بنية معقدة خطية

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 78 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، بنية معقدة على فضاء متجهي حقيقيV{\displaystyle V}هو شكل ذاتي لـV{\displaystyle V}مربعه يساوي سالب عنصر الهوية ،-بطاقة تعريفV{\displaystyle -{\text{id}}_{V}}مثل هذا الهيكل علىV{\displaystyle V}يسمح بتعريف الضرب بالأعداد المركبة بطريقة قياسية بحيث يُعتبرV{\displaystyle V}كمساحة متجهة معقدة .

يمكن تزويد كل فضاء متجهي معقد ببنية معقدة متوافقة بطريقة قياسية؛ ومع ذلك، لا توجد عمومًا بنية معقدة قياسية. للبنى المعقدة تطبيقات في نظرية التمثيل، وكذلك في الهندسة المعقدة، حيث تلعب دورًا أساسيًا في تعريف المشعبات شبه المعقدة ، على عكس المشعبات المعقدة . غالبًا ما يشير مصطلح "البنية المعقدة" إلى هذه البنية على المشعبات؛ وعندما يشير بدلًا من ذلك إلى بنية على الفضاءات المتجهة، يمكن تسميتها بالبنية المعقدة الخطية .

التعريف والخصائص

بنية معقدة على فضاء متجهي حقيقيV{\displaystyle V}هو تحويل خطي حقيقيج:V→V{\displaystyle J:V\to V} بحيث ج2=-بطاقة تعريفV.{\displaystyle J^{2}=-{\text{id}}_{V}.} هناج2{\displaystyle J^{2}}وسائلج{\displaystyle J}مُؤَسَّسٌ بِذَهِ وَبطاقة تعريفV{\displaystyle {\text{id}}_{V}}خريطة الهوية علىV{\displaystyle V}أي تأثير تطبيقج{\displaystyle J}الضعف هو نفسه الضرب في-1{\displaystyle -1}وهذا يُذكّر بعملية الضرب في الوحدة التخيلية .أنا{\displaystyle i}يسمح الهيكل المعقد بمنحV{\displaystyle V}ببنية فضاء متجهي معقد . يمكن تعريف الضرب القياسي المعقد بواسطة(x+أناy)v→=xv→+yج(v→){\displaystyle (x+iy){\vec {v}}=x{\vec {v}}+yJ({\vec {v}})} لجميع الأعداد الحقيقيةx،y{\displaystyle x,y}وجميع المتجهاتv→{\displaystyle {\vec {v}}}في V. يمكن للمرء أن يتحقق من أن هذا يعطي بالفعلV{\displaystyle V}بنية فضاء متجهي معقد نرمز إليهVج{\displaystyle V_{J}}.

أما إذا بدأنا في الاتجاه المعاكس، فسنستخدم فضاءً متجهيًا معقدًادبليو{\displaystyle W}عندئذٍ يمكن تعريف بنية معقدة على الفضاء الحقيقي الأساسي عن طريق تعريفجw=أناw  ∀w∈دبليو{\displaystyle Jw=iw~~\forall w\in W}.

بصورة أكثر رسمية، فإن البنية الخطية المعقدة على فضاء متجهي حقيقي هي تمثيل جبري للأعداد المركبةج{\displaystyle \mathbb {C} }، يُنظر إليه على أنه جبر ترابطي على الأعداد الحقيقية . ويتحقق هذا الجبر بشكل ملموس على النحو التالي: ج=R[x]/(x2+1)،{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),} وهو ما يتوافق معأنا2=-1{\displaystyle i^{2}=-1}ثم تمثيل لـج{\displaystyle \mathbb {C} }هو فضاء متجهي حقيقيV{\displaystyle V}، بالإضافة إلى فعلج{\displaystyle \mathbb {C} }علىV{\displaystyle V}(خريطة)ج→نهاية(V){\displaystyle \mathbb {C} \rightarrow {\text{End}}(V)}). وبشكل ملموس، هذا مجرد فعل من أفعالأنا{\displaystyle i}، حيث أن هذا يُولّد الجبر، والمؤثر الذي يُمثلأنا{\displaystyle i}(صورةأنا{\displaystyle i}فينهاية(V){\displaystyle {\text{نهاية}}(V)}) هو بالضبطج{\displaystyle J}.

