه حمالة صدر (انظر تدوين حمالة الصدر ).

• الفضاء المضاد للثنائية – صفحات الخريطة الجمعية المتجانسة المترافقة التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• البنية الخطية المعقدة – مفهوم رياضي 
• نظرية تمثيل ريز – نظرية حول الفضاء الثنائي لفضاء هيلبرت 
• حزمة المرافق

• Budinich، P. و Trautman، A. رقعة الشطرنج الشائكة . سبرينغر-فيرلاغ، 1988. ISBN 0-387-19078-3(تتم مناقشة فضاءات المتجهات المترافقة المعقدة في القسم 3.3، الصفحة 26).