لوVج{\displaystyle V_{J}}له أبعاد معقدةن{\displaystyle n}، ثمV{\displaystyle V}يجب أن يكون له أبعاد حقيقية2ن{\displaystyle 2n}أي فضاء ذو ​​أبعاد محدودةV{\displaystyle V}لا يقبل الفضاء المتجهي ذو الأبعاد الزوجية بنية معقدة إلا إذا كان ذا أبعاد زوجية. ومن السهل ملاحظة أن كل فضاء متجهي ذي أبعاد زوجية يقبل بنية معقدة. ويمكن تعريفج{\displaystyle J}على أزواجهـ،و{\displaystyle e,f}متجهات الأساس بواسطةجهـ=و{\displaystyle Je=f}وجو=-هـ{\displaystyle Jf=-e}ثم قم بتمديدها بشكل خطي لتشمل كلV{\displaystyle V}. لو(v1،...،vن){\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{n})}يُعد أساسًا للفضاء المتجهي المركبVج{\displaystyle V_{J}}ثم(v1،جv1،...،vن،جvن){\displaystyle (v_{1},Jv_{1},\dots ,v_{n},Jv_{n})}يشكل أساسًا للفضاء الحقيقي الأساسيV{\displaystyle V}.

تحويل خطي حقيقيأ:V→V{\displaystyle A:V\rightarrow V}هو تحويل خطي معقد للفضاء المعقد المقابلVج{\displaystyle V_{J}}إذا وفقط إذاأ{\displaystyle A}التنقل معج{\displaystyle J}أي إذا وفقط إذا أج=جأ.{\displaystyle AJ=JA.}وبالمثل، فضاء جزئي حقيقييو{\displaystyle U}لV{\displaystyle V}هو فضاء جزئي معقد منVج{\displaystyle V_{J}}إذا وفقط إذاج{\displaystyle J}معلباتيو{\displaystyle U}أي إذا وفقط إذا جيو=يو.{\displaystyle JU=U.}

أمثلة

مثال ابتدائي

مجموعة2×2{\displaystyle 2\times 2}المصفوفات الحقيقيةم(2،R){\displaystyle \mathbb {M} (2,\mathbb {R} )}المجال الحقيقي رباعي الأبعاد. أي مصفوفة

ج=(أجب-أ)،  أ2+بج=-1{\displaystyle J={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}},~~a^{2}+bc=-1}

مربعها يساوي سالب مصفوفة الوحدة . قد تتشكل بنية معقدة فيم(2،R){\displaystyle \mathbb {M} (2,\mathbb {R} )}: مع مصفوفة الوحدةأنا{\displaystyle I}، عناصرxأنا+yج{\displaystyle xI+yJ}، مع ضرب المصفوفات لتكوين الأعداد المركبة.

الفضاء المركب ذو الأبعاد n C n

المثال الأساسي للبنية الخطية المركبة هو البنية على R²ⁿ الناتجة عن البنية المركبة على Cⁿ . أي أن الفضاء المركب Cⁿ ذو البعد n هو أيضًا فضاء حقيقي ذو بعد 2ⁿ - باستخدام نفس عملية جمع المتجهات والضرب القياسي الحقيقي - بينما الضرب بالعدد المركب i ليس فقط تحويلًا خطيًا مركبًا للفضاء، الذي يُنظر إليه على أنه فضاء متجهي مركب، بل هو أيضًا تحويل خطي حقيقي للفضاء، الذي يُنظر إليه على أنه فضاء متجهي حقيقي. وبالتحديد، يعود ذلك إلى أن الضرب القياسي بالعدد i يتبادل مع الضرب القياسي بالأعداد الحقيقية. أنا(λv)=(أناλ)v=(λأنا)v=λ(أناv){\displaystyle i(\lambda v)=(i\lambda )v=(\lambda i)v=\lambda (iv)}– ويتوزع على عملية جمع المتجهات. وباعتبارها مصفوفة مركبة من الرتبة n × n ، فهي ببساطة المصفوفة العددية التي يكون فيها العنصر i على القطر الرئيسي. ويُرمز للمصفوفة الحقيقية المقابلة من الرتبة 2n × 2n بالرمز J.

بناءً على أساس{هـ1،هـ2،...،هـن}{\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\right\}}بالنسبة للفضاء المركب، فإن هذه المجموعة، بالإضافة إلى هذه المتجهات مضروبة في i، هي:{أناهـ1،أناهـ2،...،أناهـن}،{\displaystyle \left\{ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\},}تشكل هذه العناصر أساسًا للفضاء الحقيقي. وهناك طريقتان طبيعيتان لترتيب هذا الأساس، تتوافقان بشكل مجرد مع ما إذا كان المرء يكتب حاصل الضرب الموتري على النحو التالي:جن=Rن⊗Rج{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }أو بدلاً من ذلك كـجن=ج⊗RRن.{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{n}.}

إذا طلب المرء الأساس على النحو التالي{هـ1،أناهـ1،هـ2،أناهـ2،...،هـن،أناهـن}،{\displaystyle \left\{e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},\dots ,e_{n},ie_{n}\right\},}ثم تأخذ مصفوفة J شكل القطر الكتلي (تمت إضافة الرموز السفلية للإشارة إلى البعد): ج2ن=[0-1100-110⋱⋱0-110]=[ج2ج2⋱ج2].{\displaystyle J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\&&0&-1\\&&1&0\\&&&&\ddots \\&&&&&\ddots \\&&&&&&0&-1\\&&&&&&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{2}\\&J_{2}\\&&\ddots \\&&&J_{2}\end{bmatrix}}.} يتميز هذا الترتيب بأنه يحترم المجاميع المباشرة للفضاءات المتجهة المركبة، مما يعني هنا أن الأساس لـجم⊕جن{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}\oplus \mathbb {C} ^{n}}هو نفسه بالنسبة لـجم+ن.{\displaystyle \mathbb {C} ^{m+n}.}

من ناحية أخرى، إذا طلب المرء الأساس على النحو التالي{هـ1،هـ2،...،هـن،أناهـ1،أناهـ2،...،أناهـن}{\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\}}إذن، فإن مصفوفة J هي مصفوفة مضادة قطرية كتلية: ج2ن=[0-أنانأنان0].{\displaystyle J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{bmatrix}}.} يكون هذا الترتيب أكثر طبيعية إذا فكر المرء في الفضاء المركب على أنه مجموع مباشر للفضاءات الحقيقية، كما هو موضح أدناه.

بيانات الفضاء المتجهي الحقيقي ومصفوفة J هي نفسها تمامًا بيانات الفضاء المتجهي المركب، حيث تسمح مصفوفة J بتعريف الضرب المركب . على مستوى جبر لي ومجموعات لي ، يتوافق هذا مع تضمين gl( n , C ) في gl(2n , R ) (جبر لي - مصفوفات، ليست بالضرورة قابلة للعكس) و GL( n , C ) في GL( 2n , R ).

gl( n , C ) < gl( 2n , R ) and GL( n , C ) < GL( 2n , R ).

يتوافق هذا الإدراج مع نسيان البنية المعقدة (والاحتفاظ فقط بالحقيقي)، بينما يمكن وصف المجموعة الفرعية GL( n , C ) (المعطاة في المعادلات) على أنها المصفوفات التي تتبادل مع J:جيل(ن،ج)={أ∈جيل(2ن،R)|أج=جأ}.{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )\mid AJ=JA\right\}.} العبارة المقابلة حول جبر لي هي أن الجبر الجزئي gl( n , C ) للمصفوفات المركبة هو تلك التي يكون قوس لي الخاص بها مع J معدومًا، أي[ج،أ]=0؛{\displaystyle [J,A]=0;}بمعنى آخر، باعتبارها نواة خريطة الأقواس مع J،[ج،-].{\displaystyle [J,-].}

لاحظ أن المعادلات التعريفية لهذه العبارات هي نفسها، كماأج=جأ{\displaystyle AJ=JA}هو نفسهأج-جأ=0،{\displaystyle AJ-JA=0,}وهو نفس[أ،ج]=0،{\displaystyle [A,J]=0,}على الرغم من أن معنى اختفاء قوس لي أقل وضوحًا من الناحية الهندسية من معنى التنقل.

المجموع المباشر

إذا كان V أي فضاء متجهي حقيقي، فهناك بنية عقدية قانونية على المجموع المباشر V ⊕ V معطاة بـ ج(v،w)=(-w،v).{\displaystyle J(v,w)=(-w,v).} الشكل المصفوفي الكتلي لـ J هو ج=[0-أناVأناV0]{\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}} أينأناV{\displaystyle I_{V}}هي دالة التطابق على V. وهذا يتوافق مع البنية المعقدة على حاصل الضرب الموتري.ج⊗RV.{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }V.}

التوافق مع الهياكل الأخرى

إذا كانت B صيغة ثنائية الخطية على V ، فإننا نقول إن J تحافظ على B إذا ب(جu،جv)=ب(u،v){\displaystyle B(Ju,Jv)=B(u,v)} لكل u و v ∈ V. ويمكن وصف ذلك بشكل مكافئ بأن J مترافقة معكوسة بالنسبة إلى B : ب(جu،v)=-ب(u،جv).{\displaystyle B(Ju,v)=-B(u,Jv).}

إذا كان g جداءً داخليًا على V ، فإن J يحافظ على g إذا وفقط إذا كان J تحويلًا متعامدًا . وبالمثل، يحافظ J على شكل غير منحل ومتناظر عكسيًا ω إذا وفقط إذا كان J تحويلًا تماثليًا (أي، إذاω(جu،جv)=ω(u،v){\textstyle \omega (Ju,Jv)=\omega (u,v)}بالنسبة للأشكال التبسيطية ω، فإن شرط التوافق المثير للاهتمام بين J و ω هو أن ω(u،جu)>0{\displaystyle \omega (u,Ju)>0}ينطبق هذا الشرط على جميع قيم u غير الصفرية في V. إذا تحقق هذا الشرط، نقول إن J يُروض ω (بمعنى آخر: أن ω مُروض بالنسبة إلى J ؛ أو أن J مُروض بالنسبة إلى ω ؛ أو أن الزوج(ω،ج){\textstyle (\omega ,J)}(أليف).

بفرض وجود شكل تماثلي ω وبنية عقدية خطية J على V ، يمكن تعريف شكل ثنائي خطي مرتبط g J على V بواسطة زج(u،v)=ω(u،جv).{\displaystyle g_{J}(u,v)=\omega (u,Jv).} لأن الشكل التبسيطي غير منحل، فإن الشكل الثنائي الخطي المرتبط به كذلك. ويُحفظ الشكل المرتبط بواسطة J إذا وفقط إذا كان الشكل التبسيطي كذلك. علاوة على ذلك، إذا حُفظ الشكل التبسيطي بواسطة J ، فإن الشكل المرتبط به يكون متناظرًا. وإذا تم ترويض ω بواسطة J أيضًا ، فإن الشكل المرتبط به يكون موجبًا تمامًا . وبالتالي، في هذه الحالة، يكون V فضاءً للجداء الداخلي بالنسبة إلى g J.

إذا تم الحفاظ على الشكل التبسيطي ω (ولكن ليس بالضرورة ترويضه) بواسطة J ، فإن g J هو الجزء الحقيقي من الشكل الهرميتي (بحسب الاصطلاح مضاد الخطية في الوسيط الأول).حج:Vج×Vج→ج{\textstyle h_{J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }محدد بواسطة حج(u،v)=زج(u،v)+أنازج(جu،v)=ω(u،جv)+أناω(u،v).{\displaystyle h_{J}(u,v)=g_{J}(u,v)+ig_{J}(Ju,v)=\omega (u,Jv)+i\omega (u,v).}

العلاقة بالتعقيدات

بالنظر إلى أي فضاء متجهي حقيقي V ، يمكننا تعريف تعقيده عن طريق تمديد الكميات القياسية :

Vج=V⊗Rج.{\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}

هذا فضاء متجهي معقد، بُعده المعقد يساوي البُعد الحقيقي لـ V. وله مرافق معقد قانوني مُعرَّف بـ

v⊗z¯=v⊗z¯{\displaystyle {\overline {v\otimes z}}=v\otimes {\bar {z}}}

إذا كانت J بنية معقدة على V ، فيمكننا تمديد J بالخطية إلى V C :

ج(v⊗z)=ج(v)⊗z.{\displaystyle J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.}

بما أن C مجموعة مغلقة جبريًا ، فإن J مضمونة أن يكون لها قيم ذاتية تحقق λ 2 = −1، أي λ = ± i . وبالتالي يمكننا كتابة

Vج=V+⊕V-{\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V^{+}\oplus V^{-}}

حيث V + و V− هما الفضاءات الذاتية لـ + i و −i على التوالي. يُبدّل الاقتران المركب V + و V− . تُعطى خرائط الإسقاط على الفضاءات الذاتية V ± بالصيغة التالية :

P±=12(1∓أناج).{\displaystyle {\mathcal {P}}^{\pm }={1 \over 2}(1\mp iJ).}

لهذا السبب

V±={v⊗1∓جv⊗أنا:v∈V}.{\displaystyle V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.}

يوجد تماثل خطي معقد طبيعي بين V J و V + ، لذلك يمكن اعتبار هذه الفضاءات المتجهة متطابقة ، في حين يمكن اعتبار V − بمثابة المرافق المعقد لـ V J.

لاحظ أنه إذا كان لـ V J بُعد مركب n، فإن كلاً من V + و V − لهما بُعد مركب n بينما لـ V C بُعد مركب 2 n .

بصورة مجردة، إذا بدأ المرء بفضاء متجهي معقد W وأخذ تعقيد الفضاء الحقيقي الأساسي، فإنه يحصل على فضاء متماثل مع المجموع المباشر لـ W ومرافقه:

دبليوج≅دبليو⊕دبليو¯.{\displaystyle W^{\mathbb {C} }\cong W\oplus {\overline {W}}.}

ليكن V فضاءً متجهيًا حقيقيًا ذو بنية معقدة J. يمتلك الفضاء الثنائي V * بنية معقدة طبيعية J * معطاة بالثنائي (أو المنقول ) لـ J. وبالتالي، فإن تعقيد الفضاء الثنائي ( V *) C له تفكيك طبيعي.

(V*)ج=(V*)+⊕(V*)-{\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=(V^{*})^{+}\oplus (V^{*})^{-}}

في الفضاءات الذاتية ± i لـ J *. في ظل التطابق الطبيعي بين ( V *) C و( VC ) *، يمكن وصف ( V *) + بأنها تلك الدوال الخطية المركبة التي تتلاشى على V− . وبالمثل، تتكون ( V *) − من تلك الدوال الخطية المركبة التي تتلاشى على V + .

تقبل الجبريات (المركبة) الموترية والمتناظرة والخارجية على V C أيضًا عمليات التفكيك. ولعل الجبر الخارجي هو أهم تطبيق لهذا التفكيك. بشكل عام، إذا كان الفضاء المتجهي U يقبل التفكيك U = S ⊕ T ، فيمكن تفكيك القوى الخارجية لـ U على النحو التالي:

Λريو=⨁ص+q=ر(ΛصS)⊗(Λqتي).{\displaystyle \Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\otimes (\Lambda ^{q}T).}

وبالتالي، فإن البنية المعقدة J على V تؤدي إلى تفكك

ΛرVج=⨁ص+q=رΛص،qVج{\displaystyle \Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Lambda ^{p,q}\,V_{J}}

أين

Λص،qVج=دهـو(ΛصV+)⊗(ΛqV-).{\displaystyle \Lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+})\otimes (\Lambda ^{q}\,V^{-}).}

تُؤخذ جميع القوى الخارجية على الأعداد المركبة. لذا، إذا كان للمتجه V J بُعد مركب n (بُعد حقيقي 2n ) ، فإن

خافتج⁡ΛرVج=(2نر)خافتج⁡Λص،qVج=(نص)(نq).{\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.}

تتطابق الأبعاد بشكل صحيح كنتيجة لهوية فاندرموند .

فضاء الأشكال ( p , q ) Λp , qVJ * هو فضاء الأشكال متعددة الخطية (المركبة) على V<sub> C</sub> التي تتلاشى على العناصر المتجانسة ما لم تكن p من V<sup> + </sup> و q من V <sup> - </sup> . ويمكن أيضًا اعتبار Λp , qVJ * فضاءً للتطبيقات متعددة الخطية الحقيقية من V<sub> J</sub> إلى C، والتي تكون خطية مركبة بالنسبة لـ p ومترافقة خطية بالنسبة لـ q .

انظر إلى الشكل التفاضلي المركب والمتشعب شبه المركب للاطلاع على تطبيقات هذه الأفكار.

انظر أيضاً

مراجع

  • كوباياشي إس. ونوميزو ك. ، أسس الهندسة التفاضلية ، جون وايلي وأولاده، 1969. ISBN 0-470-49648-7(تتم مناقشة الهياكل المعقدة في المجلد الثاني، الفصل التاسع، القسم 1).
  • Budinich، P. and Trautman، A. رقعة الشطرنج الشائكة ، Springer-Verlag، 1988. ISBN 0-387-19078-3(تتم مناقشة الهياكل المعقدة في القسم 3.1).
  • غولدبيرغ إس آي، الانحناء والتماثل ، منشورات دوفر، 1982. رقم ISBN 0-486-64314-X(تتم مناقشة الهياكل المعقدة والمتشعبات شبه المعقدة في القسم 5.2).